抛物线中的存在性问题
抛物线中的存在性问题
(1) 如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，且△A BM是等腰三角形，则点M的坐标为( )∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.核心考点: 等腰三角形的存在性（两定一动）答案：D解题思路：点击查看解析视频：/course/video.do?id=126201．解题要点①理解题意，整合信息．根据抛物线解析式，可以得到A（-2，0），B（0，-4），对称轴为直线x=1．②抓不变特征有序思考，设计方案．分析定点、动点：△ABM中，A，B是定点，M是动点；确定分类标准：以AB作等腰三角形的腰或底边来进行分类．③根据方案作出图形，有序操作．当AB为腰时，根据等腰三角形两腰相等，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆与对称轴的交点符合题意，此时△ABM是以AB为腰的等腰三角形；当AB为底边时，点M在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点满足题意，此时△ABM是以AB为底边的等腰三角形．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程∵，∴A（-2，0），B（0，-4），抛物线的对称轴为直线x=1，∴．当AB为腰时，如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，连接．设抛物线对称轴与x轴的交点为D，∵，∴，∴．如图，以点B为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，过点B作BE⊥对称轴于点E，连接．∵，∴，∴．∵E（1，-4），∴．当AB为底边时，如图，作线段AB的垂直平分线，交抛物线对称轴于点．由A，B两点坐标，可得，∴．∴符合题意的点M的坐标为各点位置在同一平面直角坐标系中的表示如图所示，试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性（两定一动）2.如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．若M是抛物线对称轴上一点，且△ABM是等腰三角形，则点M 的坐标为( )A.B.C.D.答案：D解题思路：点击查看解析视频：/course/video.do?id=126241．解题要点①理解题意，整合信息．根据抛物线解析式，可以得到A（-1，0），B（0，-3），对称轴为直线x=1．②抓不变特征有序思考，设计方案．分析定点，动点：△ABM中，A，B是定点，M是动点；确定分类标准：以AB作等腰三角形的腰或底边来进行讨论．③根据方案作出图形，有序操作．当AB为腰时，根据等腰三角形两腰相等，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆与对称轴的交点M符合题意，此时△ABM是以AB为腰的等腰三角形；当AB为底边时，点M在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线与对称轴的交点满足题意，此时△ABM是以AB为底边的等腰三角形．④结果检验，总结．作图验证，根据图形对结果进行判断；分析数据，对结果进行验证取舍．2．解题过程∵，∴A（-1，0），B（0，-3），抛物线的对称轴为直线x=1，∴．当AB为腰时，如图，以点A为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，连接．设抛物线对称轴与x轴的交点为D，∵，∴，∴．如图，以点B为圆心，AB长为半径作圆，交抛物线对称轴于点，过点B作BE⊥对称轴于点E，连接．由对称性可知，易知，∴点在直线AB上，不符合题意．当AB为底时，如图，作线段AB的垂直平分线，交抛物线对称轴于点．由AB两点坐标，可得，∴．综上，符合题意的点M的坐标为．各点位置在同一平面直角坐标系中的表示如图所示，试题难度：三颗星知识点：等腰三角形的存在性（两定一动）3.如图，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），三点．M为x轴上一点，N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，则点N的坐标为( )A.B.C.D.答案：B解题思路：点击学习解析视频：/course/video.do?id=12583&ids=12583 1．解题要点①整合信息，读题标注．已知抛物线与x轴的两个交点分别为A（-1，0），B（5，0），故设交点式，将代入，解得，即得到抛物线表达式．②分析特征，有序思考，设计方案．分析定点、动点：以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，其中A，C为定点，M，N为动点；确定分类标准：连接AC得到定线段，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，定线段AC可以作为边，也可以作为对角线，分两种情况进行讨论．③根据方案作出图形，有序操作．当AC作边时，根据平行四边形的判定，需满足AC∥MN，AC=MN，要找MN，借助平移，将线段AC拉出来，由于点M在x轴上，容易平移，故让线段沿x轴左右平移，确保M在x轴上，来找抛物线上的点N，注意需要沿x轴在x轴的上方、下方分别平移，找出点之后，设计方案，利用平移性质，求它们的坐标；当AC作对角线时，利用平行四边形的判定，需满足AC，MN互相平分，先找到AC中点，根据中点坐标公式，由点M确定点N，进而求坐标．④检查验证．作图验证；分析数据，估算验证．2．解题过程设抛物线的解析式为，∵在抛物线上，∴，∴．①当AC为边时，AC∥MN，AC=MN，如图所示，②当AC 为对角线时，MN 与AC 相互平分，AC 的中点D 的坐标为．∵，∴， 此时与点重合，如图所示，综上，符合题意的点N 的坐标为．(4)如图，抛物线解析式为21566y x x =-+，点B 坐标为（-3,-4），点A 的坐标为（5,0）,点P 为x 轴上方抛物线上的一个动点；问：当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？(5). 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点．（1）求出抛物线的解析式； （2）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．(6)如图，抛物线A(3，0)，B(6，0)两点，与y 轴交于点C ．P 是抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴，交直线BC于点Q．设点P的横坐标为，当△OAQ为直角三角形时，m的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：。
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)
抛物线中的存在性问题(顶点的存在性问题)抛物线中的存在性问题（顶点的存在性问题）抛物线是数学中常见的曲线之一，其方程一般形式为 y = ax^2 + bx + c。
在抛物线的研究中，存在一个重要的问题，即顶点的存在性问题。
问题描述顶点是抛物线中最高或最低的点，也是曲线的转折点。
通过确定顶点的位置，我们可以得到关于抛物线的许多重要性质和参数。
然而，并不是所有的抛物线都具有顶点，因此存在着顶点的存在性问题。
抛物线方程的参数对顶点的影响在讨论顶点的存在性之前，我们首先需要了解抛物线方程中的参数对顶点的影响。
1. 参数 a：决定了抛物线的开口方向。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 参数 b：决定了抛物线在 x 轴上的位置。
当 b > 0 时，抛物线向左平移；当 b < 0 时，抛物线向右平移。
3. 参数 c：决定了抛物线在 y 轴上的位置。
抛物线与 y 轴相交的点就是 c。
顶点的存在性问题对于一般形式的抛物线方程 y = ax^2 + bx + c，顶点的存在性由参数 a 的正负决定。
- 当 a > 0 时，抛物线开口向上，顶点最低点存在。
- 当 a < 0 时，抛物线开口向下，顶点最高点存在。
- 当 a = 0 时，抛物线退化为直线，没有顶点。
因此，只有当 a 不等于零时，抛物线才会有顶点存在。
实例分析考虑以下两个抛物线方程：1. 抛物线方程 y = 2x^2 + 3x + 12. 抛物线方程 y = -x^2 + 4x - 2对于第一个方程，参数 a = 2，开口向上，因此存在一个最低点作为顶点。
而对于第二个方程，参数 a = -1，开口向下，因此存在一个最高点作为顶点。
结论顶点的存在性问题是在研究抛物线时需要考虑的一个重要因素。
通过分析抛物线方程中参数 a 的正负，我们可以确定抛物线是否具有顶点。
只有当参数 a 不等于零时，抛物线才会有顶点的存在。
解决存在性问题的几种常用方法
解决存在性问题的几种常用方法〔关键词〕数学教学;问题;存在;分类讨论法;解析法;比例线段法;图象法一、分类讨论法例1已知,在直角坐标系中,A、B两点是抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴的交点(A在B的右侧),x1、x2分别是A、B两点的横坐标,且|x1-x2|=3.(1)当m>0时,求抛物线的解析式;(2)如果(1)中所求抛物线与y轴交于点C,问y轴上是否存在点D(不与点C重合),使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,请求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.分析:要求抛物线的解析式,只需求出m的值,可通过条件“|x1-x2|=3”,结合根与系数的关系及根的判别式确定m的值为2.解:(1)略,所求抛物线的解析式为y=x2+x-2.(2)假设在y轴上存在点D,使得△DOA∽△AOC. 设点D的坐标为(0,y),由(1)知抛物线y=x2+x-2与y轴的交点C的坐标为(0,-2),与x轴的交点A的坐标为(1,0),如图①、②所示分以下两种情况讨论:①当∠ACO=∠ADO时,则△ACD为等腰三角形,此时AO垂直平分DC.∵点C、D关于原点对称,∴D1的坐标为(0,2).②当∠DAO=∠ACO时,有两种情况,如图②所示点D2、D3的位置,并且此时点D2与点D3关于原点对称,下面求D2点的坐标.∵△DAO∽△ACO ,∴OA2=OC·OD.∴OD=■=■,∴点D2的坐标为(0,■),而D3是D2关于原点的对称点,即D3的坐标为(0,-■),综上所述,D点存在,有3个,其坐标分别是(0,2)、(0,■)与(0,-■).评注:本题所探索的是点的存在性问题,用了分类讨论的方法,解题时要注意将任何可能的情况都要考虑到,否则易将D3漏解,而在探求此点时又利用了对称性原理巧妙地进行了解答.二、解析法例2 如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的斜边AB在x轴上,顶点C在y 轴的负半轴上,tan∠ABC=■,点P在线段OC上,且PO,PC(PO<PC)是方程x2-12x+27=0的两根.(1)求P点的坐标;(2)求AP的长;(3)在x轴上是否存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在请直接写出直线PQ的解析式;若不存在,请说明理由.分析:该题前两问是常规求解问题,只需根据已知条件和已有知识进行推理论证,解答出结果即可,而最后一问将函数和几何的有关知识有机结合在一起,形成一道“是否存在”的综合题目,应以“假设存在,去伪存真”作为解答策略.解:(1)略,点P的坐标为(0,-3);(2)略;(3)假设存在,分两种情况讨论,如图③所示:(i)过P作PQ1∥AC交x轴于点Q1,由(1)(2)知,点A、C、P的坐标分别为(-9,0),(0,-12),(0,-3),设直线AC的解析式为y=k1x+b1,将点A、C的坐标分别代入解析式得-9k1+b1=0b1=-12 解得k1=-■b1=-12又∵AC∥PQ1,∴直线PQ1的解析式为y=-■x-3.(ii)过点C作CQ2∥AP交x轴于点Q2,设直线AP的解析式为y=k2x+b2,同(i),解得k2=-■,b2=-3. ∵CQ2 ∥AP, ∴CQ2的解析式为y=■x-12. 令y=0,得x=-36, ∴点Q2的坐标为(-36,0).再设直线PQ2的解析式为y=kx+b,将P(0,-3),Q2(-36,0)分别代入y=kx+b,可得k=■,b=-3,∴直线PQ2的解析式为y=-■x-3.三、成比例线段法例2中的第三问还可以用下面的方法解答.分两种情况:如图③所示:当PQ∥AC时,则由△OPQ∽△OCA得■=■,∴OQ=■=■ =■ ,∴点Q的坐标为(-■,0) ,再设PQ的解析式为y=kx+b,将点P、Q的坐标分别代入解析式,有b= -3-■k+b=0 解得b= -3k= -■∴直线PQ的解析式为y= -■x-3.当AP∥QC时,则由△OAP∽△OQC得■=■,∴OQ=■=■=36.∴点Q的坐标为(-36,0),利用待定系数法可确定此时直线PQ2的解析式为y=-■x-3.评注:此题在解关于“是否存在”的问题时解法灵活,既可以利用“解析法”中两直线平行的特点,并以一次项系数k相同作中间桥梁进行解答,又可以利用平行线等分线段定理确定线段的长度,进而得到解析式.四、图象法例3如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点P到x轴的距离是4,抛物线与x轴相交于0、M两点,OM=4,矩形ABCD的边BC在线段OM上,点A、O 在抛物线上.(1)请写出P、M两点的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)设矩形ABCD的周长为L,求L的最大值;(3)连结OP、PM,则△PMO为等腰三角形,请判断在抛物线上是否存在点Q(除点M外),使得△OPQ是等腰三角形,简要说明理由.分析:此题第一问可以直接将已知条件中的距离转化为点的坐标形式,再利用待定系数法确定解析式即可;第二问利用矩形的性质及抛物线的对称性,设点A的横坐标为xA,找出点A的坐标与矩形的长、宽之间的关系,列出L关于xA的二次函数关系式,从而求出最值;第三问直接通过作图的方法来探究“是否存在”.解:(1)略,点P的坐标为(2,4),点M的坐标为(4,0),抛物线的解析式为y=-x2+4x;(2)略,L的最大值为10;(3)假设存在点Q(除点M外),使得△OPQ是等腰三角形.若△OPQ是等腰三角形,OP可以为底,也可以为腰.①以OP为底,作OP的垂直平分线RS,可以交抛物线于Q1,Q2,∴这样的点存在,有两个.②以OP为腰时,可以以O为圆心,OP的长为半经作圆(除M点外)还有3个点,∴存在点Q,使△POQ为等腰三角形.评注:对“是否存在”的问题是通过猜测、分析、作图的方法,探究到结果,体现出数学图形的简洁性、直观性、形象性.。
九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题8
抛物线与存在性-8一、解答题（共30小题）1、（2010?河源）如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D两点（D点在E点右方）．（1）求点E，D的坐标；（2）求过B，C，D三点的抛物线的函数关系式；（3）过B，C，D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．2、（2010?江汉区）如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M．点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q．（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．3、（2010?吉林）矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别是O（0，0），B（0，3），D（﹣2，0），直线AB交x轴于点A（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标；（3）过点E作x轴的平行线EF交AB于点F，将直线AB沿x轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H，请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，是的S△PAG=S△PEH，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、（2010?昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果可保留根号）5、（2010?荆门）已知：如图一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．6、（2010?锦州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥A C，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、（2010?江西）如图，已知经过原点的抛物线y=﹣2x2+4x与x轴的另一交点为A，现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P．（1）求点A的坐标，并判断△PCA存在时它的形状（不要求说理）；（2）在x轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在，请说明理由；（3）设△CDP的面积为S，求S关于m的关系式．8、（2010?江津区）如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9、（2010?丽水）△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC 可以绕点O作任意角度的旋转．（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；（2）如果抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：①当a=，b=﹣，c=﹣时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；②设b=﹣2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．10、（2010?龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（﹣2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线y=﹣x交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC．试判断△EBC的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PF∥ED交直线MN下方的抛物线于点F．问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由．11、（2010?临沂）如图：二次函数y=﹣x2+ax+b的图象与x轴交于A（﹣，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．12、（2010?茂名）如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B两点，且3a﹣b=﹣1．（1）求a，b，c的值；（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．13、（2010?南宁）如图，把抛物线y=﹣x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y 轴对称．点A，O，B分别是抛物线l1l2与x轴的交点，D，C分别是抛物线l1，l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P使抛物线l1上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y 轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由．（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM=S四边形AOED，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．14、（2010?綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，﹣6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．15、（2010?盘锦）如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），抛物线的对称轴x=2交x轴于点E．（1）求交点A的坐标及抛物线的函数关系式；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，使点P与A，B，C三点构成一个平行四边形？若存在，请直接写出点P坐标：若不存在，请说明理由；（3）连接CB交抛物线对称轴于点D，在抛物线上是否存在一点Q，使得直线CQ把四边形DEOC分成面积比为1：7的两部分？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．16、（2010?攀枝花）如图所示，已知直线y=x与抛物线y=ax2+b（a≠0）交于A（﹣4，﹣2），B（6，3）两点．抛物线与y轴的交点为C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）在抛物线上存在点M，是△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P使得△P AC的面积是△ABC面积的，若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．17、（2010?曲靖）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=（x﹣h）2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求h、k的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18、（2010?黔南州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动．（1）求线段OA所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点M的横坐标为m，①用m的代数式表示点P的坐标；②当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19、（2010?三明）如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（﹣4，0）、C （0，﹣12）．顶点为M，过点A的直线y=kx﹣4交y轴于点N．（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；（3）将AN所在的直线l向上平移．平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）．当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
抛物线中的平行四边形存在性问题
北师大版八年级下数学第五章第4节分式方程切记：语言精炼、不重复；简单问题大家一起回答，不用抽问，以节约时间。
上课，同学们好。
请坐。
一、情境引入，提炼定义1、同学们，2014年12月2.5环旁边的成绵乐高铁开通后，家在绵阳的刘霆霄同学选择周末乘坐高铁回家。
据他发现有如下信息，绵阳站与乐山站相距300公里。
乘高铁比乘普客少用1.25小时，已知高铁的平均速度是普客的 2 倍。
若设普客列车的平均行驶速度为xkm/h，你能得到x的方程吗？（请xxx为大家读一遍题目）若设普客的平均速度是xkm/h，则高铁的平均速度就是2xkm/h。
那么普客所需时间为小时，高铁所需小时，根据等量关系“乘坐高铁比普客列车少用1.25个小时”列得方程。
2、这是我们班每周张贴的操行分汇总表，周末班长在汇总时灵光一现，为大家编写了一道数学题。
第一组总分为40分，第二组总分为55分，其中第二组比第一组多1人，且两组平均分相同。
设第一组人数为x人，则x满足什么方程？3、开学第一周的周三我为大家播了一个相当火的视频。
---《穹顶之下》，提高空气质量迫在眉睫。
规划局决定在锦江区增加城市绿化面积。
计划在部分绿化带加种1200棵树。
由于很多志愿者加入植树，每天比原计划多种了40棵，结果提前5天完成了任务，则原计划每天种多少棵？4、有些同学天生就是破坏大王，桌椅板凳总是神奇的就坏掉了。
还好嘉祥有一批尽职尽责的维修uncle 。
甲、乙两名维修叔叔同时维修桌椅，每时甲比乙多维修10套桌椅，甲维修150套与乙维修120套所用时间相等，若乙每小时维修x 套椅子，则x 满足什么方程？这些方程是我们曾学过的整式方程吗？学生答：不是。
老师追问：那你们认识这些方程吗？---分式方程。
很好，这就是今天我们要学习的内容《北师大版数学八年级下第五章第4节 分式方程》----显示课件标题，板书黑板标题。
那谁能根据这些方程的共同特征，给分式方程下个定义呢？（一定让学生回答）。
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)
抛物线中直角三角形存在性问题(勾股定理与K值法)[例]已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，x1，x2是方程x2+4x﹣5=0的两根．（1）若抛物线的顶点为D，求S△ABC：S△ACD的值；（2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式．【解答】解：（1）解方程x2+4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1，由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）．抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0），∴对称轴为直线x=﹣2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a），令x=0，得y=﹣5a，∴C点的坐标为（0，﹣5a）．依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a．S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC=（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC=（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a=15a，而S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a，∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1：1.注：作铅垂线求S△ACD也是可以的（2）方法一：如解答图，过点D作DE⊥y轴于E在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2，设对称轴x=﹣2与x轴交于点F，则AF=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2．∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=，∵a＞0，∴a=，∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）=x2+x﹣．方法二：（K 值法）结论1：直线1111:l y k x b =+与直线2222:l y k x b =+垂直⇔121k k =-； 结论2：点11(,)A x y 、22(,)B x y （12x x ≠）分别是直线:l y kx b =+上两个不同的点，则2121y y k x x -=-.（证明：11y kx b =+……①22y kx b =+……②， ②－①得，2121()y y k x x -=-，2121y y k x x -=-） 解：90932(5)3AD a a k a ---===----，9(5)42202CD a a a k a ----===---， ∵∠ADC =90°，∴1AD CD k k =-，即23261a a a -⨯=-=-，12a a ==. ∴抛物线的解析式为：y =（x +5）（x ﹣1）=x 2+x ﹣． 练习.已知抛物线c bx x y ++-=221与y 轴交于点C ，与x 轴的两个交点分别为A （﹣4，0），B （1，0）．（1）求抛物线的解析式； （2）已知点P 在抛物线上，连接PC ，PB ，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（3）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．。
存在性问题
数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
【典型例题】例1. 223(1)9200x x m x m m -++-+=若关于的一元二次方程有两个实数根，390cos 5a b c ABC A B C C B ==又已知、、分别是△的∠、∠、∠的对边，∠°，且，3b a m Rt -=，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于 ABC c m △的斜边的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。
分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m ，满足的条件有m 是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 斜边c 的平方，隐含条件判别式Δ≥0等，这时会发现先抓住Rt △ABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。
解：在△中，∠°，∵Rt ABC C B ==9035cos ∴设a=3k ，c=5k ，则由勾股定理有b=4k ，33343==-=-k k k a b ∴，∴，∵ ∴，，a b c ===91215设一元二次方程的两个实数根为，x m x m m x x 2212319200-++-+=() 则有：，x x m x x m m 1212231920+=+=-+()∴x x x x x x m m m 122212212222312920+=+-=+--+()[()]()=+-736312m m 由，x x c c 1222215+==有，即73631225736256022m m m m +-=+-= ∴，m m 124647==-∵不是整数，应舍去，m =-647当时，m =>40∆∴存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边c 的平方。
抛物线中角的存在性问题
• 18 .理科考试研究•数学版2021年2月10日抛物线中角的存在性沔题罗峻1段利芳2(1•阳新县白沙中学湖北黄石435241; 2.汉南区纱帽中学湖北武汉430090)摘要：本文通过一道典型习题的“一题五问”来设置问题，破解抛物线中角的存在性问题，让学生了解抛物线存在性问题的题目设置特点及解答策略，培养学生逻辑思维能力和综合运用几何知识构造基本图形，运用函数、方程思想 解决问题的能力，从而领悟解题方法，提高解题效益.关键词：二次函数；角的存在性；一题多问；求解策略函数与几何是初中数学的重点知识和核心内容， 将这两方面的内容结合在同一题目中，难度及综合性 有所增大，这类题目可以考查学生灵活运用知识的能 力，创新意识和数学素养.下面通过一个问题的五问 来破解函数与几何相结合的角的存在性问题，供大家 参考[1].题目如图1,二次函数y =-2* -6与坐标轴交于点4，B ，C ，点为顶点.1 75°角存在问题问题1如图2，P 是B C 下方抛物线上一动点，若乙PCB =75°，求点/1的坐标.图2 图3分析由= 易发现zOCfi =45。
，构造平行线，将75°分成45。
和30。
角之和，出现30。
的特殊 角，利用30°的条件，构造直角三角形并运用含30°角 的直角三角形的三边之比，用某一字母表示点P 坐 标，代人函数解析式则问题获解.解析易求/1(-2,0)，5(6,0)，(：(0，-6)，如图 3，过点C 作C £ //4B 交抛物线于点£，过点P 作C £的垂线，垂足为点F .易求乙 B C F = Z 0BC =45。
，则乙 ECP = 30。
.设= m ■，贝ij C F =，P (爪，一6 - m ) •J E P (V 3m , - 6 - m )jt ；A y = y "*2 ~2x -6,^%爪=¥，所以二1^).2 45°角存在问题问题2对称轴上有一动点M ，使乙CMB =45。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
抛物线中的存在性问题
1.如图，在同一坐标系中22
k y kx =+-与y 轴交于点P ，抛物线22(1)4y x k x k =-++与轴交于点12(,0),(,0)A x B x 两点，C 是抛物线的顶点．
（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）；
（2）若点A 在点B 的左侧，且x 1·x 2<0．
①当k 取何值时，直线通过点B ；
②是否存在实数k ，使S △ABP =S △ABC ？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．
2.已知二次函数y mx m x m =+-->2330()()
（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；
（2）这条抛物线与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），与y 轴交于点C ，且AB =4，⊙M 过A 、B 、C 三点，求扇形MAC 的面积S ．
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使△PBD （PD ⊥x 轴，垂足为D ）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
3.如图，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过点A 和B ，且1250a c +=.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P 由点A 沿AB 边以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1cm/秒的速度向点C 移动，那么：
①移动开始后第t 秒时，设S =PQ 2（cm 2），试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；
②当S 取最小值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC =10cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）当t =2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；
（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；
（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值；若不存在，请说明理由．。