《概率论与数理统计》样卷分析

概率论与数理统计重修
河海大学理学院数学系 2010.07 一、古典概率
（一）内容提要：随机事件、概率及其性质、古典概型 内容提要：随机事件、概率及其性质、 与几何概型、条件概率、乘法公式、 与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公 事件的独立性、伯努利概型. 式、事件的独立性、伯努利概型 （二）相关问题 1. 已知P(A)=0.3, P(A∪B)=0.4, 则 P ( A ∪ B ) = ；
5. 设
1 / 3, X ~ f ( x ) = 2 / 9, 0,
x ∈ [0, 1] x ∈ [ 3, 6] 其它
.
使得P{X ≥ k}=2/3, 则k的取值范围是 若k 使得 的取值范围是
6. 设F1(x)与F2(x)分别为 r.v.X1与X2的分布函数 为使 的分布函数, 与 分别为 F(x)=a F1(x)−b F2(x)是某一 的分布函数 在下列给定的各组 是某一r.v.的分布函数 − 是某一 的分布函数, 数值中应取 (A) a=3/5, b= −2/5 (C) a= −1/2, b= 3/2 (B) a=2/3, b= 2/3 (D) a=1/3, b= −3/2 [ ]
7. 已知随机变量 、Y相互独立且都来自参数为λ>0的指数 已知随机变量X、 相互独立且都来自参数为 相互独立且都来自参数为λ 的指数 分布，试用两种方法求出Z＝ ＋ 的概率密度 的概率密度。 分布，试用两种方法求出 ＝X＋Y的概率密度。
8. 设随机变量X概率密度是
0≤ x ≤1 x, f ( x ) = 2 − x , 1 < x ≤ 2 0, 其它.
i
− X)
2
2
( X i − µ )2 ∑
σ
~
;Байду номын сангаас
i =1
σ
2
~
.
2.设X1, …, Xn是来自正态总体N(µ, σ2)的一个样本, 则
1 n Z n = ∑ ( X i − µ ) 服从 n i =1
.
3.设X～N(µ1 ，σ 12)，Y～N(µ2 ，σ 22)，X1,…,Xn1 ；Y1,…,Yn2 分别是两总体相互独立的样本，则 X − Y 的分布 是 .
2. 若P(X=k)=λke−λ/k!, (k = 0, 1, 2, …), 则λ的极大似然估计量 = .
3. 设总体 的概率函数为 设总体X的概率函数为
e−( x−µ ) , x > µ f (x; µ)＝ ＝ x≤µ 0,
为未知参数， 为来自总体X的一个样本 的一个样本。 其中µ 为未知参数，X1，…, Xn为来自总体 的一个样本。 的矩估计量和极大似然估计量； （1） 试求未知参数µ的矩估计量和极大似然估计量； ） 的极大似然估计量的无偏性， （2） 讨论未知参数µ的极大似然估计量的无偏性，并说明理 ） 由. 4. 设总体 的概率密度为 设总体X的概率密度为
五、参数估计
（一）内容提要：估计量与估计值、矩估计、极大似然估 内容提要：估计量与估计值、矩估计、 估计量的评价、区间估计、 计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区 间. （二）相关问题 1. 设总体X的密度函数为
− ( x − µ )2 1 f ( x; µ ) = e 18 , −∞ < x < ∞ 3 2π 其中为未知参数。求的矩估计量和极大似然估计量，并说明的 极大似然估计量是否为其无偏估计量，请给出理由。 1
(θ + 1) x θ , 0 < x < 1 f ( x) = 0, 其它
是未知参数, 是来自总体X的一个容量为 其中θ > −1是未知参数 X1, … , Xn是来自总体 的一个容量为 是未知参数 n 的简单随机样本 分别用矩估计法和极大似然估计法求 θ 的简单随机样本, 的估计量. 的估计量
0 , 若 X ≤ Y , U = 1, 若 X > Y ; 0, 若 X ≤ 2Y , V = 1, 若 X > 2Y ;
试求(1)U和V的联合概率分布 和 的联合概率分布 的联合概率分布; 试求
(2) U和V的相关系数 的相关系数. 和 的相关系数
8. 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光, 电梯于每个整点 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光 的第5分钟 分钟,第 分钟 分钟, 分钟从底层起行, 的第 分钟 第25分钟 第55分钟从底层起行 假设某游客在早 分钟从底层起行 八点第X分钟到达底层侯梯处 分钟到达底层侯梯处, 上均匀分布, 八点第 分钟到达底层侯梯处 且X在[0, 60]上均匀分布 求该 在 上均匀分布 游客等候时间的数学期望. 游客等候时间的数学期望 9. 设X是r.v., EX=µ, DX=σ2, 则对任意常数 必有 µ 是 σ 则对任意常数C, (A) E(X−C)2= EX2−C2 (B) E(X−C)2= E(X− µ)2 − − − (C) E(X−C)2< E(X− µ)2 (D) E(X−C)2 ≥ E(X− µ)2 − − − − [ ]
3. 设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y 服从参数为（4，p）的二项分布，若P{X≥1}=5/9，则 P{Y≥1}= ； 4. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指 数分布，其密度函数为，
1 −x/ 2 e , x > 0, f ( x) = 2 0, x≤0 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月 要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的 次数，求出的分布律，并求P{Y≥4}。
8. 若事件A, B的概率为正, 则事件A, B互不相容与事件A, B相 互独立 同时成立.
二、随机变量及其分布
（一）内容提要：随机变量及其分类、一维离散型随机变 内容提要：随机变量及其分类、 分布律及其性质、分布函数及其性质、 量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变 密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、 量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、 随机变量的独立性、随机变量函数的分布. 随机变量的独立性、随机变量函数的分布 （二）相关问题 1．已知随机变量X的分布函数F(x)＝A + Barctgx, 则A＝ B＝ , 概率密度f (x)＝ . ,
2. 设某类电子管的使用寿命X (以小时计)的概率密度是
x 1 − 100 e , x>0 f (x) = 100 0, x≤0 一等品的使用寿命在110小时以上，二等品的使用寿命在80 ~ 110小时，三等品的使用寿命在80小时以内，一等品、二等 品、三等品的包装损坏率分别是0.002、0.20与0.30，现从 一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求 （1） 它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率； （2） 若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原 来是二等品的概率。
2. 袋中有 只黄球 只白球 二人依次从中任取一球 则第 袋中有20只黄球 只白球, 二人依次从中任取一球, 只黄球30只白球 二人抽得黄球的概率为 . . 3．已知P( A )＝0.5, P(B)＝0.4, P(A| B)＝0.6, 则P(A∪ B )＝ 4．设事件A与B相互独立, 已知P(A)=0.5, P(A∪B)=0.8, ． ； 则 P ( AB ) = 5. 设A, B为任意两事件 且A⊂B, P(B)>0,则下列不等式正确 为任意两事件, 为任意两事件 ⊂ > 则下列不等式正确 的是: 的是 (A) P(A) <P(A|B) (C)P(A) > P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (D) P(A) ≥ P(A|B) [ ]
10. 设二维 设二维r.v.(X, Y)服从二维正态分布 则r.v.ξ=X+Y与 服从二维正态分布, 服从二维正态分布 ξ 与 η=X−Y不相关的充分必要条件为 − 不相关的充分必要条件为 (A) E(X)=E(Y) (B) E(X2)−[E(X)]2=E(Y2)−[E(Y)]2 − − [ ]
(C) E(X2)=E(Y2) (D) E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2
4. 设X1，X2，X3是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本， 时，统计量X服从χ2分布， X = X12 + a(X2 − 2 X3)2 ，则当a = 自由度为 ； 5. 设X～N(µ1，σ12)，Y～N(µ2，σ22)，X1,…,Xn; Y1,…,Ym分 别是两相互独立的样本，则 X − Y ~ X=a(X1 −2X2)2+b(3X3 −4X4)2, 则当 = 则当a 量服从χ 分布, 量服从χ2分布 其自由度为 . ,b= . 时, 统计 6. 设X1, X2, X3, X4是来自正态总体 是来自正态总体 正态总体N(0, 22)的简单随机样本 的简单随机样本, 的简单随机样本
6. 甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为 0.4，0.6，0.8，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3，被两人 击中而被击落的概率为0.7，若三人都击中飞机，飞机必定被 击落。（1）求飞机被击落的概率；（2）若已知飞机被击落， 求因被两人击中而被击落的概率。 7. 设有来自三个班级的各10名、15名和25名学生参加一个文 设有来自三个班级的各10名 15名和 名和25名学生参加一个文 体节目，其中各班的女生分别为3名 名和5名 体节目，其中各班的女生分别为 名、7名和 名。随机地选一个 名和 班级，再从中先后选取两人做一个节目。 班级，再从中先后选取两人做一个节目。 （1）求先选到的一人为女生的概率； ）求先选到的一人为女生的概率； （2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概 ）已知后选到的一人为男生， 率。
4. 设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为
2, 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 1 f ( x, y) = 其它 0,