有理数乘方及混合运算(讲义及答案)
2.3.1 乘方 (有理数的混合运算) 课件 数学人教版(2024)七年级上册
解：由题意得：m-2=0,n+1=0. 所以m=2,n=-1.
n
2023
m
m÷n+(m+n) -n ÷
m
-1
2023
2
=2÷(-1)+[2+(-1)] -(-1) ÷
2
1
=-2+1-1÷(- )
2
=-2+1-1×(-2)
=-2+1+2
解:(1)原式=2×(-27)+12+15 (2)原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)
=-54+12+15
=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)
=-27
=-8+42+4.5
=38.5
针对训练
有理数的混合运算
考点2-1
计算：
2
2
2
3
4
(1)-3 -(-3) +3 ×(− )-2 ； (2)-1 - ×[10-(3-5)2]-(-1)3.
2 1
解：(1)原式=-2×(- 9 ÷ 9 ) (2)原式=16×(-2)÷(-8+4)
2
=-32÷(-4)
=-2×(- 9 ×9)
=8
=-2×(-2)
=4
针对训练
有理数的混合运算
查漏补缺
2
(3)( - )÷(- )+(-2) ×| -1|,(4)- ×[(- )÷(0.75-1)+(-2)5]
有理数的乘除乘方运算(含答案)
有理数的运算（乘、除、乘方）教学目的：1、理解有理数的乘法法则；掌握异号两数的乘除运算的规律；2、会进行有理数的乘法、除法、乘方的运算，能灵活运用运算律进行简化运算。
教学重点：1、有理数的乘法、除法法则；2、熟练的进行有理数乘法、除法、乘方运算。
教学难点：若干个有理数相乘，积的符号的确定，乘方的符号确定。
有理数的乘法有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
例1：计算(1) )3()5(-⨯-(2) 4)7(⨯-(3))109()35(-⨯-例题目的：掌握有理数的乘法法则。
有理数乘法法则的推广：(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
当负数的个数为奇数时，积为负，当负因数为偶数个时，积为正。
(2)几个数相乘，有一个因数为0，积为0。
例2：(1))4()37(21-⨯-⨯ (2) )253()5.2()94(321-⨯-⨯-⨯例题目的：会算两个以上有理数的乘法，并能判定积的符号。
有理数乘法的运算律：在有理数运算中，乘法的交换律，结合律以及乘法对加法的分配律仍然成立。
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用式子表示为a·b ＝b·a 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．用式子表示成(a·b)·c ＝a·(b·c)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘． 用字母表示成：a(b ＋c)＝a·b ＋a·c例3：计算：(1) 25.18)5.4(⨯⨯- (2) )]23()3[()2(-+-⨯-(3) )8(161571-⨯例题目的：掌握有理数乘法的运算律。
有理数的除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号向负，并把绝对值相除。
0除以任何非0的数都得0。
倒数与负倒数的概念：乘积为1的两个有理数互为倒数，即若a ， b 互为倒数，则1=ab ；乘积为1-的两个有理数互为负倒数，即若b a ,互为负倒数，则1-=⋅b a法则2：除以一个数等于乘以这个数的倒数，即a ÷b )0(1≠⋅=b ba 例4：1. 求下列各数的倒数，负倒数。
1.5 有理数的乘方讲义 学生版
第1章有理数1.5 有理数的乘方学习要求1、理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算，并体会乘方结果的变化．2、掌握科学记数法的形式和要点，能按照要求使用科学记数法．3、掌握有理数混合运算的法则、顺序和运算律，能熟练、合理地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合的运算．4、进一步巩固有理数的混合运算，在运算中使用简单推理，提高运算能力．知识点一：有理数乘方的意义例1．对乘积（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）记法正确的是（）A．﹣34B．（﹣3）4C．﹣（+3）4D．﹣（﹣3）4变式1．（﹣3）2的值是（）A．﹣9 B．9 C．﹣6 D．6变式2．把下列各式用幂的形式表示，并说出底数和指数：（1）（﹣3）×（﹣3）×（﹣3）；（2）．变式3．把下列各幂还原成连乘的形式：（1）（﹣7）4；（2）（﹣a3）5；（3）﹣a6；（4）（x﹣y）3．知识点二：有理数乘方的运算法则例2．计算：（1）（﹣3）4（2）﹣34（3）（4）（5）（﹣1）2011．变式1．计算．（1）53；（2）（﹣3）4；（3）；（4）；（5）1.52．变式2．计算：（1）﹣（﹣3）3；（2）（﹣）2；（3）（﹣）3．变式3．计算（﹣1）2014+（﹣1）2015的结果是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2变式4．简便计算：（﹣9）×（﹣）6×（1）3．变式5．计算：﹣32×（﹣）6×（1﹣）3．知识点三：有理数的混合运算顺序例3．计算：（1）（﹣2）2•（﹣3）2；（2）；（3）；（4）变式1．计算（1）（﹣3）4﹣（﹣3）3（2）|﹣22﹣3|﹣（﹣9）÷（﹣3）（3）（4）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+（﹣1）3×（﹣2）4．变式2．计算：（1）64÷（﹣2）4；（2）﹣22×（﹣3）2；（3）（﹣2）3×（﹣3）2；（4）．变式3．计算：（1）﹣32﹣（﹣2）2；（2）（﹣10）2+[（﹣4）2﹣（3+32）×2]；（3）（﹣1）4+（﹣23）÷×（﹣）3；（4）（﹣2）2010+（﹣2）2011；（5）（﹣0.25）2010×42011．变式4．计算题（1）﹣（﹣2）4（2）（3）（﹣1）2003（4）﹣13﹣3×（﹣1）3（5）﹣23+（﹣3）2（6）﹣32÷（﹣3）2（7）（﹣2）2﹣2+（﹣2）3+23（8）（9）（10）﹣（﹣2）2﹣3÷（﹣1）3+0×（﹣2）3变式5．计算（1）；（2）；（3）．变式6．计算（1）（﹣3）+（﹣4）﹣（+11）﹣（﹣9）；（2）﹣0.5﹣（﹣3）+2.75﹣7；（3）（+﹣）×（﹣36）；（4）﹣14﹣（﹣5）×+（﹣2）3÷|﹣32+1|知识点四：科学记数法例4．2010年上海世博会即将举行，据有关方面统计，到时总共参与人数将达到4640万人次，其中4640万用科学记数法可表示为（）A．0.464×109B．4.64×108C．4.64×107D．46.4×106变式1．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册，将2100000用科学记数法表示为（）A．0.21×108B．2.1×106C．2.1×107D．21×106变式2．据报道，北京市今年开工及建设启动的8条轨道交通线路，总投资约82 000 000 000元．将82 000 000 000 用科学记数法表示为（）A．0.82×1011 B．8.2×1010C．8.2×109D．82×109变式3．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．1.1×104C．1.1×105D．0.11×106变式4．国家体育场“鸟巢”建筑面积258000平方米，将258000用科学记数法表示应为（）A．258×103B．2.58×104C．2.58×105D．0.258×106变式5．地球距太阳的距离是150000000km，用科学记数法表示为1.5×10n km，则n的值为（）A．6 B．7 C．8 D．9变式6．2014年巴西世界杯在南美洲国家巴西境内12座城市中的12座球场内举行，本届世界杯的冠军将获得3500万美元的奖励，将3500万用科学记数法表示为（）A．3.5×106B．3.5×l07C．35×l06D．0.35×l08知识点五：近似数例5．用四舍五入法按要求取近似值：（1）99.5（精确到个位）（2）28343（精确到千位）（3）50673（精确到百位）变式1．下列各个数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？（1）小琳称得体重为38千克；（2）现在的气温是﹣2℃；（3）1m等于100cm；（4）东风汽车厂2000年生产汽车14 500辆．变式2．下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？（1）通过第三次全国人口普查得知，山西省人口总数为3297万人；（2）生物圈中，已知绿色植物约有30万种；（3）某校有1148人；（4）由于我国人口众多，人均森林面积只有0.128公顷；（5）这个路口每分钟有3人经过；（6）地球表面积约5.1亿平方千米．变式3．用四舍五入法，按要求对下列各数取近似数：（1）地球上七大洲的总面积约为149480000平方千米（精确到10000000平方千米）（2）某人一天需要饮水1890毫升（精确到1000毫升）（3）人的眼睛可看见的红光的波长为0.000077厘米（精确到0.00001厘米）拓展点一：利用乘方解决实际问题例6．去年某地高新技术产品进出口总额为5287.8万美元，比上年增长30%，如果今年仍按此比例增长，那么今年该地高新技术产品进出口总额可达到多少万美元（结果精确到万位）？变式1．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.57s，已知无线电波每秒传播3×105km，求地球和月球之间的距离．（结果保留三个有效数字）拓展点二：确定近似数的精确度例7．指出下列各近似值精确到哪一位．（1）56.3（2）5.630（3）5.63×106（4）5.630万（5）0.017（6）3800．变式1．用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值：（1）2.768（精确到百分位）；（2）9.403（精确到个位）；（3）8.965（精确到0.1）；（4）17 289（精确到千位）．变式2．下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？（1）127.32；（2）0.040 7；（3）20.053；（4）230.0千；（5）4.002．变式3．下列近似数各精确到哪一位？（1）3.14（2）0.02010（3）9.86万（4）9.258×104（5）3.9×103（6）3.90×105．变式4．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A．0.1（精确到0.1）B．0.05（精确到千分位）C．0.05（精确到百分位）D．0.0502（精确到0.0001）拓展点三：科学记数法与近似数的综合应用例8．某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m外的安全地带奔跑的速度为7m/s，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m）变式1．人体中血液的重量约占人体重量的，小丽的体重是40千克，求她体内的血液约重多少千克？（结果保留一位小数）变式2．2013年12月14日21时11分，嫦娥三号成功登陆月球．北京飞控中心通过无线电波控制，将“嫦娥三号”着陆器与巡视器成功分离的画面传回到大屏幕上．已知无线电波传播速度为3×105km/s，无线电波到月球并返回地面用2.57s，求此时月球与地球之间的距离（精确到1000km）．变式3．用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值，并分别写出相应的有效数字．（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．变式4．1984年4月8日，我国第一颗地球同步轨道卫星发射成功．所谓地球同步轨道卫星，是指：卫星距离地球的高度约为36 000千米，卫星的运行方向与地球自转方向相同、运行轨道为位于地球赤道平面上圆形轨道、运行周期与地球自转一周的时间相等，即24小时，卫星在轨道上的绕行速度约为每秒千米．（1）现在知道地球的半径约为6 400千米，你能将上面的空填上吗？（2）写出你的计算过程．（结果保留一位小数）拓展点四：用分段法进行有理数的混合运算例9．（﹣0.125）2006×82005=．拓展点五：利用乘方进行大小比较例10．比较大小：3223．变式1．（1）问题：你能比较20042005和20052004的大小吗？为了解决这个问题，首先写出它的一般形式，即比较n n+1和（n+1）n的大小（n是正整数），然后我们从分析n=1，n=2，n=3，…这些简单情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．通过计算，比较下列各组数的大小（在横线上填写“＞”、“＜”、“=”号）：1221，2332，3443，4554，5665，…（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出n n+1和（n+1）n的大小关系是什么？（3）根据上面的归纳猜想，尝试比较20042005和20052004的大小．变式2．化简并在数轴上分别画出表示下列各数的点，并把各数用“＜”号连接起来．（﹣1）2016，+（﹣3.5），﹣（﹣1.5），﹣|﹣2.5|，﹣22拓展点六：近似数真值的取值范围例11．近似数1.50所表示的准确数a的范围是（）A．1.55≤a＜1.65 B．1.55≤a≤1.64C．1.495≤a＜1.505 D．1.495≤a≤1.505变式1．近似数15.60，它表示大于或等于，而小于的数．变式2．近似数1.70所表示的准确数A的范围是．变式3．按要求取近似值：37.49≈（精确到0.1），这个近似数表示大于或等于，而小于的数．拓展点七：偶次方的非负性例12．若|a﹣1|+（b+3）2=0，则b a=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1变式1．若（2a﹣1）2+2|b﹣3|=0，则a b=（）A．B．C．6 D．变式2．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+（y+3）2=0，则（）2016的值是（）A．4 B．3 C．2 D．1变式3．若（a+1）2+|b﹣2|=0，求a2000•b3的值．变式4．已知|2x+1|+（y﹣2）2=0，求（xy）2011的值．拓展点八：定义新运算例13．用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b=a b和a★b=b a，那么（﹣3☆2）★1=．变式1．现规定一种新的运算“⊙”：a⊙b=a2+b2﹣1，如2⊙3=22+32﹣1=12，则（﹣3）⊙4=．变式2．现定义一种新运算，对任意有理数x，y都有x⊕y=x2﹣y，例如3⊕2=32﹣2=7，则44⊕（﹣81）=．变式3．从三张卡片中选两张，有三种不同选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，记作C32==3，一般地，从m个元素中选取n个元素组合，记作：C m n=．例：从7个元素中选5个元素，共有C75==21种不同的选法．问题：从某学习小组10人中选取3人参加活动，不同的选法共有种．变式4．对非负有理数数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．例如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜18.75＞=＜19.499＞=19，…．解决下列问题：（1）＜π＞=（π为圆周率）；（2）如果＜2x﹣1＞=3，则有理数x有最（填大或小）值，这个值为．变式5．阅读：如果一个非负数x四舍五入到个位后得到非负整数为n，记作“x”=n，例如“0.4”=0，“0.6”=1，“1.7”=2等，显然如果“x”=n，则可得n﹣0.5≤x＜n+0.5，反过来如果n﹣0.5≤x＜n+0.5，则可得“x”=n．根据以上知识，请解决以下问题：（1）当x为非负数，m为非负整数时，请说明“x+m”=m+“x”；（2）求满足3“x”=4x时，所有非负实数x的值．拓展点九：规律探究问题例14．观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（）A．2 B．4 C．6 D．8变式1．观察下列式子：12﹣02=1+0；22﹣12=2+1=3；32﹣22=3+2=5；…，写出第10项的算式．变式2．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017首先设S=1+2+22+23+24+ (22017)则2S=2+22+23+24+25+ (22018)②﹣①得S=22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017=22018﹣1以上解法，在数列求和中，我们称之为：“错位相减法”1+3+32+33+34+…+32017=．变式3．观察下列各式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…猜想：13+23+…+n3（n是正整数）=．易错点一：混淆(-a)2与-a2的值例15．﹣43的计算结果是（）A．64 B．12 C．﹣12 D．﹣64变式1．下列各组的运算结果相等的是（）A．34和43B．（﹣3）5和﹣35C．﹣32和（﹣3）2D．和变式2．下列各组中两个式子的值相等的是（）A．32与﹣32B．（﹣2）2与﹣22C．|﹣2|与﹣|+2| D．（﹣2）3与﹣23变式3．下列各数与﹣6相等的（）A．|﹣6| B．﹣|﹣6| C．﹣32D．﹣（﹣6）变式4．下列算式中，与（﹣3）2相等的是（）A．﹣32B．（﹣3）×2 C．（﹣3）×（﹣3）D．（﹣3）+（﹣3）易错点二：混淆乘方和乘法例16．=；（）3=；（﹣）3=；﹣=．易错点三：对科学记数法理解不够例17．将下列用科学记数法表示的数还原（1）2.23×103；（2）3.0×108；（3）6.03×105．变式1．用小数表示下列各数：（1）8.5×10﹣3（2）2.25×10﹣8（3）9.03×10﹣5．变式2．用科学记数法表示的数3.61×108．它的原数是（）A．36100000000 B．3610000000 C．361000000 D．36100000变式3．今年1月中旬以来的低温、雨雪、冰冻天气，造成全国多个地区发生不同程度的灾害，直接经济损失已达到了5.379×1010元，将此数据用亿元表示为（）A．0.5379亿元B．5.379亿元C．53.79亿元D．537.9亿元变式4．用小数表示3.56×10﹣7为（）A．0.000000356 B．0.0000000356C．0.00000000356 D．0.000000000356易错点四：“0”不能随便去掉例18．把35.89543精确到百分位所得到的近似数为。
有理数的乘除与乘方-讲义(学生版)
有理数的乘除与乘方一、课堂目标1．理解有理数的乘除运算法则，会用法则及运算律进行计算．2．理解有理数乘方的概念，会结合有理数的四则运算法则进行混合运算．二、知识引入小学我们学过正数和0之间的四则运算，比如我们会计算 、、、、、 等等这样的算式；进入初中，正负数的引入导致了数系的扩充、因此初中的计算要分为两部分——符号与绝对值——进行讨论，所有的运算都要先定符号、再定数值；当我们遇到正数与负数、负数与0的四则运算，比如 、 等等，该如何定号和定值呢？通过小学的学习我们知道可以理解为（即个相加），所以；也知道可以理解为的相反数；那么完成下面填空：=__________=__________；__________=__________；__________=__________．填完空你发现有理数乘法计算过程中有什么规律吗？三、知识讲解1. 有理数的乘法有理数乘法法则有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数与 相乘，都得 ．【运算步骤】先确定积的符号，再求积的绝对值、即把两个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为 ．【推广】多个数相乘时，先确定积的符号：负因数有奇数个则积为负数、负因数有偶数个则积为正数，再求积的绝对值、即把每个因数的绝对值相乘；因数中有 则积为．（简称：奇负偶正）经典例题1（1）（2）（3）（4）计算： ．． ．．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习11.．2.计算：．（1）（2）3.填空：．．4.（）有理数乘法运算律有理数乘法运算律（）乘法交换律：．（）乘法结合律：．（）乘法分配律：．【易错点津】（）乘法交换律和乘法结合律是指因数的位置交换、因数的结合，它们都包含自身符号．（）运用乘法分配律时，不要漏乘，并要注意符号，如．经典例题2（1）（2）1.计算：．．思路梳理知识点：1、2、3、2.运用简便方法计算：．思路梳理知识点：1、2、3、题目练习21.计算：.2.计算： ．（1）3.计算：．4.．2. 有理数的除法倒数倒数：乘积是的两个数互为倒数．负倒数：乘积是的两个数互为负倒数．【注意】没有倒数和负倒数．【知识拓展】（）根据乘法法则中“同号得正”可知互为倒数的两个数符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．（）倒数是本身的数只有和，没有倒数．（）的倒数可以用表示、负倒数可以用表示．经典例题3的倒数是 ，负倒数是 ．思路梳理知识点：1、 2、 3、题目练习3（1）（2）（3）（4）1.求倒数：的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．的倒数是 ．2.若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数 ；若两数之积为，则这两数互为 ；若两数之商为，则这两数互为 ．有理数的除法与小学学过的除法一样，有理数的除法和乘法也是互逆的；。
有理数的乘方(讲义)(含答案)
有理数的乘方（讲义）➢ 课前预习1. 填空：边长为a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是a ×a ；边长为a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______；类似地，我们可以把2×2×2记作______，2×2×2×2记作______； 2×2×…×2×2（n 个2）记作_______．2. 根据第1题的内容，填空：22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；27=______；28=______；29=______；210=______．(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______；312⎛⎫-⎪⎝⎭=___________________=______． 3. 四则混合运算顺序：先算________，再算________；同级运算，从左向右进行；如果有括号，先算括号里面的．➢ 知识点睛1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做_____，______叫底数，____叫指数，读作_______________）．2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____；28=____；29=____；210=____．3. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0． 4. 科学记数法的定义：__________________________________________________________________________________．5. 有理数混合运算顺序：先________，再________，最后________；同级运算，从左到右进行；如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．➢ 精讲精练1. 在74中，底数是_____，指数是_______；在513⎛⎫- ⎪⎝⎭中，底数是_____，指数是________． 2. 对比(-4)3和-43，下列说法正确的是（ ）A ．它们的底数相同，指数也相同B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同 3. 下列计算正确的是（ ）A ．4381-=B ．2(6)36--=C ．23324-=-D ．3225125⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4. 下列各组数中，值相等的是（ ）A ．23与32B ．22-与2(2)-C ．2)3(-与2(3)--D ．232⨯与2)32(⨯ 5. 在(-1)3，(-1)2，-22，(-3)2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（ ） A ．6 B ．8C ．-5D ．5 6. 一个数的平方是16，则这个数是（ ）A ．4B ．-4C ．±4D ．87. 若有理数(3)n -的值是正数，则n 必定是（ ）A ．正数B ．奇数C ．负数D ．偶数8. 下列各式一定成立的是（ ）A ．22()a a =-B ．33()a a =-C ．22a a -=-D ．33a a =-9. 计算：（1）2292343⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭；（2）322(2)0.54(2)-⨯-÷-；（3）3332(32)⨯--⨯； （4）235(4)48⎡⎤⎛⎫-⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（5）3116(2)(4)8⎛⎫÷---⨯- ⎪⎝⎭；（6）3222011(2)492⎛⎫⨯---÷ ⎪⎝⎭；（7）22141220.532-÷-÷⨯-；（8）42110.5233⎡⎤-+(1-)⨯⨯-(-)⎣⎦；（9）243213(0.25)232⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（10）234100(1)(1)(1)(1)(1)-+-+-+-++-…．10. 2019年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超34 200 000的惊人成绩，创下了全球单平台网络直播记录，将数34 200 000用科学记数法表示为__________．11. 2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42 000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42 000万千克可用科学记数法表示为___________千克．12. 下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？（1）我国是世界四大文明古国之一，拥有五千多年的悠久文化与文明史．她位于亚洲东部，太平洋西岸，陆地面积约9.6×106平方千米，9.6×106的原数为__________________． （2）人体中约有2.5×1013个红细胞，则2.5×1013的原数是__________________________．13.乐乐的爸爸投资股票，有一次乐乐发现爸爸持有股票的情况如表格所示：14.某自行车厂计划一周生产自行车1 400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况：（单位：辆；超产记为正，减产记为负）：（1可知，该厂本周实际生产自行车多少辆？（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；不足部分每辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【参考答案】 ➢ 课前预习1. 2a ；3a ；a a a ⨯⨯；32；42；2n2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 024(3)(3)(3)-⨯-⨯-；-27；111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；18- 3. 乘除；加减➢ 知识点睛1. 幂；a n ；a ；n ；a 的n 次方（或“a 的n 次幂”）2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 0244. 一般地，一个大于10的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中1≤a <10，n 为正整数，这种记数方法叫做科学记数法 5. 乘方；乘除；加减➢ 精讲精练1. 7；4；13-；52. D3. C4. C5. D6. C7. D8. A9. （1）169-； （2）-8； （3）240；（4）-22； （5）122-； （6）314-； （7）718-；（8）136-；（9）132-； （10）0． 10. 3.42×107 11. 4.2×10812. （1）9 600 000；（2）25 000 000 000 000 13. 赚了，赚了2500元．14. （1）213辆；（2）1 408辆；（3）25辆；（4）84 600元．。
专题04 有理数的乘方及混合运算(知识点串讲)(解析版)
专题04 有理数的乘方及混合运算知识网络重难突破知识点一有理数的乘方1.乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a中，a叫做底数，n叫做指数.2. 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0【典例1】（2020秋•二七区校级月考）下列各组数中，数值相等的是（）A．﹣22和（﹣2）2B．﹣和（﹣）2C．（﹣2）2和22D．﹣（﹣）2和﹣【点拨】根据有理数的乘方的运算方法，求出每组中的两个算式的值各是多少，判断出各组数中，数值相等的是哪个即可．【解析】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣22≠（﹣2）2，∴选项A不符合题意；∵﹣＝﹣，（﹣）2＝，﹣≠（﹣）2，∴选项B不符合题意；∵（﹣2）2＝4，22＝4，（﹣2）2＝22，∴选项C符合题意；∵﹣（﹣）2＝﹣，﹣＝﹣，﹣（﹣）2≠﹣，∴选项D不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方的运算方法，要熟练掌握．【变式训练】1．（2020•金华模拟）﹣32的结果等于（）A．9 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣6【点拨】根据有理数的乘方法则进行计算便可．【解析】解：原式＝﹣3×3＝﹣9，故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，注意﹣32＝﹣3×3＝﹣9，（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9两者的区别．2．（2020春•南岗区校级月考）下列计算正确的是（）A．（﹣）2＝B．23＝2×3＝6C．﹣32＝﹣3×（﹣3）＝9 D．﹣23＝﹣8【点拨】根据乘方的意义对各选项进行判断．【解析】解：A、（﹣）2＝，所以A选项错误；B、23＝2×2×2＝8，所以B选项错误；C、﹣32＝﹣3×3×3＝﹣27，所以C选项错误；D、﹣23＝﹣2×2×2＝﹣8，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．3.（2019秋•邗江区校级期末）平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是2或﹣10．【点拨】分别利用平方根的定义和立方根的定义进行求解即可．【解析】解：∵36＝（±6）2，∴平方等于36的数是±6；∵（﹣4）3＝﹣64，∴立方等于﹣64的数是﹣4，∴平方等于36的数与立方等于﹣64的数的和是6+（﹣4）＝2或﹣6+（﹣4）＝﹣10．故答案为：2或﹣10【点睛】本题考查了平方根和立方根．解题的关键是掌握立方根的定义、算术平方根的定义．4.（2020春•定边县期末）若|y﹣3|+（3x﹣2y）2＝0，则（﹣y）x＝9．【点拨】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解析】解：∵|y﹣3|+（3x﹣2y）2＝0，∴3x﹣2y＝0，y﹣3＝0，∴x＝2，y＝3，∴（﹣y）x＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．知识点二科学记数法1.把一个数表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式叫做科学记数法.．2.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【典例2】（2020•深圳模拟）据报道，我国2019年粮食总产量约6.64亿吨，6.64亿用科学记数法表示应为（）A．6.64×107B．6.64×108C．0.664×109D．66.4×107【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解析】解：6.64亿＝66400 0000＝6.64×108，故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【变式训练】（2020•太原二模）2020年5月20日是第三个“世界蜜蜂日”．蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，在保护生物多样性、维持生态平衡方面也发挥着重要作用．据统计，一只蜜蜂飞行一次，可为约100朵花授粉．若一只蜜蜂一天出巢10次，2.5万只蜜蜂一天可完成授粉的花朵总数用科学记数法表示约为（）A．2.5×103朵B．2.5×104朵C．2.5×107朵D．0.25×108朵【点拨】首先求出2.5万只蜜蜂一天可完成授粉的花朵总数是多少；然后根据：用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，把2.5万只蜜蜂一天可完成授粉的花朵总数用科学记数法表示即可．【解析】解：2.5万＝25000，25000×100×10＝25000000＝2.5×107（朵）．故选：C．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n 的值是解题的关键．知识点三近似数1.准确数与近似数：与实际完全符合的数称为准确数；与实际接近的数称为近似数.2.一个近似数的精确度可用四舍五入法表述.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 【典例3】（2019秋•上蔡县期末）用四舍五入法按要求对下列各数取近似值，其中描述错误的是（）A．0.67596（精确到0.01）≈0.68B．近似数169.8精确到个位，结果可表示为170C．近似数0.05049精确到0.1，结果可表示为0.1D．近似数9.60×106是精确到百分位【点拨】要求精确到哪一位，要看这位的后一位，然后四舍五入取值即可．【解析】解：A.0.67596（精确到0.01）≈0.68，正确，故本选项不合题意；B．近似数169.8精确到个位，结果可表示为170，正确，故本选项不合题意；C．近似数0.05049精确到0.1，结果可表示为0.1，正确，故本选项不符合题意；D．近似数9.60×106是精确到万位，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．【变式训练】1.（2019秋•广安期末）下列说法正确的是（）A．将310万用科学记数法表示为3.1×10⁷B．用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10C．近似数2.3与2.30精确度相同D．若用科学记数法表示的数为2.01×10⁵，则其原数为20100【点拨】根据近似数的精确度对B、C进行判断；根据科学记数法对A、D进行判断．【解析】解：A、310万＝3 100 000，数3 100 000用科学记数法表示为3.1×106，所以A选项错误；B、用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10，所以B选项正确；C、近似数2.3与2.30精确度不相同，一个是十分位，一个是百分位，所以C选项错误；D、若用科学记数法表示的数为2.01×10⁵，则其原数为201000，所以D选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法和近似数，解题的关键是掌握科学记数法，以及近似数：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．2.（2019秋•曲靖期末）已知a＝20.18是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是（）A．20.175≤a≤20.185 B．20.175≤a＜20.185C．20.175＜a≤20.185 D．20.175＜a＜20.185【点拨】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【解析】解：a的可能取值范围是20.175≤a＜20.185．故选：B．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．知识点四有理数的混合运算有理数混合运算法则：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2. 如果有括号，先进行括号里的运算3. 同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；4.如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【典例4】（2019秋•成华区期末）计算：（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]．【点拨】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．（2）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【解析】解：（1）16÷（﹣2）3﹣（﹣）×（﹣4）+（﹣1）2020＝16÷（﹣8）﹣+1＝﹣2﹣+1＝﹣；（2）﹣14﹣（1﹣0.5）××[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式训练】1．（2019秋•鄄城县期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁，四位同学分别做了一道有理数运算题：甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24÷（4+3）＝6+8＝14丙：（36﹣12）÷＝16丁：（﹣3）2÷×3＝9×3×3＝81你认为做对的同学是（）A．甲乙B．乙丙C．丙丁D．乙丁【点拨】根据甲乙丙丁的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解析】解：9﹣32÷8＝9﹣9×＝9﹣＝，故甲的作法是错误的；24÷（4+3）＝24÷7＝，故乙的作法是错误的；（36﹣12）÷＝24﹣8＝16，故丙的作法正确；（﹣3）2÷×3＝9×3×3＝81，故丁的作法正确；故选：C．【点睛】本题考查有理数混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．2．（（2019秋•玉田县期末）现定义一种新的运算：a*b＝（a+b）2÷（b﹣a），例如：1*2＝（1+2）2÷（2﹣1）＝32÷1＝9，请你按以上方法计算（﹣2）*1＝（）A．﹣1 B．﹣2 C．D．【点拨】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解析】解：根据题中的新定义得：原式＝（﹣2+1）2÷[1﹣（﹣2）]＝1÷3＝，故选：C．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2020秋•朝阳区校级月考）计算：﹣22+（﹣2）2﹣（﹣1）3＝1．【点拨】根据有理数的乘方和有理数的加减法可以解答本题．【解析】解：﹣22+（﹣2）2﹣（﹣1）3＝﹣4+4﹣（﹣1）＝﹣4+4+1＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．4.（2019秋•安居区期末）计算（1）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）﹣|﹣2|；（2）﹣2+（﹣）×（﹣）+÷（﹣）（3）﹣23×（﹣8）﹣（﹣）3×（﹣16）+×（﹣3）2(4)﹣22×（﹣3）÷（）2﹣20×（﹣+）．【点拨】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题；（3）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．(4)根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解析】解：（1）6.8﹣（﹣4.2）+（﹣9）﹣|﹣2|＝6.8+4.2+（﹣9）﹣2＝0；（2）﹣2+（﹣）×（﹣）+÷（﹣）＝﹣2++＝﹣2+＝﹣8；（3）﹣23×（﹣8）﹣（﹣）3×（﹣16）+×（﹣3）2＝﹣8×（﹣8）﹣（﹣）×（﹣16）+×9＝64﹣2+4＝66．(4)﹣22×（﹣3）÷（）2﹣20×（﹣+）＝﹣4×（﹣3）÷﹣15+16﹣14＝12×﹣15+16﹣14＝27﹣15+16﹣14＝14．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．巩固训练1．（2019秋•山西期末）﹣36的底数是3．【点拨】根据有理数乘方的定义可得答案．【解析】解：﹣36的底数是3．故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数乘方的意义是解本题的关键．2．（2019秋•遂宁期末）下列各数中：（﹣11）3，﹣（﹣2）5，﹣（﹣5），（﹣4）2，﹣|﹣3|，负数有2个．【点拨】先将各数化简，再由负数的定义，即可得出答案．【解析】解：（﹣11）3＝﹣113，﹣（﹣2）5＝32，﹣（﹣5）＝5，（﹣4）2＝16，﹣|﹣3|＝﹣3，则负数有（﹣11）3，﹣|﹣3|共2个．故答案为：2．【点睛】本题考查了负数的定义，属于基础题，注意掌握负数的定义．3.（2020春•松江区期末）截至2020年6月5日，全世界感染新冠肺炎的人数约为6650000人，数字6650000用科学记数法表示，并保留2个有效数字，应记为 6.7×106．【点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解析】解：将6650000用科学记数法表示为：6.7×106．故答案为：6.7×106．【点睛】此题考查了科学记数法．解题的关键是掌握科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n的值．4．（2019秋•金乡县期中）已知|a|＝2，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则a b＝±8．【点拨】利用绝对值的意义，先确定a、b的值，再计算它们的幂【解析】解：∵|a|＝2，|b|＝3，∴a＝±2，b＝±3∵|a﹣b|＝b﹣a∴b≥a∴a＝±2，b＝3当a＝2时，23＝8，当a＝﹣2时，（﹣2）3＝﹣8故答案为：±8【点睛】本题考查了绝对值的意义、有理数的乘方．根据绝对值的意义确定a、b的值是解决本题的关键．绝对值的意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．5．（2019秋•鄂城区期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为，则6a+6b﹣3m2+2cd的值是．【点拨】先根据相反数的性质、倒数的定义和绝对值的概念得出a+b＝0，cd＝1，m＝±，将其代入原式＝6（a+b）﹣3m2+2cd计算可得．【解析】解：根据题意得a+b＝0，cd＝1，m＝±，则原式＝6（a+b）﹣3m2+2cd＝6×0﹣3×（±）2+2×1＝0﹣3×+2＝﹣+2＝，故答案为：．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则、相反数的性质、倒数的定义和绝对值的概念．6．（2020春•南岗区校级月考）下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．（﹣3）2与﹣32B．|﹣3|2与32C．（﹣3）2与32D．﹣|﹣3|2与﹣32【点拨】根据乘方的意义、绝对值和相反数的定义对各选项进行判断．【解析】解：∵（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，∴（﹣3）2与﹣32互为相反数，故选项A符合题意；∵|﹣3|2＝9，32＝9，∴|﹣3|2与32相等，故选项B不符合题意；∵（﹣3）2＝9，32＝9，∴（﹣3）2与32相等，故选项C不符合题意；∵﹣|﹣3|2＝﹣9，﹣32＝﹣9，∴﹣|﹣3|2与﹣32相等，故选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了有理数乘方：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．也考查了绝对值和相反数．7.（2019秋•樊城区期末）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7+2＝72．那么在计算6×8时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A．1，3 B．3，1 C．1，4 D．4，1【点拨】先分析8×9，左手伸出：8﹣5＝3，3根手指；右手伸出：9﹣5＝4，4根手指；同理6×8，左手伸出：6﹣5＝1，1根手指；右手伸出：8﹣5＝3，3根手指；所以左手还有4根手指，右手还有2根手指，列式为：6×8＝10×4+4×2＝48．【解析】解：左手：6﹣5＝1，右手：8﹣5＝3；列式为6×8＝（1+3）×10+4×2＝4×10+4×2＝40+4×2＝48．故左、右手伸出的手指数应该分别为1，3．故选：A．【点睛】考查了有理数的混合运算，此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．8．（2020秋•雨花区月考）若|m﹣2|与（n+3）2互为相反数，试求（m+n）2017的值．【点拨】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出m、n，计算即可．【解析】解：由题意得，|m﹣2|+（n+3）2＝0，则m﹣2＝0，n+3＝0，解得，m＝2，n＝﹣3，则（m+n）2017＝﹣1．【点睛】本题考查的是非负数的性质，当几个非负数或式相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．9．（2019秋•莱西市期中）把下列各数填在表示集合的相应的大括号中：﹣（﹣4），0，，（﹣1）2，﹣0.25，﹣|﹣3|，1.5，﹣12014整数集合{﹣（﹣4），0，（﹣1）2，﹣|﹣3|，﹣12014}；分数集合{，﹣0.25，1.5}；负数集合{，﹣0.25，﹣|﹣3|，﹣12014}．【点拨】根据正数、负数的定义，整数和负分数的定义分类填入即可．【解析】解：﹣（﹣4），0，，（﹣1）2，﹣0.25，﹣|﹣3|，1.5，﹣12014整数集合{﹣（﹣4），0，（﹣1）2，﹣|﹣3|，﹣12014}；分数集合{，﹣0.25，1.5}；负数集合{，﹣0.25，﹣|﹣3|，﹣12014}．故答案为：﹣（﹣4），0，（﹣1）2，﹣|﹣3|，﹣12014；，﹣0.25，1.5；，﹣0.25，﹣|﹣3|，﹣12014．【点睛】本题考查了有理数，要认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．10.（2019秋•侯马市期末）计算（1）﹣2+（1﹣0.2÷）×（﹣3）；（2）﹣14﹣（1+0.5）××[2﹣（﹣3）2]．(3) [﹣18﹣（）×（﹣18）]÷5﹣3×23【点拨】（1）根据有理数的乘除法和加减法可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘法和加减法可以解答本题．(3)原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【解析】解：（1）﹣2+（1﹣0.2÷）×（﹣3）＝﹣2+（1﹣）×（﹣3）＝﹣2+（1﹣）×（﹣3）＝﹣2+×（﹣3）＝﹣2+（﹣2）＝﹣4；（2）﹣14﹣（1+0.5）××[2﹣（﹣3）2]＝﹣1﹣×（2﹣9）＝﹣1﹣×（﹣7）＝﹣1+＝．(3) [﹣18﹣（）×（﹣18）]÷5﹣3×23＝[﹣1﹣（12﹣15+22）]÷5﹣3×8＝（﹣1﹣19）÷5﹣3×8＝﹣20÷5﹣3×8＝﹣4﹣24＝﹣28．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．11.（2020•隆化县二模）有个写运算符号的游戏：在“3□（2□3）□□2“中的每个□内．填入+，﹣，x，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果（1）请计算琪琪填入符号后得到的算式：3×（2÷3）﹣÷22；（2）嘉嘉填入符号后得到的算式是3÷（2×3）×□22，一不小心擦掉了□里的运算符号，但她知道结果是﹣，请推算□内的符号．【点拨】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值；（2）根据题意确定出所求即可．【解析】解：（1）原式＝3×（2÷3）﹣×＝3×﹣＝2﹣＝；（2）原式＝3÷（2×3）×﹣22＝3÷6×﹣4＝﹣4＝﹣，所以□里应是“﹣”号．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12.（2019秋•岳麓区校级期中）我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝1og28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b＝n）．根据以上信息，解决以下问题：（1）直接填写答案：log24＝2，log216＝4，log264＝6；（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．【点拨】（1）利用对数的定义求解；（2）利用（1）的计算结果得到log24+log216＝log264；（3）设a m＝M，a n＝N，利用对数的定义得到log a M＝m，log a N＝n，再根据积的乘方得到MN＝a m•a n ＝a m+n，利用对数的定义得到log a（MN）＝m+n，从而得到log a M+log a N＝log a（MN）．【解析】解：（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6；故答案为2，4，6；（2）结果为：log24+log216＝log264；（3）一般结论为log a M+log a N＝log a（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；证明：设a m＝M，a n＝N，∴log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝m+n，∵MN＝a m•a n＝a m+n，∴log a（MN）＝m+n，∴log a M+log a N＝log a（MN）．【点睛】本题考查了有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．。
2024秋七年级数学上册第1章有理数1.6有理数的乘方2有理数的混合运算说课稿(新版)沪科版
Байду номын сангаас答案：
（1）-8 + 16 = 8
（2）9 - 8 = 1
（3）25 * 9 = 225
（4）8 * 9 = 72
（5）4 * -27 = -108
3.计算下列各题，并将答案化简为最简分数形式：
（1）3^2 * 2^2 + 2^3 * (-3)^2
（2）(-5)^2 * 3^2 - 4^2 * (-2)^3
在能力方面，学生的数学运算能力有待提高。他们往往对于简单的运算问题能够解决，但是遇到复杂的运算问题就会感到困惑。此外，学生的数学应用能力也需要加强，他们需要更多的机会去实践和应用所学知识。
在素质方面，学生的学习习惯和态度对于课程学习有很大的影响。有的学生学习习惯良好，态度积极，对于学习有很高的热情和主动性；然而，也有部分学生学习习惯不好，缺乏学习的积极性和主动性，对于学习没有兴趣。
学情分析
本节课的授课对象是七年级的学生，他们已经掌握了有理数的基本运算规则，包括加、减、乘、除。学生在之前的学习过程中，已经初步建立了数学逻辑思维和抽象思维，对于解决简单的数学问题已经有了一定的基础。
然而，学生在知识方面还存在一些问题。首先，学生对于有理数的混合运算规则理解不深，容易混淆运算顺序和运算规则。其次，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将问题抽象为数学运算问题，对于如何运用所学知识解决实际问题还比较陌生。
（3）2^3 * (-3)^2 + 3^2 * 2^3
（4）(-2)^3 * (-3)^2 - 2^3 * (-3)^3
（5）3^2 * 2^2 - 4^2 * (-2)^3
答案：
（1）36 + 18 = 54
有理数乘方及混合运算(乘方)(人教版)含答案word精品文档7页
有理数乘方及混合运算（乘方）（人教版）一、单选题(共16道，每道6分)1.213000 000用科学记数法可表示为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：科学记数法2.某年中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150.5亿元，150.5亿元用科学记数法表示为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：科学记数法3.我国是缺水国家，目前可利用淡水资源总量仅约为，则所表示的原数是( )A.8990B.899000C.89900D.8990 000答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：科学记数法4.表示( )A.-3与4的积B.4个-3的积C.4个-3的和D.3个-4的积答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：乘方的意义5.表示( )A.5个-3的积的相反数B.5个3的积C.5个-3的和的相反数D.5与-3的积的相反数答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：乘方的意义6.计算：=______；=______．( )A.-25；49B.10；14C.-10；-14D.25；-49答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方7.计算：=______；=______．( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方8.下列各数中，互为相反数的一对是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方9.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方10.计算的结果为( )A.2B.0C.32D.24答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方11.计算的结果为( )A.27B.-25C.-29D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方12.计算的结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方13.计算的结果为( )A.2B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方14.计算的结果为( )A.-72B.18C.24D.72答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方15.下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记水位比前一日下降数）．则本周星期( )水位最低．A.二B.三C.五D.六答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：水位的变化16.某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示比前一天下降数）：则七天内游客人数最多的是( )日．A.1B.5C.6D.7答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方。
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4. 有理数混合运算顺序：先算________，再算________，最后 算________；同级运算，从左向右进行；如果有括号，先算 括号里面的．
A．正数 7. 计算：
B．奇数
（1） ( 2)3 0.5 42 ( 2)2 ；
C．负数
D．偶数
（2）
32
9 4
2 3
2
；
例： (2)4 与 24 的意义、读法与结 果均不相同．
2
（3） 3 23 (3 2)3 ；
（4）
(4)
2
3 4
5 8
；
（5）16
(2)3
1 8
(4)
；
2. 根据第 1 题的内容，填空：
22=______；23=______；24=______；25=______；26=______；
27=______；28=______；29=______；210=______．
(-2)2=(-2)×(-2)=4；(-3)3=_____________=______；
2. 4；8；16；32；64；128；256；512；1 024 3. 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a 10n 的形式，其中
精讲精练
1.
在
74
中，底数是_____，指数是_______；在
1 3
5
中，底数
是_____，指数是________． 2. 下列计算正确的是（ ）
A． 34 81
B． (6)2 36
C．
3 22
3 4
D．
2 5
3
2 125
3. 下列各组数中，值相等的是（ ）
A． 32 与 23
B． 22 与 ( 2)2
C． (3)2 与 (32 )
D． 2 32 与 (2 3)2
4. 在 (5) ， (5)2 ， 5 ， (5)3 中，负数有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
5. 一个数的平方是 81，这个数是（ ）
A．9
B．9
C．±9
6. 若有理数 (3)n 的值是正数，则 n 必定是（
D．3 个
D．81 ）
有理数乘方及混合运算（讲义）
课前预习
1. 填空： 边长为 a 的正方形面积可以表示为_____，它的含义是 a×a； 边长为 a 的正方体体积可以表示为____，它的含义是______； 类似地，我们可以把 2×2×2 记作______，2×2×2×2 记作 ______； 2×2×…×2×2（n 个 2）记作_______．
6
【参考答案】
课前预习
1. a2 a3 a a a ； 23 24 ； 2n 2. 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
(3) (3) (3) -27
1 2
1 2
1 2
1. 8
知识点睛
1. 幂， an ，a，n，a 的 n 次方（或“a 的 n 次幂”）
（6）20 9
1
1 2
3
(
2)2
42
；
（7）
3 2
2
2 3
3
(0.25)
1 26 ；（8） (1) (1)2 (1)3 (1)4 … (1)100 ．
3
8. 第六次全国人口普查时，我国人口约为 13.7 亿人，13.7 亿用 科学记数法表示为__________．
9. 2012 年 12 月 13 日，嫦娥二号成功飞抵距地球约 700 万千米 的高空，700 万千米用科学记数法表示为_________米．
10. 下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为 7.2×105 m2，则原数为 ________________m2． （2）人体中约有 2.5×1013 个红细胞，则原数是____________ _____________________．
11. 某气象员上周日测得本地气温为 25℃，为了掌握本周天气的 变化情况，测量了一周内的气温，下表是一周内气温变化情 况（用正数表示比前一日上升数，用负数表示比前一日下降数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温变 2 1 2 4 2.5 1 2.5 化/℃ （1）根据记录的数据可知，周四的气温是多少℃？ （2）根据记录的数据可知，周日的气温是多少℃？ （3）根据记录的数据求出本周的平均气温是多少℃？
5
13. 某自行车厂计划一周生产自行车 1 400 辆，平均每天生产 200 辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出 入．下表是某周的生产情况（单位：辆；超产记为正，减产 记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/辆 +5 2 4 +13 10 +15 9 （1）根据记录的数据可知，该厂星期四生产自行车多少辆？ （2）根据记录的数据可知，该厂本周实际生产自行车多少辆？ （3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ （4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得 60 元，若 超额完成任务，则超过部分每辆另奖 15 元；不足部分每辆扣 20 元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
4
12. 张先生在上周五（周六、周日不开盘）买进了某公司的股票
1 000 股，每股 28 元．下表是本周每天股票的涨跌情况（单
位：元；用正数表示比前一天上涨数，用负数表示比前一天
下跌数）：
星期
一二三四五
每股涨跌/元 +2.8 +3 2 +1.5 2.5
（1）本周星期三收盘时，每股是多少元？ （2）本周内最高价每股多少元？最低价每股多少元？ （3）已知张先生买进股票时付了 0.1%的手续费，卖出时需 付成交额 0.3%的各种费用，如果张先生在本周五收盘时把 全部股票卖出，他的收益是多少元？
1 2
3
=___________________=______．
1
知识点睛
1. 求几个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做 _______，字母表示为_____，______叫底数，____叫指数， 读作________________（或_______________）．
2. 22=____；23=____；24=____；25=____；26=____；27=____； 28=____；29=____；210=____．