高三文科导数专题复习
高三文科导数专题复习答案
1.已知函数)(,3,sin )(x f x x b ax x f 时当π=
+=取得极小值33-π.
（Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件：（1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；（2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.
试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”.
解：（I ）因为x b ax x f sin )(+=，所以x b a x f cos )('+= ---------------1分 02
1)3('=+=b a f π，33233)3(-=+?=πππb a f -------------------------------2分 解得2,1-==b a ， -------------------------------------------------------------------------3分 此时x x f cos 21)('-=， 当??? ??∈3,
0πx 时0)('
π
=x 时)(x f 取极小值，所以2,1-==b a 符合题目条件； ----------------6分 （II ）由1cos 21)('=-=x x f 得0cos =x ， 当2π
-=x 时，0cos =x ，此时2221+-=+=π
x y ，22
sin 22+-=-=πx x y ， 21y y =，所以??
? ??+--22,2ππ是直线l 与曲线S 的一个切点； -----------8分 当23π=x 时，0cos =x ，此时22321+=+=πx y ，22
3sin 22+=-=πx x y ， 21y y =，所以??
? ??+223,23ππ是直线l 与曲线S 的一个切点； -----------10分 所以直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点；
对任意x ∈R ，0sin 22)sin 2()2()()(≥+=--+=-x x x x x F x g ，
所以)()(x F x g ≥ ---------------------------------------------------------------------13分 因此直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. ----------14分
2. 设函数3221()231,0 1.3
f x x ax a x a =-+-+<< （1）求函数)(x f 的极大值；
（2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实
数a 的取值范围．
解：（1）∵2234)(a ax x x f -+-='，且01a <<，…………………………………1分
当0)(>'x f 时，得a x a 3<<；当0)(<'x f 时，得a x a x 3><或；
∴)(x f 的单调递增区间为(,3)a a ；
)(x f 的单调递减区间为),(a -∞和),3(+∞a ．…………………………………3分 故当3x a =时，)(x f 有极大值，其极大值为()31f a =． …………………4分
（2）∵()()2
222432f x x ax a x a a '=-+-=--+， 当103
a <<时，12a a ->， ∴()f x '在区间[]1,1a a -+内是单调递减．…………………………………………6分 ∴[]()[]()2max min 861,21f x f a a a f x f a a ''''==-+-==-（）1-（）1+．
∵()a f x a '-≤≤，∴2861,21.a a a a a ?-+-≤?-≥-?
此时，a ∈?．…………………………………………………………………………9分 当113
a ≤<时，[]()2max 2f x f a a ''==（）． ∵()a f x a '-≤≤，∴22,21,861.a a a a a a a ?≤?-≥-??-+-≥-?
即01,1,3a a a ??≤≤??≥?≤≤ ……11分
此时，17316
a ≤≤．……………………………………………………………13分 综上可知，实数a
的取值范围为13????．…………………………………14分 3. 解：（1）设]1,0(),3,(),3,(22∈-t t t A t t B ，点M 是△ABC 边AC 的中点，则
),3(2)3(2212222t m t t m t S S ABM -=-??==?…………3分 ).10)(3(2)(2≤<-==∴t t m t t f S …………5分（不写定义域的扣1分）
高考文科数学专题复习导数训练题(文)
考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251= f ， 所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ： x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析： 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 0300 23x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 002 0+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得： 2 30= x 或00=x （舍），此时， 830-=y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 41 -=，切点坐标是??? ??-83,23。 考点四：函数的单调性。 例5.已知 ()132 3+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 解析：函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'
2015全国高考卷文科-导数专题汇编(带答案)
3 ， - 3x 导 数 专 题 题型 1 根据导数的几何意义研究曲线的切线 1.（2012 全国文 13）曲线 y = x (3ln x + 1) 在点 (1,1) 处的切线方程为________. 2. (2015 全国 I 文 14) 已知函数 f (x ) = ax + x +1 的图像在点 (1, f (1))处的切线过点 (2, 7) ，则 a = . 3. (2015 全国 II 文 16) 已知曲线 y = x + ln x 在点 (11 ) 处的切线与曲线 y = ax 2 + ( a + 2 ) x + 1 相切，则 a = . 4.(2009，全国卷 1) 已知函数 f ( x ) = x 4 - 3x 2 + 6 .. （Ⅰ）讨论 f ( x ) 的单调性； （Ⅱ）设点 P 在曲线 y = f ( x ) 上，若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点，求 l 的方程。 【解】（1） f '(x) = 4 x 3 - 6 x = 4 x ( x + 6 6 )( x - ) 2 2 当 x ∈ (-∞, - 6 6 ) 和 x ∈ (0, ) 时， f '(x) < 0 ； 2 2 当 x ∈ (- 6 2 ,0) 和 x ∈ ( 6 2 , +∞) 时， f '(x) > 0 因此， f ( x ) 在区间 (-∞, - 6 6 ) 和 (0, ) 是减函数， 2 2 f ( x ) 在区间 (- 6 2 ,0) 和 ( 6 2 , +∞) 是增函数。 （Ⅱ）设点 P 的坐标为 ( x , f ( x )) ，由 l 过原点知， l 的方程为 y = f '(x ) x 因此 f ( x ) = x f '(x ) ， 即 x 4 2 + 6 - x (4 x 3 - 6 x ) = 0 0 0 整理得 ( x 2 + 1)(x 2 - 2) = 0 解得 x =- 2 或 x = 2 因此切线 l 的方程为 y = -2 2 x 或 y = 2 2 x 。 题型 2 判断函数的单调性、极值与最值 5.（2013 全国 II 文 11）.已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c ，下列结论中错误的是（ ） . A. ?x ∈ R ， f ( x ) = 0 0 0 B. 函数 y = f ( x ) 的图象是中心对称图形 C. 若 x 是 f ( x ) 的极小值点，则 f ( x ) 在区间 (-∞, x ) 单调递减
2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
a - a (- ),( , +∞) 单调递增， 在 (- （ 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ，导函数为 f '( x) ， （1）求函数 f ( x ) 的单调区间； （2）若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ） f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ，（下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ，到了分类讨论的时机，分 类标准是零） 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减； 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表： x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时， f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减； a a （II ）由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由（I ）知， f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个， 1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理， 由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 ， 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数，求 a 的取值范围
高考文科数学专题复习导数训练题
高考文科数学专题复习导数训练题（文） 一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 在0x 处有增量x ?，称为函数)(x f y =在则称函数)(x f y =在)0或0|'x x y =，即 f . )(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(2121x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-= ?? ? ??v v u v vu v u *复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??= 或x u x u y y '''?= 4.几种常见的函数导数： I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin ' = 1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= II. x x 1)(ln '= e x x a a log 1 )(log '= x x e e =')(a a a x x ln )('= 二、经典例题剖析 考点一：求导公式
高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ???? x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3＋1＋1 x 2， 所以y ′＝(x 3 )′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ? ???ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程
高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
高中数学文科导数练习题
数学导数练习（文） 一、1. 一个物体的运动方程为S=1+t+t^2其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ）A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3y x x =+的递增区间是（ ）A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ）A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数313y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在 ),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内 有极小值点（ ） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、11．函数3 2 y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 . 13.曲线x x y 43 -=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________. 14. 曲线3 x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 __________。 15. 已知曲线3 1433 y x = + ，在点(2,4)P 的切线方程是______________ a b x y ) (x f y '=O
高考文科导数考点汇总()
高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－ f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0 x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说 函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数: ①0;C '= ② ()1 ; n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： .)(' ''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(' 'Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方：??? ??v u ‘=2 ' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 导数应用知识清单 单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 如果' f )(x 0>，则)(x f 为增函数； 如果'f 0)( 导数高考题专练 1、(2012课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 设函数f (x )= e x －ax －2 (Ⅰ)求f (x )的单调区间 (Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 2、(2013课标全国Ⅰ，文20)(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 3、(2015课标全国Ⅰ，文21）.（本小题满分12分） 设函数2()ln x f x e a x =-. （Ⅰ）讨论()f x 的导函数'()f x 零点的个数； （Ⅱ）证明：当0a >时，2 ()2ln f x a a a ≥+。 4、(2016课标全国Ⅰ，文21)（本小题满分12分） 已知函数.2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（ (I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求的取值范围. 5、（(2016全国新课标二，20）（本小题满分12分） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--. （I ）当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程； (II)若当()1,x ∈+∞时，()0f x ＞，求a 的取值范围. 6(2016山东文科。20)(本小题满分13分) 设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间； (Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围. 2017.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 2018全国卷)（12分） 已知函数()1 ln f x x a x x = -+． ⑴讨论()f x 的单调性； ⑵若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明： ()()1212 2f x f x a x x -<--． 导数高考题专练（答案） 1 2解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4. 故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4. (2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， 高考导数文科考点 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）， 比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ） 在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函 数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ， 【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（） 导 数 专 题 题型1 根据导数的几何意义研究曲线的切线 1.（2012全国文13）曲线()3ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程为________. 2. (2015全国I 文14)已知函数 ()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则 a = . 3. (2015全国II 文16) 已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = . 4.(2009，全国卷1) 已知函数42 ()36f x x x =-+.. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。 【解】（1）3 '()464(f x x x x x x =-=- 当(,)2x ∈-∞- 和(0,2 x ∈时，'()0f x <； 当(x ∈和)x ∈+∞时，'()0f x > 因此，()f x 在区间(,2-∞-和(0,2 是减函数， ()f x 在区间(2 - 和)+∞是增函数。 （Ⅱ）设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为 0'()y f x x = 因此 000()'()f x x f x =， 即 423 0000036(46)0x x x x x -+--= 整理得 22 00(1)(2)0x x +-= 解得 0x = 或 0x = 因此切线l 的方程为 y =- 或 y =。 题型2 判断函数的单调性、极值与最值 5.（2013全国II 文11）.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） . A. 0x R ?∈，0()0f x = B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形 C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； 高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。 ３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理 得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 导数及其应用 导数的几何意义与运算 1.常见函数的导数 （1）C '=0（C 为常数） （2）()n x '=1n nx - （3）(sin )x '=cos x （4）(cos )x '=sin x - （5）()x e '=x e （6）()x a '=ln x a a （7）(ln )x '=1x （8）(log )a x '=11log ln a e x x a = 2.可导函数四则运算的求导法则 （1）()u v '±=u v ''± （2）()uv '=u v uv ''+ （3）()u v '=2u v uv v ''-(0)v ≠ 3.导数的几何意义 4.已知切线的斜率，求切线方程 例题1 曲线3 11y x =+在点(1,12)P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ） A.9- B. 3- C. 9 D. 15 例题2已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln ,f x xf x '=+则(1)f '=（ ） A.e - B. 1- C. 1 D. e 例题3函数2(0)y x x =>的图象在点2(,)k k a a 处的切线与x 轴交点的横坐标为1,k a k +为正整数，116,a =则 135a a a ++的值为__________ 例题4在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_______ 利用导数研究函数的单调性 A. (,2)-∞ B. (0,3) C. (1,4) D. (2,)+∞ 例题2设函数22 ()ln ,0f x a x x ax a =-+> （Ⅰ）求()f x 的单调区间； 例题3已知函数()ln()x f x e x m =-+. （Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ,并讨论()f x 的单调性； 利用导数研究函数的极值与最值 [高考常考] 例题1设函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为 高考数学文科导数真题汇编答案 一、客观题组 4 5. 7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 8设函数f （x ）= 2 x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1 2为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 9、函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 11(2018年高考1卷) 12(2019年高考1卷) 一、 客观题答案1B ; 2.D; 3.y=x+1; 4.A . 5.y=2x-2 6D ,7C; 8D; 9B; 10.C 11.D; 12.y=3x 二、大题组 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （1）求a 、b 的值； （2）证明：当0x >，且1x ≠时， f (x )>ln x x -1 【解析】 （1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1 x )， 考虑函数，则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0 故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间 （2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】 （1） f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. （2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈. 当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>. 所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2 【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >-高考文科数学导数全国卷
高考文科导数考点汇总
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