地图投影的基本原理(1)

的方法称为地图投影。
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
a
a
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
a
a
通过三角变换，得：
sin( ') a b tan cos cos ' a
将两式相除，得：
sin( ') a b sin( ') a b
地图投影基本理论
变形。但是大区域垂直投影存在变形，需要考虑其他的投影方式，采用 透视投影方法。
地图投影基本概念
地图投影基本概念
2）数学分析法
地球椭球面上的经纬网
平面上相应的经纬线网
地球椭球面：原面 平面：投影面
原面与投影面上的 点线面具有一一对 应关系
地图投影基本概念
二、地图投影的研究对象及任务
1、研究对象 地球椭球面描写到地图平面上的理论、方法及应用 地图投影的变形规律 不同地图投影之间的转换 图上量算等问题
地图投影基本概念
地图 比例尺可大可小，制作、拼接、图上作业以及携带保管都很方便
地图投影基本概念
地球：不可展曲面 地图：连续的平面
用地图表示地球表面的一部分或全部，就产生了一种不可克服的矛盾
球面
平面
地图投影基本概念
一、地图投影的概念和实质
1、地图投影： 将地球表面上的点、经纬线等变换到地图平面上
角度最大变形:在同一点的某个特殊方向上，其角差具有最大值，称为该点 的角度最大变形。
地图投影基本理论
标准纬线：在地图投影中不变形的纬线称为标准纬线。 主比例尺：在计算地图投影或制作地图时，首先要将地球椭球面或球
面按一定的比率缩小，然后再投影到平面上，这个小于1的常数比 率称为地图的主比例尺。 局部比例尺：除地图上保持主比例尺的点或线以外，其他部分的比例 尺称为局部比例尺。
dF dsm dsn sin Hdd P dF ' Hdd H
dF Mrdd Mr
地图投影基本理论
（三）角度变形公式
A点（x、y），A ′点 (x ′、y ′)
tan y
x
tan ' y '
x'
x' a x
y' b y
地图投影基本理论
tan ' by b tan
ax a
将上式两边各用tana减和加 即：
变形的投影叫等面积投影，其条件是面积比为1，即 P=1
由面积变形公式得： H=M*r
或 ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种投影叫做等距离
投影。在经纬线正交的投影中，等距离投影只存在于方位投影、圆柱投 影和圆锥投影之中。
等距离投影规定经线长度比等于1为条件,即 m=1
面积变形（Vp）
= 0 不变
vp p 1
> 0 变大 < 0 变小
面积比是变量，随位置的不同而变化。
地图投影基本理论
（四）角度变形
角度变形（ ）：投u影面上任意两方向线所夹之角 与球面上相应
的两方u向线夹角 之差。
u
Δu u u
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
角度变形是变量，随位置和方向的不同而变化。
Ψ
B'
dsn'
A'
O
y
地图投影基本理论
（一）长度比公式
地图投影基本理论
(二)面积比公式
P dF ' π a r b r a b
dF
πr 2
P = a·b = m · n
(θ= 90度)
P = a·b = m · n · sin θ (θ≠ 90度)
地图投影基本理论
dF Mrdd
地图投影基本理论
二、地图投影变形
（一）投影变形的概念
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比较，可以发现变形表现在长度、 面积和角度三个方面。
地图投影基本理论
地图投影基本理论
（二）长度比和长度变形
长度比(μ):投影面上某一方向上无穷小线段 之比。
ds
和原面上相应无穷小线段
ds
u ds ds
地图投影基本理论
地图投影基本理论
六、地图投影分类 （一）按地图投影变形性质分类
等角投影 等面积投影 任意投影
地图投影基本理论
（二）按正轴投影经纬线形状分类
方位投影
地图投影基本理论
圆柱投影
地图投影基本理论
圆锥投影
感谢下 载
感谢下 载
地图投影基本理论
三、主方向和变形椭圆
1.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响，把它当作平面看 待），它投影到平面上通常会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地 图投影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
地图投影基本理论
微分圆→变形椭圆
X ' m 为经线长度比； X
Y'n Y
为纬线长度比
地图投影基本理论
代入： X2 + Y2 = 1，得
X '2 Y '2 1
m2
n2
地图投影基本理论
2、主方向
底索定律:无论采用何种转换方法，球面上每一点至少有一对正交方向线，在 投影平面上仍能保持其正交关系。
主方向:在投影后仍保持正交的一对线的方向称为主方向。
地图投影基本理论
特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向
地图投影基本理论
x
x'
沿经线微分线段
dy C'
AD Md
D'
dx
沿纬线微分线段 ABds'rd
dsmα ds
dsn
对角线
dsm'
Ψ
B'
ds AC M 2d2 r2d2
dsn'
C点对A点方位角Aα' 为：
sin O
rd ds
cos Md ds
tg rd
yMd
由微分几何的概念可得微分梯形 ABCD的微分面积为：
地图投影基本理论
r
纬圈的半径，一般用r表示，即
a cos B
r N cos B
1
(1 e2 sin2 B)2
地图投影基本理论
dsmα ds
dsn
x
x'
dy
C'
D'
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A'
O
y
为建立由曲面到平面的表象，先要建立地球表面上的各元素，如线段、 面积、角度与它们在平面上的对应关系式，以便于利用这些关系式导出地图投 影的基本公式。
长度变形（Vμ）:指长度比与1的差值。
= 0 不变
vu u 1
> 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化 任何一种投影都存在长度变形
地图投影基本理论
(三)面积比和面积变形 面积比(P ):投影面上某区域无穷小面积dF’与球面上相应的无穷小面积dF之比
p dF dF
地图投影基本理论
地图投影基本理论
地图投影基本理论
四、地图投影变形计算
法截面：通过法线的平面所截成的截面。 主法截面：相互垂直的法截面。
地图投影基本理论
对椭球来说，要研究下列的两个主法截面，一个曲率半径具有最大值， 而另一个曲率半径具有最小值
子午圈截面：包含子午圈的截面。
M
a(1 e2 )
3
(1 e2 sin2 B)2
2.任务 把地球表面上的地理坐标系转化成平面坐标系 建立制图网—经纬线在平面上的表象
内容提要
地图投影基本概念 地图投影基本理论
地图投影基本理论
一、地图投影的一般方程
x = f1(B , L) y = f2(B, L)
x,y表示原点在投影面上的纵、横坐标 B、L表示原点在地球椭球体上的纬度、经度地理坐标 函数f1、f2取决于不同的投影条件