二元正态分布定义
正态分布
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汉漢▼正态分布概率密度函数绿线代表标准正态分布累积分布函数颜色与概率密度函数同参数μlocation（real）σ2 > 0 squared scale（real）支撑集概率密度函數累积分布函数期望值μ中位数μ众数μ方差σ2偏度0峰度 3信息熵动差生成函数特性函数正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X∼N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布（见右图中绿色曲线）。
目录• 1 概要o 1.1 历史• 2 正态分布的定义o 2.1 概率密度函数o 2.2 累积分布函数o 2.3 生成函数▪ 2.3.1 动差生成函数▪ 2.3.2 特征函数• 3 性质o 3.1 标准化正态随机变量o 3.2 矩(英文:moment)o 3.3 生成正态随机变量o 3.4 中心极限定理o 3.5 无限可分性o 3.6 稳定性o 3.7 标准偏差• 4 正态测试• 5 相关分布• 6 参量估计o 6.1 参数的极大似然估计▪ 6.1.1 概念一般化o 6.2 参数的矩估计•7 常见实例o7.1 光子计数o7.2 计量误差o7.3 生物标本的物理特性o7.4 金融变量o7.5 寿命o7.6 测试和智力分布•8 计算统计应用o8.1 生成正态分布随机变量•9 参见•10 引用条目•11 外部连接[编辑]概要正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。
二元正态分布函数
二元正态分布函数一、简介二元正态分布函数（双变量正态分布）是二维统计分布，表示随机变量X和Y之间的关系。
它是正态分布的推广，在统计学中很常用。
正态分布函数又称标准正态分布或正态分位分布（Normal Quantile Distribution），其起源于卡尔·弗里德曼（Karl Fredric Gauss）。
正态分布函数能够更好的描述理想情况下，随机变量的分布情况，这也是为什么它总是在许多函数估计中被运用的原因。
二元正态分布函数由其平均值μ和标准差σ决定，当μ=0时，σ=1时，称为标准正态分布函数。
两个变量x和y是独立的，因此联合概率密度函数是二元正态分布的乘积：f(x,y)=f1(x)*f2(y)。
其中f1(x)和f2(y)是单变量正态分布的概率密度函数，单变量正态分布的概率密度函数可以表示为：f1(x)=1/(2πσ1）*exp(-((x-μ1）/σ1）^2/2），其中μ1和σ1是x的平均值和标准差；f2(y)可以表示为：f2(y)=1/(2πσ2）*exp(-((y-μ2）/σ2）^2/2），其中μ2和σ2是y的平均值和标准差。
二元正态分布的概率密度函数可以表示为：f(x,y)=1/(2πσ1σ2）*exp(-((x-μ1）^2/2σ1^2 + (y-μ2）^2/2σ2^2）。
三、应用1、在微观经济学中，二元正态分布函数常被用来模拟货币需求函数附近的数据，以及其他经济问题的数据。
2、在金融学中，二元正态分布函数经常用于描述资产价格波动规律，反映资产价格变动的相关性。
3、在社会学和心理学中，二元正态分布函数常用于模拟两组数据之间存在的关系。
4、二元正态分布函数还可用于模拟生物学常见问题，例如植物生长的正态分布，生物标本个体特征的正态分布等。
概率论与数理统计考点
《概率论与数理统计》 第一章 随机事件与概率事件之间的关系： 事件之间的运算： 运算法则：交换律A ∪B=B ∪A A ∩B=B ∩A结合律(A ∪B)∪C=A ∪(B ∪C) (A ∩B)∩C=A ∩(B ∩C) 分配律(A ∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) 对偶律 A ∪B ‾‾ =A ‾∩B ‾ A ∩B ‾‾ =A ‾∪B ‾ 古典概型： 概率公式：求逆公式 P(A ‾)=1- P(A)加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A ∪B ∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意： A-B = A B ‾ = A-AB = (A ∪B)-B条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B); (P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中P(A)>0, P(B)>0) 一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)= ∑i=1nP(A|B i )P(B i ) 其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)= P(B|A k )P(A k )P(B) = P(B|A k )P(A k )∑i=1nP(B|A i )P(A i )（由果溯因）概论的性质：事件的独立性：如果事件A 与事件B 满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 与事件B 相互独立。
结论：1. 如果P(A)>0，则事件A 与B 独立⇔2. 事件A 与事件B 独立⇔事件A 与事件B ‾独立⇔事件A ‾与事件B 独立⇔事件A ‾与事件B ‾独立贝努里概型：指在相同条件下进行n 次试验；每次试验的结果有且仅有两种A 与A ‾；各次试验是相互独立；每次试验的结果发生的概率相同P(A)=p, P(A‾)=1-p 。
正态分布的相关与独立
第十一周正态分布专题11.1正态分布的相关与独立二元正态分布的两个重要性质：（1）二元正态分布的边缘分布为一元正态分布。
但是逆命题不成立，即边缘密度均为正态，联合分布未必是二元正态。
（2）如果()()ρσσμμ,,,,~,222121N Y X ，则Y X ,相互独立⇔Y X ,不相关，即()0,=Y X Cov 或0=ρ。
注：对一般随机变量Y X ,,Y X ,相互独立可以推出Y X ,不相关。
但是Y X ,不相关则不能推出YX ,一定相互独立。
二元正态分布从不相关推出独立的性质是很容易验证：()()()()222212122222121212221212x y x y e e e μμμμσσσσπσσ⎡⎤-----⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦=**********************************************************定理：设随机变量()()221212,~,,,,X Y N μμσσρ，则()1122,a X b Y a X b Y ++也服从二元正态分布。
计算aX bY +的分布参数()()()E aX bY aE X bE Y +=+12a b μμ=+()()()()2,Var aX bY Var aX Var bY Cov aX bY+=++222212122a b ab σσρσσ=++()2222121212~,2aX bY N a b a b ab μμσσρσσ++++。
**********************************************************例11.1.1(,)X Y 服从二维正态分布，,X Y 都服从2(0,)N σ，,X Y 的相关系数为0.6。
如果aX Y -和X Y +相互独立，试求常数a 的值。
解：(,)aX Y X Y -+服从二维正态分布，所以,aX Y X Y -+独立当且仅当它们不相关，即Cov(aX -Y,X +Y)=0。
正态分布（高斯分布）
正态分布（⾼斯分布）正态分布（Normal distribution）⼜名⾼斯分布（Gaussian distribution），是⼀个在数学、物理及⼯程等领域都⾮常重要的概率分布，在统计学的许多⽅⾯有着重⼤的影响⼒。
正态分布是⾃然科学与⾏为科学中的定量现象的⼀个⽅便模型。
各种各样的⼼理学测试分数和物理现象⽐如光⼦计数都被发现近似地服从正态分布。
尽管这些现象的根本原因经常是未知的，理论上可以证明如果把许多⼩作⽤加起来看做⼀个变量，那么这个变量服从正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到⼀种简单的证明)。
正态分布出现在许多区域统计:例如, 采样分布均值是近似地正态的，既使被采样的样本总体并不服从正态分布。
另外，常态分布信息熵在所有的已知均值及⽅差的分布中最⼤，这使得它作为⼀种均值以及⽅差已知的分布的⾃然选择。
正态分布是在统计以及许多统计测试中最⼴泛应⽤的⼀类分布。
在概率论，正态分布是⼏种连续以及离散分布的极限分布。
正态态分布最早是亚伯拉罕·棣莫弗在1734年发表的⼀篇关于⼆项分布⽂章中提出的。
拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》拉普拉斯定理。
（Theorie Analytique des Probabilites）中对棣莫佛的结论作了扩展。
现在这⼀结论通常被称为棣莫佛－拉普拉斯定理。
拉普拉斯在误差分析试验中使⽤了正态分布。
勒让德于1805年引⼊最⼩⼆乘法这⼀重要⽅法；⽽⾼斯则宣称他早在1794年就使⽤了该⽅法，并通过假设误差服从正态分布给出了严格的证明。
“钟形曲线”这个名字可以追溯到Jouffret他在1872年⾸次提出这个术语"钟形曲⾯"，⽤来指代⼆元正态分布（bivariate normal）。
正态分布这个名字还被Charles S. Peirce、Francis Galton、Wilhelm Lexis在1875分布独⽴的使⽤。
二元正态分布定义
【例1】
1 p ( x, y ) e 2 且
x2 y 2 2
(1 sin x sin y ), x R, y R，可见P(x,y) 0，
p( x, y)dxdy 1
x2 2
p( y)是联合p.d . f ，易求出：
P ( x) 1 e 2
1 , ( x, y) p( x, y) () 0, 其它
显然： P(( , ) B)
p( x, y)dxdy
B
p(x,y)是随机变量 ( ,) 服从区域 上的均匀分布
注：
特别地，当为矩形D={(x,y)：a x b,c y d}，则 1 , ( x, y ) D p(x,y)= (b-a)(d-c) 0, ( x, y ) D
2
1 , 2 , a1 , a2 , 是五个常数，且 1 0， 2 0， 1，那么
称( , )服从参数为(a1 , a2 , , 2 , )的二元正态分布。
2 1 2
记为( , )～N(a1 , a2 , 12 , 2 2 , )。
（2）二元正态密度的性质 P( x, y) 0
F ( x1, x2 , , xn ) P(1 x1, 2 x2 , , n xn )
为n维随机变量 (1, 2 , , n ) 的联合分布函数。 【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量( , )。
F ( x, y) ( x, y) R2 有 此时， P( x, y)。
y1 · x1
·
x2
·
x
的联合分布函数F(x,y) 定理1：二维随机变量 （，） 具有如下的基本性质： F（x，y）对每个变元是非降的； F（x，y）对每个变元左连续； F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1
二元正态分布的条件分布
二元正态分布的条件分布
在统计学中，二元正态分布是指一个具有两个连续随机变量的正态分布，通常被表示为[X,Y]~N(μ, Σ)，其中μ是平均向量，Σ是协方差矩阵。
当给定其中一个变量的值时，我们可以计算另一个变量的条件分布。
具体而言，当给定X=x时，Y的条件分布为：
Y|x ~ N(μy|x,σy^2|x)
其中μy|x和σy^2|x是给定X=x时Y的平均值和方差，它们可以通过以下公式计算：
μy|x = μy + ρσy(x-μx)/σx
σy^2|x = σy^2(1-ρ^2)
其中，ρ是X和Y之间的相关系数，μx和σx是X的平均值和标准差，μy和σy是Y的平均值和标准差。
这个公式告诉我们，当给定X时，Y的均值和方差都会发生变化，而这个变化是由X和Y之间的相关性决定的。
条件分布的意义在于，在给定一个变量的值的情况下，我们可以更准确地预测另一个变量的取值。
在实际应用中，条件分布广泛应用于金融、医学、天气预测等领域。
- 1 -。
a第3讲1.4特征函数-1.5多元正态分布1
[ ] ∑ g(t ) = E eitX = eitxk pk
k
1
江西理工大学理学院
若 X 为连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)，
[ ] ∫ g(t ) = E eitX = ∞ eitx f (x)dx = &[ f ( x)](−t) −∞
江西理工大学理学院
性质 2 设 X = (X1, X2 ,L, Xn )服从n维正态分布 N (a, B)，
则a和B分别为n维随机向量 X 的均值向量和协方差矩 阵，即
µi = EX i , i = 1,2,L, n;
bik = cov(Xi , Xk ),i,k = 1,2,L, n 性质 3 设 X = (X1, X2,L, Xn )服从n维分布 N (a, B)，则
∫ ∫ g(t ) = ∞ eitx f (x)dx = −∞
1
2π
∞⎡
−
∞
exp⎢− ⎣
x2 2
⎤ ⎥e
itx
dx
⎦
=
1
2π
&
⎢⎢⎣⎡exp⎜⎜⎝⎛
−
x2 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤(− t )
=
exp⎜⎜⎝⎛
−
t2 2
⎟⎟⎠⎞
( ) 例设 X 服从 N µ,σ 2 ,求其特征函数。
解:
令Y
=
X−
σ
µ
,
则Y ~ N (0,1),
§1.4 特征函数
江西理工大学理学院
定义 1.10 设随机变量 X 的分布函数为F ( x)，则称
[ ] ∫ gX (t) = E eitX
=
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P( =xi , y j ) Pij , (i, j N ) 边际分布列为P( xi ) Pi (i N )
P( y j ) P j ( j N)
则与相互独立 P ij P i P j
思考题
把定理1和定理2推广到n元的情形
【例2】 设（，）的联合p.d . f 为：
8xy, 0 x y,0 y 1 P(x,y)= 其它 0, 问 与是否相互独立？
【解】 4 x 4 x 3 , 0 x 1 P ( x) 其它 0,
4 y 3 , 0 y 1 P (y) 其它 0,
由此可见：当点(x,y)图中阴影部分时，P(x,y) P ( x)P ( y)
（，） 的联合密度函数p(x,y)具有如下性质：
p(x,y) ≥0
）＝1 P( x, y)dxdy F (，
2 F( x, y) P( x, y) 在p(x,y)的连续点(x,y)处有 xy
G是平面上某一区域，则P{( , ) G} p ( x, y ) dxdy
lim F ( x, y ) F ( x, )
同理：F ( y) F (, y)
F ( x) F ( x, )
x
p( , )d d
x
[ p( , )d ]d
P ( x)
p( x, )d
, an n bn ) F (b1 , b2 , , bn 1 , an )
二、二维连续型随机变量
（，） 定义：如果二维R.V. 的联合分布函数 F（x，y），存在非负可积函数p（x，y），使得
F ( x, y)
P(, )d d
x
y
那么，称F（x，y）是连续型联合分布函数，并称 （，） 是二维连续型R.V。 此时，也称p（x，y）为 的概率密度函数。 （，）
即 P ( x)
p( x, y)dy
p(x,y)的边际p.d.f
同理： P ( x)
p( x, y)dx
三、常用的二维连续型分布 1.均匀分布
设 是一平面区域，其面积为 () ，向 内随机地投一 点，( ,) 表示投点的坐标，由几何概型知：对任一区域B R2 ,有 ( B ) P(( , ) B) () 假设
即：
～ (a, b) ～ (c, d )
上的二元 【注】1. 均匀分布可推广 到m维区域上的均 匀分布。 2. (a, b; c, d ) 可推广 到n次矩形体上的 多元均匀分布。
附：
当( , )～ (a, b; c, d )时，则不难求出( , )的联合d . f .F ( x, y )： 0, x a或y c ( x a )( y c) , a x b, c y d (b a )(d c) y c , x b, c y d F ( x, y ) d c xa , a x b, y d ba 1, x b, y d
2
1 , 2 , a1 , a2 , 是五个常数，且 1 0， 2 0， 1，那么
称( , )服从参数为(a1 , a2 , , 2 , )的二元正态分布。
2 1 2
记为( , )～N(a1 , a2 , 12 , 2 2 , )。
（2）二元正态密度的性质 P( x, y) 0
p( x, y)dxdy 1
1 P e ( x ) p ( x, y ) dy 2 1 ( x a1 )2 2 12
P ( y)
p( x, y)dx
1 2 2
e
( y a2 )2 2 22
【注】 F (, y )
x y
lim F ( x, y )
x y
F ( x, )
lim F ( x, y )
lim F ( x, y )
F (, ) 1
定理2：n维随机变量 ( , , , )的联合分布函数 F ( x1 , x2 , , xn )具有如下性质： F ( x1, x2 , , xn ) 对每个变量是非降的；
～N (0,1) ～N (0,1)
1 P e ( y) 2
y2 2
两个边际分布都是正态的，但它们的联合分 布可以不是二元正态
四、随机变量的独立性
定义： 设( , )的联合d.f为F(x,y),边际d.f为F ( x)，F ( y )。
如果P( x, y ) P( x) P( y ), ( x, y ) R 2 , 或F ( x, y ) F ( x) F ( y ), ( x, y ) R 2 , 那么称 与相互独立。
1 2 n
F ( x1 , x2 ,
xi xi
, xn ) 对每个变量是左连续的；
lim F ( x1 , x2 , lim F ( x1 , x2 ,
, xn ) 0 , xn ) 1
i 1, n
对任意的实数 ai bi，i 1, n
P (a1 1 b1 , a2 2 b2 , (1) n F (a1 , a2 , F (b1 , b2 , , bn ) [ F ( a1 , b2 , , an ) 0 , bn )
为n维随机变量 (1, 2 , , n ) 的联合分布函数。 【注】为方便，我们重点讨论二维随机变量( , )。
F ( x, y) ( x, y) R2 有 此时， P( x, y)。
由上述得：F(x,y）是二维随机变量 落入图中 （，） 阴影部分的概率。 y
（x，y） ●
3.3 多维随机变量及其分布
一、多维随机变量及其联合分布函数
定义1：如果 1, 2 , , n 是概率空间(, F , P) 上的n个随机 变量，那么称向量（ 1 , 2 , , n）为n维随机变量或n维随 机向量。 定义2：对 ( x1, x2 , , xn ) Rn ，称
F ( x1, x2 , , xn ) P(1 x1, 2 x2 , , n xn )
x
（，） 落入任一矩形 {( x, y) : x1 x x2 , y1 y y2} 显见： 内的概率：
P( x1 x2 , y1 y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) y y2·
y1 · x1
·
x2
·
x
的联合分布函数F(x,y) 定理1：二维随机变量 （，） 具有如下的基本性质： F（x，y）对每个变元是非降的； F（x，y）对每个变元左连续； F（-∞，y）＝0，F（x，-∞）＝0,F(-∞, +∞ ）=1
F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) 0
定理1 设P( x, y )是( , )的联合p.d . f , P ( x), P ( y )是边际p.d . f ，则
2 和相互独立 P( x, y ) P ( x) P ( y ), ( x , y ) R
定理2 设二维离散型R.V.( , )的联合分布列为
与不相互独立
定理3
设( , )～N (1 , 2 , 12 , 2 2 , ), 则
与相互独立 ＝0
可以把二维区域 上的 均匀分布推广到n维区 域上的均匀分布
【例1】设 ( , )～ (a, b, c, d )，求边际分布
【解】
1 , a xb P ( x) b a 其它 0, 1 , c yd P (y) d c 其它 0,
2.二元正态分布 （1）二元正态分布定义
如果（，）的联合p.d . f 为 p( x, y ) 1 2 1 2 1 p 2 e
1 2(1 p )
2
[
( x a1 )2
12
( x a1 )( y a2 ) ( y a1 ) 2 2 ] 2
Байду номын сангаас
1 2
G
边际分布
F ( x) P( x) P{( x) } P{( x) ( )} P{( x) ( )} P{ x, } F(x,y)的边际分布函数 lim P{ x, y}
y y
【例1】
1 p ( x, y ) e 2 且
x2 y 2 2
(1 sin x sin y ), x R, y R，可见P(x,y) 0，
p( x, y)dxdy 1
x2 2
p( x, y)是联合p.d . f ，易求出：
P ( x) 1 e 2
1 , ( x, y) p( x, y) () 0, 其它
显然： P(( , ) B)
p( x, y)dxdy
B
p(x,y)是随机变量 ( ,) 服从区域 上的均匀分布
注：
特别地，当为矩形D={(x,y)：a x b,c y d}，则 1 , ( x, y ) D p(x,y)= (b-a)(d-c) 0, ( x, y ) D