2020赢在高考 数学压轴题突破精讲精练专题：曲线的切线问题探究(含解析)
2020年高考数学23道题必考考点各个击破精讲主题01 分段函数与函数的图象(含详细答案解析)
2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题01 分段函数与函数的图象【主题考法】本热点为选择题和填空题,常与函数、方程、不等式等知识结合，重点考查集合概念、集合间的关系、集合的运算，偶尔有创新题型，是基础题.2020年的高考将会继续以选择填空题形式，与函数、方程、不等式等知识结合考查集合运算、集合间关系，仍为基础题，分值5分。
【主题考前回扣】1.集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.2.子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.3.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．【主题考向】 考向一 集合间关系【解决法宝】①对两集合的关系判定问题，常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻 找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析，未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.③对子集个数的问题，若集合A 有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.例1已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【分析】先求出B A ⋃，再对m 分类讨论，求出C ，利用A B C ⋃⊆，即可求出m 的取值 范围.考向二 集合的并、交、补运算【解决法宝】对集合运算问题，先正确理解集合的含义，弄清集合元素的属性及元素所代 表的意义，再集合进行化简，最好求出具体集合，若是离散的集合，直接依据并、交、补的定义求解，若是连续实数集，常利用数轴进行计算，若是抽样集合，常用文氏图法.例2 已知全集U R =，集合2{|24},{|60}A x x B x x x =<<=--≤，则()R A C B ⋂等于（ ） A. ()1,2 B. ()3,4 C. ()1,3 D. ()()1,23,4⋃【分析】先求出B 集合，再根据补集的定义和数轴法求出B 的补集，再利用数轴法求出()R A C B ⋂.【解析】由题意知 {}|23B x x =-≤≤，则{}|23U C B x x x =-或， ∴ (){}|34U A C B x x ⋂=<<，故选B. 考向三 与集合有关的参数问题【解决法宝】对含参数的集合运算及关系问题，先对已知集合化简，若是连续实数集合常 用将集合在数轴上表示出来，根据集合运算的概念，列出关于参数的不等式，即可解出参数的范围，注意空集的情况；若离散集合，则根据集合运算或集合间关系的概念，列出关于参数的方程，即可解出参数的值，注意要检验集合元素的互异性．例3已知集合()()4{,|21},{,|1}23y A x y ax y B x y x -=+===+，若A B φ⋂=，则实数a 的值是 （ ）A. 4-B. 4C.143 D. 4-或143【分析】由题知，B 集合表示270x y -+=上的点除去点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭之外的点组成的集合，分成直线直线21ax y +=与直线270x y -+=平行和直线21ax y +=过点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况分别求出a 即可.考向四 与新概念有关的集合问题【解决法宝】对与新概念有关的集合问题，认真阅读试题，理解新定义，利用新定义将集 合问题转化为普通集合间的关系问题或集合运算问题，或直接利用新概念对问题求解.例4用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*{,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥=-<，若}2,1{=A ，B =ax x ax x x ++22)((|{ +}0)2=且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据新定义B 要么是单元素集，要么是三元素集,分两种情况分别分析求出方程20x ax +=和220x ax ++=解得情况，即可求出a 值，从而求出S ，进而求出)(S C .【主题集训】1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==,则)(B C A U ⋂=（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}4 D. {}1,2 【答案】A【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，∴}5,3,1{=B C U ， ∴)(B C A U ⋂={1}，故选A 。
2020高考数学核心突破《专题六 解析几何》(含往年真题分析)
专题六解析几何题型一直线方程及位置关系1．(1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1,1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4,2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝( B ) A.32 B.94 C.12D.14突破点拨(1)利用直线平行的判断方法．(2)先求AC 的值，再利用点到直线的距离公式求出点B 到AC 的距离，最后表示出面积． 解析 (1)直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1.故选C.(2)由两点间的距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0. 所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫m －322－14. 又1<m <4.所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．故选B.2．(1)(2017·湖南长沙模拟)在平面内，点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且l 1∥l 2∥l 3(l 2在l 1与l 3之间)，l 1与l 2之间的距离为a ，l 2与l 3之间的距离为b ，若AB →2＝AB →·AC →，则△ABC 的面积的最小值为( B )A.a ＋b 2B ．abC ．2abD.a 2＋b 22(2)(2017·湖北荆州调考)若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__2x －y －1＝0__.突破点拨(1)由AB →2＝AB →·AC →⇒AB →⊥BC →.(2)由圆心C (3,0)知k PC ＝－12，且MN ⊥PC .解析 (1)以直线l 2为x 轴，点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则l 1：y ＝a ，l 3：y ＝－b .由AB →2＝AB →·AC →，得AB →·CB →＝0，即AB ⊥BC .设直线AB 的斜率为k ，则AB ：y ＝kx ，得A ⎝⎛⎭⎫a k ，a ，直线BC ：y ＝－1k x ，得C (kb ，－b )，所以S △ABC ＝12⎝⎛⎭⎫a k 2＋a 2·(kb )2＋(－b )2 ＝122a 2b 2＋a 2b 2k 2＋k 2a 2b 2≥122a 2b 2＋2a 2b 2＝ab ， 当且仅当k ＝±1时等号成立．(2)圆心C 的坐标为(3,0)，直线PC 的斜率为－12，故直线MN 的斜率为2，所以直线MN的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(1)确定直线的几何要素是直线上的一点和直线的方向，刻画直线方向的要素是其倾斜角，当倾斜角不等于90°时可以使用斜率表示直线的方向．解题时要善于分析确定直线的几何要素，写出正确的直线方程．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意两直线斜率是否存在．题型二 圆的方程及性质1．(1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10(2)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( A )A ．5B ．10C ．15D ．20突破点拨(1)由已知三点，求出圆的方程，然后求出M ，N 的坐标，进而求出|MN |. (2)借助平面几何的相关知识辅助求解． 解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26， 所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26) 或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， 所以|MN |＝4 6.故选C.(2)由题意知圆心为O (0,0)，半径为2.设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连OM ，则有d 21＋d 22＝OM2＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5， 即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.2．(1)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为( A )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 B.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝2 D.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝2 (2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.突破点拨(1)利用已知条件和圆的性质求出圆心和半径即可． (2)先确定直线过的定点，再求圆的标准方程．解析 (1)由题设知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝⎛⎭⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝⎛⎭⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝(－3－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4，故选A. (2)直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.故所求方程为(x －1)2＋y 2＝2.圆的性质在求圆的方程中的应用(1)圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上．(2)圆上异于某直径端点的点与该直径的两端点连线垂直．(3)已知某圆与某直线相切，则过切点且垂直于该切线的直线必过该圆的圆心．题型三 直线与圆的位置关系1．(1)(2017·哈尔滨一模)过直线kx ＋y ＋3＝0上一点P 作圆x 2＋y 2－2y ＝0的切线，切点为Q .若|PQ |＝3，则实数k(2)(2017·江西重点学校模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0 . 突破点拨(1)考虑圆心到直线的距离的最大值．(2)利用数形结合，把问题转化为圆心C 到直线l 的距离小于或等于两个圆的半径之和问题．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径是r ＝1.根据题意，PQ 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，Q 是切点，|PQ |＝3，则|PC |＝2.当PC 与直线kx ＋y ＋3＝0垂直时，圆心到直线的距离最大．由点到直线的距离公式得|4|k 2＋1≤2，解得k ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)将圆C 的方程化为标准形式为(x ＋4)2＋y 2＝1，其圆心为(－4,0)，半径r ＝1.因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以圆心(－4,0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤r ＋1，即d ＝|－4k －2|k 2＋1≤2，整理可得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0.2．(1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( C )A ．2B ．42C ．6D ．210(2)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( A )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°突破点拨(1)先利用圆心在直线l 上，求得a 的值，再利用线段AB ，BC ，AC 构成的直角三角形求解．(2)方法一：设出直线l 的方程，表示出S △AOB ，再利用均值不等式求解．方法二：先利用sin ∠AOB 表示出S △AOB ，然后求出当S △AOB 取得最大值时|OC |的值，进而求出直线l 的倾斜角．解析 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.(2)由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，如图所示．方法一 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A. 方法二 S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取最大值．此时，|OC |＝1，则∠OPC ＝30°，得直线l 的倾斜角为150°.圆的综合应用(1)求点C 的轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在点P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．思维导航(1)由圆的几何性质知BA ⊥BC ，通过设点列式可求E 的方程．(2)只需证明PQ ⊥QC .可用判别式方法或导数方法求出E 在点P 处的切线的斜率，再求解．规范解答(1)设C 点的坐标为(x ，y )，则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0.因为AC 是直径，所以BA ⊥BC ，或C ，B 均在坐标原点． 因此BA →·BC →＝0，而BA →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y ， 故有－x 24＋2y ＝0，即x 2＝8y .另一方面，设C ⎝⎛⎭⎫x 0，x 28是曲线x 2＝8y 上一点， 则有|AC |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 208－22＝x 20＋168，AC 中点的纵坐标为2＋x 2082＝x 20＋1616，故以AC 为直径的圆与x 轴相切． 综上可知，C 点轨迹E 的方程为x 2＝8y . (2)设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝8y得x 2－8kx －16＝0. 设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－16. 由y ＝x 28对x 求导得y ′＝x 4，从而曲线E 在点P 处的切线斜率k 2＝x 24，直线BC 的斜率k 1＝x 218x 1－x 12＝x 14，于是k 1k 2＝x 1x 216＝－1616＝－1，因此QC ⊥PQ .所以△PQC 恒为直角三角形．【变式考法】 已知圆O ：x 2＋y 2＝25，圆O 1的圆心为O 1(m,0)(m ≠0)，且与圆O 交于点P (3,4)，过点P 且斜率为k (k ≠0)的直线l 分别交圆O ，O 1于点A ，B .(1)若k ＝1，且|BP |＝72，求圆O 1的方程；(2)过点P 作垂直于直线l 的直线l 1分别交圆O ，O 1于点C ，D .当m 为常数时，试判断|AB |2＋|CD |2是否为定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．解析 (1)当k ＝1时，直线l ：y －4＝x －3，即x －y ＋1＝0， 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋1|22＋⎝⎛⎭⎫7222＝(m －3)2＋42， 整理得m 2－14m ＝0，解得m ＝14或m ＝0(舍去)， 所以圆O 1的方程为(x －14)2＋y 2＝137. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l ：y －4＝k (x －3)，即y ＝kx －(3k －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，x 2＋y 2＝25，消去y 得 (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2)x ＋9k 2－24k －9＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得 3·x 1＝9k 2－24k －9k 2＋1，所以x 1＝3k 2－8k －3k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，(x －m )2＋y 2＝(m －3)2＋42，消去y 得， (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2－2m )x ＋9k 2－24k －9＋6m ＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得3·x 2＝9k 2－24k －9＋6m k 2＋1，所以x 2＝3k 2－8k －3＋2m k 2＋1，所以x 1－x 2＝3k 2－8k －3k 2＋1－3k 2－8k －3＋2m k 2＋1＝－2mk 2＋1.|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m k 2＋12＝4m 2k 2＋1. 同理可得，|CD |2＝4m 2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝4m 2k 2k 2＋1，所以|AB |2＋|CD |2＝4m 2k 2＋1＋4m 2k 2k 2＋1＝4m 2为定值．1．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则以下命题中正确的是( D )A ．若d 1－d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析 当d 1＝d 2＝0时，可排除A 项，B 项，C 项，若d 1·d 2<0，则点P 1，P 2在直线l 的两侧，所以直线P 1P 2与直线l 相交．故选D.2．(高考改编)已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， 即k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.3．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，结合题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2⇒a <－2，故选A.4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B )A ．7B ．6C ．5D ．4解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.5．(2017·河南洛阳一模)已知{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，则直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由于{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m －4与直线7x ＋(5－m )y －8＝0平行，则有7×1＝(5－m )·(m ＋3)且7×(3m －4)≠8×(m ＋3)．由7×1＝(5－m )·(m ＋3)整理得m 2－2m －8＝0，解得m ＝－2或m ＝4.由7×(3m －4)≠8×(m ＋3)，得m ≠4，所以m ＝－2，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4的方程为x ＋y ＝－2，交x 轴于点(－2,0)，交y 轴于点(0，－2)，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是12×2×2＝2，故选B.6．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__.解析 根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555. 解析 易知圆心为(2，－1)，r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，∴弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 8．(教材回归)如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为13 .解析 由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，且最大距离为|OC |.|OC |＝22＋(－3)2＝13.9．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 .(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点．下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是__①②③__(写出所有正确结论的序号)． 解析 (1)设圆心C (a ，b )，半径为r ，∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，∴a ＝1，r ＝|b |，又∵圆C 与y 轴正半轴交于两点，∴b >0，则b ＝r . ∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1，∴r ＝2， 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)设N (x ，y )，而A (0，2－1)，B (0，2＋1)， 则|NB |2|NA |2＝x 2＋(y －2－1)2x 2＋(y －2＋1)2＝x 2＋y 2－2(2＋1)y ＋3＋22x 2＋y 2－2(2－1)y ＋3－22， 又x 2＋y 2＝1，∴|NB |2|NA |2＝4＋22－2(2＋1)y4－22－2(2－1)y ＝2＋12－1·22－2y 22－2y ＝(2＋1)2， ∴|NB ||NA |＝2＋1，同理|MB ||MA |＝2＋1. ∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |，且|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2＋1－12＋1＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2＋1＋12＋1＝2＋1＋2－1＝22， 故正确结论的序号是①②③.10．(2017·河南郑州一模)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解析 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为2×52－32＝8. 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1.由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.1．(2017·四川绵阳质检)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为( A )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1]解析 设圆心为B (0,3)，圆心B 到直线l 的距离d 的最大值为|AB |＝4，最小值为0(此时直线l 过圆心)，故选A.3．(2017·山东青岛模拟)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3)∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析 ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ， 即d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn .又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.4．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A )A.3 B ．2 C.2D ．4解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP ，|AB |＝2|AC |. ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AC |＝2|AO |·sin ∠AOP ＝3，故选A.5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10解析 设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝－2.再由|P A |＝|PB |，得a ＝1，则P (1，－2)，|P A |＝(1－1)2＋(3＋2)2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6.6．(2017·陕西西安调研)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A. 7．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( D )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 当直线AB 的斜率不存在，且0<r <5时，有两条满足题意的直线l .当直线AB 的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l .设圆的圆心为C (5,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2y 0. ∵k CM ＝y 0x 0－5，且k AB k CM ＝－1，∴x 0＝3.∴r 2＝(3－5)2＋y 20>4(∵y 0≠0)，即r >2.另一方面，由AB 的中点为M 知B (6－x 1,2y 0－y 1)， ∵点B ，A 在抛物线上， ∴(2y 0－y 1)2＝4(6－x 1)，① y 21＝4x 1，②由①和②，得y 21－2y 0y 1＋2y 20－12＝0. ∵Δ＝4y 20－4(2y 20－12)>0，∴y 20<12.∴r 2＝(3－5)2＋y 20＝4＋y 20＝4＋y 20<16，∴r <4.综上，r ∈(2,4)，故选D.8．(2017·湖南七校一模)已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( C )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．[22－3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤22－3，569 D.⎣⎡⎦⎤32，569解析 如图，设P A 与PB 的夹角为2α，则0<α<π2，|P A |＝|PB |＝1tan α，所以P A →·PB →＝|P A |·|PB |cos 2α＝1tan 2α·cos 2α＝cos 2αsin 2α·cos 2α＝cos 2α(1＋cos 2α)1－cos 2α＝(cos 2α－1)＋(cos 22α－1)＋21－cos 2α＝－1－(cos 2α＋1)＋21－cos 2α＝－3＋(1－cos 2α)＋21－cos 2α，令t ＝1－cos 2α，则设f (t )＝P A →·PB →＝t ＋2t －3.由图易知，点P 在椭圆左顶点时，α取得最小值，此时sin α＝13，而点P 接近椭圆右顶点时，α→π2，所以sin α∈⎣⎡⎭⎫13，1，所以t ＝1－cos 2α＝2sin 2α ∈⎣⎡⎭⎫29，2.易知f (t )在⎣⎡⎭⎫29，2上单调递减，在(2，2)上单调递增，则f (t )min ＝f (2)＝22－3，而f ⎝⎛⎭⎫29＝569，f (2)＝0，所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫29＝569，所以P A →·PB →的取值范围为⎣⎡⎦⎤22－3，569，故选C.9．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为__2__. 解析 依题意得a ×1＋(3－a )×(－2)＝0，解得a ＝2.10．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0,2)，C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 11．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝__5__. 解析 由x 2＋y 2－4y －1＝0，得x 2＋(y －2)2＝5，可知圆心为C (0,2)，半径r ＝5，∴|AC |＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，∴|AB |＝10－5＝5，∴∠ACB ＝45°，∴CA →·CB →＝10×5×cos 45°＝5.12．(2017·四川成都一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点为P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为__2__.解析 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0(P 为垂足)，过P 作圆O 的切线P A (A 为切点)，连接OA，易知此时|P A|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA|＝1，所以|P A|＝|OP|2－|OA|2＝2，即所求最小值为2.第2讲椭圆、双曲线、抛物线题型一 椭圆及其性质1．(1)(2017·云南四市联考)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( D )A.24B.23C.63D.64(2)若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是__4__.突破点拨(1)利用椭圆的定义和几何性质转化求解． (2)运用椭圆的定义求解． 解析 (1)设P (x ，y )，|OP |2＝x2＋y 2＝a 28.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，c 2a 2＝38，e ＝c a ＝64，故选D.(2)由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4.2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．突破点拨(1)利用原点到直线的距离，列关于a ，c 的方程求解．(2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b )，再利用弦AB 的长等于圆M 的直径求解． 解析 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.圆锥曲线的离心率的算法技巧(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解关键．(2)在求解有关离心率的问题时，并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．题型二 双曲线及其性质1．(1)(2017·山东部分重点中学模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，且△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率是( B )A.2B.3C.2＋1D.3＋1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( D )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 突破点拨(1)根据等边三角形列出等式，将等式用双曲线方程中的量表示，并转化为求离心率．(2)利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．解析 (1)由题意知，△F 1AB 为等边三角形，故|AF 1|＝|AB |.由双曲线的定义，得|AF 1|－12|AB |＝2a .因为|AB |＝2b 2a，可得b 2＝2a 2，所以e ＝ 3.故选B.(2)由双曲线的渐近线y ＝±bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 2．(1)(2017·河南信阳二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( C )A ．4B ．6C ．8D ．10(2)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( D )A.433B ．23C ．6D ．43突破点拨(1)用渐近线方程确定a 的值，再利用定义求|PF 2|. (2)可用特殊位置法求解，如F 的横坐标x ＝2.解析 (1)双曲线x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2a x ，即2x ±ay ＝0.已知双曲线的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，∴a ＝3.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即|2－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝8或－4，舍去－4.故选C.(2)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F (2,0)， 其渐近线方程为3x ±y ＝0.不妨设A (2,23) ，B (2，－23)，所以|AB |＝43，故选D. 题型三 抛物线及其性质1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( C )A.72B.52 C ．3 D ．2突破点拨利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． 解析 因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF|＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.【变式考法】 把本例条件“FP →＝4FQ →”改为“PF →＝12PQ →”，其他条件不变，则|QF |＝__8__.解析 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，A 为l 与x 轴的交点．因为PF →＝12PQ →，所以|PF →|＝12|PQ →|.因为△P AF ∽△PQ ′Q ，所以|AF ||QQ ′|＝|PF ||PQ |，所以|QQ ′|＝8，则|QF |＝|QQ ′|＝8.2．(2017·福建福州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．突破点拨(1)利用抛物线的定义可求解．(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .联立抛物线方程，可推出b ＝1－2k 2，再写出S △OPQ ＝f (k )，利用基本不等式或求导的方法求f (k )max .解析 (1)抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2. 因为|AO |＝|AF |＝32，所以可求得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫±1436－p 2，p 4. 将点A 的坐标代入x 2＝2py ，得116(36－p 2)＝2p ×p4，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y ＝kx ＋b ， 并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点M (x 0,1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝4k 2＋2b ＝2，即b ＝1－2k 2.因为直线l 与C 交于P ，Q 两点， 所以Δ＝16k 2＋16b >0，得k 2＋b >0， 故k 2＋b ＝k 2＋1－2k 2>0，k 2∈[0,1)． 由y ＝kx ＋b ，令x ＝0得y ＝b ＝1－2k 2， 故S △OPQ ＝12|b ||x 1－x 2|＝12|1－2k 2|×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1－2k 2)2(1－k 2). 设t ＝1－2k 2，则t ∈(－1,1]．设y ＝(1－2k 2)2(1－k 2)＝t 2·t ＋12＝12(t 3＋t 2)，令y ′＝12(3t 2＋2t )＝32t ⎝⎛⎭⎫t ＋23＝0，得t ＝0或t ＝－23， 由y ′>0得t ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23∪(0,1]； 由y ′<0得t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以y ＝12(t 3＋t 2)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－1，－23，(0,1]，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，0， 当t ＝－23时，y ＝227；当t ＝1时，y ＝1>227，故y max ＝1，所以S △OPQ 的最大值是2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的策略解答直线与圆锥曲线的位置关系的题，常常用到“设而不求”的方法，根据条件设出直线方程，与曲线联立，消去y ，整理出一个关于x 的二次方程，设出两个交点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2为二次方程的两个根，根据根与系数的关系，结合题中条件带入求解．注意：设直线方程时，考虑是否有斜率不存在的情况，若有，要讨论．圆锥曲线与其它知识的交汇和新定义问题(一)知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.思维导航把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题．最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元．如本题，读懂新定义的含义，再依据题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此类交汇性试题．规范解答C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2，圆心(0，－4)，圆心到直线l ：y ＝x 的距离为d ＝|0－(－4)|2＝22，故曲线C 2到直线l ：y ＝x 的距离为 d ′＝d －r ＝22－2＝ 2.对于曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令y ′＝2x ＝1， 得x ＝12，该切点为⎝⎛⎭⎫12，14＋a ， 则曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离为d ′＝2＝⎪⎪⎪⎪12－⎝⎛⎭⎫14＋a 2⇒a ＝94或a ＝－74(舍去)．答案 94【变式考法】 已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为 57. 解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55±45×255＝11525或－55(舍去)．如图，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理得 r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.1．(教材回归)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( B )A ．4B ．5 C.15D.10解析 由抛物线的定义知，点A 到焦点的距离等于点A 到其准线的距离．所以|AF |＝y 1＋p2＝4＋1＝5.故选B. 2．(2017·湖北武昌调考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( D )A.2B.3C.5D ．2解析 双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0.由于直线与圆相切，所以|3b －a |a 2＋b 2＝1，即(3b－a )2＝a 2＋b 2，所以ba＝3，双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.故选D.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m ＝( D ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8解析 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8.故选D. 4．(2017·上海浦东模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线上存在点P 使△OPF 2是以O 为顶点的等腰三角形，且|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，其中c 为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为( A )A.2B.2＋1C.3D.3＋1解析 由题意知|OP |＝|OF 2|，因为O 为F 1F 2的中点， 由平面几何知识有PF 1⊥PF 2. 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，从而有 |PF 1|＝a ＋2c 2－b 2，|PF 2|＝－a ＋2c 2－b 2. 由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，解得a 2＝b 2， 即ba＝1，所以双曲线的离心率为e ＝ 2. 5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2，又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24，因为1≤b <2，所以0<e ≤32.故选A.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的—个焦点，则p ＝ 22 .解析 拋物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，故直线x ＝－p2过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p ＝2 2.7．(2017·山东青岛二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为3 .解析 由已知和双曲线的定义有⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a 或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a . 因为2c >2a ，所以△PF 1F 2中30°角所对的边长为2a . 由余弦定理有4a 2＝4c 2＋16a 2－16ac ·32， 即3a 2－23ac ＋c 2＝0，两边同除以a 2， 得e 2－23e ＋3＝0，所以e ＝ 3.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解析 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，点P (0,1)在C 1上， 所以c ＝1，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ， 消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0. 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 9．(考点聚焦)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解析 (1)由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0. 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 10．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解析 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0， 从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|. 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4， 解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 连接F 1Q ，由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2.因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.1．(2017·山东青岛二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( B ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 解析 将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)·x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0.由椭圆与直线只有一个公共点，知Δ＝0，得a 2＋b 2＝9.又c a ＝a 2－b 2a ＝55，∴b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且两曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( C )A.2B.3 C ．1＋2D ．1＋3解析 因为两曲线的交点的连线过点F ，所以两曲线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫p2，±p ，代入双曲线方程可得⎝⎛⎭⎫p 22a 2－p 2b 2＝1，因为p2＝c ，所以c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，所以e 4－6e 2＋1＝0，又e >1，解得e ＝1＋2，故选C.3．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，c ＞0，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.故选B.4．(2017·山西太原模拟)已知抛物线K ：x 2＝2py (p >0)，焦点为F ，P 是K 上一点，K 在点P 处的切线为l ，d 为F 到l 的距离，则( D )A.d |PF |＝pB.d |PF |2＝pC.d |PF |＝2p D.d 2|PF |＝p 2解析 使点P 为原点O ，则切线l 为x 轴，且d ＝p 2，|PF |＝p2.代入四个选项中检验知选D.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上的一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2.所以|MF |＝2p ，即x ＋p 2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .故选B.6．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( A )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ， 所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°， 所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.7．(2017·湖南雅礼中学调研)已知抛物线E ：y 2＝2px (0<p <4)的焦点为F ，点P 为E 上一。
2020新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳(压轴题全解析)
MA MB
AB
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
( x,4
2
y)
( x,2)
0
，即
y
1
x2
2
。
4
【例 3】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，
交 C 的准线于 P，Q 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
5 轨迹 C 的方程.
解 析 设 M 的 坐 标 为 (x, y) ， P 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， 因 为 M 为 PD 上 一 点 ， 且
|MD|=
4 5
|PD|，所以
x
y
x0
4 5
y0
x0 y0
x 5 4
y
，又
P (x0 ,
y0 )
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线
A圆
B 椭圆
C 线段
D 一段抛物线
解析
设点
M
(x0
,
y0
),
P(x,
高中数学必备考试技能之二级结论提高速度(2020版)专题11 圆锥曲线的切线问题(解析版)
()3+-y()2∴-31则过M点的切线方程为整理得x-1/ 32/ 33 / 3222312484840,12p py p y y p y y p+--+=+==，解得1p =或2p =，选C.3．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；【答案】（1）240x y +-=【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.4.已知抛物线C:x 2=4y,直线l:x-y-2=0,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点,当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程. 解析 联立方程得{x 2=4y ,x -y -2=0,消去y,整理得x 2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l 与抛物线C 相离.由结论知,P 在抛物线外,故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x=2(y+y 0),即y=12x 0x-y 0.5. 设椭圆C:x 24+y 23=1,点P (1,32),则椭圆C 在点P 处的切线方程为 .。
专题07 切线问题-2020年高考数学多题一解篇(文理通用)(解析版)
2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之切线篇【知识储备】直线与曲线相切涉及到三个量：直线、曲线、切点，直线与圆相切也涉及到三个量：直线、圆、点。
因此它们有共同的命题方式：知“二”求“一”，即知道其中的两个量去求另外一个两，虽然考查的知识点不一样，但思维方式是一样的，常常利用切点既在曲线上又在直线上来建立方程解决问题，都在考查方程思想的应用，因此它们属于多题一解。
1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx。
(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。
相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)。
(3）曲线切线方程的求法：①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：i、求出函数f(x)的导数f′(x)；ii、求切线的斜率f′(x0)；iii、写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组001010()()y f xy yf xx x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．2．直线与圆的位置关系与判断方法【走进高考】【例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理、文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.【例2】【2019年高考全国Ⅰ卷文、理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 【例3】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）U （1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在 （0，1），（1，+∞）单调递增．因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-， 故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 【例4】【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.【例5】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）Me的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为Me 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为Me与直线x +2=0相切，所以Me的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故Me的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得Me的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.【例6】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由于EM AB ⊥u u u u r u u u r，而()2,2EMt t =-u u u u r ，AB u u u r与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小. 【典例分析】已知曲线的方程、切点坐标求切线方程【例】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【解析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 【例】经过点(3,0)M 作圆22243x y x y +---0=的切线l ，则l 的方程为（ ）A ．30x y +-=B ．30x y +-=或3x =C ．30x y --=D ．30x y --=或3x =【答案】C【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆心坐标为(1,2)，半径为， 当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)30y k x kx y k =-⇒--=，圆心到它的距离为1k =⇒=，即切线方程为30x y --=，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠3x =不是圆的切线.因此切线方程为30x y --=，故本题选C.【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.解答本题时，设直线l 存在斜率k ，点斜式设出方程，利用圆心到直线l 的距离等于半径求出斜率k ，再讨论直线l 不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写出直线方程，综合求出切线方程. 已知曲线的方程、切线方程求切点坐标【例】【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．【例】【2014·高考江西卷】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e.即P (e ，e)．答案：(e ，e) 已知切线方程、切点坐标求曲线方程【例】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.【解析】法一：∵y ′＝1＋1x，∴y ′|x ＝1＝2，∴y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1.又切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，当a ＝0时，y ＝2x ＋1与y ＝2x －1平行，故a ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋?a ＋2?x ＋1，y ＝2x －1，得ax 2＋ax ＋2＝0，∵Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8.法二：∵y ′＝1＋1x，∴y ′|x ＝1＝2，∴y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1，又切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，当a ＝0时，y ＝2x ＋1与y ＝2x －1平行，故a ≠0.∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴令2ax ＋a ＋2＝2，得x ＝－12，代入y ＝2x －1，得y ＝－2，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2在y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的图象上，故－2＝a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(a ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1，∴a ＝8. 答案：8【例】若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)O a a <，则=，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为22(5)5x y ++=．【小结】1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线。
2020年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题33 抛物线及其性质 理
专题33 抛物线及其性质一、考纲要求：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用． 二、概念掌握和解题上注意点： 1.应用抛物线定义的两个关键点1）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2）注意灵活运用抛物线上一点P x ，y 到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p2或|PF |＝|y |＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法1）求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可.2）抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量. 3.研究抛物线的焦点坐标或准线方程，必须把抛物线化成标准方程，正确的求出p . 4.解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式.3）涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解. 三、高考考题题例分析例1.（2020课标卷I ）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则•=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D例2.（2020课标卷II）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l 与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y=x﹣1；（2）（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．【解析】：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．例7.(2020课标卷II)已知F是抛物线C:28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。
2020年高考数学解答题压轴题考法深度揭秘 - 专题9 圆锥曲线综合应用
2020年高考数学解答题压轴题考法深度揭秘专题九、圆锥曲线的综合问题全国高考及各省市高考对圆锥曲线的考查，常处于压轴题的位置，题型灵活多变，能综合考查学生的数学解题能力，是出活题、考能力的典范．由于向量、函数、方程、不等式等内容的充实，圆锥曲线试题逐渐向多元化、交汇型发展，试题既保证突出考查解析几何基本能力的同时，又聚焦于轨迹、参数的取值范围、定值、定点和最值问题动态化的探究，考查解析几何的核心素养．考法01 圆锥曲线及其几何性质的确定与应用考查角度1 判断点、直线和圆锥曲线之间的位置关系(2014·北京理改编，19，10分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．【知识揭秘】 揭秘1：OA ⊥OB ⇒OA→·OB →＝0；揭秘2：圆心(0，0)到直线AB 的距离为2，可得直线AB 与圆相切． 【思维揭秘】 设点A (x 0，y 0)，B (t ，2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，用x 0、y 0表示t ，当x 0＝t 或x 0≠t 分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆的位置关系．【解析揭秘】 直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A (x 0，y 0)，B (t ，2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0，当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方徎，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2，圆心O 到直线AB 的距离d＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方徎为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 2＋162x 20＝ 2. 故此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．考查角度2 判断曲线是否过定点(2012·福建文，21，12分)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【知识揭秘】 揭秘1：由等边三角形的性质得B (43，12)；揭秘2：设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0可以推出以PQ 为直径的圆恒过y 轴上点M .【思维揭秘】 (1)由等边三角形的性质，可得B 点的坐标，代入抛物线的方程得出p 的值，进而得到抛物线E 的方程．(2)由抛物线的方程，设出点P 的坐标，进而求得Q 的坐标．方法一：设点M 满足MP→·MQ →＝0，得出M 的坐标，进而得出结论；方法二：由两个特殊点得出满足条件的点M ，再证明点M 为所求定点即可．【解析揭秘】 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°. 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，所以y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.方法一：设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，得 x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎨⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．方法二：取x 0＝2，此时P (2，1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0，1)，M 2(0，－1)．取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0，1)，M 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M (0，1)．以下证明点M (0，1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．考查角度3 判断直线是否过定点(2015·四川理，20，13分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【知识揭秘】 揭秘1：当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22，可得A ，B 坐标；揭秘2：当直线l 与x 轴垂直时，求出点Q ；揭秘3：因为|P A ||PB |＝|x 1||x 2|，所以只需证|QA ||QB |＝|x 1||x 2|，因为Q ，A ，B 不可能共线，所以作点B 的对称点B ′，使得|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|.【思维揭秘】 (1)通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E 截得线段长为22及离心率是22，计算即得结论；(2)通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0，2)，然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用根与系数的关系及直线斜率计算方法，证明对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |即可．【解析揭秘】 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，如果存在定点Q 满足条件，则|QA ||QB |＝|P A ||PB |＝1， 即|QA |＝|QB |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)． 当直线l 与x 轴垂直时，则A (0，2)，B (0，－2)， 由|QA ||QB |＝|P A ||PB |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0，2)．下面证明：对任意的直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |. 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝16k 2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .如图，易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B ′(－x 2，y 2)．又k QA ＝y 1－2x 1＝k －1x 1，k QB ′＝y 2－2－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线． 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |.故存在与点P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．【名师点睛】 (1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，即f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(其中λ为参数)的形式．既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，就得到一个关于x ，y 的方程组，由⎩⎨⎧f （x ，y ）＝0，g （x ，y ）＝0确定定点坐标．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．1.(2016·山东淄博一模，20，12分)如图所示的封闭曲线C 由曲线C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和曲线C 2：y ＝nx 2－1(y <0)组成，已知曲线C 1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，离心率为32，点A ，B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点．(1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)若点F 为曲线C 1的右焦点，直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 1相切于点M ，与直线x ＝433交于点N ，求证：以MN 为直径的圆过点F .1．解：(1)由已知得，3a 2＋14b 2＝1.① 又e ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2.②由①②得a 2＝4，b 2＝1，所以曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(y ≥0)．从而A (－2，0)，所以曲线C 2的方程为y ＝14x 2－1(y <0)． (2)证明：由题意得F (3，0)． 设M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 又直线l 与曲线C 1相切于M ， 所以Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝0. 即m 2＝4k 2＋1，x 0＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2＝－4km1＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋4k 2， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，1m .易得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，43k 3＋m ，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3，1m ，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，43k 3＋m ，FM →·FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3×33＋1m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 3＋m ＝－43k 3m －1＋43k 3m ＋1＝0， 所以FM→·FN →＝0，所以以MN 为直径的圆过点F .2．(2016·新疆乌鲁木齐一诊，21，12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.(1)求椭圆的方程；(2)过点A 与椭圆只有一个公共点的直线为l 1，过点F 与AF 垂直的直线为l 2，求证：l 1与l 2的交点在定直线上．2．解：(1)由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即F (－c ，0)．设弦与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1，② ①－②，得－b 2a 2＝y 21－y 22x 21－x 22.③∵点M 平分弦AB ，弦经过焦点， ∴x 1＋x 22＝－23， y 1＋y 22＝13， y 1－y 2x 1－x 2＝13－23＋c ，代入③式得，－b 2a 2＝23×13－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋c ，即b 2a 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23.又∵c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，∴c 2＝b 2＝12a 2，∴12＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23，即c ＝1，a ＝2， ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设切点A 的坐标为(x 1，y 1)，由对称性，不妨设y 1>0，由x 22＋y 2＝1得椭圆上半部分的方程为y ＝1－x 22，y ′＝12·11－x 22·(－x )＝－x 21－x 22，∴k 切＝－x 121－x 212＝－x 12y 1， ∴A 点处的切线方程为y －y 1＝－x 12y 1(x －x 1)，① 过F 且垂直于F A 的直线方程为 y ＝－x 1＋1y 1(x ＋1)，②由①②两式，消去y 得y 1＝－x 1＋1y 1(x ＋1)＋x 12y 1·(x －x 1)，③其中x 212＋y 21＝1，代入③式，可得x ＝－2. ∴l 1与l 2的交点P 在定直线x ＝－2上．考法02 根据几何性质求有关参数的值（或取值范围）(2013·山东文，22，14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP→＝tOE →，求实数t 的值．【知识揭秘】 揭秘1：A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线OA ：y A x －x A y ＝0，点B到直线OA 的距离d ＝|y A x B －x A y B |x 2A ＋y 2A ，|OA |＝x 2A ＋y 2A ，所以S △AOB ＝12|OA |·d ＝12|x A y B－x B y A |；揭秘2：由三角形面积公式知，12|x A y B －x B y A |＝12|x A ·(kx B ＋m )－x B (kx A ＋m )|＝12|m ||x A －x B |＝64，得到m ，k 的关系；揭秘3：由OP→＝tOE →得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt 1＋2k 2，mt 1＋2k 2. 【思维揭秘】 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴长为2b ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解出即可得到椭圆的方程；(2)当AB ⊥x 轴时，设出A ，B 的坐标，由S △AOB 及椭圆方程求出x 20，由OP →＝tOE→，得P 的坐标，代入椭圆求出t 的值．当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为y ＝kx ＋m ，联立椭圆的方程，根据根与系数的关系求出x A ＋x B ，x A x B ，由三角形的面积公式得出m ，k ，t 的关系式，由OP →＝tOE →得出m ，k ，t 另一关系式，联立可求出t 的值．【解析揭秘】 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，设A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧12|2x 0y 0|＝64，x 202＋y 20＝1，得x 20＝12或32，由E 为线段AB 的中点，OP →＝tOE →，得P (tx 0，0)，又P 在椭圆上，所以t 2x 202＋02＝1，所以t 2＝2x 20＝4或43，所以t ＝2或233(舍去负值)．当AB 不垂直于x 轴时，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，E (x E ，y E )，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，显然m ≠0，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.(*)所以x A ＋x B ＝－4km1＋2k 2，x A x B ＝2（m 2－1）1＋2k 2.由三角形面积公式知，12|x A y B －x B y A |＝12|x A (kx B ＋m )－x B (kx A ＋m )|＝12|m ||x A －x B |＝64， 所以|x A －x B |＝62|m |⇒(x A ＋x B )2－4x A x B ＝32m 2， 即16k 2m 2（1＋2k 2）2－8（m 2－1）1＋2k 2＝32m 2， 整理得，1＋2k 2－3（1＋2k 2）216m2＝m 2.① 又x E ＝x A ＋x B 2＝－2km 1＋2k 2，y E ＝kx E ＋m ＝m1＋2k 2， 所以OP →＝tOE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt 1＋2k 2，mt 1＋2k 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt1＋2k 2，mt 1＋2k 2，将其代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt 1＋2k 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mt 1＋2k 22＝1，整理可得1＋2k 2＝m 2t 2，② 联立①②，消去1＋2k 2，约掉m 2，移项整理得， 3t 4－16t 2＋16＝0，解得，t 2＝4或43，均能使(*)式的Δ>0， 所以t ＝2或233(舍去负值)．综上，t ＝2或233.1.(2016·广西南宁模拟，21，12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1．解：(1)由已知得c ＝1，a ＝2c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)若△BFM 与△BFN 的面积比值为2，则FM 与FN 比值为2. 当直线l 斜率不存在时，FM 与FN 比值为1，不符合题意，舍去； 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，直线l 的方程代入椭圆方程，消x 并整理得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6k3＋4k 2，①y 1y 2＝－9k 23＋4k 2.②由FM 与FN 比值为2得y 1＝－2y 2.③ 由①②③解得k ＝±52，因此存在直线l ：y ＝±52(x －1)，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2. 2．(2016·江西九校一模，21，12分)已知顶点为原点O ，焦点在x 轴上的抛物线，其内接△ABC 的重心是焦点F ，若直线BC 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线方程；(2)过抛物线上一动点M 作抛物线的切线l ，又MN ⊥l 且交抛物线于另一点N ，ME (E 在M 的右侧)平行于x 轴，若∠FMN ＝λ∠NME ，求λ的值．2．解：(1)设抛物线的方程为y 2＝2px ，则其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，联立⎩⎨⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ⇒8x 2－(p ＋80)x ＋200＝0，∴x 2＋x 3＝p ＋808，y 2＋y 3＝20－4x 2＋20－4x 3＝－p2. 又△ABC 的重心为焦点F ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝x 1＋x 2＋x 33，0＝y 1＋y 2＋y 33，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝11p －808，y 1＝p 2，代入抛物线方程中，解得p ＝8， 故抛物线方程为y 2＝16x .(2)设M (x 0，y 0)，由y 2＝16x ，两边对x 求导，2yy ′＝16，即切线的斜率为k ＝8y 0，所以y －y 0＝8y 0(x －x 0)整理得切线l ：y 0y ＝8(x ＋x 0)⇒k MN ＝－y 08， 即tan ∠NME ＝－k MN ＝y 08. 又tan ∠FME ＝－k MF ＝－y 0x 0－4， ∵tan 2∠NME ＝2×y 081－y 2064＝16y 064－y 20＝y 04－x 0＝tan ∠FME ，∴∠FME＝2∠NME，即λ＝2.考法03 某些几何量的最值或定值问题考查角度1 求一些几何量的最值(范围)(2015·浙江理，19，15分)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．【知识揭秘】揭秘1：点A，B关于直线y＝mx＋12对称，可得AB所在直线与直线y＝mx＋12垂直且AB的中点在直线y＝mx＋12上；揭秘2：由A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间距离公式得|AB|＝k2＋1·|x1－x2|＝k2＋1·[（x1＋x2）2－4x1x2].【思维揭秘】(1)可设直线AB的方程为y＝－1m x＋b，从而可知⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y＝－1m x＋b有两个不同的解，再由AB中点也在直线上，即可得到关于m的不等式，从而求解；(2)令t＝1m，可将△AOB表示为t的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值问题．【解析揭秘】 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2bm x ＋b 2－1＝0.∵直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，∴Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①∴x 1＋x 2＝4mbm 2＋2，x 1x 2＝2m 2（b 2－1）m 2＋2，∴y 1＋y 2＝2m 2bm 2＋2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2.将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63.(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，∴S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，故△AOB 面积的最大值为22.【名师点睛】 (1)已知直线与椭圆相交求三角形面积，可利用点到直线的距离求三角形的高，利用弦长公式求底边长，进而求三角形的面积．(2)对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数——一元二次函数形式的最值问题，或用基本不等式求最值．考查角度2 与圆锥曲线有关的定值问题(2013·江西文，20，13分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．【知识揭秘】 揭秘1：由D ，P ，N 三点共线可知k DP ＝k DN ； 揭秘2：MN 的斜率为y M －y Nx M －x N.【思维揭秘】 (1)借助椭圆中a 2＝b 2＋c 2的关系及两个已知条件即可求解； (2)可以写出BP 的直线方程，分别联立椭圆方程及AD 的方程表示出点P ，M 的坐标，再利用DP 与x 轴表示点N 的坐标，最终把m 表示成k 的形式，就可求出定值；另外也可设点P 的坐标，把k 与m 都用点P 的坐标来表示，就可求出定值．【解析揭秘】 (1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c .又由a 2＝b 2＋c 2得b ＝13c ， 代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：方法一：因为B (2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，①将①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1. ② 联立①②解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x ，0)三点共线可知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，即x ＝4k －22k ＋1，所以点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k （2k ＋1）2（2k ＋1）2－2（2k －1）2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)． 方法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2， 直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)， 直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x .令y ＝0，由于y 0≠1，可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），y ＝y 0x 0－2（x －2），解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，所以MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋2－04y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2－－x 0y 0－1＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－（4－4y 20）＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2. 故2m －k ＝2（y 0－1）2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2（y 0－1）（x 0－2）－y 0（2y 0＋x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－2y 20－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－12（4－x 20）－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）＋12（2＋x 0）－y 02y 0＋x 0－2＝y 0＋12x 0－12y 0＋x 0－2＝12(定值)．【名师点睛】 这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②可运用函数的思想方法来解决，其证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下：变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．1.(2016·辽宁沈阳一模，20，12分)已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1，F 2均在x 轴上，离心率为12，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1.过A ，F 1作一个平行四边形，顶点A ，B ，C ，D 都在椭圆E 上，如图所示．(1)求椭圆E 的方程；(2)判断▱ABCD 能否为菱形，并说明理由； (3)当▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．1．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝ca ＝12，所以a ＝2c .设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，焦点F 1(－c ，0)， 即|AF 1|＝（x 0＋c ）2＋y 20 ＝x 20＋2cx 0＋c 2＋b 2－b 2x 20a2＝c 2a 2x 20＋2cx 0＋a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c a x 0＋a . 因为x 0∈[－a ，a ]，所以当x 0＝－a 时，|AF 1|min ＝a －c .由题意得，a －c ＝1，结合a ＝2c 可知，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)▱ABCD 不可能是菱形，理由如下： 由(1)知F 1(－1，0)，直线AB 不可能平行于x 轴，所以设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，x y 1·y 2＝－93m 2＋4.若▱ABCD 是菱形，则OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，于是有x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.又x 1·x 2＝(my 1－1)(my 2－1) ＝m 2y 1·y 2－m (y 1＋y 2)＋1，所以(m 2＋1)y 1·y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝0，得到－12m 2－53m 2＋4＝0，易知m 没有实数解，故▱ABCD 不可能是菱形．(3)由题意知S ▱ABCD ＝4S △AOB ，而S △AOB ＝12|OF 1|·|y 1－y 2|，又|OF 1|＝1，即S ▱ABCD ＝2|OF 1|·|y 1－y 2| ＝2（y 1＋y 2）2－4y 1·y 2， 由(2)知y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4，所以S ▱ABCD ＝236m 2＋36（3m 2＋4）（3m 2＋4）2＝24m 2＋1（3m 2＋4）2＝2419（m 2＋1）＋1m 2＋1＋6.因为函数f (t )＝9t ＋1t ，t ∈[1，＋∞)，在t ＝1时，f (t )min ＝10，即S ▱ABCD 的最大值为6，此时m 2＋1＝1，即m ＝0时，这时直线AB ⊥x 轴，可以判断▱ABCD 是矩形．2．(2016·山东潍坊一模，20，13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交所得弦的长度为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 交椭圆E 于不同的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设OP →＝(bx 1，ay 1)，OQ →＝(bx 2，ay 2)，O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．2．解：(1)由题意知e ＝32，故c a ＝32， 即3a ＝2c .①因为直线过左焦点F (－c ，0)且倾斜角为30°，可得直线方程为y ＝33(x ＋c )． 又直线y ＝33(x ＋c )与圆x 2＋y 2＝b 2的相交弦长为1，所以圆心到直线距离d ＝3c 3＋9＝3c 23＝c 2， 再由勾股定理得，b 2－c 24＝14. ②由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2c ，b 2－c 24＝14a 2＝b 2＋c 2，，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以线段PQ 为直径的圆过原点，所以OP→⊥OQ →，即OP →·OQ →＝0， 所以b 2x 1x 2＋a 2y 1y 2＝0，x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即x 21－4y 21＝0.③又因为点M (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 214＋y 21＝1.④把③代入④得，x 21＝2，|y 1|＝22，所以S △OMN ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝12×2×2＝1.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y ，化简得 (1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 与椭圆E 相交于不同两点，所以Δ>0.Δ＝64k 2t 2－4×(1＋4k 2)(4t 2－4)>0，即Δ＝4k 2－t 2＋1>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2. 由题意知OP→·OQ →＝0， 即x 1x 2＋4y 1y 2＝0.又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，所以x 1x 2＋4[k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2]＝0， 所以(1＋4k 2)x 1x 2＋4kt (x 1＋x 2)＋4t 2＝0， 代入整理得2t 2＝1＋4k 2.⑤又|MN |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 22－4·4t 2－41＋4k 2 ＝1＋k 2·41＋4k 2－t 21＋4k 2. 点O 到直线y ＝kx ＋t 的距离d ＝|t |1＋k 2， 所以S △MON ＝12d ·|MN |＝12×|t |1＋k2·1＋k 2·41＋4k 2－t 21＋4k 2 ＝12|t |·41＋4k 2－t 21＋4k 2，⑥ 将⑤代入⑥得S △MON ＝12|t |×4|t |2t 2＝1.综上，△MON 的面积为定值1.。
2020高考数学讲练压轴题曲线的切线问题探究【解析版】
《备战戏甄高考。
冲破压轴题讲与练》第一章函数与导数专题02曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1.已知斜率求切点.已知斜率上，求切点（X p/（%!）），即解方程r（x）=k.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点.（1）已知切点求切线方程：①求出函数y=/（x）在点%=%0处的导数，即曲线y=/（x）在点（%，/■（易））处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为y-%=广（沔）（X-吒）.（2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P'（X”f（X1））;第二步，写出过P'（X1,f（X1））的切线方程为y-f（xi）=f'（X1）（X-X1）；第三步，将点P的坐标（x。
，y。
）代入切线方程，求出X】；第四步，将Xi的值代入方程y-f（x1）=f/（xj）（x-xj可得过点P（x°,y。
）的切线方程.3.求切线倾斜角的取值范围.先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决.4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P（x。
,贝）既在曲线上又在切线上构造方程组求解.5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题.【压轴典例】例1.（2019・江苏高考真题）在平面直角坐标系xQy中，点W在曲线j-lnx上，且该曲线在点，处的切线经过点（-e,T）（e为自然对数的底数），则点，的坐标是.【答案】（e,l）.【解析】设点人（不，为），则y Q=lnx o-又y'=L,X,1当x=x0时，y=—,吒1,、点/在曲线V=lnx上的切线为y-%=—3-气），x o即y—15=---1,%代入点（一6-1）,得―l-lnx0=—-1,入0即x o lnx o=g,考查函数H（x）=xlnx,当xc（O,l）时，H（x）＜0,当xc（l,+co）时，H（x）＞0,且H'（x）=lnx+1,当x〉l时，H'（x）＞O,H（x）单调递增，注意到H（e）=e,故x（）lnx0=e存在唯一的实数根x°=e,此时j0=1,故点A的坐标为A（e,l）.例2.（2019•全国高考真题（理））V*1已知函数f（x）Tnx-——.x-1（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；（2）设&是/V）的一个零点，证明曲线y=ln x在点A（x0,In为）处的切线也是曲线y=e x的切线.【答案】（1）函数f（x）在（0』）和（1,+8）上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)函数/'⑴的定义域为(0,1)51,+8),+11*2+1/(%)=lnx——n f\x)=——-y，因为函数HQ的定义域为(0,1)口(1,+8),所以f\x)>0, x-1x(x-l)因此函数/'(x)在(0,1)和(1,+°0)上是单调增函数；11~+12当%6(0,1),时，—而/(-)=In一一*—=—>0,显然当xe(0,l),函数/'⑴e e上_]e-1e有零点，而函数f(x)在xe(0,l)±单调递增，故当xe(o,l)时，函数f(x)有唯一的零点；当xe(l,+oo)时，/(e)=lne-----=——<0,/(e2)=Ine2---—=十^>0,e—1e—1e—1e—1因为/'(e)•/V)<0,所以函数/'(x)在(*2)必有一零点，而函数f(x)在(1,+8)上是单调递增，故当xe(l,+oo)时，函数f(x)有唯一的零点综上所述，函数/'⑴的定义域(0,1)顷1,+8)内有2个零点；(2)因为利是f(x)的一个零点，所以f3o)=lnxo-血丹制以血吒二血丹吒―1吒―1y=lnxn_/=L,所以曲线y=lnx在AG^hiXo)处的切线/的斜率k=—,故曲线y=lnx在11Z X为+1A(x0,ln^0)处的切线/的方程为：y-lnx0=—(x-x0)而lnxo=—所以/的方程为X0尤0_1x22y=—+—,它在纵轴的截距为一.X0X0~L x o~L设曲线"/的切点为B(y,过切点为3("1)切线r,y=e、nv'=e*,所以在3(")处的切线/'的斜率为炒，因此切线/'的方程为y=ef+eWl-石)，当切线「的斜率K=e x'等于直线I的斜率*=上时，即顼=上n羽=-(In x0),1X +1切线Z'在纵轴的截距为々=e"(1-羽)=e""(l+InXo)=—(l+lnx0);而Inx0=—一~,所以,I x n+l2々=—(l+七)=—,直线/,/的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线/,/重合,气MT工。