高考数学 立体几何试题分类汇编 理
高考数学立体几何试题分类汇编理
（安徽）
（A） 48 (B)32+817 (C) 48+817 (D) 80
（北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A．8 B．62C．10
D．82
（湖南）设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．
9
12
2
π+ B．
9
18
2
π+
C．942
π+ D．3618
π+
答案：B
3
正视图侧视图
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439
+332=18322
V ππ=
??+（）。
（广东）如图l —3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A.63
B.93
C.123
D.183
（江西）已知321,,ααα是三个相互平行的平面,平面21,αα之间的距离为1d ,平面32,αα之间的距
离为2d .直线l 与321,,ααα分别交于321,,P P P .那么”
“3221P P P P =是”“21d d =的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：平面321,,ααα平行，由图可以得知：
如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P = 如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =
（辽宁）如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确．．．
的是 A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCD
C ．SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
（辽宁）已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC
的体积为 A ．33
B ．32
C ．3
D ．1
（全国2）已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于 (A)
2
(B)3 (C)6 (D) 1
【思路点拨】本题关键是找出或做出点D 到平面ABC 的距离DE ，根据面面垂直的性质不难证明AC ⊥平面
β，进而β⊥平面平面ABC,所以过D 作DE BC ⊥于E ，则DE 就是要求的距离。
【精讲精析】选C.
如图，作DE BC ⊥于E ，由l αβ--为直二面角，AC l ⊥得AC ⊥平面
β，进而AC DE ⊥，又,BC DE BC
AC C ⊥=，于是DE ⊥平面ABC ，
故DE 为D 到平面ABC 的距离。 在Rt BCD ?中，利用等面积法得126
3
BD DC DE BC ??=
==
. （全国新）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为
（山东）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)
视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是
（A ）3 （B ）2
（C ）1 （D ）0
5. （陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
(A)2?D8
3 |D8
3 8-2π 2?D
3
（四川）1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题
正确的是
(A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ? （B ）12l l ⊥，23l l ?13l l ⊥ (C)233l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面
（浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
（浙江）下列命题中错误．．
的是
A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ?，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
（重庆）高为
2
4
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （A ）
24 （B ）22
(C) 152 (D) 2
（天津）一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为__________3
m
（四川）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .
（上海）若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为。
（全国新）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23
==,则棱
AB BC 锥O ABCD
-的体积为。
（全国2）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成0
60二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为
(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π
【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。
【精讲精析】选B.
作示意图如，由圆M的面积为4π，易得
22
==-=，
2,23
MA OM OA MA
Rt OMN ?中，30OMN ∠=。
故2
cos303,39.MN OM S ππ=?==?=.
（全国2）己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面
ABC 所成的二面角的正切值等于 .
【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF 必与BC 相交，交点为P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线. 【精讲精析】
2
3
.延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，因为90CAP ∠=，所以FCA ∠为面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。
22
3tan 32
FC FCA CA ∠===
（福建）三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA=3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC 的体积等于______。 （辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ．
（重庆）如题（19）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，
AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30?.
（Ⅰ）若AD =2，AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；
(Ⅱ) 若二面角C AB D --为60?，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.
（四川）如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．
(I)求证：CD=C1D：
(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；
(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．
（浙江）如图，在三棱锥P ABC
-中，AB AC
=，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
方法一：（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，
建立空间直角坐标系O—xyz则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)
O A B C P
--，
(0,3,4),(8,0,0)
AP BC
==-，由此可得0
AP BC
?=，所以
AP BC
⊥，即.
AP BC
⊥
（II）解：设,1,(0,3,4)
PM PA PM
λλλ
=≠=--
则BM BP PM BP PA
λ
=+=+
(4,2,4)(0,3,4)
(4,23,44)
λ
λλ
=--+--
=----
(4,5,0),(8,0,0)
AC BC
=-=-
设平面BMC的法向量
1111
(,,)
n x y z
=，平面APC的法向量
2
n
222
(,,)
x y z
=
由1
1
0,
0,
BM n
BC n
??=
?
?
?=
??
得111
1
4(23)(44)0,
80,
x y x
x
λλ
--++-=
?
?
-=
?
即
1
1
11
0,
23
(0,1,)
23
44
,
44
x
n
z y
λ
λ
λ
λ
=
?
+
?
=
?+
-
=
?-
?
可取
由2
2
0,
0.
AP n
AC n
??=
?
?
?=
??
即22
22
340,
450,
y z
x y
+=
?
?
-+=
?
得
22
2
22
5
,
4(5,4,3).
3
,
4
x y
n
z y
?
=
??
=-
?
?=-
??
可取
由12230,430,44n n λλ+?=-?
=-得解得2
5
λ=，故AM=3。综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。
方法二：（I ）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥又PO ⊥平面ABC ，得.PO BC ⊥ 因为PO AD O =，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥
（II ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM ，由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面
BMC ，又AP ?平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC 。在222
,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ?=+==
中得
在
222
,Rt POD PD PO OD ?=+中，在
222,,
Rt PDB PB PD BD ?=+中所
以
222236,PB=6.PB PO OD DB =++=得
在2
2
2
Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ?=+==中得又2221
cos ,23
PA PB AB BPA PA PB +-∠=
=? 从而PM cos 2PB BPA =∠=，所以AM=PA-PM=3。
综上所述，存在点M 符合题意，AM=3。
（上海）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点。
⑴ 设1AB 与底面1111A B C D 所成的角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β。 求证：tan 2tan βα=
；
⑵ 若点C 到平面11AB D 的距离为4
3
，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高。 解：设正四棱柱的高为h 。
⑴ 连1AO ，1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ，∴ 1AB 与底面1111A B C D 所成的角为11AB A ∠，即11AB A α∠=
∵ 11AB AD =，1O 为11B D 中点，∴111AO B D ⊥，又1111A O B D ⊥， ∴ 11AO A ∠是二面角111A B D A --的平面角，即11AO A β∠= ∴ 111tan AA h A B α==，1
11
tan 22tan AA h AO βα===。
⑵ 建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)A h B D C h
11(1,0,),(0,1,),(1,1,0)AB h AD h AC =-=-=
设平面11AB D 的一个法向量为(,,)n x y z =，
O 1
D
C
B
A D C 1
B 1A 1
A 1
B 1
C 1
D 1
A B
C
D O 1
z A B
C
D
∵ 11110
n AB n AB n AD n AD ??⊥?=?????⊥?=????，取1z =得(,,1)n h h =
∴ 点C 到平面11AB D 的距离为22||4
3
||1n AC d n h h ?=
==++，则2h =。 （天津）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，
H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =
（Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；
（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的
长．
本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何
问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分. 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点. 依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C - 111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C
（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-， 于是1111112
cos ,,||||322
AC A B AC A B AC A B ?=
==?? 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值
为
2
. （II ）解：易知111(0,22,0),(2,2,5).AA AC ==-- 设平面AA 1C 1的法向量(,,)m x y z =，
则11100m A C m AA ??=???=??即2250,220.x y z y ?--+=??=?
? 不妨令5,x =可得(5,0,2)m =，
同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量(,,)n x y z =， 则11110,0.n A C n A B ??=???=??即2250,220.x y z x ?--+=??-=?
?不妨
令5y =
，可得(0,5,2).n =于是2
cos ,,||||777
m n m n m n ?=
==??从而35sin ,.7m n = 所以二面角A —A 1C 1—B 的正弦值为
35
.7
（III ）解：由N 为棱B 1C 1的中点，得2325(
,,).222N 设M （a ，b ，0），则2325
(,,)222
MN a b =-- 由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得11110,0.MN A B MN AC ??=???=??即2
()(22)0,2325(
)(2)()(2)50.a a b ?-?-=??
?
?-?-+-?-+?=?? 解得2
,
2
.a b ?
=???
?=??
故22(,,0).24M 因此22(,,0)24BM =，所以线段BM 的长为10||.BM =
方法二：
（I ）解：由于AC//A 1C 1，故111C A B ∠是异面直线AC 与A 1B 1所成的角.
因为1C H ⊥平面AA 1B 1B ，又H 为正方形AA 1B 1B 的中心，1122,5,AA C H ==可得11
11 3.AC B C == 因此222
111111
1111111
2cos .23AC A B B C C A B AC A B +-∠==?
所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为2
.3
（II ）解：连接AC 1，易知AC 1=B 1C 1，
又由于AA 1=B 1A 1，A 1C 1=A 1=C 1，所以11AC A ?≌11B C A ?，过点A 作11AR A C ⊥于点R ， 连接B 1R ，于是111B R A C ⊥，故1ARB ∠为二面角A —A 1C 1—B 1的平面角.
在11Rt A RB ?中，2111112214sin 221(
).33
B R A B RA B =?∠=?-=连接AB 1，在1ARB ?中， 222
1111114,,cos 2AR B R AB AB AR B R ARB AR B R
+-==∠=
?27=-， 从而135sin .7ARB ∠=
所以二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值为35
.7
（III ）解：因为MN ⊥平面A 1B 1C 1，所以11.MN A B ⊥取HB 1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B 1C 1中点， 所以ND//C 1H 且115
22
ND C H ==.又1C H ⊥平面AA 1B 1B ，所以ND ⊥平面AA 1B 1B ，故11.ND A B ⊥ 又,MN
ND N =所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A 1B 1于点E ，则111,//.ME A B ME AA ⊥故
由
1111111
,4
B E B D DE AA B A B A ===得122DE B E ==，延长EM 交AB 于点F ，可得12.2BF B E ==
连接NE. 在Rt ENM ?中，2
,.ND ME ND DE DM ⊥=?故所以252.4ND DM DE ==可得2
.4
FM = 连接BM ，在Rt BFM ?中，2210.4
BM FM BF =+=
（陕西）如图，在ABC ?中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=是BC 上的高，沿AD 把ABC ?折起，
使90BCD ∠= 。
（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ ⊥平面ＢＤＣ；
（Ⅱ ）设Ｅ为ＢＣ的中点，求AE ??→与 DB
??→夹角的余弦值。
解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，
∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD ⊥ＤＣ，AD ⊥ＤＢ， 又DB ?ＤＣ＝Ｄ， ∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ， ∵AD 平面
平面BDC.
（Ⅱ ）由∠ ＢＤＣ＝90?及（Ⅰ）知DA ，ＤＢ，DC 两两垂直，不防设DB =1，以D 为坐标原点，以DB ??→，DC ??→，DA ??→所在直线,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D （0,0,0），B （1,0,0），C （0,3,0），A （0,0，3），E （
12，3
2
，0）， AE
∴??→=13,,322??
- ???
， DB
??→=（1，0,0,）， AE ∴??→与DB
??→夹角的余弦值为 cos ＜AE ??→，DB
??→＞=AE DB
AE DB
??→??→??→??→1
2222214
=
=
?
.
（山东）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ ⊥平面ＡＢＣＤ，
EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ)若Ｍ是线段ＡＤ上的中点，求证：ＧＭ ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ-２ＡＥ,求平面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
（全国新）如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(Ⅰ)证明：PA⊥BD；
(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
解：
（Ⅰ）因为60,2
∠=?=, 由余弦定理得
DAB AB AD
3
BD AD
=
从而BD2+AD2= AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD. 故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则
()1,0,0A ,()03,0B ，,()
1,3,0C -,()0,0,1P 。
(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-
设平面PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则
即
3030
x y y z -+=-=
因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则
00
m PB m BC ?=?=
可取m=（0，-1，3-） 427
cos ,727
m n -=
=- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27
7
-
（全国2）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，
2,1AB BC CD SD ====.（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.
【思路点拨】本题第（I ）问可以直接证明，也可建系证明。
（II ）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化
为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1，
5,2AD SA ==，
于是2
2
2
SA SD AD +=，利用勾股定理，可知SD SA ⊥，同理，可证SD SB ⊥ 又SA
SB S =，因此，SD SAB ⊥平面.
（II ）过D 做Dz ABCD ⊥平面，如图建立空间直角坐标系D-xyz ， A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),1
3(,0,
)22
S 可计算平面SBC 的一个法向量是(0,3,2),(0,2,0)n AB ==
||2321
|cos ,|7||||27
AB n AB n AB n ?<>=
==?. 所以AB 与平面SBC 所成角为21arcsin
7
. （辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =
1
2
P D ． （I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值． 解：
如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz.
（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ?=?=
即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC. 故PQ ⊥平面DCQ.
又PQ ?平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. …………6分 （II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--
设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,
20.0,n CB x x y z n BP ??==????-+-=?=?
??即
因此可取(0,1,2).n =--
设m 是平面PBQ 的法向量，则0,
0.
m BP m PQ ??=???=??
可取15
(1,1,1).cos ,.m m n =<>=-
所以 故二面角Q —BP —C 的余弦值为15
.5
- ………………12分
（广东）如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是便常委边长为1的棱形，且
060DAB ∠=,2PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，
（1） 证明：AD DEF ⊥平面 （2）求二面角P AD B --的余弦值。
（江西）（1）如图，对于任一给定的四面体4321A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面
4321,,,αααα，使得i i A α∈（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等； （2）给定依次排列的四个相互平行的平面4321,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离为1，
若一个正四面体4321A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（i=1,2,3,4），求该正四面体
4321A A A A 的体积.
解：
（1）将直线41A A 三等分，其中另两个分点依次为32
,A A '',连接332
2,A A A A '',作平行于3322,A A A A ''的平面，分别过3322,A A A A ''，即为32,αα。同理，过点41,A A 作平面41,αα即可的出结论。
（2）现设正方体的棱长为a,若则有,11==MN M A ，2
11a
M A =
， a E A D A E D 2
5
21121111=
+=
，由于,1111111E D M A E A D A ?=?得，5=a ， 那么，正四面体的棱长为102==a d ，其体积为3
5
5313==a V （即一个棱长为a 的正方体割去四
个直角三棱锥后的体积）