概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第6章 数理统计的基本概念教程
合集下载
概率论与数理统计 第6章 数理统计基础
【质量控制问题】
某食盐厂用包装机包装的食盐，每袋重量500g， 通常在包装机正常的情况下，袋装食盐的重量X服 从正态分布，均值为500g，标准差为25g．为进行 生产质量控制，他们每天从当天的产品中随机抽 出 30 袋进行严格称重，以检验包装机工作是否正 常．某日，该厂随机抽取30袋盐的重量分别为：
475 500 485 454 504 439 492 501 463 461
464 494 512 451 434 511 513 490 521 514
从这些数据看，包装机的工作正常吗？
449 467 499 484 508 478 479 499 529 480
第6章 数理统计基础
6.1 总体和样本
【数理统计简史】
社会统计学派始于 19 世纪末，首创人物是德国 的克尼斯（K. G. A. Knies），他认为统计学是一 个社会科学，是研究社会现象变动原因和规律性 的实质性科学．各国专家学者在社会经济统计指 标的设定与计算、指数的编制、统计调查的组织 和实施、经济社会发展评价和预测等方面取得了 一系列的重要成果．德国统计学家恩格尔 （C.L.E.Engel，1821-1896）提出的“恩格尔”系 数，美国经济学家库兹涅茨和英国经济学家斯通 等人研究的国民收入和国内生产总值的核算方法 等，都是伟大的贡献．
则X1，X2，X3，X4的联合概率密度为：
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 )
2 xi 16e i 1 , xi 0, i 1,2,3,4 其它 0,
4
6.1.2 样本与抽样
6.1.2 样本与抽样
【例 6.1】设总体 X服从均值为 1/2 的指数分布， X1， X2，X3，X4为来自X的样本，求X1，X2，X3，X4的 联合概率密度和联合分布函数．
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第6章 数理统计的基本概念教程
E( X ) = E( X )
反映总体方差D(X)的信息
样本标准差
E ( S 2 ) = D( X )
S= S
2
反映总体标准差的信息
注1: 观察值用小写表示,记为 x , s 2 , s , a k , b k , x ( 1 ) , x ( n ) 注2:S 2 =
n 2 1 n 1 ∑ ( X i X )2 = n 1 (∑ X i2 n X ) n 1 i =1 i =1
统计量的分布称为抽样分布.数理统计 中常用到如下三个分布: χ2分布, t 分布 和 F分布
(一)χ2分布
构造:设 X 1 , L , X n ~ N ( 0 ,1 ) ,则
iid 2 2 χ 2 = X 12 + X 2 + ... + X n ~ χ 2 ( n )
2)设总体 X～U(1,5),样本 X 1 , X 2 ,L , X 10 , 则 E( X ) = , D( X ) = .
第6章 数理统计的基本概念
概率论:从已知分布出发,研究r.v. X 的性质,规 律,数字特征等等——演绎 数理统计:X 的分布不知道或不完全知道,观察它 的取值(采集数据),通过分析数据来推断 X 服 从什么分布或确定未知参数——归纳 收集,整理数据 统计推断
2
数理统计的基本概念
总体与样本 常用统计量 统计抽样分布
F=
U / n1 ~ F ( n1 , n2 ). V / n2
称为自由度为(n1,n2)的 F 分布.
t1α ( n)
1. 概率密度为
n1 n1 + n2 1 )( n1 / n2 )n1 / 2 y 2 Γ( 2 , p( y ) = n1 n2 n1 ( n1 + n2 ) / 2 Γ ( 2 )Γ( 2 )(1 + n y ) 2 0, y≤0
概率论与数理统计A第6章-文档资料
1 n 2 S ( X X ) i n 1 i 1
样本标准差
样本k阶原点矩
1 k A Xi k=1,2,… k n i1
样本k阶中心矩
n
它反映了总体k 阶矩的信息
1 k M (X X ) k i ni 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
统计量的观察值
1n x xi; n i1
2
tx 1 ( x ) e t dt , x 0 0
2
来定义.
1 2 2 (1 )就是 , 2 分布 . 由定义 X ~ (1 ), 注 已知 i 2 n 1 n 2 2 2 即 Xi ~ 可加性知 Xi ~ ,2.再由 ,2. i 1 2 2
x 是一个样本的观察值 , 则 g ( x ,x , x ) 也是统 n 1 2 n
几个常见统计量
它反映了 1 n 样本平均值 总体均值 X Xi n i 1 的信息 n 1 2 2 样本方差 S (X X ) i n 1i 1 它反映了总体 方差的信息
1 n 2 2 X n X i n 1 i 1
这就是矩估计法的理论 根据 .
经验分布函数
设 X ,X , ,X 是总体 F 的一个样本， s ( x )x 1 2 n
表示 x ,x , ,x 中不大于 x 的随机变量的 . 1 2 n
定义 经验分布函数为
1 F (x ) s (x ) x n n 例设总体 F 具有一个样本值 1 ， 1 ， 2 ，则经验分布函
顺序统计量
极差: 最直接也是最简单的方法，即最大值－最小 值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。
样本标准差
样本k阶原点矩
1 k A Xi k=1,2,… k n i1
样本k阶中心矩
n
它反映了总体k 阶矩的信息
1 k M (X X ) k i ni 1
n
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
统计量的观察值
1n x xi; n i1
2
tx 1 ( x ) e t dt , x 0 0
2
来定义.
1 2 2 (1 )就是 , 2 分布 . 由定义 X ~ (1 ), 注 已知 i 2 n 1 n 2 2 2 即 Xi ~ 可加性知 Xi ~ ,2.再由 ,2. i 1 2 2
x 是一个样本的观察值 , 则 g ( x ,x , x ) 也是统 n 1 2 n
几个常见统计量
它反映了 1 n 样本平均值 总体均值 X Xi n i 1 的信息 n 1 2 2 样本方差 S (X X ) i n 1i 1 它反映了总体 方差的信息
1 n 2 2 X n X i n 1 i 1
这就是矩估计法的理论 根据 .
经验分布函数
设 X ,X , ,X 是总体 F 的一个样本， s ( x )x 1 2 n
表示 x ,x , ,x 中不大于 x 的随机变量的 . 1 2 n
定义 经验分布函数为
1 F (x ) s (x ) x n n 例设总体 F 具有一个样本值 1 ， 1 ， 2 ，则经验分布函
顺序统计量
极差: 最直接也是最简单的方法，即最大值－最小 值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。
数理统计的基本概念PPT精品文档40页
则样本的联合分布为
n
n
P { X 1 x 1 ,X 2 x 2 , ,X n x n } P { X i x i} p i．
i 1
i 1
§6.2 抽样分布
6.2.1 统计量的概念
由样本推断总体的某些情况时，需要对样本进行“ 加工”，构造出若干个样本的已知 (确定)的函数， 其作用是把样本中所含的某一方面的信息集中起来 。这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量。 它是完全由样本所决定的量。
统计量的分布称为抽样分布，下面介绍来自正 态总体的几个重要统计量的分布，称为统计学的三 大分布： 2 分布，t分布和F分布.
6.2.2 χ 2 分布
定义4: 设 X1, X2, …, Xn 是来自总体 N(0, 1), 的样本，则称统计量
与总体X具有相同的概率分布，则称随机变量 X1,X2, ,Xn为来自总体X的容量为n的简单随机 样本，简称样本．
它们的 x1,x观 2, ,x 察 n称值 为,样 又本 称值 为 X的 n个独立 . 的观察值
注意：样本的二重性。
6.1.2 样本的分布 样本 X1,X2,…,Xn 可以被看作n维随机向量,自
定义2：设 X1,X2, ,Xn是来自总体X的样本， g(X 1,X 2, ,X n)是样本 X1,X2, ,Xn的函数，如果 g(X 1,X 2, ,X n)中不包含任何未知参数，则称它
是一个统计量。
定义３：几个常用的统计量
样本均值
X
1 n
n i1
Xi
反映总体 均值的信息
样本方差 S2n11in1(Xi X)2n11(in1 Xi2nX2)
200 20 00 20 00 20 00 20 00 20 000
第6章 数理统计的基本概念
3 max X1, X 2, X3
4
1
2
3 i 1
X
2 i
5 X3 X1
中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？
答：只有(4)不是统计量。 8
MOOC中的题
1.设4个学生甲、乙、丙、丁的成绩分别为88、75、70、63，采用放回抽样
取两个成绩X1, X2,则P X1 88, X2 70 ？
i 1
i 1
n ( 2 2 ) n( 2 2 ) n 2 n 2 2 n 2 (n 1) 2
i1
n
E(S2) 2
10
例2
设总体X的概率密度f
(
x)
2(1
0,
x),
0 x 1, 其它
X1, X 2,..., X n是样本，求E( X ), E(S 2), E( X 2)，P( X E( X ))
X ~ N (12, 4) 5
P( X
12
1)
P( X
13)
1
13 12 45
1 1.12
0.1314
(2) P(X
10)
1
10
12 2
1 1
1 0.8413
P(min{X1, X 2 ,..., X5} 10) 1 P(min{X1, X 2,..., X5} 10)
（2）设n 5,若a(X1 X 2 )2 b(2 X 3 X 4 X 5 )2 ~ 2 (k),
则a,b, k各为多少？
解：(1)作变换
Yi
Xi
i 1, 2,
,n
显然Y1,Y2, ,Yn相互独立，且Yi N 0,1 i 1, 2, , n
于是
2
CHAP6 数理统计的基本概念-46页精选文档
f (x)
0.4 0.3 n=1
0.2 n=4
0.1
n=10
o
5
102 分 布 的 定 义 容 易 证 明 ： 若
X ~ 2 n ,Y ~ 2 m ,且 X 与Y 相互独立，则 X Y ~ 2 n m
即两个独立的 2变量和仍为 2变量，且和的自 由度等于两个 2变量的自由度之和．称之为 2
简称样本．
设总体X的分布函数为F（x），则样本
X1,X2L,X的n 联合分布函数为
F*(x1,x2,L,xn) ＝F（x1）F（x2）…F（xn） 若总体X为离散型总体，其分布率为P{X = x(i)}=（6.1） p(x(i))，i = 1，2，…，则样本 的联合分布率为
P X 1 x 1 , X 2 x 2 , L , X n x n p ( x 1 ) p ( x 2 ) L p ( x n )
应当指出，样本是具有二重性的．一方面，抽样前 样本中的每个样品的取值都具有随机性，即每个样品都 是随机变量；另一方面，抽样后样本中的样品都是确定 的数值．在理论研究中，我们把样本中的每个样品都看
作随机变量，总体X的一个容量为n的样本通常是用n个 随后机得变到n量个X 确1定,X的2L 数值,Xn x来1,表x2示,L，,x称进n为行样一本次的具一体个的观抽测样值之，
（6.2）
若总体X 为连续型总体，其密度函数为 f x
则样本 X1,X2L,Xn的联合密度函数为
f*x1,x2,Lxn f（x1）f（x2）…f（xn）
（6.3）
6.3 统计量及分布
6.3.1 统计量的概念
定义6.2 设 X1,X2L,Xn是来自总体 X 的 一个样本，且 g(X 1,X 2,L,X n)是 X1,X2,L,Xn 的一个函数．若 g(X 1,X 2,L,X n) 中不含任何 未知参数，则称 g(X 1,X 2,L,X n)为统计量．
0.4 0.3 n=1
0.2 n=4
0.1
n=10
o
5
102 分 布 的 定 义 容 易 证 明 ： 若
X ~ 2 n ,Y ~ 2 m ,且 X 与Y 相互独立，则 X Y ~ 2 n m
即两个独立的 2变量和仍为 2变量，且和的自 由度等于两个 2变量的自由度之和．称之为 2
简称样本．
设总体X的分布函数为F（x），则样本
X1,X2L,X的n 联合分布函数为
F*(x1,x2,L,xn) ＝F（x1）F（x2）…F（xn） 若总体X为离散型总体，其分布率为P{X = x(i)}=（6.1） p(x(i))，i = 1，2，…，则样本 的联合分布率为
P X 1 x 1 , X 2 x 2 , L , X n x n p ( x 1 ) p ( x 2 ) L p ( x n )
应当指出，样本是具有二重性的．一方面，抽样前 样本中的每个样品的取值都具有随机性，即每个样品都 是随机变量；另一方面，抽样后样本中的样品都是确定 的数值．在理论研究中，我们把样本中的每个样品都看
作随机变量，总体X的一个容量为n的样本通常是用n个 随后机得变到n量个X 确1定,X的2L 数值,Xn x来1,表x2示,L，,x称进n为行样一本次的具一体个的观抽测样值之，
（6.2）
若总体X 为连续型总体，其密度函数为 f x
则样本 X1,X2L,Xn的联合密度函数为
f*x1,x2,Lxn f（x1）f（x2）…f（xn）
（6.3）
6.3 统计量及分布
6.3.1 统计量的概念
定义6.2 设 X1,X2L,Xn是来自总体 X 的 一个样本，且 g(X 1,X 2,L,X n)是 X1,X2,L,Xn 的一个函数．若 g(X 1,X 2,L,X n) 中不含任何 未知参数，则称 g(X 1,X 2,L,X n)为统计量．
概率论与数理统计PPT课件(共8章)第六章 数理统计的基本概念
代表性
每个样本Xi(i=1,2,…,n)与 总体X具有相同的分布
独立性
各个样本X1,X2,…,Xn的取 值互不影响，即X1,X2,…,Xn是 相互独立的随机变量．
6.1.3 样本的联合分布
若 X1 ，X2 ， ，Xn 为总体 X 的一个样本， X 的分布函数为 F(x) ，则 X1 ，X2 ， ，Xn
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1 ，
概
率
论
与
数 理
6.2
统
计
统计量与抽样分布
6.2.1 统计量
定义 6.2 不含任何未知参数的样本 X1 ，X2 ， ，Xn 的连续函数 g(X1 ，X2 ， ，Xn )
称为统计量．
下面列出一些常用的统计量．
（1）样本均值
X
1 n
n i1
Xi
（2）样本方差
概
率
论
与
数
理 统 计
数理统计的基本概念
第六章
概
率
论
与
数
理 统
壹 总体与样本
计
贰 统计量与抽样分布
目录
概
率
论
与
数 理
6.1
统
计
总体与样本
总体与个体
6.1.1 总体
在数理统计中，通常把研究对象的全体称为总体，把构 成总体的每个研究对象称为个体．
总体分布
为了便于数学上的处理，我们将总体定义为随机变量， 记作．随机变量的分布称为总体分布.
N
(1
，12
)
与
N
(2
，
2 2
)
的样本，且这两个样本相互独立．设
概率论：第六章 数理统计的基本概念
为便于区分，将样本的观察值记为 (x1, x2 , , xn ) ．
简单区分方法： 在抽样之前或理论研究时， (X1, X2 , , Xn ) 为 n 维随机变量．
在抽样之后或实际应用时， (x1, x2 , , xn ) 为观察值．
二、统计量
1.统计量的概念
定义 1.3 设 (X1, X2, , Xn ) 为来自总体 X 的一个样本， g(x1, x2 , , xn ) 为一个 n 元函数，且不依赖总体 X 中的任 何未知参数，就称随机变量 g( X1, X 2 , , X n ) 为一个统计 量．如果 (x1, x2 , , xn ) 为样本观察值，也称 g(x1, x2 , , xn )
．
例 1.5 设总体 X 的数学期望 EX ，方差 DX 2 ， ( X1, X2 , , Xn ) (n 1) 为来自总体 X 的一个样本，则
E X ， DX 2 ， E(S2) 2 ．
n
（此例实为结论，务必记住！）
⑵ 顺序统计量
定义 1.5 设 ( X1 , X2 , , Xn ) 为来自总体 X 的一个样本，
而在实际问题中，对于不同的个体，其数量指标 X 的取值是不同的，因此数量指标 X 是一个随机变量．
随机变量 X 的分布称为总体的分布，总体的特征是
由总体的分布刻画的．为此，常把总体与总体分布视为
等同，并称总体 X ．
例 1.1 考察某产品的次品率，令总体
1, 产品为次品, X 0, 产品为正品, 因此总体 X 的取值为1和 0 ，总体 X 为有限总体，也 是离散型总体，如果记该产品的次品率为 p ，则总体
本，求 X1 X 2 所服从的分布．
X3 X4
解
利用正态分布的性质， X1 X 2
简单区分方法： 在抽样之前或理论研究时， (X1, X2 , , Xn ) 为 n 维随机变量．
在抽样之后或实际应用时， (x1, x2 , , xn ) 为观察值．
二、统计量
1.统计量的概念
定义 1.3 设 (X1, X2, , Xn ) 为来自总体 X 的一个样本， g(x1, x2 , , xn ) 为一个 n 元函数，且不依赖总体 X 中的任 何未知参数，就称随机变量 g( X1, X 2 , , X n ) 为一个统计 量．如果 (x1, x2 , , xn ) 为样本观察值，也称 g(x1, x2 , , xn )
．
例 1.5 设总体 X 的数学期望 EX ，方差 DX 2 ， ( X1, X2 , , Xn ) (n 1) 为来自总体 X 的一个样本，则
E X ， DX 2 ， E(S2) 2 ．
n
（此例实为结论，务必记住！）
⑵ 顺序统计量
定义 1.5 设 ( X1 , X2 , , Xn ) 为来自总体 X 的一个样本，
而在实际问题中，对于不同的个体，其数量指标 X 的取值是不同的，因此数量指标 X 是一个随机变量．
随机变量 X 的分布称为总体的分布，总体的特征是
由总体的分布刻画的．为此，常把总体与总体分布视为
等同，并称总体 X ．
例 1.1 考察某产品的次品率，令总体
1, 产品为次品, X 0, 产品为正品, 因此总体 X 的取值为1和 0 ，总体 X 为有限总体，也 是离散型总体，如果记该产品的次品率为 p ，则总体
本，求 X1 X 2 所服从的分布．
X3 X4
解
利用正态分布的性质， X1 X 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.样本k阶(原点)矩 Ak = 样本k阶中心矩
Bk =
1 n k ∑ X i 反映总体k阶矩E(Xk)的信息 n i =1 P E ( X k ) = k , k = 1, 2, L →
反映总体k
9
1 n P → ∑ ( X i X )k E {[ X E ( X )]k } = mk n i =1 k=1,2,…
1o
X ~ N ( ,
σ2 ) n
即
X ~ N (0,1) σ/ n
2o 3o
(n 1) S 2 ~ χ 2 ( n 1) σ2 X 与 S 2 相互独立 4o X ~ t ( n 1) S/ n
23
24
4
1o
X ~ N ( , X=
σ2 ) n
即
X ~ N ( 0, 1) σ/ n
4o
正态总体的抽样分布定理
例 设 X1,…,X10 是取自N(0,0.32)的样本,求
P{∑ X i > 1.44}
2 i =1 10
定理一,二,三
2 2 设 X 1 ,..., X n 是来总体 N ( , σ ) 的样本, X , S 分别为样
本均值和样本方差,则
例 设 X 1 , X 2 , L , X 15 是来自总体 N (0,1)的一个简单随 2 2 X 12 + X 2 + L + X 10 机样本, Y= 则 服从 分布. 2 2 2 2( X 11 + X 12 + L + X 15 )
4
个体:组成总体的元素(如:某一个灯泡的寿命)
每个可能的观察值
有限总体 无限总体 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:测量一湖泊任一地点的深度
总体对应一个r.v. X,笼统称总体X(或Y,Z大写表示) 总体对应一个r.v. X,笼统称总体X(或Y
从本质上讲,总体就是所研究的随机变量
16
( x e
x2 3 2
) |+∞ + ∞
1 2π
∫
∞
(3 x 2 )e
x2 2
dx = 0 + 3 E ( X i2 ) = 3
1 2
∴ D(Xi2)=2,D( χ 2 ) = nD( X i2 ) = 2n
15
(二)t 分布
构造:若 X~N(0, 1), Y~χ 2(n), 且 X 与 Y 独立,则 X ~ t ( n) Y /n 称为自由度为 n 的 t 分布. T=
称为自由度为 n 的χ2分布 注:若X 1 , X 2 ,L, X n来自正态总体 N ( ,σ 2 ) ,则
χ2 =
12
11
1 σ2
∑( X
i =1
n
i
)2 ~ χ 2 ( n )
2
1. χ2分布的密度函数f(y)曲线
n y 1 1 n/2 y2 e 2, y > 0 f ( y ) = 2 Γ( n / 2) 0, y≤0
阶中心矩E[(X-EX)k]的信息,
10
注3:E ( X ) = E ( X ), D( X ) = D( X ) , E ( S 2 ) = D( X )
n P Ak E ( X k ) = k , k = 1, 2,L →
例 :1) 设总体 X ～ π (λ ) ,样本 X 1 , X 2 ,L , X n , 则 E( X ) = ; D( X ) = .
E( X ) = E( X )
反映总体方差D(X)的信息
样本标准差
E ( S 2 ) = D( X )
S= S
2
反映总体标准差的信息
注1: 观察值用小写表示,记为 x , s 2 , s , a k , b k , x ( 1 ) , x ( n ) 注2:S 2 =
n 2 1 n 1 ∑ ( X i X )2 = n 1 (∑ X i2 n X ) n 1 i =1 i =1
2.h(t)基本性质(p171):
(1) 关于t=0(纵轴)对称. (2) 极限为N(0,1)的密度函数,即
lim h(t ) = (t ) =
n→ ∞
1 t2 e ,∞ < t < ∞ 2π
2
1. t(n)的概率密度为
h( t ) = Γ( n+1 ) t 2 n+1 2 (1 + ) 2 , ∞ < t < ∞ n n nπ Γ ( ) 2
18
17
3
3. t分布的分位点 P{T < tα ( n)} = α (0 < α < 1)
注: t1α ( n ) = tα (n ) 例 t (20) = 1.7247 0.95
t 0.5 ( n) = 0
(三)F 分布
α
tα (n)
t 0.05 (20) = 1.7247
2 2 构造: 若 U ~ χ ( n1 ), V ~ χ (n2 ),且U,V 独立,则
2
1 D( X ) = 2 n
σ2 ∑ D( X i ) = n i =1
n
X ~ N (0, 1) σ/ n
26
X ∴ σ/ n
25
(n 1) S σ 2 (n 1)
2
=
X ~ t ( n 1) S/ n
定理四 设 X 1 ,..., X n1 ~ N ( 1 ,σ 12 ) : X , S12
2) 若 T～t(n),则 T2～ F(1,n)
3. F 分布的分位点
P{ F > Fα ( n1 , n 2 )} = α ( 0 < α < 1) α
注:
21
F1α ( n1 , n2 ) =
1 Fα ( n2 , n1 )
Fα ( n1 , n 2 )
22
得证!
P{F > F1α (n1 , n2 )} = 1 α 1 P{ > Fα ( n2 , n1 )} = α F 1 1 } = 1α P{ < F F1α (n1 , n2 ) 1 1 }=α P{ > F F1α ( n1 , n2 )
2 2 Y1 , ..., Yn2 ~ N ( 2 , σ 2 ) : Y , S 2 且两样本独立,则 iid
iid
例 在总体 X ~ N (80, 202 ) 中抽取容量为100的样本, 求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概率.
1o
2 S12 S 2 ~ F ( n1 1, n2 1) 2 2 σ1 σ 2
第6章 数理统计的基本概念
概率论:从已知分布出发,研究r.v. X 的性质,规 律,数字特征等等——演绎 数理统计:X 的分布不知道或不完全知道,观察它 的取值(采集数据),通过分析数据来推断 X 服 从什么分布或确定未知参数——归纳 收集,整理数据 统计推断
2
数理统计的基本概念
总体与样本 常用统计量 统计抽样分布
∫
+∞
∞
x4
1 2π
e
dx =
1 2π
+∞
∫
+∞ ∞
( x 3 )de
x2 2 2 2 例 χ 0.1 (20) = 12.443 χ 0.75 (25) = 29.339 2 2 当n>45, 有近似公式 χ α ( n) ≈ ( uα + 2n 1) 2 例 χ 0.95 (50) ≈ 0.5(1.645 + 99 ) 2 = 67.2206
数理统计
1
§6.2 总体与样本
1.总体:研究对象的全体(如:一批灯泡的寿命) 试验的全部可能的观察值
——通常指研究对象的某项数量指标
2.样本
(1)简单随机抽样 ①随机性:每个个体被抽到的机会均等 ②独立性:每次抽取后不改变总体的成分 (2)对总体作n次"简单随机抽样",得到n个个体: X1,X2,…,Xn,称为总体的一个样本容量为n的样本, 简称样本. ①同分布性 Xi 与总体X 同分布 ②独立性 X1 ,…,Xn 相互独立 (3)把(X1,…,Xn)的观察值 (x1,…,xn)为称为样本观察值(或样本值)
y>0
当n>45, 有近似公式 tα ( n) ≈ uα
19 20
2. F 分布的性质
1) 若 F～F(n1,n2),则
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
注: F1α (n1 , n2 ) =
1 Fα (n2 , n1 ) 1 ~ F (n2 , n1 ) F
证明: 设 F ~ F(n1,n2), 则
统计量的分布称为抽样分布.数理统计 中常用到如下三个分布: χ2分布, t 分布 和 F分布
(一)χ2分布
构造:设 X 1 , L , X n ~ N ( 0 ,1 ) ,则
iid 2 2 χ 2 = X 12 + X 2 + ... + X n ~ χ 2 ( n )
2)设总体 X～U(1,5),样本 X 1 , X 2 ,L , X 10 , 则 E( X ) = , D( X ) = .
3
来自总体X的样本X1, … ,Xn可记为
X 1 , L , X n ~ X 或 f ( x ), F ( x ), ...
iid
3. 总体,样本,样本观察值的关系
总体 理论分布
显然,样本联合分布函数或概率密度为
F * ( x1 , x2 , L , xn ) = ∏ F ( xi )
n i =1 n
证:χ2 = X 12 + X 22 + L + X n 2 , X1,X2,…,Xn为N(0,1)的样本, ∴E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1,于是