高等数学课件-- 极限与连续(可编辑)
第1章函数极限与连续课件
.
.
o
.
1
.
2
.
x
“ x ” 数
实数集是连续的或完备的。
在高等数学中，数与点 说成 “ x ” 点 ，反之亦然 .
不加区别，常将
3.常用不等式:
x , 绝对值 : x R , x x ,
x0, x0.
1 . x R, x 0 .
o
2 . x R, x x x .
事实上，若 l 为 f ( x ) 的一个周期 , 则
f ( x ) f ( x l ) f [( x l ) l ] f ( x 2l ) f ( x nl ) . nl ( n N ) 也是 f ( x ) 的周期 .
若 在周期函数 f (x ) 的所有周期中存在 最小的正 周期T ， 则称这个最小正周期 T 为 f ( x ) 的 基本周期 . 通常我们所说的函数的 周期都是指基本周期 .
{ x 0 x x0 } ( x0 , x0 ) ( x0 , x0 ) .
x0
x0
x0
x
1.1.2 函数的概念
一. 函数的定义 定义 设给定两个非空实数集 D 和 M . 若 x D, 按照某种对应法则 , 对应 唯一确定 f 的一个实数 y M , 则称 f 是定义在 D 上的函数， 表示为： f : D M ( x y f ( x) )
o
3 . x h ( h 0) h x h .
o
4 o . x h ( h 0) x h 或 x h .
5 . x , y R , x y x y x y .
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
高数上册函数极限与连续课件
定积分及其应用
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是 函数在区间上积分和的极限。
定积分的性质
包括线性性质、区间可加 性、常数倍性质、比较性 质等。
定积分的几何意义
定积分在几何上表示曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的计算方法
微积分基本定理
微积分基本定理是计算定积分的 基础，它将定积分转化为不定积
高数上册函数极限与 连续课件
• 函数的概念与性质 • 极限的概念与性质 • 连续函数 • 导数的概念与性质 • 原函数与不定积分 • 定积分及其应用
目录
函数的概念与性质
函数的性质（奇偶性、周期性、单调性等）
奇偶性
如果对于函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于 函数f(x)，对于定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
原函数与不定积分
原函数的概念与性 质
总结词
理解原函数的概念和性质是学习高数的重要基础。
详细描述
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数，即如果存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。 原函数具有一些重要的性质，例如，如果F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C（C为常数）也是f(x)的原函数。
唯一性
若函数在某点的极限存在， 则该极限值是唯一的。
有界性
若函数在某点的极限存在， 则该点的函数值是有界的。
局部保号性
若函数在某点的极限大于 0，则该点的函数值也大 于0；反之亦然。
无穷小量与无穷大量
无穷小量
在自变量趋近某一值时，函数值趋近于0的量。
高数-极限与连续ppt课件
lim 2 x 0 lim 2 x
由引例得： lim
x
1 （公式 0 1 ） x x 同样有： lim C C（公式2）
lim 2 x 不存在
【备注】 x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x x
x 时，函数f ( x)的极限： lim f ( x) A
x 0
还是从右侧趋近于2，函数y都无限接近于4。 今后，将常数4称为函数y当x 2时的极限。
lim x x（公式 3） 0
x x0 x x0
lim C C（公式4）
【定义】
设函数y f ( x)在x0点的某邻域（可以是空心） 有定义，如果当x无限接近于x0时，函数y f ( x) 无限接近于某个确定的常数A。 则称A为函数f ( x)当x x0时的极限。 记为： lim f ( x) A
x x0 x
【例】判断下列函数在给定的 变化过程中是否为无穷大量？ 1 （ 1 ）y ( x 0) x (2) y 2 x ( x )
同样，可以定义“”和“-”
【说明】
（ 1 ）无穷大量是绝对值可以无限变大的变量，而不是“很大很大”的数。 （2）一个变量是否为无穷大量，必须与某一变化过程相关。 （3）无穷大量是极限不存在的一种特例。
x0 x0 x0
【备注2】极限与单侧极限的关系--【定理】 lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
x x0 x x0 x x0
即：极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。
【备注3】求分段函数在分界点处的极限，须先计算左、右极限，然后再 判断极限的情况。
《函数的极限与连续》PPT课件
定量刻画之一：远近
刻画远近的工具——距离
x与x0的距离是 | x x0 | （ f x）与A的距离是 | （ f x） A |
计算 | a b | 的大小的“精确值” 几乎是不可能也是不可取的
因此，我们选择用| a b | 的 "精确度"来刻画，即若给定
一个精确度， 那么符合这个
精确度要求的数的全体为
极限存在左右极限存在并相等不存在第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点??可去间断点可去间断点??跳跃间断点跳跃间断点??无穷间断点无穷间断点??震荡间断点震荡间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点无定义无定义值太高值太高值太低值太低跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点震荡间断点震荡间断点哎呀哎呀不好不好
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1：f (x)在x0处无定义.
x自由地趋于x0
y
注意到：
在这种情形下，
lim f (x) A
x x0
存在，因此如果我们重 新定义
f (x)在x0处的值为
●
f (x0 ) A,
那么这个新的 f (x)在x0处连续.
这种间断点称为可去间断点.
O
x
哎呀,不好!有个洞, 还没 有支撑， 我掉下去了!!!
●
●
●
x0 x
x
情形 3：f ( x)在x0处有 或无定义. lim f ( x)
x x0
和 lim f ( x)至少有
x x0
一个为 或 或. 此时，直线
x x0 称为y f ( x)的渐进线.
这种间断点称为无穷间 断点
x x0
y
快救救我，我 要跑到未知世
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
《连续与极限》课件
极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
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第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时，是的间断点? 是什么间断点? 四、主要解题方法求函数极限方法***** 1. 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：解因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．小结对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．例如习题二P31 2 2. 利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(2) (3) (4) (1) 小结(1) 应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（2）求函数极限时，经常出现等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。
常使用的有以下几种方法．型，往往需要先通分，化简，再求极限，对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，对分子、分母进行因式分解，再求极限，对于当时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．解(1) = = (2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式= (3) 当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式= (4) 当时，分子分母均无极限，呈现形式．需分子分母同时除以将无穷大的约去，再用法则求原式= 3. 利用无穷小的性质求极限例3 求下列函数的极限（1）（2）解（1）因为而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即（2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得小结利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）．4. 利用两个重要极限求函数的极限例4 求下列函数的极限：（1）（2）解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限= = （2）= 小结利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量；用求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型, 为无穷小量，指数为无穷大，两者恰好互倒数；用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。
常用等价无穷小: ～～～～～～～～～5. 利用等价无穷小代换求极限例5 求下列函数的极限（1）（2）解（1）（2）= = = 小结利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项。
否则会出错．如上题, 即得一错误结果．6. 利用函数的连续性求极限例6 求下列函数的极限（1）解(1) 因为是初等函数，在处有定义，所以（2）函数看成由复合而成，利用分子有理化= 小结利用“函数连续的极限值即为函数值”可求连续函数的极限。
在一定条件下复合函数的极限，极限符号与函数符号可交换次序．可见, 函数在点定义: 在的某邻域内有定义, 则称函数(1) 在点即(2) 极限(3) 设函数连续必须具备下列条件: 存在; 且有定义, 存在; 在在(1) 函数(2) 函数不存在; (3) 函数存在, 但不连续: 设在点的某去心邻域内有定义, 则下列情形这样的点之一函数f (x) 在点虽有定义, 但虽有定义, 且称为间断点. 在无定义; 第一类间断点: 及均存在, 若称若称第二类间断点: 及中至少一个不存在, 称若其中有一个为振荡, 称若其中有一个为为可去间断点. 为跳跃间断点. 为无穷间断点. 为振荡间断点. 为其无穷间断点. 为其振荡间断点. 为可去间断点. 小结:求极限方法(4) 两个重要的极限公式作业P314.(1)(3)5.(1)(3)(4)(8) 本次课结束谢谢同学们补充证明证明: 令则自己证明补充证明证明: 因原式等于自己证明提示:设后面还要证明补充1 设问为何值时, 存在，并求此极限值. 当为何值时，在的极限存在. 补充2 设补充2 解:由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限,于是，有为使存在，必须有= 因此，当a=1 时，存在且=1 ．极限运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例g(x)=C 时两个重要极限或无穷小的比较一、函数的连续性定义二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质连续性是自然界中各种物态连续变化的数学体现，这方面实例可以举出很多，如水的连续流动、身高的连续增长等．第三节函数的连续性一、函数的连续性定义1．初等函数的连续性定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的．求初等函数的连续区间就是求其定义区间．关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一段函数的连续性外，还必须讨论分界点处的连续性．2．利用函数的连续性求极限判断函数连续性的方法由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性．例讨论函数在点处的连续性．解由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．因而有即而由函数在一点连续的充要条件知处连续3．复合函数求极限的方法定理2 闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值．思考题第二章极限与连续一、本章提要1. 基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2. 基本公式（代表同一变量). 两种形式注意能求的极限形式3. 基本方法***** ⑴利用函数的连续性求极限；⑵利用四则运算法则求极限；⑶利用两个重要极限求极限；⑷利用无穷小替换定理求极限；练习[ 游戏销售] 销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数请计算游戏推出后第6个月、第12 (2) 如果要对该产品的长期销售做出当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内为月份。
关系为，个月和第三年的销售量. 预测，请建立相应的表达式. 无穷大与无穷小的应用解(1) 8.8235 9.8361 5.1576 即无穷大的倒数为无穷小(2) 从上面的数据可以看出，随着时间的推移，游戏. 人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的时的销售量. 该产品的长期销售应为时间上式说明当时间时，销售量的极限为0，即一、函数的极限(六个定义,两个定理)*** 二、数列的极限(一个定义,一个定理) 三、极限的性质(四个性质,一个推论) 四、极限的几点说明(四点说明) 五、无穷小量(一个定义,三个定理,两个推论) *** 六、无穷大量( 一个定义,一个定理) 作业Ｐ３１习题二1, 2 , ３，问题1 如果存在，那么函数在点处是否一定有定义? 解答: 不一定有定义; 因为表示x无限接近而不等于故与f(x) 在点有无定义无关复习书上的例1, 例2加深定理1的理解此题是对定义1的进一步说明问题2 是否正确，为什么? 解答: 不正确因为所以又因为所以(后面证明用途很大) 今天要的讲极限运算法则的特殊形式一、极限运算法则二、两个重要极限三、无穷小的比较一、极限运算法则可推广到有限个变量可推广到有限个变量及其特例g(x)=C 时根据有界乘无穷小仍是无穷小的性质,得思考题解解……2.718 2.717 2.705 2.594 2.488 2.441 2.370 2.250 2 ……. 10000 1000 100 10 5 4 3 2 1 或证第一节极限的定义第二节极限的运算第三节函数的连续性极限与连续一、函数的极限二、数列的极限三、极限的性质四、极限的几点说明五、无穷小量六、无穷大量第一节极限的定义图２图１O 1 -1 (1,2) x y f(x)=x+1 一、函数的极限例4 讨论当x →∞时，函数y =arccotx 的极限解如图所示虽然都存在，但它们不相等，所以不存在。
0 π1 考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度．若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度影子长度越来越短，当人越来越接近）时，其影子的长度越来越短，逐渐趋于0 （）。
为H 。
由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其目标（练习[ 人影长度] 练习[ 人影长度的极限分析] 即设H为路灯的高度，h为人的高度，x 为人离目标的距离。
由解出人影高度为，其中是常数，当人越来越接近路灯的目标（）时，显然，人影高度2．数列的极限二、数列的极限3. 数列极限存在定理三、极限的性质四、极限概念的几点说明几点说明: 1. 变量前加记号lim, 表示对这个变量进行极限运算,若变量的极限存在,所指的不在是这个变量本身而是它的极限,即变量无限接。