硕士生《数理统计》例题

1.47, S12
0.7641,2
1.62,
S
2 2
2.0994
先做方差齐性检验：
1.72
1.5916
H0
:
2 1
2 2
;
H1
:
2 1
2 2
3
F0
S1* 2
S
* 2
2
0.3640
查表得： F0.95(9,9) 3.18
因为
F1
(n2
1 1, n1
1)
F0
F1 2
(n1
1, n2
1)
2
所以接受 H 0 ，即认为两个总体的方差相等。
（2）如果要求 1 2 的置信水平为 0.95 的置信区间长度不超过 2，问样本容量 n 至少应取多少？
解： X
~
N
(1
,
25 n
)
，
Y
~
N
(
2
,
25 n
)
故X
Y
~
N (1
2
,
50 n
)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 50 n
所以， 1 2的（1 ）置信区间为（X Y u1 2
n
n 2
(X
)
因为 lnL 是 L 的增函数，又 X1, X2, , Xn 所以ˆ X (1) 2.05
2
令
ln L
0 得 ˆ
X
X (1)
0.126
3.已知总体 的分布密度函数为：
f
(x;
)
1
2
,
1
x
1
0, 其它
（1）用矩法估计其未知参数 ； （2）用极大似然法估计其未知参数 。
解：（1） E
a1 a2 的1 置信下限为 (1 2 ) t1 (n1 n2 2)
n1S12
n2
S
2 2
n1 n2 2
即 0.9004
11
n1 n2
其中 t1 (n1 n2 2) t0.9 (18) 1.3304 ，1 2 0.15
n1S12
n2
S
2 2
1.2613，
1 1 0.4472
50，X n
Y
u1 2
50） n
（1） 1 2的（1 ）置信区间为（7.8 5.3 1.96
50，7.8 5.3 1.96 25
50）， 25
即（-0.272，5.272）。
4
（2）依题意，有 2 u1 2
50 ≤2，即1.96 50 ≤1，即 n≥1.962×50
n
n
所以，n≥192.08 或 n≥193。
2 3
n i1
xi2
令 d ln L 0 得 ˆ
d
2 n
n i 1
xi2
1
2. 设总体 X 的概率密度函数为：
(
x;
,
)
1
exp
((
x
)
/
),
x
0, x
其中 >0，现从总体 X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，
2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然
法估计其未知参数和 。
解：（1）矩法 经统计得： X 2.176, S 0.063
EX
x(x)dx
x
1
e
x
dx
xd
(e
x
)
x
[xe ]
x
e
dx
x
e
EX 2
x2
1
x
e
dx
x2d
x
(e
)
x
[x 2e ]
2
xe
x
dx
2
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2EX
2 2 ( )
《数理统计》例题
1.设总体 X 的概率密度函数为：
x2
f (x)
1
e 2
(
0)
试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数 。
解：（1）矩法 由于 EX 为 0，
EX 2 x 2 f (x)dx
x2
2 x 2 1 e 2 dx
0
2
(
)
xe
x2 2
d
(
x2
)
0
2
2
2
(
x
)d
(e
x
DX EX 2 (EX )2 2
令
EX DX
X S
2
即
2 S2
X
故ˆ X S 2.116, ˆ S 0.063
（2）极大似然法
L(x;, )
n
1
e
X
i
1
n ( X )
e
i1
n
ln L n ln n (X )
ln L
n
0, ln L
令 E
得：ˆ
（2） L(1,2,
,n; )
n i1
1 2
(1)n 2
dL 0 ，故 L 的单调性与 无关 d
又 1 1,2 ,n 1
ˆ 可以取[(n) 1,(1) 1] 中的任何值。
4.10 个病人服用甲、乙两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间（小时）见下
表：
甲 1.4 1.8 3.0 0.1 2.2 1.5 2.0 0.3 0.5 1.9
2 2
)
0
2
x2
x2
[xe
] 2 0
e 2
dx
0
12 2
DX EX 2 E 2 X 1 2 2
令 DX S 2 得： ˆ 2 S
（2）极大似然法
L
n
xi2
1 e 2
i1
1
1 e 2
n i 1
xi2
n
ln L n ln 1
2
n
xi2
i 1
d ln L
d
n
n 1
n 1
E (1 ) n E(S 2 ) n 1
(1 )
所以对一切(0 1), (1 ) n S 2 都是 的无偏估计量。 n 1
（2）解：因为 E 2 D (E )2 D (E )2 2
n
n
所以 E( 2 ) 2 2
nn
n
故 2 是 2 的一个无偏估计量。 n
乙 1.9 0.8 3.0 -0.5 3.0 2.5 -0.5 2.5 2.0 2.5
假定病人服用两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间分别服从正态分布
N
(a1
,
2 1
)
和
N
(a2
,
2 2
)
，试求
a1
a2
的1
置信下限（
0.10 ）。
解：依题意设 1
~
N
(a1
,
2 1
),
2
~
N
(a2
,
2 2
)
经计算得： 1
6.设总体 ~ P(), 0（, (1,2, ,n）) 为其样本。
（1）证明：对一切(0 1), (1 ) n S 2 都是 的无偏估计量； n 1
（2）试求 2 的一个无偏估计量。
（1）证：因为 E E ， E(S 2 ) n 1 D n 1
n
n
所以 E[ (1 ) n S 2 ] E( ) E[(1 ) n S 2 ]
n1 n2 2
n1 n2
5.设样本 (X1, X2, , Xn ) 来自正态总体 X ~ N(1,52 ) ，样本均值为 X ，样本 (Y1,Y2, ,Yn ) 来自正态总体 X ~ N(2 ,32 ) ，样本均值为Y ，且两样本相互独立。 1 、 2 为未知参数。 （1）已知 X 7.8，Y 5.3 ，样本容量 n=25，求 1 2 的置信水平为 0.95 的 置信区间；
7.设总体 服从[ , 1] 上的均匀分布， 未知，(1, ,n )是来自此总体的一个
样本，已知(1) min1, ,n ，(n) max1, ,n 。