平面向量的平行与垂直
向量的平行(共线)与垂直
(1)已知向量a=(-1,2),b=(2,3),且(ka+b)与b垂
解:方法 1:由题意可得:(ka+b)·b=0 ,
∴ka·b+b2= 0,
∴4k+13=0,解得
k=- .
方法 2:∵ka+b=(-k+2,2k+3),又(ka+b)⊥b,
∴2(-k+2)+3(2k+3)=0,解得
【答案】
D
D.( ,- )或(- , )
B.( , )或(- ,- )
)
3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x= (
)
A.-3
B.-1
C.1
D.3
【答案】
C
4.已知向量a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=
【答案】
3
.
5.已知向量a=(1,2),b=(-3,2),c=(k,2),求满足下列各条件
【小结】 在应用向量平行或垂直的条件分析问
题时,要注意区分平行和垂直条件的异同,不要混淆
)
【例2】 已知a,b是两个不共线的非零向量,且
c=3a+5b,d=ma-3b,m为何值时,c与d共线?
分析:d与c(非零向量)共线等价于存在实数λ,使得d=λc.
【解】 ∵c 与 d 共线,∴可设 d=λc,则有
7.4
向量的平行（共线）与垂直
【考纲要求】
1.理解两向量垂直、平行(共线)的条件;
2.能运用平面向量垂直和平行的条件解决有
关问题.
【学习重点】
第56课平面向量的平行与垂直
第56课平面向量的平行与垂直第56课平面向量的平行于垂直1.理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行于垂直的判定方法；2.能利用平行和垂直解决相关问题.二、基础知识回顾与梳理1．未知向量a=(4,3)，b=(6,y)且ab，谋实数y的值.【教学建议】本题是选自课本第75页练习.主要目的是帮助学生复习、回顾两个向量平行的充要条件.教学时可采用提问方法由学生回顾学过的两种形式的平行的判定条件：（1）符号语言：若a//b，a≠0，则b=λa，但在此过程需要另设未知数λ；（2）坐标语言：x1y2-x2y1=0,这种方法来的简单直接学生更易接受.同时可提问这两种方法的联系与区别，坐标法是符号语言形式推导出来的.2．将上题中的a//b，改成a⊥b，求实数y的值.【教学建议】主要目的就是协助学生备考、总结两个向量横向的充要条件，教学时可以使用回答方法.3.未知a(6,1),b（0，－7），ｃ(－2,－3),先行确认∆abc的形状.【教学建议】本题选自书上87页，旨在让学生进一步理解向量垂直的条件，并进行运用.教学时要引导学生作图进行观察，确定形状后，通过向量的运算进行确认.1、教学处置：课前由学生独立自主顺利完成4道小题，并建议将解题过程简明扼要地写下在自学笔记栏.课前抽检审阅部分同学的答疑，介绍学生的思路及主要错误.将科学知识问题化，通过问题驱动，并使教学言而有物，协助学生内化科学知识，初步构成能力.评测时必须简约，必须页面沃埃尔.2、确诊练评测题1、已知平面内a,b,c三点在同一条直线上，oa=(-2,m),ob=(n,1),oc=(5,-1)，且oa⊥ob，则实数mn的值【分析与点评】“a,b,c三点在同一条直线上”这一条件可转化为//，进而得到一个有关m,n的方程，再由⊥得另一方程，联立两个方程即可求解.【变式】：未知向量a,b,且=a+2b,bc=－5a+kb,cd=7a－2b，若a,b,d共线则k的值________.【点评】：本题所要求的与已知条件与题1的相同，培养学生从基底角度理解向量共线.题2、未知e1,e2就是夹角为π的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a⋅b=0，则实数k的值【分析与点评】本题系2021江苏高考第10题，主要考查学生利用基底进行简单数量积运算的能力.“外心”、“内心”、“战略重点”、“正三角形”中选一个填空题)题3：p是∆abc所在平面上一点，若pa⋅pb=pb⋅pc=pc⋅pa，则p是∆abc的_____________.(在【分析与评测】怎样认知pa⋅pb=pb⋅pc=pc⋅pa就是化解本题的关键，观测等式的三边，式子相似且形式对称，通过pa⋅pb=pb⋅pc我们能得出怎样的结论？a+oc=obo+d【变式】：平面内有四边形abcd和点o，若o，则四边形abcd的形状就是__________.题4：设a,b,c,d为平面上互异的四个点，且(db+dc-2da)⋅(ab-ac)=0，ab⋅ac=0,bc=4则||=________________.【分析与点评】ab⋅ac=0怎么理解？说明ab,ac具有怎样的位置关系？引导学生画出图形.∆abc是直角三角形，一边bc=2.(db+dc-2da)⋅(ab-ac)=0须要化简，怎么化？得到ab-ac=0，说明||=||，再去解直角三角形.第42课平面向量的平行与横向第1页（1）已知两向量的坐标解决平行或垂直的问题时关键在于能根据相应的坐标运算列出等式，进行运算.（2）向量既具有数的特征又具有图形的特征，在解题时，既要对向量进行运算分析，同时配以图形辅助分析，比如诊断练习第3题,第4题.四、范例导析基准1、设立向量=(4cosα,sinα),=(sinβ,4cosβ),=(cosβ,-4sinβ)（1）若a与b-2c横向，谋tan(α+β)的值；（2+的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：//.【教学处置】本题可以由学生板演，教师评测或板书时，必须归纳总结有关要点.【鼓励分析与通识科建议】1.第（1）、(3)两小题就是两向量平行或横向的充要条件的轻易应用领域：题（1）两个非零向量a⊥b⇔a⊥b⇔x1x2+y1y2=0；题（3），a//b⇔x1y2-x2y1=0，将适当的座标代入等式，进而受检.2.题（2）首先要知道向量求模公式：|a|=x+y，以下通过两种方案求解：方案一：算出b+c+的最大值；+展开平方，创建出来目标函数，进而算出其最大值.例2已知向量a=（1,2），b=（－2，1），k，t为正实数，向量x=a+(t+1)b，y=-ka+b(1)若x⊥y，求k的最小值；(2)与否存有正实数k，t并使xy？若存有，算出k的值域范围；若不存在，说明理由.【教学处置】建议学生独立思考并解题，王莎莎学生板演，老师巡查指导介绍学情；再融合板演情况展开评测.也可以在学生函数化思想时遇到困难时，教师尽早干预与学生交流或展开传授，并示范点板书.【鼓励分析与通识科建议】1、本题直接使用两向量垂直和平行的充要条件，一般做法：根据条件列出相应的等式→将等式化简变形→对未知和结论对照分析；2、第（1）题中由未知获得(-2t-1)(-k-)+(t+3)(-2k+)=0时，应当鼓励学生观测本题建议什么？(t>0)要运思考如何去做？让学生去体会函数化的思想在求最值中的作用，其次得到的函数k=t用基本不等式展开运算.3、第（2）题是一条积极探索题，通常作法：先假设问题设立→列式展开分析处置.本题就是不存有这样的实数k,t，则需要推出矛盾.基准3以原点o和a（4,2）为两个顶点并作等腰三角形oab，∠b=90︒，谋点b的座标和【教学处理】指导学生画出图形先独立思考【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1：如果设点b(x,y)，怎样从条件中找到两个关于x,y的式子，列举方程组？问题2：尝试从不同的角度，去列出方程组？第42课平面向量的平行与横向第2页问题3：对照图形来理解，为什么会有两解？这两解有怎样的特征？五、解题反思1、处置向量平行和横向问题时，通常采用向量平行、横向的座标形式的充要条件，从而获得方程.三道例题都存有彰显.2、在例2中，通过向量垂直的充要条件得到的k,t式子中，将谁作为自变量？从中要体会函数思想方法在解题中的导引作用.3、基准3必须融合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转变为座标则表示，这就是数形融合的具体内容形式.第42课平面向量的平行与垂直。
平面向量的平行投影和垂直投影的证明
平面向量的平行投影和垂直投影的证明平面向量是平面上的有向线段，可以表示为有大小和方向的箭头。
在研究平面向量的性质时，我们经常需要考虑它的投影，即将向量在某个方向上的分量，这可以帮助我们更好地理解和应用向量。
本文将证明平面向量的平行投影和垂直投影的相关性质，以帮助读者更深入地理解这一概念。
1. 平行投影的证明对于平面上的两个向量a和a，它们的平行投影表示将向量a投影到与向量a平行的方向上，记为a(a, a)。
这个投影可以用以下公式表示：a(a, a) = (a·a/|a|^2) ·a证明：为了证明这一公式，我们可以先将向量a拆解为平行于向量a的分量a₁和垂直于向量a的分量a₂。
根据向量的加法性质，我们有a = a₁ + a₂。
假设a(a, a)为向量a，它与向量a平行。
根据向量的投影性质，我们知道向量a₁与向量a的夹角为0，即a₁与a共线。
因此，可以表示为a₁ = aa (其中a为实数)。
将上述等式代入a = a₁ + a₂，得到a = aa + a₂。
我们希望将向量a投影到与向量a平行的方向上，即与向量a平行的方向上。
由于a₂与a平行，则a与a₂的夹角也为0，即a与a₂共线。
因此，可以表示为a₂ = aa (其中a为实数)。
将上述等式代入a = aa + aa，得到a = (a+a)a。
根据向量相等的性质，我们可以得出(a+a)a = a。
将其与之前得到的投影公式a(a, a) = (a·a/|a|^2) ·a比较，可得出：(a·a/|a|^2) ·a = (a+a)a由于a与a平行，我们可以继续推导出：a = a(a, a) = (a·a/|a|^2) ·a至此，我们完成了平面向量的平行投影的证明。
2. 垂直投影的证明接下来，我们将证明平面向量的垂直投影，即将向量a投影到与向量a垂直的方向上，记为a(a, a)。
这个投影可以用以下公式表示：a(a, a) = a - a(a, a)证明：我们已经证明了平面向量的平行投影公式为a(a, a) =(a·a/|a|^2) ·a。
平面向量的平行投影和垂直投影的应用
平面向量的平行投影和垂直投影的应用平面向量在数学和物理学中有广泛的应用。
其中，平行投影和垂直投影是两个重要的概念和运算。
本文将介绍平面向量的平行投影和垂直投影的概念、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、平行投影的定义和计算平行投影是指一个向量在另一个向量上的投影。
它的计算方法如下：设有两个向量a和b，向量a在向量b上的平行投影记作proj_b(a)，则有：proj_b(a) = (a·b / |b|²) * b其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|b|表示向量b的模长。
二、垂直投影的定义和计算垂直投影是指一个向量在另一个向量的垂直方向上的投影。
它的计算方法如下：设有两个向量a和b，向量a在向量b的垂直方向上的投影记作perp_b(a)，则有：perp_b(a) = a - proj_b(a)其中，proj_b(a)表示向量a在向量b上的平行投影。
三、平面向量的平行投影和垂直投影的应用平面向量的平行投影和垂直投影在许多实际问题中有着广泛的应用。
我们将通过几个具体例子来说明。
例子1：力的分解在物理学中，一个力可以被分解为平行于某个方向的力和垂直于该方向的力。
这个分解过程可以利用平行投影和垂直投影来完成。
假设有一个力F和一个方向向量d，我们可以使用平行投影将力F在方向向量d上的分量计算出来，利用垂直投影计算出力F在方向向量d的垂直分量。
例子2：位移的分解在几何学中，一个位移向量可以被分解为平行于某个平面的位移和垂直于该平面的位移。
同样地，我们可以使用平行投影和垂直投影来实现这种分解过程。
假设有一个位移向量S和一个平面向量n，我们可以通过平行投影计算出位移向量S在平面向量n上的分量，利用垂直投影计算出位移向量S在平面向量n的垂直分量。
例子3：轨迹分析在运动学中，平面向量的平行投影和垂直投影可以用于分析物体在平面上的轨迹。
通过计算一个物体在每个时刻的速度向量在轨迹法向量上的投影，可以获得物体在轨迹上的加速度分量。
高考考点复习讲义-31平面向量的平行与垂直
例２已知向量 a (1, 2 ),b ( 2,1) ，若正数 k 和 t 使得向量
1 x a (t 2 1)b与 y k a b 垂直，求 k 的最小值. t
1
例３已知平面向量 a＝( 3 ，－1)，b＝( 1 ,
2
3 ).(1) 若存在实数 k 2
31 平面向量的平行与垂直
【考点知识】平面向量的平行与垂直 【课前预习】 B
【课后反思】
1. 关于平面向量 a，b，c ．有下列三个命题：
，k )，b (2， 6) ，a ∥ b ， ①若 a b = a c ，则 b c ．②若 a (1
则 k 3 ． ③非零向量 a 和 b 满足 | a | | b | | a b |，则 a 与 a b 的夹角为
和 t，便得 x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且 x⊥y，试求函数的关系 式 k＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定 k＝f(t)的单调区间．
【巩固练习】 1. 已知向量 a (2,3) ， b ( x,6) ，且 a // b ，则 x
．
2. 已知向量 a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且 a⊥b，则由 x 的值构成 的集合是 ． π π 3. 已知向量 a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－ ＜θ＜ ． 2 2 （Ⅰ）若 a⊥b，求 θ； （Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
4. 已知椭圆的中心为坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭
， 1) 圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A， B 两点， OA OB 与 a (3
共线．求椭圆的离心率．
2
【课前预习】1.② 或(
2. 2
平面向量的平行与垂直
平面向量"的平行与"垂直基础知识回顾:1.平行（共线）向量定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
记作a// b；2.垂直向量定义:若两个非零向量所或角为90° ,则称这两个向量垂直。
记作日丄b一、基础训练1.已知平面向量a = (3,l),b = (x,-3),a//b,Mx 等于「92.已知平面向量a二(1,-3) ,b= (4,-2),篇+B与2垂直，则兄是 ______3.若耳,©是两个不共线的向量已知厢=2&+応，西二£+3©丽二2彳-若AB,D三点共线，则k=-8设A (4, 1) , B (-2, 3) , C (k, -6),若△ABC为直角三角形且ZB二90°求k的值。
解：当ZB = 90° ,BA= (6-2), BC = (k + 2-9)•/ ZB = 90° /. IX丄BC,BA- BC = 6(k + 2) + (-2)(-9) =0.\k = -5.如图所示，已知A(4,5)J B(1>2),C(12J), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线，A、P、C 三点共线。
解：丽= (5,2), SB = (10,4) = 2莎AP = (2,-1), AC = (8, -4)二 4丽又丽、而共起点B ,丽、疋共起点A, 则B、P、D三点共线，A、P、C三点共线。
a> b是不共线的两个非零向S,OM=ma ,ON=nb OP = «a + ,其中m、n、仅、0 w R，且nm H 0,若M、P、N三点共线，则纟+炉=1 m n -- •P是ZVLBC所在平面上一点，若口4 • PB = PB • PC=PC•币，则P是厶ABC的________ 心.解析：由题知有丙• (PA~PC) = PB • CA = O.即PB_AC.同理可得PA1BC,PC_AB. :.P是厶ABC的垂心.答案：垂例4：设向量a =(4cosa,sina),b =(sin0,4cos0),—►c = (cos0Tsin0) ⑴若a与B -2c垂直，求tan(<z + 0)的值；(2)若tanciftan p = 16,求证:a//b.⑴由feb-2c垂直,aH^-2c) = aEb-2a^ = 0? 即4 sin(cr +0) — 8 cos(cr + 0) = 0,.・.tan(a + 0) = 2;(2)由tan a tan (3 = 16得sin a sin p = 16 cos a cos 0,艮卩4cosa4cos0-sinasiii0 = 0・・・a //b悸例3)已知平面向量。
平面向量的平行与垂直
平面向量的平行与垂直【考点及要求】1.理解平面向量的坐标表示；2.掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；3.理解向量平行的等价条件的坐标形式．【基础知识】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j成立，即向量a 的坐标是________2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________，a－b＝____________。
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b⇔x1 y2－x2 y1＝_______【典型例题讲练】例1、已知平行四边形ABCD三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CACN2＝，求M，N＝，CBCM3的坐标和MN的坐标.变式:若向量jiBC+＝，其中i，j分别为x轴，y轴正方向上的单miAB2-＝，j位向量，求使A，B，C三点共线的m值.【课堂小结】设：(x 1, y 1)、b(x 2, y 2)（1）加减法：a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2)(其中a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)). （2）数乘：若a =(x,y),则λa =(λx,λy)（3）a∥b(b ≠0)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=注：充要条件不能写成：1122x y x y =或1122xy x y =，但在解题中，当分母不为0时常使用；【课堂检测】1．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5D ．x =5,y =－12．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 4．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= 5．已知A B C D 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________6.设向量a =（1,-3），b =（-2,4），c =（-1,-2），若表示向量4a 、4b -2c 、2（a -c ）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ） A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）7.平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足21AC =→--→--CB，连DC 并延长至E ，使|→--CE |=41|→--ED |，则点E 坐标为： ( )A 、（-8，35-） B 、（311,38-） C 、（0，1） D 、（0，1）或（2，311）8．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5 D ．x =5,y =－19．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ） A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-10．若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 11．已知三点P (1,1)、A (2,-4)、B (x ,-9)在一条直线上，求x 的值.12．已知向量a =(2x －y +1,x +y －2), b=(2,－2),x 、y 为何值时，(1)a b = ； (2) //a b13．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ； （2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ；14.(2005湖北)．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是15.设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→--OA ，O 为坐标原点，则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是＿＿＿＿。
专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)
专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。
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a//b
练习
，
，
1．已知向量 a (3,1) b (1,3) c (k,2) ，若 (ac)b
10
则 k = 0 ;若(a ， c) ∥ b 则 k = 3
． ，
2. 已知向量a (1,2) b(2,3) 若向量 c 满足(ca)//b
4
4
故当t=-2时， k t 2
t
有最小值
7 4
7
a
4
小结
1.向量的平行（共线）和垂直是向量夹角的两个特殊
情形：两向量平行（共线）即向量的夹角为0或 ，
两向量垂直即向量的夹角为 ，无论是符号语言
2
还是坐标语言，它们都可以通过向量的数量积来刻画。 2.证明将三点共线转化为过共起点的向量共线。
c(ab)，则c ___(__97_,_7_3)________
3. 已知a,b是不共线的向A量 B， ab,
ACab(,R),则A,B,C三点共线的充要条
是______1___.
已知 O
为
ABC
所在平面内一点，满足
2
OA
2
BC
2
OB
2
CA
OC
2
2
AB
，则点
O
是ABC的 __垂___心 。
4. 平面上三个向量 a , b , c 的模均为1，它们相互
之间的夹角均为120°，求证：(ab) ⊥c
5. 已知
a(
3,1),b(1 2,,
3) 2
存在实
数xk 和解t,y使若得a不 ，等bx 式 aka bt t 20(t2 a 有 恒3 成x)b 立,y，y 求得 a的k k a 取t3 值 3tt范b且
4
，
kt21(t24t3)1(t2)27
t4
A P ( 2 , 1 ) ,A C ( 8 , 4 ) 4 A P
又 BP、BD 共起点B ， AP、AC 共起点A，
则B、P、D三点共线， A、P、C三点共线 。
a、b 是不共线的两个非零向量，OMma，ONnb
OPab，其中m、 n、 、 R，且 mn 0
，若M、P、N三点共线，则
m
n
=1
.
例 4：设a向 (4c量 o,ssin),b(sin,4cos), c(co,s4sin) (1)若a与b2c垂直， ta求 n()的值； （2）若 tantan16,求证 a/： /b.
(1) 由 a 与 b 2 c 垂 直 ， a(b 2 c) ab 2 ac 0 ,
即 4 sin ( ) 8 c o s( ) 0 , ta n ( ) 2 ;
3.若e 1 ,e 2 是 两 个 不 共 线 的 向 量 ,已 知 A B2e1ke2, C B e 1 3 e 2 ,C D 2 e 1 e 2 ,若 A ,B ,D 三点共线，则 k=_____-8_____.
设A（4，1），B（-2，3），C（k，-6），若
△ABC为直角三角形且∠B= 9，0 求k的值。
解：当 B90， BA(6,2),BC(k2,9) B90BABC ,
BABC6(k2)(2)(9)0k5.
如图所示,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线， A、P、C三点共线。 解：B P ( 5 ,2 ) ,B D ( 1 0 ,4 ) 2 B P
ab
a b 0 x1x2y1y20
(a0,b0)
一、基础训练 1.已知平面向量 a ( 3 ,1 ) ,b ( x , 3 ) ,a / /b ,则 x
等于_____-_9______
2.已知平面向量a =（1,－3），b =（4,－2）， a b与 a 垂直，则 是_____-_1______
基础知识回顾：
1．平行(共线)向量定义： 方向 相同或相反 的非零向量叫平行向量。
记作 a ∥ b ；
2. 垂直向量定义： 若 、两个非零向量所成角为 90 ，则称这两
个向量垂直。记作 a ⊥ b
3.平面向量的平行与垂直的判定
向量关系式 坐标关系式
a // b
a b
x1y2x2y10
(b 0)