全国高中数学竞赛二试模拟训练题(82)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知，33arcsin32≤++<γβαπ。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(25)(1)
加试模拟训练题（25）1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.2. 设z y x ,,都是正数,而且1222=++z y x ,求证:yzxx yz z xy ++3≥ 3. 正五边形的每一个极点对应一个整数使得这五个整数的和为正．假设其中三个相连极点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，那么要进行如下的操作：整数x 、y 、z 别离换为x ＋y 、－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是不是如此的操作进行有限次后必然终止？4、试证：当112<<n 时，不存在n 个持续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 加试模拟训练题（25）1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易患∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点 共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.现在 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.一样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.2. 设z y x ,,都是正数,而且1222=++z y x ,求证:A BCDI CI DAI I BA BCDI CI DAI I Byzxx yz z xy ++3≥ (依照前苏联第22届数学竞赛试题改编) 分析与证明: 以)(33222z y x ++=代入原不等式可得齐次不等式:yzx x yz z xy ++)(3222z y x ++≥. 因为 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2y zx x yz z xy )(2222222222222z y x y x z x z y z y x +++++ 而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222222222y x z x z y z y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222x z y z y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222y x z x z y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222y x z z y x )(2222z y x ++≥. 从而原不等式得证. 3. 正五边形的每一个极点对应一个整数使得这五个整数的和为正．假设其中三个相连极点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，那么要进行如下的操作：整数x 、y 、z 别离换为x ＋y 、－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是不是如此的操作进行有限次后必然终止？第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题【解】为方便计，把五个数写成一列：v 、w 、x 、y 、z ，并注意v 与z 是相邻的．不妨设y ＜0．操作后，便得v 、w 、x ＋y 、－y 、y ＋z ．它们的和未变．考虑操作前后各项平方及每相邻两项和的平方之和(称为双平方和)的差． [v 2＋w 2＋(x ＋y)2＋(－y)2＋(y ＋z)2＋(v ＋w)2 ＋(w ＋x ＋y)2＋x 2＋z 2＋(y ＋z ＋v)2－[v 2＋w 2 ＋x 2＋y 2＋z 2＋(v ＋w)2＋(w ＋x)2＋(x ＋y)2 ＋(y ＋z)2＋(z ＋v)2] ＝2y(v ＋w ＋x ＋y ＋z)因为y ＜0，v ＋w ＋x ＋y ＋z ＞0，故上述差为负数．这确实是说，每操作一次后，各数双平方和变小．但原先5个数的双平方和为必然值，因此这种操作进行有限次后即行停止，即5个数最后都变成正数．另解：必然终止。
全国高中数学联赛模拟试卷试题.doc
全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
高中数学竞赛二试题
高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(80).doc
加试模拟训练题(80)1 ABCD是一个平行四边形，E是AB±的一点,F为CD上的一点。
AF交ED于G, EC交FB于H。
连接线段GH并延长交AD于L,交BC于机求证：DL=BM.2.由0和1组成的、长度为n (如00101, 10100长度都为5)的排列中，没有两个1 相连的排列的个数记为f (n).约定f (0) =1.试证明：(1) f (n) =f (n-1) +f (n-2), nN2；(2) f (4k+2)可被3整除，k》0.离专字习网/ 3.设ABCD是块矩形的板，|AB|=20, |BC|=12,这块板分成20X12个单位正方形.设r是给定的正整数.当且仅当两个小方块的中心之间的矩离等于齐时，可以把放在其中一个小方块里的砸而移别另一个小方块中.在以A为顶点的小方块中放有一个硬币，我们的工作是要找出一系列的移动，使这硬币移到以B 为顶点的小方块中.(a)证明当r被2或3整除时，这一工作不能够完成.(b)证明当r=73时，这项工作可以完成.(c)当r = 97时，这项工作能否完成？4.设a,b,c是三个互不相等的正整数。
求证：在a3b-ab3, b i c-bc i, c3a-ca3三个数中, 至少有一个能被10整除。
梅 涅劳斯定理，得EG DI CH i ---- =1 9GD IC HE AG FH BJ----- . ----- — 1 . HB JA因为AB//CD,所以竺 _ AG — , CH _ FH GD GFHE ~ HB'加试模拟训练题(80)1 ABCD 是一个平行四边形，E 是48 ±的一点,F 为CD 上的一点。
AF 交ED 于G, EC 交FB 于连接线 段GH 并延长交AD 于L,交BC 于M 。
求证:DL=BM.证 如图，设直线L/W 与曲的延长线交于点与DC 的延长线交于点/。
在△£(：£)与中分别使用n^-Dl BJ 0n CD + CI AB + AJ +后厂,,,布 从而一=—,即 ----------- = -------- ,故CI=AJ.而 IC JA CI AJ BM _BJ DI _ DL MC~ CI ~ AJ~ LA J 且 BM+MC=BC=AD=AL+LD.所以 BM=DL 。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(57)(1)
加试模拟训练题（57）1． 设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点； (2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF .2. 对所有正实数a ，b ，c ，证明（a 3+b 3+abc ）-1+（b 3+c 3+abc ）-1+（c 3+a 3+abc ）-1≤（abc ）-1 3.7个六边形的网眼(如图)涂上两种颜色：白色或蓝色．每次许诺选择任一网眼，将它及所有相邻的网眼改涂为另一种颜色．证明：由图a 经有限次地上述改涂手续后， 1．可变成b ； 2．不可能变成c ．4.设n 是一个合数.证明存在正整数m ，知足|m n ，m ≤，且3()()d n d m ≤.那个地址()d k 表示正整数k 的正约数的个数. 加试模拟训练题（57）1．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点； (2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF . (1991，国家教委数学实验班招生试题)分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =FA ， IB =AB =BC .再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用 不等式有：BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FAErdos ..I PABCDEFQ S IP ABCDEFQ S=2(BI+DI+FI)≥(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I确实是一点两心.2. 证明对所有正实数a，b，c，（a3+b3+abc）-1+（b3+c3+abc）-1+（c3+a3+abc）-1≤（abc）-1【题说】第二十六届（1997年）美国数学奥林匹克题5．【解】去分母并化简，原式等价于a6（b3+c3）+b6（c3+a3）+c6（a3+b3）≥2a2b2c2（a3+b3+c3）（1）由对称性，不妨设a≥b≥c．因为2a2b2c2（a3+b3+c3）≤（a4+b4）c4+（b4+c4）a5+（c4+a4）b5而a6（b3+c3）+b6（c3+a3）+c6（a3+b3）-（a4+b4）c5-（b4+c4）a5-（c4+a4）b5=a5b3（a-b）+a5c3（a-c）-b5a3（a-b）+b5c3（b-c）-c5a3（a-c）-c5b3（b-c）=（a-b）a3b3（a2-b2）+（a-c）a3c3（a2-c2）+（b-c）b3c3（b2-c2）≥0因此（1）成立．3.7个六边形的网眼(如图)涂上两种颜色：白色或蓝色．每次许诺选择任一网眼，将它及所有相邻的网眼改涂为另一种颜色．证明：由图a经有限次地上述改涂手续后，1．可变成b；2．不可能变成c．【题说】第十五届(1989年)全俄数学奥林匹克九年级题5． 【证】1．先选图a 正下方网眼，改涂后可得图d ．再选图d 正上方网眼，改涂后便取得图b ．2．别离用A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 记7个网眼．涂白色的网眼用＋1表示，涂蓝色的网眼用－1表示．考虑A 、C 、D 、F 四格，不论选7个网眼中哪一格进行改涂，它们中必有两格或四格变号(改涂颜色相当于乘以－1)，因此这4个数之积老是不变．关于图a 那个积为＋1；而关于图c ，那个积为－1．因此，图a 不可能变成图c ． 4.设n 是一个合数.证明存在正整数m ，知足|m n，m ≤，且3()()d n d m ≤.那个地址()d k 表示正整数k 的正约数的个数.证明 假设n 有一个素因子p知足p >，令nm p=，那么有m <.由p >知(,)1m p =，因此()()()2()d n d p d m d m ==.又由n 是合数知1m >，即()2d m ≥.因此3()()d n d m ≤.此刻设n，取1m 为n再取2m 为1nm的最大因子.咱们先证明21m >. 假设不然，那么1n m 没有大于11nm是合数，那么它在区间内至少有一个因子，矛盾！因此1n m 是素数.但前面已假设n，又1n m ≥=，故只有1nm =且是素数.但现在有2m =21m =矛盾！由21m >知121m m m >，且12m m 是n 的因子.由1m的选取可知12m m >，因此令312nm m m =，那么有1,2,3)i m i ≤=.因此，333123123123()()()()()max{(),(),()}d n d m m m d m d m d m d m d m d m =≤≤. 故取123,,m m m 中因子数最多的一个为m 即可.注 以上用到一个大体的事实：假设,u v 为正整数，那么()()()d uv d u d v ≤，这可用数()d x 的计算公式推出来.。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题（2）1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 12341111102612410.y y y y =++++≤当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U=2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥n k n K k k k a 1121证明: 设a a a b b b n n ,,,,,,2121ΛΛ是的从小到大的有序排列,即b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121Λ 又因为n 222111132>>>>Λ所以由排序不等式得: n a a a n 22212+++Λ (乱序)n b b b n22212+++≥Λ (倒序)n 1211+++≥Λ即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(81)
加试模拟训练题（81）1 在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l 。
求证：EF 平分∠CFD 。
2.设｛x n ｝、｛y n ｝为如下定义的两个整数列：x 0=1，x 1=1，x n+1=x n +2x n-1 （n=1，2，3，…）y 0=1，y 1=7，y n+1=2y n +3y n-1 （n=1，2，3，…）于是这两个数列的前几项是：x ：1，1，3，5，11，21，…y ：1，7，17，55，161，487，…证明：除了“1”以外，两个数列中不再有其他相同的数．3.证明：对n ≥4，每一个有外接圆的四边形，总可以划分成n 个都有外接圆的四边形． DlA B O F(H)E C P4.设[x]表示不超过x的最大整数．试对任意正整数n计算和加试模拟训练题（81）1 在直线l 的一侧画一个半圆T ，C ，D 是T 上的两点，T 上过C 和D 的切线分别交l 于B 和A ，半圆的圆心在线段BA 上，E 是线段AC 和BD 的交点，F 是l 上的点，EF 垂直l 。
求证：EF 平分∠CFD 。
证 如图，设AD 与BC 相交于点P ，用O 表示半圆T 的圆心。
过P 作PH 丄l 于H ，连OD ，OC ，OP 。
由题意知Rt △OAD ∽Rt △PAH ， 于是有DOHP AD AH =. 类似地，Rt △OCB ∽Rt △PHB ， 则有COHP BC BH =. 由CO =DO ，有BC BH AD AH =，从而1=⋅⋅DAPD CP BC HB AH . 由塞瓦定理的逆定理知三条直线AC ，BD ，PH 相交于一点，即E 在PH 上，点H 与F 重合。
因∠ODP =∠OCP =90°，所以O ，D ，C ，P 四点共圆，直径为OP . 又∠PFC =90°，从而推得点F 也在这个圆上，因此∠DFP =∠DOP =∠COP =∠CFP ，所以EF 平分∠CFD 。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(88)(1)
加试模拟训练题（88）1．以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个极点A、C，且与AB、BC两边别离相交于K、N两点，⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点．证明：∠OMB为直角．2. 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a，b)，求出a2+b2的最小可能值．3 一条平行于x轴的直线，若是它与函数y＝x4＋px3＋qx2＋rx＋s的图像相交于互异的四点A、B、C、D，而线段AB、AC与AD能够组成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”．证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的．4.已知实函数(,)f x y知足(,0)1,f x=①((,),)(,).f f x y z f z xy z=+②求(,)f x y的表达式.加试模拟训练题（88）1．以O为圆心的圆通过⊿ABC的两个极点A、C，且与AB、BC两边别离相交于K、N两点，⊿ABC和⊿KBN的两外接圆交于B、M两点．证明：∠OMB为直角．分析关于与圆有关的问题，常可利用圆幂定理，假设能找到BM上一点，使该点与点Ｂ关于圆O等幂即可．证明：由BM、KN、AC三线共点P，知PM·PB=PN·PK=PO2-r2．⑴由PMN =BKN =CAN，得P、M、N、C共圆，故BM·BP=BN·BC=BO2-r2．⑵⑴－⑵得，PM·PB-BM·BP= PO2 - BO2，即(PM-BM)(PM+BM)= PO2 - BO2，确实是OA CBKNMPM2 -BM2= PO2 - BO2，于是OM⊥PB．2. 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a，b)，求出a2+b2的最小可能值．【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3．此题由瑞典提供．【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+1=0则从而方程y2+ay+(b-2)=0此式即平方整理得2｜a｜≥2+b从而程x4+ax3+bx2+ax+1的实根)．3 一条平行于x轴的直线，若是它与函数y＝x4＋px3＋qx2＋rx＋s的图像相交于互异的四点A、B、C、D，而线段AB、AC与AD能够组成某个三角形的三条边，那么就称此直线为“三角形的”．证明；平行于x轴而与上述函数的图像相交于四个不同点的直线中，要么全都是三角形的，要么没有一条是三角形的．【题说】1980年四国国际数学竞赛题5．此题由芬兰提供．【证】设有一条直线是三角形的，不妨设它确实是x轴，而且交点A在最左面(若是B在最左，A为左起第二个，那么BA、BC、BD也成三角形，其它情形令x＝－t就能够够化成这两种)，A确实是原点．这时B、C、D 的横坐标是三次方程x3＋px2＋qx＋r＝0的三个根，它们能够作为三角形的三条边的充分必要条件是P＜0，q＞0， r ＜0及p 3＞4pq －8r ．任一条平行于x 轴的直线y ＝y 0与y ＝x 4＋px 3＋qx 2＋rx ＋s 的四个交点的横坐标记为x 0＜x 1＜x 2＜x 3，那么正数a ＝x 1－x 0，b ＝x 2－x 0，C ＝x 3－x 0及0知足方程 y 0＝(x ＋x 0)4＋p(x ＋x 0)3＋q(x ＋x 0)2＋r(x ＋x 0)＋s 从而a 、b 、c 是方程的根．由于＝p3－4pq ＋8r ＞0 因此a 、b 、c 能够作为三角形的边长．即直线y ＝y 0是三角形的．4.已知实函数(,)f x y 知足(,0)1,f x = ① ((,),)(,).f f x y z f z xy z =+ ② 求(,)f x y 的表达式.解 把①代入②，有()()()()1,,0,,01f y f f x y f y y y ==+=+， ③ 进而 ()()(),111,1f x f x =+- ()()()1,1,1f f x =- （由③） 1x =+ ④ 一方面由④有()()(),,1,1,f f x y f x y =+ ⑤ 另一方面由②、③有()()(),,11,11 1.f f x y f xy xy =+=++ ⑥ 由⑤、⑥得(),111f x y xy +=++，即 (),1f x y xy =+.查验知(),1f x y xy =+为所求.。
高中数学竞赛模拟考试卷二试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年HY 高级高中数学竞赛模拟考试卷二一、选择题：a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，那么以下四个结论中正确的选项是〔D 〕〔A 〕ac b≤2〔B 〕ac b >2〔C 〕ac b >2且0>a 〔D 〕ac b >2且0<a提示：假设0=a ,那么0≠b ,那么02=>ac b .假设0≠a ,那么对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由0)1(,0)2(<->f f 可得结论.△ABC 中，假设a BC AB A ===∠,2,450，那么2=a 是△ABC 只有一解的〔A 〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分又不必要条件)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.假设对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，那么m 的取值范围是〔A 〕〔A 〕),81(+∞〔B 〕)81,0[〔C 〕)2,81(〔D 〕),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，那么二面角C —FG —E 的大小是〔D 〕〔A 〕36arcsin〔B 〕33arccos2+π〔C 〕2arctan 2-π〔D 〕22cot arc -π }12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为〔3〕，〔5，7〕，〔9，11，13〕，〔15，17，19，21〕，〔23〕，〔25，27，〕，〔29，31，33〕，〔35，37，39，41〕，…，在第100个括号内各数之和为〔A 〕 〔A 〕1992〔B 〕1990〔C 〕1873〔D 〕18916.设n i n x i,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是〔C 〕〔A 〕4〔B 〕6〔C 〕8〔D 〕9二、填空题：7.假设实数x 、y 满足条件122=-y x ，那么x y x212+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .8.对于给定的正整数4≥n ，等式423n mC C =成立，那么所有的m 一定形如_____________.〔用n 的组合数表示〕 【答案】21-=n C m(4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m ,从而21-=n C m(4≥n ).9.一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在获得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.【答案】3.0提示:ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(2121913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(4121933===C C C P ξ. 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . 10.设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。
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加试模拟训练题（82）
1 如图，四边形ABCD 内接于圆，AB ，DC 延长线交于E ，AD 、BC 延长线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。
2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．
3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线
E
B R
C T
A P S D
F
中至少有三条经过同一点．
4. 已知49个正整数的集合M，M中的每个数的质因数不大于10，证明：M中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。
加试模拟训练题（82）
1如图，四边形ABCD内接于圆，AB，DC延长线交于E，AD、BC延长
E
B R
C
T
A
P S
D F
线交于F ，P 为圆上任意一点，PE ，PF 分别交圆于R ，S . 若对角线AC 与BD 相交于T . 求证：R ，T ，S 三点共线。
先证两个引理。
引理1:
A 1
B 1
C 1
D 1
E 1
F 1为圆内接六边形，若A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点，则有
11
11
111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A . 如图，设A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于点O ，根据圆内接多边形的性质易知 △ OA 1B 1∽△OE 1D 1，△OB 1C 1∽△OF 1E 1， △ OC 1D 1∽△OA 1F 1，从而有 △
O D O B E D B A 111111=， O B O F C B F E 111111=， O
F O
D A F D C 111111=. 将上面三式相乘即得11
11111111111=⋅⋅A F F
E E D D C C B B A ，
引理2：
圆内接六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，若满足
11
11
111111111=⋅⋅A F F E E D D C C B B A 则其三条对角线A 1D 1，B 1E 1，C 1F 1交于一点。
该引理与定理2的证明方法类似，留给读者。
例11之证明如图，连接PD ，AS ，RC ，BR ，AP ，SD . 由△EBR ∽△EPA ，△FDS ∽△FPA ，知EP EB PA BR =,FD
FP
DS PA =
. 两式相乘，得
FD
EP FP
EB DS BR ⋅⋅=
. ① 又由△ECR ∽△EPD ，△FPD ∽△FAS ，知
EP EC PD CR =，FA
FP
AS PD =
. 两式相乘，得FA
EP FP
EC AS CR ⋅⋅=
② 由①，②得FD
EC FA
EB CR DS AS BR ⋅⋅=
⋅⋅. 故 =⋅⋅AB SA DS CD RC BR CE
DC
FD AF BA EB ⋅
⋅. ③ 对△EAD 应用梅涅劳斯定理，有1=⋅⋅CE
DC
FD AF BA EB ④
由③，④得1=⋅⋅AB
SA
DS CD RC BR .
由引理2知BD ，RS ，AC 交于一点，所以R ，T ，S 三点共线。
2.对于每个实数x 1，由x n+1=x n （x n +1/n ），n ≥1，构成序列x 1，x 2，…，证明：存在唯一的x 1，使得0＜x n ＜x n+1＜1（n=1，2，…）．
【题说】第二十六届（1985年）国际数学奥林匹克题6．本题由瑞典提供．
B F A E 1
O
C D 1
1
1
1
1
【证】设P 1（x ）=x ，P n+1（x ）=P n （x ）（P n （x ）+1/n ），（n ≥1）那么P n
（x ）是正系数的2n-1
次多项式．于是x n =P n （x 1），由于x n+1＞x n 与x n ＞1-1/n 等价，问题可改为证明存在唯一的正实数t ，使得1-1/n ＜P n （t ）＜1（n=1，2，）．
由于P n （x ）是严格的增函数（x ≥0），P n （0）=0，且P 1（1）=1，P n （1）＞1（n ≥2），我们可以找到唯一的a n ＜b n ≤1，使P n （a n ）=1-1/n 及P n （b n ）=1．
又由P n+1（a n ）=1-1/n 及P n+1（a n+1）=1-1/（n+1），可得
a n ＜a n+1
同理，由P n+1（b n+1）=1及P n+1（b n ）=1+1/n ，得b n+1＜b n ． 由于[a n ，b n ] [a n-1，b n-1]，所以P n-1（a n ）≥P n-1（a n-1）≥
≥P 1（b n ）-P 1（a n ）=b n -a n
由“区间套定理”，存在唯一实数t ，使得对所有n 均满足a n ＜t ＜b n ，由此得1-1/n ＜P n （t ）＜1．
3.九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2:3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．
【题说】 第六届(1972年)全苏数学奥林匹克八年级题4、十年级题5．
【证】 由梯形的面积等于高和中位线的积可知：分正方形成面积比为2:3的两个梯形(或矩形)的每条直线，都把沿着梯形的中位线作出的正方形的中位线分成同样的比．
如图，分正方形中位线为2:3的点共有四个，而直线有9条，故至少应有三条直线过这些点中的某一个．
例7 已知49个正整数的集合M ，M 中的每个数的质因数不大于10，证明：M 中有4个互不相同的元素，它们的乘积等于某个整数的四次方。
注：不妨假设i m M ∈且1234
2357
i i i i p
p
p
p i m =，考虑下面的有序数组()1234,,,i i i i p p p p ，从各
自的奇偶性看，共16种，所以肯定有4个有序组，它们的奇偶性次序完全相同。
这样讨论有缺陷。
先从49个有序组种取17个有序组，肯定有两个有序组的奇偶次序完全相同，这样两个有序数组记为()()1112131411121314,,,,,,,a a a a b b b b ，原来的49个有序组，还剩余47个有序，再取17个，又有两个有序组，()()2122232421222324,,,,,,,a a a a b b b b ，一次可以取17对有序组，
()()17,1
172173174171172173174,,,,,,,a
a a a
b b b b ，每两对的奇偶性次序完全相同。
将它们相乘，则
112233442357i i i i i i i i a b a b a b a b ++++，其中，还有两个奇偶性次序完全相同，再相乘，可以得到结论。