专题：直线与圆锥曲线--椭圆双曲线抛物线的一些经典题型.doc

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）

【学习要点】

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（ 1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r 2=2a。第二定义中， r 1=ed1 r 2=ed2。

（ 2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1 r2 2a ，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定

义中， r 1=ed1， r 2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直

接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问

题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是

弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方

法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设

弦的两个端点 A(x 1,y1),B(x 2,y2), 弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，将点 A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦

中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：

（ 1）x 2 y 2

1(a b 0) 与直线相交于

x 0y0

k 0

。a

2 A、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，则有 2

（ 2）x 2 y 2

1(a 0, b 0) 与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有

x0 y0

k 0 a 2 b 2 a 2 b 2

（3） y2=2px（ p>0 ）与直线 l 相交于 A、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0 ),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p.

【典型例题】

例1、 (1) 抛物线 C:y 2 =4x 上一点P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为______________

(2)抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。

分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则PH PF ，因而易发现， A

H Q

当 A 、P、 F 三点共线时，距离和最小。P B （ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR ⊥ l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时， F

距离和最小。

解：（ 1）（ 2，2）

连PF

，当

A P F AP PH AP PF

最小，此时

的方程为

2 0 (

、、三点共线时， 4

3 1

即 y=2

2 (x-1), 代入 y 2

=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为 ( 1

, 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，

舍去）

（2）（ 1

,1）

过 Q 作 QR ⊥ l 交于 R ，当 B 、Q 、R 三点共线时，

BQ QF BQ

QR 最小，此时 Q 点的纵坐标为

1，代入 y 2

=4x 得 x= 1 ，∴ Q( 1

,1)

4 4

点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。

例 2、 F 是椭圆

x 2

y 2 1的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。

（1） PA

PF 的最小值为

A P H

（2） PA 2 PF 的最小值为

F 0 F

分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径

′

PF 或准线作出来考

虑问题。

解：（ 1） 4- 5

设另一焦点为

F ，则F (-1,0) 连 A F ,P F

PA PF PA

2a PF 2a

( PF

PA) 2a AF 4 5

当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PA

PF 取得最小值为 4-

5 。

（ 2） 3

作出右准线 l ，作 PH ⊥ l 交于 H ，因 a 2=4， b 2=3， c 2=1， a=2， c=1， e= 1 ，

∴ PF

PH ,即2 PF

∴ PA 2PF PA PH

当 A 、 P 、 H 三点共线时，其和最小，最小值为

a 2

x A 4 1 3

例 3、动圆 M 与圆 C 1:(x+1) 2+y 2=36 内切 ,与圆 C 2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。

分析：作图时，要注意相切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A 、M 、 C 共线， B 、 D 、 M 共线）。列式的主要途径是

y 动圆的“半径等于半径” （如图中的 MC

MD ）。

解：如图， MC MD ，

A 0 B

∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2

∴ MA

（ * ）

∴点 M 的轨迹为椭圆，

x 2 y 2 2a=8， a=4， c=1， b 2=15 轨迹方程为

点评：得到方程（ * ）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出

(x 1)2 y 2

(x 1) 2 y 2

4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例 4、△ ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3

sinA,求点 A 的轨迹方程。

分析：由于

sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以

2R （ R 为外接圆半径），可转化为边长

的关系。

解： sinC-sinB= 3 5

sinA

2RsinC-2RsinB=

3 · 2RsinA

∴ AB

3 BC

即AB

AC 6

（*）

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵ 2a=6， 2c=10

∴ a=3， c=5， b=4

所求轨迹方程为

x 2 y 2 1 （ x>3）

点评：要注意利用定义直接解题，这里由（ *）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例 5、定长为

3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2

上移动， AB 中点为 M ，求点 M 到 x 轴的最短距离。

分析：（ 1）可直接利用抛物线设点，如设

A(x 1,x 1 )， B(x 2， X 2 )，又设 AB 中点为 M(x 0y 0)用弦长公式

及中点公式得出 y 0 关于 x 0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（ 2） M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A(x 1， x 12)， B(x 2， x 22)， AB 中点 M(x 0， y 0)

( x 1 x 2 ) 2

( x 12 x 22 ) 2

9 ① 则

x 1

x 2

2 x 0 ② 2

2 y 0

③

x 1 x 2

由①得 (x 1-x 2)2 [1+(x 1+x 2) 2]=9

即 [(x 1 +x 2)2-4x 1x 2]· [1+(x 1+x 2)2]=9 ④

由②、③得2x1x2=(2x

-2y0=4x

2 0) 0 -2y0

代入④得[(2x 0)2-(8x02-4y0)] · [1+(2x 0)2]=9 ∴ 4 y0 4x02 9 2

，

1 4x 0

4 y0 4x02 9 (4x02 1) 9 1

4x02 4 x02 1

≥29 1 5,

5 y0

当 4x02+1=3 即 x0 2 时， ( y0 )min 5 此时 M( 2,5)

2 4 2 4 法二：如图， 2 MM 2AA2BB2AF BF AB 3

∴MM2 3 1 3

，即MM1 ，

B 2 4 2 M

∴MM1 5 A

，当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。

A1 0 M1 B1x 4

A2 M B2

∴ M 到 x 轴的最短距离为

点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成 y0关于 x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的

距离，再利用梯形的中位线，转化为 A 、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验

证 AB 是否能经过焦点F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。

例 6、已知椭圆x

2 y2 1( 2 m 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次m m 1

变于 A、 B、 C、 D、设 f(m)= AB CD ,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m) 的结构不知如何运算，因A、 B 来源于“不同系统” ，A 在准线上， B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防

f (m) (x B x A ) 2 (x D x C ) 22 (x B x A ) ( x D X C )

2 (x B x C ) (x A x D )

y C D

2 ( x B X C )

F 1 0 2 x

此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。 B

解：（ 1）椭圆x 2 y 2 2 2 2

，左焦点 F 1(-1,0) m m

1 中， a =m ， b =m-1 ， c =1

则 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即 (m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0

得 (m-1)x 2 +m(x+1) 2-m 2+m=0 ∴ (2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0 设 B(x 1,y1),C(x 2,y2),则 x1+x2=- 2m (2 m 5)

2m 1

f ( m) AB CD 2 ( x B x A ) (x D x C )

2 ( x1 x2 ) (x A x C ) 2 x1 x2

2m 2

（ 2）f (m) 2 2m 1 1 2 (1 1 )

2m 1 2m 1

10 2 ∴当 m=5 时，f (m)min

4 2 ；当 m=2 时，f ( m)max

点评：此题因最终需求x B x C，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为 M(x 0,y0),

通过将 B 、 C

x0 y0

，将 y0=x0+1 ， k=1 代入得

x0 x0 1

坐标代入作差，得

m m m

0 ，∴

m 1 1

，可见 x B

2m 1

x C

当然，解本题的关键在于对 f (m) AB CD 的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现

f (m) x B x C是解此题的要点。【同步练习】

1、已知：F 1，F 2 是双曲线 x

2 y 2

1的左、右焦点，过 F 1 作直线交双曲线左支于点 A 、B ，若 AB m ，

a 2

b 2

△ ABF 2 的周长为（

）

A 、 4a

B 、 4a+m

C 、 4a+2m

D 、4a-m

2、若点 P 到点 F(4,0) 的距离比它到直线

x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是

（

）

A 、 y 2=-16x

B 、 y 2=-32x

C 、 y 2=16x

D 、 y 2=32x

3、已知△ ABC 的三边 AB 、BC 、 AC 的长依次成等差数列，且AB AC ，点 B 、 C 的坐标分别为

(-1 ， 0)， (1， 0)，则顶点 A 的轨迹方程是（

）

x 2 y 2 1

x 2 y 2 1( x

A 、

B 、

x 2 y 2 1( x 0)

x 2 y 2 1(x 0且 y 0)

C 、

D 、

4、过原点的椭圆的一个焦点为

F(1， 0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是

（）

A 、 ( x

1) 2 y

9 (x

1) B 、 (x

1 )

2 y

( x

C 、 x

( y 1 ) 2

(x 1)

D 、 x

( y 1 ) 2

( x 1)

2 4

5、已知双曲线

x 2 y 2

1上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是

6、抛物线 y=2x 2 截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是

7、已知抛物线 y 2

=2x 的弦 AB 所在直线过定点

p(-2， 0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是

2 2

8、过双曲线 x -y =4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x 2-y 2=1 的交点个数只有一个，则

x 2 y 2

sin ∠ F 1PF 2 的最大值。

10、设点 P 是椭圆

1 上的动点， F 1， F

2 是椭圆的两个焦点，求

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差

数列，若直线 l 与此椭圆相交于 A 、B 两点，且 AB 中点 M 为 (-2，1)， AB 4 3 ，求直线 l 的方程和椭

圆方程。

x 2 y 2 1(a 0, b 0) 及其渐近线的交点从左到右依次为

A 、

B 、

C 、

D 。

12、已知直线 l 和双曲线

b 2

求证： AB CD 。

【参考答案】

1、 C

AF2 AF1 2a, BF2 BF1 2a ，

∴

4 , 4 2 , 选

BF2 AB a AF2 BF2 AB a m C

AF2

2、 C

点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离， P 点轨迹为抛物线p=8 开口向右，则方程为y2 =16x，选 C

3、 D

∵AB AC 2 2，且 AB AC

∵点 A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A、 B、C 三点不共线，即y≠ 0，故选 D 。

4、 A

设中心为 (x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为 4 得 1 (2x 1) 2 (2 y) 2 4 ，

∴ ( x 1 ) 2 y2 9

2 4

①又 c

∴(x-1) 2+y2<4 ②，由①，②得 x≠ -1，选 A

5、

左准线为 x=- 9

， M 到左准线距离为d 4 ( 9) 29 则 M 到左焦点的距离为ed 5 29 29 5 5 5 3 5 3

6、x 1 1 ( y ) 2 2

设弦为 AB， A(x 1， y1)， B(x2， y2)AB 中点为 (x， y)，则 y1=2x12， y2=2x2 2， y1-y2=2(x 12-x2 2)

y1 y2

2( x1 x2 ) 1

∴

x2 ∴ 2=2· 2x，x

x1 2

将 x 1 1 1 1 代入 y=2x2得y ，轨迹方程是 x (y> ) 2 2 2 2

7、 y2=x+2(x>2)

设 A(x 1， y1 )， B(x2， y2) ，AB 中点 M(x ， y)，则

y12 2x1 , y22 2x2 , y12 y22 2(x1 x2 ), y

2 ( y1 y2 ) 2 x1 x2

∵k

AB k

MP y

，∴y 2 y 2 ，即y2 =x+2 x 2 x 2

又弦中点在已知抛物线内P，即 y2<2x，即 x+2<2x，∴ x>2

8、 4

a 2

b 2 4,

c 2 8, c 2 2 ，令 x

2 2 代入方程得 8-y 2=4

∴ y 2=4， y=± 2，弦长为 4

9、

2或 1

y=kx+1 代入 x 2-y 2=1 得 x 2-(kx+1) 2 -1=0 ∴ (1-k 2)x 2-2kx-2=0

①

得

4k 2+8(1-k 2 )=0，

② 1-k 2=0 得 k=± 1

10、解： a 2=25， b 2=9 ， c 2=16

y 设 F 1、 F 2 为左、右焦点，则 F 1(-4 ， 0)F 2(4，0) P

设 PF 1 r 1 , PF 2

①

F 1F 2

r 2 , F 1 PF 2

②

则 r 1

r 2 2

r 2 r 2

2r r cos

( 2c)2

① 2-②得 2r 1r 2(1+cos θ )=4b 2

∴ 1+cos θ = 4b

2b 2 ∵ r 1+r 2 2 r r 2 ， ∴ r 1r 2 的最大值为 a 2

2r 1r 2

r 1r 2 1

∴ 1+cos θ的最小值为

2b 2 ，即 1+cos θ 18

cos θ

7 ， 0

arccos

则当

时， sin θ 取值得最大值 1，

即 sin ∠F 1PF 2 的最大值为 1。

、设椭圆方程为 x

y 2 1(a b 0) 11 a 2 b 2

由题意： C 、 2C 、

c 成等差数列，

∴ 4c c

a 2 c 即 a 2 2c 2 ，

∴ a 2=2(a 2-b 2),∴ a 2 =2b 2

椭圆方程为

x 2

y 2

1，设 A(x 1， y 1)， B(x 2， y 2)

b 2

2b 2

则 x 1

y 12 1①

x 22

y 22 1② 2b 2

b 2

2b 2 b 2 ① -②得 x 1

x 22 y 12

y 22 0

2b 2

b 2

∴

y m k 0

2b 2 b 2

即

2 k

0 ∴ k=1

直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3，代入椭圆方程即

x 2+2y 2-2b 2=0 得 x 2+2(x+3) 2-2b 2=0

∴ 3x 2+12x+18-2b 2=0，

x 1 x 2

1 1 1 12

2 12(18 2b 2 ) 2 4 3

x 2

y 2 1，直线 l 方程为 x-y+3=0

解得 b =12， ∴椭圆方程为

12、证明：设 A(x 1， y 1)， D(x 2， y 2)， AD 中点为 M(x 0， y 0)直线 l 的斜率为 k ，则

x 2

y 2

①

2x 0 2 y 0

③

① -②得

b 2

k 0

y 2

a x 2

1 ②

a 2

b 2

设 B( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ), BC 中点为 M ( x 0 , y 0 ) ，

1 2 1

则 x 1

y 1

0 ④

1 1

x 2 y 2

0 ⑤

④ -⑤得

2 y 01 k 0 ⑥ a 2

b 2

2 x 2y 0上，而 M 、 M 又在直线 l 上，

由③、⑥知

M 、 M 均在直线 l :

b 2

若 l 过原点，则 B 、 C 重合于原点，命题成立若 l 与 x 轴垂直，则由对称性知命题成立

若 l 不过原点且与 x 轴不垂直，则 M 与 M 重合

∴

AB CD

椭圆与双曲线的对偶性质-- （必背的经典结论）

高三数学备课组

椭圆

1.点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点 P 处的外角 .

2. PT 平分△ PF 1F 2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除

去长轴的两个端点.

3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .

4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2 y2 1上，则过

x0 x y0 y

1. a2 b2

的椭圆的切线方程是

6. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x

y2 1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直a2 b2

线方程是x

y0 y 1

. a2 b2

x2 y2

1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1 PF

2 ，则椭圆椭圆

的焦点角形的面积为

FPF

b2 tan .

1 2

x2 y2

1（a＞b＞0）的焦半径公式：

椭圆

| MF1 | a ex0, | MF2 | a ex0( F1( c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).

9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相

应于焦点 F 的椭圆准线于M、N 两点，则 MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M ，

A 2P 和 A1Q 交于点 N ，则 MF ⊥NF.

11. AB 是椭圆

x2 y2

1的不平行于对称轴的弦，M ( x0 , y0 ) 为AB的中点，则 k OM k AB

b2 a 2 b 2 a 2

，

即K AB b2 x0。

a2 y0

12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2

1 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是

x0 x y0 y x02 y02 a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2

13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y2

1 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是

x2 y2 x0 x y0 y a 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b 2

双曲线

1.点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点 P 处的内角 .

2. PT 平分△ PF 1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，

除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P 在左支）

5. 若 P0 (x0 , y0 )

x2 y2 x0 x y0 y 1

. 在双曲线

1（a＞0,b＞0）上，则过 P0的双曲线的切线方程是

b2 a2 a 2

x2 y2

1（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线

P2，则切点弦 P1P2的直线方程是x0 x y0 y 1.

a2 b2

x2 y2

1 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点双曲线

F1PF2 ，则双曲线的焦点角形的面积为S FPF

b2co t .

1 2

x2 y2

1 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1 ( c,0) , F

2 (c,0) 双曲线

当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a .

当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF 2 | ex0 a

9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M 、N 两点，则 MF ⊥NF.

10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q

交于点 M ， A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF ⊥ NF.

x2 y2

11. AB是双曲线a

2 b2 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M ( x0, y0)为 AB 的中点，则K

0 ，即K AB b2 x0。

a 2 y0 a2 y0

12.

x2 y2

1 （a＞0,b＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是若 P0 (x0 , y0 ) 在双曲线

x0 x y0 y x02 y02

a 2

b 2 a 2 b 2

x2 y 2

1 （a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若P0(x0, y0)在双曲线

x2 y2 x0 x y0 y

a2 b2 a2 b2 .

椭圆与双曲线的对偶性质-- （会推导的经典结论）

高三数学备课组

椭圆

1. 椭圆 x2 y2 1（＞＞）的两个顶点为 A ( a,0) A (a,0) ，与

轴平行的直线交椭圆于1、a2 b2 a b o 1 , 2 P

P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是

x2 y2

1 .

a2 b2

2. 过椭圆x2 y2

1 (a＞ 0, b＞ 0)上任一点A( x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C

a 2 b2

两点，则直线BC 有定向且k BC b

0 （常数）. a2 y0

3. 若 P 为椭圆x2 y2

1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , PF1F2 , a2 b2

PF2 F1 ，则a

c tan co t .

a c 2 2

4. 设椭圆x2 y2

1（a＞b＞0）的两个焦点为 F 1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在a 2 b2

△PF 1F2中，记F1PF2 , PF1F2 , F1F2P

sin c

，则有

sin

sin a

5. 若椭圆 x2 y2 1（＞＞）的左、右焦点分别为

1、F 2，左准线为 L ，则当 0＜ e≤ 2 1 时，

a2 b2 a b 0

可在椭圆上求一点P，使得 PF 1是 P 到对应准线距离 d 与 PF 2的比例中项 .

x2 y2

1 （a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则P 为椭圆

2a | AF2 | | PA | |PF1| 2a | AF1 |,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立.

7. 椭圆(x x0 ) 2 ( y y0 ) 2

C 0有公共点的充要条件是

a2 b2 1 与直线 Ax By

A2 a2 B2 b2 ( Ax0 By 0 C)2.

8. 已知椭圆x2 y2

1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ .（1）a2 b2

1 1 1 1

2 2

的最大值为4a2 b2

）S 的最小值是

a2b2

|OP |2 |OQ |2 a2 b2 （）

（

a2 b2

. ; 2 |OP| +|OQ|

b2 ; 3

OPQ

x2 y2

1 （a＞b＞0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平过椭圆

分线交 x 轴于 P，则

| PF |

e .

|MN| 2

10. 已知椭圆

2 y2 1 （＞＞）

、

、是椭圆上的两点，线段

的垂直平分线与

轴相a2 b2 a b 0

交于点 P(x0 ,0) , 则

a2 b2

a a

11.

x2 y2

1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F 2为其焦点记F1PF2 ，设 P 点是椭圆

则 (1) | PF1|| PF2| 2b2 .(2)

PFF b2 tan .

1 cos 1

2 2

12. 设 A、B 是椭圆x 2 y2

1（a＞b＞0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB , a 2 b2

PBA , BPA ， c、 e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA| 2ab 2 | cos |

a2 c2co s2 .(2)

tan tan 1

2 S

PAB

2a2 b2

e .(3) b 2 a 2 cot .

13.

x2 y2

1 （a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相已知椭圆

交于 A、 B 两点 ,点C在右准线l上，且BC x 轴，则直线AC经过线段EF 的中点 .

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ).

（注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）

17.椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质-- （会推导的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

x 2 y 2

1（ a ＞ 0,b ＞ 0）的两个顶点为 A 1 ( a,0) , A 2 (a,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于

双曲线

b 2

a 2

P 1、P 2 时 A 1P 1 与 A 2P 2 交点的轨迹方程是 x 2 y 2 1.

x 2

y 2

1（ a ＞ 0,b ＞ o ）上任一点 A( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C

过双曲线

a 2

b 2

两点，则直线 BC 有定向且 k BC

b 2 x

0 （常数）

a 2 y 0

若 P 为双曲线

x 2 y 2 （ a ＞ 0,b ＞ 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F 1, F 2 是焦点 , PF 1F 2

a 2

b 2

PF 2 F 1

，则

a tan 2 co t （或 c

a tan 2 co t ） .

a 2 c a 2

x 2 y 2

1 （ a ＞ 0,b ＞ 0）的两个焦点为 F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

设双曲线

b 2

在△ PF 1F 2 中，记

F 1 PF 2

PF 1F 2

, F 1F 2P

sin c

，则有

(sin

sin

)

e .

若双曲线

x 2

y 2 1 （＞＞）的左、右焦点分别为 F 1、F 2，左准线为 L ，则当 1＜ e ≤ 2 1 时，

a 0,

b 0

可在双曲线上求一点 P ，使得 PF 1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF 2 的比例中项 .

P 为双曲线

x 2 y 2

1 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ）上任一点 ,F 1 ,F

2 为二焦点， A

为双曲线内一定点，则

|AF 2|

2a |PA|

| PF 1 | ,当且仅当 A, F 2 , P 三点共线且 P 和 A, F 2 在 y 轴同侧时，等号成立 .

x 2 y 2

1（ a ＞ 0,b ＞ 0）与直线 Ax

By C

2 B 2 b 2

双曲线

b 2

0 有公共点的充要条件是 A a

a 2

已知双曲线

x 2 y 2 1 （ b ＞ a ＞ 0）， O 为坐标原点， P 、 Q 为双曲线上两动点，且 OP

OQ .

a 2 b

（ 1）

1 ; （）

2 的最小值为

4a 2 b 2 （） S OPQ

的最小值是 a 2 b 2

a 2

b 2

|OP| +|OQ|

2 ; 3

b 2

|OP | |OQ |

b a

x 2

y 2

1 （ a ＞ 0,b ＞ 0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于

M,N 两点，弦 MN

过双曲线

a 2

b 2 的垂

直平分线交 x 轴于 P ，则

| PF |

e .

|MN |

10.

已知双曲线

x 2 y 2 1 （ a ＞ 0,b ＞ 0） ,A 、 B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与

x 轴相交

a 2 b

于点 P( x 0 ,0) , 则 x 0

a 2

b 2

a 2

b 2 a 或 x 0

11.

x 2 y 2

1（ a ＞ 0,b ＞ 0）上异于实轴端点的任一点 ,F 1、F 2 为其焦点记

设 P 点是双曲线

a 2

则 (1) | PF 1 || PF 2 |

2b 2 .(2) S PFF

b 2 cot .

1 cos 1

12.

设 A 、B 是双曲线

x 2 y 2 1 （ a ＞ 0,b ＞ 0）的长轴两端点， P 是双曲线上的一点，

a 2

b 2

F 1PF 2

，

PAB

PBA

, BPA

， c 、 e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) | PA |

2ab 2 | cos | .

| a 2 c 2 co s 2

(2) tan tan

1 2

2a 2 b 2

e .(3)

PAB

a 2 cot .

13.

x 2 y 2 1

（ a ＞ 0,b ＞ 0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与双已知双曲线

2 b 2

曲线相交于 A 、 B 两点 ,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 .

14.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，

与以长轴为直径的圆相交，

则相应交点与相应焦点的连线必

与切线垂直 .

15.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直 .

16. 双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e( 离心率 ).

( 注 : 在双曲线焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 ). 17.

双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.

18.

双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

第十三单元直线与圆锥曲线的位置关系

一 .选择题

(1)

椭 x 2 y 2 的点到直

线 x

2y2 0 的最

大距离是

圆

1 上

(

)

A 3

B 11

C 2 2

D 10

(2) 过抛物线 y

4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于

A 、

B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样

的直线

(

)

A 有且仅有一条

B 有且仅有两条

C 有无穷多条

D 不存在

(3)

x2 y 2

1 (0

c, 设双曲线

b 2

a 2 4

则双曲线的离心率为( )

A 2

B 3

C 2

D 2 3

(4)

x2 y 2

1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( ) 如果椭圆

A x 2 y 0

B x 2 y 4 0

C 2x 3 y 12 0

D x 2 y 8 0

(5) 过双曲线 2x2-y2-8x+6=0 的由焦点作直线l 交双曲线于A、 B 两点 , 若|AB|=4, 则这样

的直线有( )

A 4 条

B 3 条

C 2 条

D 1 条

(6) 已知定点 A、 B 且 |AB|=4，动点 P 满足 |PA|－|PB|=3，则 |PA|的最小值是( )

A 1 3

D 5 2

(7) 直线 l 交椭圆4x2+5y2=80 于 M 、 N 两点 , 椭圆的上顶点为 B 点, 若△ BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l 的方程是( )

A 5x+6y-28=0

B 5x+6y-28=0

C 6 x y

D 6

-5

-28=0 +5 -28=0

(8) 过抛物线 y ax 2 (a>0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于P、 Q两点，若线段PF 与 FQ的长分别为 p、 q，

则1 1

等于p q

( )

A2a

C 4a D

4 B

a 2a

(9)

x2 y 2

MF 1⊥x 轴，则 F 1到直线 F 2M 的距离已知双曲线1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且

6 3

为

( )

3 6 5 6

6 5

(10)

x 2 y2

1(a b 0) 的左准线上，过点P 且方向为a ( 2, 5) 的光线，经直点 P（ -3，1）在椭圆

线 y 2 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为( )

3 1 2 1

A B C D

3 3 2 2

二 .填空题

(11) 椭圆

x2 y2

25 1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为___________.

(12) 若直线 l 过抛物线 y ax2 (a>0) 的焦点，并且与y 轴垂直，若 l 被抛物线截得的线段长为4，则a=_______

(13) 过点 M (3, 1) 且被点M平分的双曲线x2 y 2 1的弦所在直线方程为.

(14) 已知F1、 F2是椭圆x2 +y2=1 的两个焦点 , P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF1|·|PF2|的最大值

是.

三 .解答题

(15) 如图， O 为坐标原点，过点P（ 2， 0）且斜率为k 的直线l交抛物线

y2=2x 于 M （ x1,y1） ,N(x2, y2)两点．

（1）写出直线l的方程；

（2）求 x1x2与 y1y2的值；

（3）求证： OM ⊥ ON．

(16) 已知椭圆 C：x

＋ y2 ＝ 1（ a＞ b＞ 0）的左．右焦点为F1、 F 2，离心率为 e. 直线a 2 b 2

l：y＝ ex＋ a 与 x 轴． y 轴分别交于点 A 、B，M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点， P 是点 F1关于直线 l 的

对称点，设AM ＝λ AB .

（Ⅱ）若3

的周长为6；写出椭圆 C 的方程 .

，△ PF1F2

(17) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（2，0），右顶点为( 3,0)

（ 1）求双曲线 C 的方程；

（）若直线 l : y kx2 与双曲线

C 恒有两个不同的交点 A 和 B ，且 OA

求 k 的取值范围 .

(18) 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点

F 1, F 2 在 x 轴上，

A 1 A 2

的长为 4 ，左准线 l

| 1| ∶| A 1F 1| ＝ 2∶ 1．

与 x 轴的交点为 M ， MA

( Ⅰ ) 求椭圆的方程；

M A 1F 1

( Ⅱ ) 若点 P 为 l 上的动点，求∠ F 1PF 2 最大值

l 1

参考答案

2（其中 O 为原点）.

长轴

F 2 A 2

一选择题 :

1.D

[ 解析 ]：设椭圆

x 2

y 2 1上的点 P （ 4cos θ ， 2sin θ ）

16 4

则点 P 到直线 x

2 y

2 0的距离

d= | 4cos

4 sin

2 | | 4 2 sin(

) 2 |

5 4

| 4

2 2 |

d max

2.B ； [解析 ]：过抛物线 y

4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于

A 、

B 两点，

若直线 AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于 2，不适合。

故设直线 AB 的斜率为 k ，则直线 AB 为 y k ( x 1)

代入抛物线 y 2

4x 得， k 2 x 2 2( k 2

2) x k 2

∵A 、 B 两点的横坐标之和等于

2( k 2

， k 2

5， ∴

则这样的直线有且仅有两条

3.A ；

[解析 ] ：直线 l 过 (a, 0), (0,

b) 两点 . 即为： bx ay ab 0 ，故原点到直线

l 的距离

| ab | =

3 c ， a 2 (c 2

a 2 ) 3 c 2

1 3 e

2 a 2 b 2

c 2

e 2 16

∴ e =

2 3 或 2，

又 0

c 2

a 2

b 2 a 2 a 2 2

a 2

a 2 a 2

∴ e = 2

4.D ； [ 解析 ]：用‘点差法’ ：这条弦的两端点位 A(x 1,y 1 ),B （ x 2,y 2） , 斜率为 k, 则

x 1 2

y 1 2 1

x 1

x 2

y 1 y 2

两式相减再变形得

x 2 2

y 2

36 9

又弦中点为 (4 ， 2) ，故 k=

故这条弦所在的直线方程

1 (x-4)

y － 2=

5.B ； [解析 ]：过双曲线 2x 2－ y 2

－ 2=0 的由焦点作直线 l 交双曲线于 A 、B 两点 ,

若 l x 轴，则 AB 为通径，而通径长度正好是 4，故直线 l 交双曲线于同支上的

A 、

B 两点

且 |AB|=4 ，这样的直线只有一条，

若 l 经过顶点，此时 |AB|=2, 故直线 l 交双曲线于异支上的

A 、

B 两点且 |AB|=4 ，这样的

直线有且只有两条，

故选 B 。

6.C ； [解析 ]：已知定点 A 、 B 且 |AB|=4，动点 P 满足 |PA|－ |PB|=3，则点 P 的轨迹是以 A 、B 为左右

焦点的双曲线的右支，

故 |PA|的最小值是 A 到右顶点的距离，为

3 7

7.D

[解析 ] ：设 M （ x 1,y 1）、 N(x 2,y 2 ), 而 B （ 0，4） , 又△ BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点（

2，0）

上 , 故 x 1+ x 2=6， y 1+ y 2=－ 4，又 A 、 B 在椭圆上，故得

6x 1 5 y 1 28 0 6x 2 5y 2

28 0

则直线 l 的方程是 6x 5y 28 0

8.C [ 解析：过抛物线 y ax 2

(a>0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于、 Q 两点，

]

P 设 P （ x 1 ,y 1）、 Q(x 2,y 2),则 p= y 1

, q y 2

设直线 PQ 为y kx

，联立直线方程与抛物线方程可得4a

y1 y2 = 1 2k 2 ， y1 y2 1

a 16a 2

y1 y2 1

1 1 2a =4 a

p q 1 1

y1 y2 ( y

1 y

2 )

4a 16a

9.C [解析 ] ：已知双曲线x 2 y 2 1 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF 1⊥ x 轴， M(3, 6 ) 则

6 3 2

6 6 5 6 MF 1= ,故MF2=2 6

2 2

F1F2 MF1 6 6

，故 F1到直线 F2M 的距离为

5 6 5

MF2

10.A[ P x2 y 2

1(a b 0)

的左准线上，故

a 2

解析：点（，）在椭圆

] -3 1 a 2 b2 c

点（

-3 ，）关于直线 y 2 的对称的点为

，则

（

-3

，

-5

），设椭圆的左

P 1

焦点为 F，则直线 FQ 为y 5 ( x 5)，故5 5 ( c 3)

2 2

∴ c 1，a 3

二填空题 :

11. 20；[解析]：△ PQF2的周长=4a

12. 1

； [解析 ]：l被抛物线截得的线段长即为通径长 1 ，故 1 =4 ，4 a a

13. 3x 4 y 5 0 ；[解析]：参考选择题（ 4），由‘点差法’

3 可得斜率为

14. 4 .； [解析 ]：由焦半径公式|PF1|=a ex ，|PF2|=a ex

|PF 1| · |PF 2|= （a ex）（a ex）=a2 e2 x 2

则 |PF 1| · |PF 2| 的最大值是a2=4.

三解答题

(15)解（Ⅰ）解：直线 l 的方程为

y k ( x 2)(k 0)①

（Ⅱ）解：由①及y2=2x 消去 y 可得

k 2 x22(k 21)x 4k 20.②

点 M ，N 的横坐标x1与 x2是②的两个根，