专题：直线与圆锥曲线--椭圆双曲线抛物线的一些经典题型.doc
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)(解析版)
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)(精选20题)保持做题的“手感”。
临近高考，考生仍要保持做数学题的手感，勤于动笔，勤于练习。
考前很多考生心态波动较大，比如看到考试成绩下降，就会非常焦虑。
实际上成绩有波动很正常，因为试卷的难度不一样，考生的发挥也不一样，试卷考查的知识点和考生掌握的情况也不一样。
考生不要因为一次考试而让自己过于焦虑，要辩证地去看待考试成绩。
在考试过程中，如果遇到新题或难题，一定要稳住心态。
考生要想到的是：我觉得难，别人也一样。
当然我们也不能因为题目简单就疏忽大意，要把自己的水平发挥出来，保证自己会做的题都不出错，难题尽可能多拿分。
圆锥曲线解题技巧尽量做出第一问，第二问多套模板拿步骤分1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 、x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，必要时计算Δ；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解2.若直线l :y =kx +b 与圆雉曲线相交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得到Ax 2+Bx +C =0(Δ>0)则：x 1+x 2=-B A ,x 1x 2=CA则：弦长AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=x 1-x 2 2+kx 1-kx 2 2=1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2-B A 2-4C A=1+k 2B 2-4ACA 2=1+k 2⋅ΔA或|AB |=1+1k2⋅y 1-y 22=1+1k2⋅y 1-y 2一、解答题1(2024·浙江温州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左右顶点分别是A -2,0 ，B 2,0 ，椭圆的离心率是22.点P 是直线x =32上的点，直线PA 与PB 分别交椭圆C 于另外两点M ，N .(1)求椭圆的方程.(2)若k AM =λk BN ，求出λ的值.(3)试证明：直线MN 过定点.【答案】(1)x 22+y ²=1(2)12(3)证明见解析【分析】(1)由题意结合a 2=b 2+c 2计算即可得；(2)设出点P 坐标，借助斜率公式计算即可得；(3)设出直线MN 方程，联立曲线方程，借助韦达定理与(2)中所得λ计算即可得.【详解】(1)由题意可得a =2，c a =22，即a 2=2c 2=b 2+c 2=2，所以b =c =1，则椭圆C :x22+y 2=1；(2)设P 32,n ，由于k AM =λk BN ，则λ=k PA k PB =n32+2n 32-2=2242=12；(3)显然MN 斜率不为0，设l MN ：x =ty +m ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立方程x =ty +mx 22+y 2=1，则有t 2+2 y 2+2tmy +m 2-2=0，Δ=4t 2m 2-4t 2+2 m 2-2 =8t 2-m 2+2 >0，则有y 1+y 2=-2tm t 2+2，y 1y 2=m 2-2t 2+2，由于k AM =λk BN ，则λ=kMA k BN =y 1x 2-2 y 2x 1+2 =y 1x 2-2 x 2+2 y 2x 1+2 x 2+2 =y 1x 22-2y 2x 1+2 x 2+2，因为x 222+y 22=1，故λ=-2y 1y 2x 1+2 x 2+2 =-2y 1y 2ty 1+m +2 ty 2+m +2 =4-2m 22m 2+42m +4=12，即3m 2+22m =2，解得m =-2或m =23，当m =-2时，2m 2+42m +4=0，故舍去，即m =23，适合题意，故MN :x =ty +23，则直线MN 过定点23,0.2(2024·辽宁·模拟预测)在直角坐标系xOy 中，点P 到点(0，1)距离与点P 到直线y =-2距离的差为-1，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)设点P 的横坐标为x 0(x 0<0).(i )求W 在点P 处的切线的斜率(用x 0表示)；(ii )直线l 与W 分别交于点A ，B ．若PA =PB ，求直线l 的斜率的取值范围(用x 0表示).【答案】(1)x 2=4y(2)(i )x 02，(ii )答案见解析【分析】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，利用距离公式列式化简求解即可；(2)(i )利用导数的几何意义求得切线斜率；(ii )分析直线l 斜率存在设为y =kx +m ，与抛物线方程联立，韦达定理，表示出线段AB 中点M 的坐标，利用斜率关系得x 024=-1k x 0-x M +y M ，从而m =x 204+x 0k-2k 2-2，根据Δ>0，得k k -x 02 k 2+x02k +2 <0，分类讨论解不等式即可.【详解】(1)设点P 的坐标为(x ,y )，由题意得(x -0)2+(y -1)2-|y -(-2)|=-1，即x 2+(y -1)2=|y +2|-1，所以y +2≥0,x 2+(y -1)2=y +1. 或y +2<0,x 2+(y -1)2=-y -3.整理得y +2≥0,x 2=4y .或y +2<0,x 2=8y +8.故W 的方程为x 2=4y .(2)(i )因为W 为y =x 24，所以y =x2．所以W 在点P 处的切线的斜率为：x 02；(ii )设直线l 为y =kx +m ，点M 为线段AB 的中点，当k =0时，不合题意，所以k ≠0；因为点A ，B 满足x 2=4y ,y =kx +m . 所以x A ,x B 满足x 2-4kx -4m =0，从而Δ=16k 2+16m >0,x M =x A +xB 2=2k ,y M =kx M +m =2k 2+m .因为直线PM 的方程为y =-1k x -x M +y M ，所以x 024=-1kx 0-x M +y M ，即x 204=-1k x 0-2k +2k 2+m ，从而m =x 204+x 0k -2k 2-2.因为Δ=16k 2+16m >0，所以k 2+x 204+x0k -2k 2-2>0，即k -x 02 k 2+x 02k +2k<0，等价于k k -x 02 k 2+x02k +2 <0(其中x 0<0).①当x 204-8<0时，即x 0∈(-42,0)时，有k 2+x 02k +2>0，此时x 02<k <0，②当x 204-8=0时，即x 0=-42时，有k k -x 02 k +x 04 2<0，此时x 02<k <0，③当x 024-8>0时，即x 0∈(-∞,-42)时，有k k -x 02 k --x 0-x 20-324 k --x 0+x 20-324<0，其中x 02<0<-x 0-x 20-324<-x 0+x 20-324，所以k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.综上，当x 0∈[-42,0)时，k ∈x02,0 ；当x 0∈(-∞,-42)时，k ∈x 02,0 ∪-x 0-x 20-324,-x 0+x 20-324.3(2024·山西太原·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 与B ，点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2 .(1)求双曲线C 的方程;(2)过点P 3,0 的直线与C 交于M ,N 两点(均异于点A ,B )，直线MA 与直线x =1交于点Q ，求证:B ,N ,Q 三点共线.【答案】(1)x 23-y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)由题意点D 3,2 在C 上，且直线AD 与BD 的斜率之和为2，建立方程组求解即可；(2)B ,N ,Q 三点共线，即证BN ⎳BQ，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出M ,N 的坐标，由坐标判断BN ⎳BQ，证明即可.【详解】(1)由题意得A -a ,0 ,B a ,0 ，且9a 2-2b2=123+a +23-a=2∴a 2=3b 2=1∴x 23-y 2=1(2)由(1)得A -3,0 ,B 3,0 ，设直线MN 的方程为x =ty +3t ≠±3 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则BN=x 2-3,y 2 ，由x =ty +3x23-y 2=1 得t 2-3y 2+6ty +6=0,∴y 1+y 2=-6t t 2-3,y 1y 2=6t 2-3，直线AM 的方程为y =y 1x 1+3x +3 ，令x =1，则y =y 1x 1+31+3 ，∴Q 1,1+3 y 1x 1+3 ,∴BQ =1-3,1+3 y 1x 1+3，∵x 2-3 ⋅1+3 y 1x 1+3-1-3 y 2=1x 1+3x 2-3 ⋅1+3 y 1-1-3 x 1+3 y 2=1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1-1-3 ty 1+3+3 y 2 =1x 1+3ty 2+3-3 ⋅1+3 y 1+3-1 ty 1+3+3 y 2 =23x 1+3ty 1y 2+y 1+y 2 =23x 1+36t t 2-3-6tt 2-3=0,∴BN ⎳BQ, 所以B ,N ,Q 三点共线.4(2024·重庆·模拟预测)如图，DM ⊥x 轴，垂足为D ，点P 在线段DM 上，且|DP ||DM |=12．(1)点M 在圆x 2+y 2=4上运动时，求点P 的轨迹方程；(2)记(1)中所求点P 的轨迹为Γ,A (0,1)，过点0,12作一条直线与Γ相交于B ,C 两点，与直线y =2交于点Q ．记AB ,AC ,AQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，证明：k 1+k2k 3是定值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，则有M x ,2y ，根据M 在圆x 2+y 2=4上运动，即可求解x 、y 的关系式即为点P 的轨迹方程；(2)设出直线方程，直曲联立利用韦达定理求出x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，求出k 1+k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得Q 32k ,2，求出k 3=2k3，即可求出k 1+k 2k 3是定值.【详解】(1)设P x ,y ，根据题意有M x ,2y ，又因为M 在圆x 2+y 2=4上运动，所以x 2+2y 2=4，即x 24+y 2=1，所以点P 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据已知条件可知，若直线BC 的斜率不存在，不合题意，若直线BC 斜率为0，直线BC 与直线y =2平行无交点也不合题意，所以直线BC 的斜率存在设为k ，直线BC 的方程为y =kx +12，联立x 24+y 2=1y =kx +12，则有1+4k 2x 2+4kx -3=0，且Δ>0，设B x 1,y 1 ，C x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-4k1+4k2x 1x 2=-31+4k2，k 1=y 1-1x 1，k 2=y 2-1x 2，所以k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1-12 +x 1kx 2-12x 1x 2=2kx 1x 2-12x 1+x 2x 1x 2=2k -31+4k2-12-4k1+4k 2-31+4k 2=4k 3，对y =kx +12，令y =2，得x Q =32k ，所以Q 32k,2 ，所以k 3=2-132k=2k 3，所以k 1+k 2k 3=4k332k=2为定值.5(2024·湖北武汉·模拟预测)己知圆E :(x +6)2+y 2=32，动圆C 与圆E 相内切，且经过定点F 6，0(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)若直线l :y =x +t 与(1)中轨迹交于不同的两点A ,B ，记△OAB 外接圆的圆心为M (O 为坐标原点)，平面上是否存在两定点C ，D ，使得MC -MD 为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 22=1(2)存在定点C -465，0 ，D 465，0 ，使得MC -MD =853(定值)【分析】(1)根据椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹焦点在x 轴上的椭圆，进而求得椭圆的方程；(2)联立l :y =x +t 与椭圆方程，根据韦达定理得x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，进而得出OA 和OB 的中垂线方程，联立方程求出交点即为圆心坐标的关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853，方法二，设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立直线和与圆的方程，利用韦达定理和参数方程消去参数得圆心的坐标关系为x 2-y 2=4825，根据双曲线定义可得C -465，0 ，D 465，0 及MC -MD =853【详解】(1)设圆E 的半径为r ，圆E 与动圆C 内切于点Q ．∵点F 在圆E 内部，∴点C 在圆E 内部．∴CE +CF =CE +CQ =r =42>EF =26，∴点C 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 28+y 22=1．(2)(方法一)联立l :y =x +t 与椭圆方程，消y 得5x 2+8tx +4t 2-8=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8t 5,x 1x 2=4t 2-85，OA 的中垂线方程为：y -y 12=-x 1y 1x -x 12 ，即y =-x 1y 1x +x 212y 1+y 12①OB 的中垂线方程为：y =-x 2y2x +x 222y 2+y 22②由①②两式可得-x 1y 1x +x 212y 1+y 12=-x 2y 2x +x 222y 2+y 22，∴△OAB 外接圆圆心M 的横坐标x M =x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 22x 2y 1-x 1y 2 ，其中x 2y 1-x 1y 2=x 2x 1+t -x 1x 2+t =t x 2-x 1x 22y 1-x 21y 2+y 2-y 1 y 1y 2=x 22x 1+t -x 21x 2+t +x 2-x 1 x 1+t x 2+t =x 22x 1-x 12x 2 +t x 22-x 12 +x 2-x 1 x 1+t x 2+t=x 2-x 1 x 1x 2+t x 2+x 1 +x 1+t x 2+t =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 2 ∴x M =x 2-x 1 2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t x 2-x 1=2x 1x 2+2t x 2+x 1 +t 22t =x 1x 2t +x 2+x 1+t 2=-3t 10-85t，又∵AB 的中垂线方程为y -y 1+y 22=-x -x 1+x 22 ，即y =-x -3t5，∴圆心M 的纵坐标为y M =--3t 10-85t -35t =-3t 10+85t，∴x M 2-y M 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，(方法二)设△OAB 外接圆方程为x 2+y 2+d x +ey =0，联立l :y =x +t 与圆的方程，消y 得2x 2+2t +d +e x +t 2+et =0，则x 1+x 2=-2t +d +e 2=-8t 5,x 1x 2=t 2+et 2=4t 2-85∴2t +d +e =16t 5,t 2+et =8t 2-165，解得d =3t 5+165t ,e =3t 5-165t，设圆心坐标为M x ,y ，则x =-d 2=-3t 10-85t ,y =-3t 10+85t，∴x 2-y 2=-3t 10-85t 2--3t 10+85t 2=4825,∴圆心M 在双曲线x 2-y 2=4825上，∴存在定点C -465,0 ,D 465,0 ，使得MC -MD =853(定值)，6(2024·山西·三模)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点F 到准线的距离为2，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)已知点T t ,0 ，若E 上存在一点P ，使得PO ⋅PT=-1，求t 的取值范围；(3)过M -4,0 的直线交E 于A ，B 两点，过N -4,43 的直线交E 于A ，C 两点，B ，C 位于x 轴的同侧，证明：∠BOC 为定值.【答案】(1)y 2=4x (2)6,+∞ (3)证明见详解【分析】(1)根据题意可知焦点F 到准线的距离为p =2，即可得方程；(2)设P x ,y ，利用平面向量数量积可得t -4=x +1x，结合基本不等式运算求解；(3)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2 ,C y 234,y 3，求直线AB ,AC 的方程，结合题意可得-16+y 1y 2=0-16-43y 1+y 3 +y 1y 3=0 ，结合夹角公式分析求解.【详解】(1)由题意可知：焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线E 的方程为y 2=4x .(2)设P x ,y ，可知y 2=4x ,x ≥0，则PO =-x ,-y ,PT =t -x ,-y ，可得PO ⋅PT=-x t -x +y 2=x 2-tx +4x =x 2+4-t x =-1，显然x =0不满足上式，则x >0，可得t -4=x +1x，又因为x +1x ≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时，等号成立，则t -4≥2，即t ≥6，所以t 的取值范围为6,+∞.(3)设Ay214,y1,B y224,y2,C y234,y3，则直线AB的斜率k AB=y1-y2y214-y224=4y1+y2，可得直线AB的方程y-y1=4y1+y2x-y214，整理得4x-y1+y2y+y1y2=0，同理可得：直线AC的方程4x-y1+y3y+y1y3=0，由题意可得：-16+y1y2=0-16-43y1+y3+y1y3=0，整理得y1=16y24y3-y2=3y1y3+16，又因为直线OB,OC的斜率分别为k OB=y2y224=4y2,k OC=y3y234=4y3，显然∠BOC为锐角，则tan∠BOC=k OB-k OC1+k OB⋅k OC=4y2-4y31+4y2⋅4y3=4y2-y3y2⋅y3+16=3y2⋅y3+16y2⋅y3+16=3，所以∠BOC=π3为定值.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．7(2024·湖北·模拟预测)平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)满足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2 =22，点P的轨迹为C，过点F(2,0)作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)求△OAB面积的取值范围；(3)若直线l与直线x=1交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：|SF||FT|为定值．【答案】(1)x22-y22=1(x≥2)(2)S△OAB∈[22,+∞)(3)证明见解析【分析】(1)根据双曲线的定义求解即可；(2)设直线l的方程为：x=my+2，与双曲线联立，利用面积分割法计算出S△OAB，在利用复合函数单调性求出S△OAB的范围；(3)首先计算出M,N的坐标，再计算出S,T的坐标即可证明|SF||FT|为定值。
第08讲 直线与椭圆、双曲线、抛物线 (精讲)-2(含答案解析)
第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线(精讲）-2第08讲直线与椭圆、双曲线、抛物线（精讲）角度2：由中点弦确定曲线方程典型例题例题1．（2022·四川南充·高二期末（文））1．过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=例题2．（2022·全国·高二课时练习）2．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．22152x y -=D ．22125x y -=例题3．（2022·江苏南京·模拟预测）3．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点1,2⎛ ⎝⎭，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为0.5-，求椭圆C 的标准方程；例题4．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）4．斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；同类题型归类练（2022·四川南充·二模（文））5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -与椭圆C相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=（2022·全国·高三专题练习（理））6．已知椭圆C ：22221(>0)>x y a b a b +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，AB 的中点坐标为21(,)33-.求椭圆C 的标准方程；（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）7．已知椭圆C ∶22221(0)x y a b a b+=>>经过点3)2P ，O 为坐标原点，若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线l 与直线OM 的斜率乘积为14-.求椭圆C的标准方程；（2022·全国·高三专题练习）8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点的纵坐标为2．求C 的方程.题型三：弦长问题典型例题例题1．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期中）9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，则AB 等于（）A ．247B ．127C ．7D ．7例题2．（2022·全国·高三专题练习）10．经过双曲线2213y x -=的左焦点F 1作倾斜角为6π的直线AB ，分别交双曲线的左、右支为点A 、B ．求弦长|AB |=_____例题3．（2022·贵州遵义·高二期末（理））11．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>左右焦点为1F ，2F 2M ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)经过点()2,3A ，倾斜角为π4直线l 与椭圆交于B ，C 两点，求BC ．例题4．（2022·云南·丽江市教育科学研究所高二期末）12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点(2,1)P -．(1)求C 的方程；(2)若,A B 是C 上两点，直线AB 与圆222x y +=相切，求AB 的取值范围．例题5．（2022·内蒙古赤峰·高二期末）13．已知动圆C 过定点()0,1F ，且与直线1:1l y =-相切，圆心C 的轨迹为E ．(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线2l 交轨迹E 于两点P ，Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则PQ 的最大值为多少？同类题型归类练（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）14．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点(F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长||AB =（）A ．7B ．8C ．9D ．10（2022·四川·遂宁中学高二期中（文））15．已知椭圆的中心在原点，焦点在x12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)求椭圆的标准方程；(2)倾斜角为45°的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A ､B 两点，求AB （2022·河北·衡水市第二中学高二期中）16．（1）已知A ，B 两点的坐标分别是()6,0-，()6,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是29.求点M 的轨迹方程，并判断轨迹的形状：（2）已知过双曲线22136x y -=上的右焦点2F ，倾斜角为30 的直线交双曲线于A ，B 两点，求AB .（2022·安徽·六安一中高二开学考试）17．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .（2022·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））18．已知抛物线C ：()220x py p =>，圆O ：221x y +=.(1)若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ；(2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点M ，N ，求MN 的最小值及相应p 的值.（2022·安徽省舒城中学三模（文））19．已知抛物线C ：22y px =（p ＞0），抛物线C 的焦点为F ，点P 在抛物线上，且PF 的最小值为1．(1)求p ；(2)设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线C 上不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足123k k OA OB <⋅=-，求｜AB ｜的取值范围．参考答案：1．A【分析】由l 与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出22,a b 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点(2,0)F ，即椭圆C 的半焦距2c =，设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)P x y ，则有2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得：2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，而1201202,2x x x y y y +=+=，且0012y x =-，即有2212122()()0b x x a y y --+-=，又直线l 的斜率12121y y x x -=-，因此有222a b =，而2224a b c -==，解得228,4a b ==，经验证符合题意，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：A 2．D【分析】根据点差法得2225a b=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果.【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.3．22142x y +=【分析】由离心率得,a b 的一个关系式，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得关于,a b 的另一等式，联立可求得22,a b 得椭圆标准方程．【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即121212OM y y k x x +==-+．因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-，又12121AB y y k x x -==-，所以221102a b-=，即222a b =．又因为椭圆C过点⎛ ⎝⎭，所以221123a b +=，解得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=；4．24y x=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入抛物线方程相减，利用弦中点坐标，直线斜率求得p ，得抛物线方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.5．B【分析】先求得焦点，也即求得c ，然后利用点差法求得22ba，从而求得,a b ，也即求得椭圆C 的方程.【详解】直线0x y -=过点()F，所以c =设()()1122,,,A x y B x y ，由2222112222221,1x y x y a b a b +=+=两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，即22222222111,,222b b a b bc a a ⎛⎫-=-⋅===+ ⎪⎝⎭，所以2b c a ===，所以椭圆C 的方程为22142x y +=.故选：B 6．2212x y +=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标、离心率求得直线AB 的斜率得直线方程，从而求得焦点坐标，求出,,c a b 得椭圆标准方程．【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212221x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--，2121221212()()()()y y y y b x x x x a -+=--+，将1243x x +=-，1223y y +=代入上式，得2221(12AB b k e a ⋅-=-=-，又2=e ，∴=1AB k ，∴直线l 的方程为1233y x -=+，即1y x =+，即()11,0F -，∴1c =，1a b ==，∴椭圆C 的标准方程2212x y +=；7．221123x y +=【分析】已知点的坐标代入得,a b 的一个关系式，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用斜率关系得,a b 的另一等式，联立可求得22,a b 得椭圆标准方程．【详解】解：因为椭圆经过点3)2P ，所以223914a b +=（1），设()()1122,,,A x y B x y ，因为直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，因为线段AB 的中点为M ，且直线l 与直线OM 的斜率乘积为-14，所以2214b a -=-（2），由（1）（2）解得223,12b a ==，所以椭圆方程为：221123x y +=；8．24y x =.【分析】中点弦问题利用点差法进行处理.【详解】解：设点()()1122,,A x y B x y ，，则12+22y y =，所以12+4y y =，又因为直线AB 的斜率为1，所以21211y y x x -=-，将A 、B 两点代入抛物线方程中得：21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，将上述两式相减得，()2212122y y p x x -=-，即()()()121212+2y y y y p x x -=-，所以12121221+y y p y y x x -==-，即214p=，所以2p =，因此，抛物线的方程为24y x =.9．A【分析】利用弦长公式求解即可.【详解】设直线AB 方程为1y x =-，联立椭圆方程22143x y+=整理可得：27880x x --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1287x x +=，1287x x ⋅=-，根据弦长公式有：AB =247．故B ，C ，D 错误.故选：A.10．3【分析】直线AB的方程可设为2)y x =+，联立方程，利用弦长公式可得结果.【详解】∵双曲线的左焦点为F 1（﹣2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB的方程可设为2)y x =+，代入方程2213y x -=得，8x 2﹣4x ﹣13＝0，∴1212113,28x x x x +==-，∴12||||3AB x x =-==.故答案为：3.11．(1)2214x y +=(2)5BC =【分析】（1）利用椭圆的离心率，过点1,2M ⎛ ⎝⎭，及222a b c =+，列方程解出,a b 即可得椭圆方程；（2）由已知可得直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解.【详解】（1）解：由题意得222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，解得224a b =，又因为点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，带入222214x y b b+=得21b =，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）解：易得直线l 的解析式为1y x =+，设()11,B x y ，()22,C x y 联立椭圆的方程22441x y y x ⎧+=⎨=+⎩得2580x x +=1285x x +=，120x x =12BC x=-=所以5BC =．12．(1)22163x y+=(2)【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此可求得椭圆的方程.（2）对直线AB 斜率分成不存在、直线AB 的斜率为0、直线AB 的斜率不为0三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）由题意得，222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a b c ===，所以C 的方程为22163x y +=.（2）圆222x y +=的圆心为(0,0)，半径圆r =①当直线AB的斜率不存在时，方程为x =x =于是有22163x x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩或22163x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得y =所以AB =②当直线AB 的斜率为0时，方程为y =或y =，于是有22163y x y ⎧⎪⎨+=⎪⎩或22163y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得x =所以AB =③当直线AB 的斜率不为0时，设斜率为k ，方程为y kx t =+，0kx y t -+=因为直线AB 与圆222x y +==222(1)t k =+建立方程组22163y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 并化简得222(21)4260k x ktx t +++-=，2222222Δ164(21)(26)488243280k t k t k t k =-+-=-+=+>.设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则122421kt x x k +=-+,21222621t x x k -⋅=+，所以AB ===>而2214448kk++≥+=，当且仅当2214kk=，即22k=时，等号成立.所以3AB=，所以3AB<≤.综上所述，AB的取值范围是.13．(1)24x y=(2)6【分析】（1）利用抛物线的定义直接可得轨迹方程；（2）设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得PQ，再根据二次函数的性质可得最值.（1）由题设点C到点F的距离等于它到1l的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，1l为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为24x y=；（2）由题意易知直线2l的斜率存在，设PQ中点为(),2t，直线2l的方程为()2y k x t-=-，联立直线与抛物线()242x yy k x t⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，得24480x kx kt-+-=，()()()2244481620k kt k kt ∆=---=-+>，且124x x k +=，1248x x kt =-，又PQ 中点为(),2t ，即1242x x k t +==，2t k =，故()24280t t ∆=-+>恒成立，122x x t +=，21228x x t =-，所以PQ ，当22t =时，PQ 取最大值为6.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．D【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得22,a b ，再将直线方程代入双曲线方程消元，由韦达定理和弦长公式可得.【详解】 双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y =，b a∴，即.b =左焦点()F，c ∴=222233c a b a ∴=+==，21a ∴=，22b =，∴双曲线C 的方程为22 1.2y x -=易知直线l 的方程为(2=y x ，设11(,)A x y ，22(,)Bx y ，由(22212y x y x ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩，消去y 可得270++=x，12x x ∴+=-127.10.x x AB =∴==故选：D15．(1)2214x y +=；(2)85.【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法、椭圆中的,,a b c 关系进行求解即可；（2）根据椭圆弦长公式进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的离心率为2且过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2222222231144123a b a c b a c a b c ⎧+=⎪⎧⎪=⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆的标准方程为：2214x y +=；（2）由（1）可知：F ，所以直线l的方程为：0tan 45(y x y x ︒-=⇒=2224(40580x x x +--=⇒-+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121285x x x x +==，因此85AB =.16．（1）轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点；（2）5AB =.【分析】（1）设(),M x y ，根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即得答案；（2）求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦长即得答案.【详解】（1）设(),M x y ，因为()6,0A -，()6,0B ，所以()2,6669AM BM y y k k x x x ⋅=⋅=≠±+-，整理得()2216368x y x -=≠±，故点M 的轨迹方程为()2216368x y x -=≠±，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线，不含左右顶点.（2）由22136x y -=得，23a =，26b =，所以2229c a b =+=,即3c =，所以右焦点()23,0F ，因为直线AB 的倾斜角是30 ，且直线经过右焦点()23,0F ，所以直线AB的方程为)3y x =-,由)223136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：256270x x +-=，所以1265x x +=-，12275x x =-，所以245AB ====17．(1)22142x y -=（2x ≠±）(2)【分析】（1）设(),M x y ，用坐标表示AM ，BM 的斜率，由已知可得曲线方程，注意斜率有意义；（2）直线方程与曲线方程联立，消元后应用韦达定理，由弦长公式计算弦长．（1）设(),M x y ，则AM ，BM 的斜率分别为12y k x =+，22y k x =-，由已知得1222y y x x ⋅=+-，化简得22142x y -=（2x ≠±），即曲线C 的方程为22142x y -=（2x ≠±）；（2）联立221423x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩消去y 整理得212220x x -+=，设()11,E x y ，()22,F x y ，则1212x x +=，1222x x =，12EF x -===18．1(2)最小值为p =【分析】（1）由()0,1F 得出抛物线方程，并与圆方程联立，求出A y ，最后由抛物线定义得出AF ；（2）由导数的几何意义得出切线l 的方程，由点O 到切线l 的距离等于1结合勾股定理得出2MN =20204411y y ++--，再由基本不等式得出MN 的最小值及相应p 的值.（1）由题意，得()0,1F ，从而C ：24x y =.解方程组22241x y x y ⎧=⎨+=⎩，整理得，2410y y +-=，解得2A y所以11A AF y +==.（2）设()00,M x y ，由212y x p =得 x y p '=，故切线l 的方程为()000x y x x y p=-+，注意到2002x py =，故整理得000x x py py --=由1ON =且ON l ⊥，即点O 到切线l 的距离等于11=所以0py ==，整理，得02021y p y =-且201y ->0，所以2222200001121MN OM x y py y =-=+-=+-22200022004414142811y y y y y =+-=++-≥+--，当且仅当0y =.所以MN 的最小值为p ==19．(1)2(2)4AB ≥【分析】（1）由于2p PF ≥，即可求得12p =，从而得2p =；（2）设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由123k k OA OB <⋅=- 得124y y =-，设AB 直线方程为y kx b =+，代入抛物线方程结合韦达定理得出b k =-，从而y kx b =+过焦点()1,0，即可求解AB 的取值范围．【详解】（1）因为2p PF ≥，则12p =，所以2p =；（2）由（1）得24y x =，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则121244,k k y y ==，由123k k OA OB <⋅=- 得()212121216316y y y y y y <+=-，所以124y y =-，设AB 直线方程为y kx b=+联立方程组24y kx b y x =+⎧⎨=⎩得204k y y b -+=，所以1244b y y k ==-则b k =-故()1y kx b kx k k x =+=-=-过焦点()1,0所以24AB p ≥=．。
直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b cx x x x a a+=-=。
3、中点坐标公式：1212,y 22x x y yx ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。
4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB =或者AB =例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。
由2(1)y k x y x=+⎧⎨=⎩消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ∆=--=-+> 即2104k <<② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。
则线段AB 的中点为22211(,)22k k k--。
线段的垂直平分线方程为：221112()22k y x k k k--=-- 令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k - ABE ∆为正三角形，∴211(,0)22E k -到直线AB 的距离dAB 。
圆锥曲线--椭圆_双曲线、抛物线的经典题型和相关练习
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y ab+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab+=.7. 椭圆22221x y ab+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F P F S b γ∆=.8. 椭圆22221xya b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y ab+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22O M AB b k k a⋅=-，即0202y a x b KAB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y ab a b+=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y abab+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y ab-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab-=.7. 双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F P F S b co γ∆=.8. 双曲线22221xyab-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||M F ex a =+,20||M F ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||M F ex a =-+,20||M F ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y ab-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则202y a x b KK ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
椭圆双曲线抛物线专题
椭圆双曲线抛物线一、考向1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．考点一 椭圆例1．【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．13【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1 D ．m <n 且e 1e 2<1考点二 双曲线例2．【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（ ）A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33.若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,35.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B ．2 C. 3 D. 2考点三 抛物线例3．在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .2.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42DE|=5则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)83.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1课堂练习1.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（A）221412x y-=（B）221124x y-=（C）2213xy-=（D）2213yx-=2.双曲线22219x ya-=（a>0）的一条渐近线方程为35y x=，则a= .3.抛物线 (a>0)的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若，则 a= .4.抛物线上的点到焦点的距离为2，则5.设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，则椭圆方程为（）A．B．C. D．6.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．7.设点F1为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若△OPF1是底角为30°等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．。
专题9-1 圆锥曲线(选填)(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
【答案】1 【详解】 抛物线 y2 8x ，
抛物线的准线为 x 2 ，焦点 F 2，0 ，
过点 P 作直线 l 的垂线交于点 C ，如图所示：
由抛物线的定义可知，| PF || PB || PA | p ， 2
则| PA || PF | p | PF | 2 ， 2
d | x0 || PC | | PF | 2, 当 F ， P ， C 三点共线时， | PC | | PF |取得最小值，即 d | x0 | 取得最小值， F (2, 0),
专题 9-1 圆锥曲线（选填）
目录 专题 9-1 圆锥曲线（选填） ................................................................................................................... 1
B． x2 y2 1
32 36
C． x2 y2 1 95
【答案】C 【详解】根据题意，作图如下：
D． x2 y2 1 59
易知 NM NQ ，则 NP NM 6 ，即 NP NQ 6 PQ 4 ，
故点 N 的轨迹是以 P,Q 为焦点且长轴长为 6 的椭圆，
设其方程为 x2 a2
③抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （其中定点 F 不在定直线 l 上）的距 离相等的点({M || MF | d} )的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做
抛物线的准线．
【变式演练】
1．（2022·四川·成都外国语学校高二期中（理））已知双曲线
x2 9
y2 16
整理得 x2 2ax 2b2 0 ，
由于点 M 在第一象限， x a a2 2b2 ，
圆锥曲线--椭圆_双曲线、抛物线的经典题型和相关练习
FA P HBQ专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：1、两条直线 l 1 : yk 1x b 1 ,l 2 : y k 2 x b 2 垂直：则 k 1k 21 ；两条直线垂直， 则直线所在的向量 v 1 v 22、韦达定理：若一元二次方程ax2bx c0(a 0) 有两个不一样的根x 1 , x 2 ，则 x 1 x 2b, x 1x 2 c 。
a a3、中点坐标公式：xx 1 x 2 ,yy 1 y 2，此中 x, y 是点 A( x 1 , y 1)， B( x 2, y 2 ) 的中点坐标。
224、弦长公式：若点 A( x 1 , y 1)， B(x 2 , y 2 ) 在直线 y kxb( k 0) 上，则 y 1kx 1 b ， y 2kx 2 b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(x x ) 2(yy ) 2(xx )2 (kx kx )2(1 k 2 )(x1x )2(1 k 2 )[( x x )24x x ]1 2121 2 1 22121 2或许 AB(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2(1x 1 1x 2)2 (y 1 y 2)2(112)(y 1y 2)2(112 )[( y 1y 2 ) 2 4 y 1 y 2 ] 。
k kk k题型一：数形联合确立直线和圆锥曲线的地点关系例题 1、已知直线 l : ykx 1与椭圆 C :x 2 y 21 一直有交点，求 m 的取值范围4m解：1 m 且 m 4。
题型二：弦的垂直均分线问题例题 2、过点 T(-1,0) 作直线 l 与曲线 N ：y 2 x 交于 A 、B 两点，在 x 轴上能否存在一点 E( x 0 ,0) ，使得 ABE 是等边三角形 ，若存在，求出x 0 ；若不存在，请说明原因。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。
设直线 l : yk (x 1) ， k0 ， A(x 1, y 1 ) ， B( x 2, y 2 ) 。
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专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（ 1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r1+r 2=2a。
第二定义中， r 1=ed1 r 2=ed2。
（ 2）双曲线有两种定义。
第一定义中，r1 r2 2a ，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中， r 1=ed1， r 2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点 A(x 1,y1),B(x 2,y2), 弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，将点 A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（ 1）x 2 y 21(a b 0) 与直线相交于x 0y0k 0。
a2b2 A、 B，设弦 AB 中点为 M(x 0,y0)，则有 2b2a（ 2）x 2 y 21(a 0, b 0) 与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有x0 y0k 0 a 2 b 2 a 2 b 2（3） y2=2px（ p>0 ）与直线 l 相交于 A、 B 设弦 AB 中点为 M(x 0,y0 ),则有 2y0k=2p, 即 y0k=p.【典型例题】例1、 (1) 抛物线 C:y 2 =4x 上一点P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点P 的坐标为______________(2)抛物线 C: y 2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为。
分析：（1） A 在抛物线外，如图，连PF，则PH PF ，因而易发现， AH Q当 A 、P、 F 三点共线时，距离和最小。
P B （ 2）B 在抛物线内，如图，作 QR ⊥ l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时， F距离和最小。
解：（ 1）（ 2，2）连PF，当A P F AP PH AP PF最小，此时AF的方程为y2 0 (x1)、、三点共线时， 43 1即 y=22 (x-1), 代入 y 2=4x 得 P(2,2 2 )，（注：另一交点为 ( 1, 2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，2舍去）（2）（ 1,1）4过 Q 作 QR ⊥ l 交于 R ，当 B 、Q 、R 三点共线时，BQ QF BQQR 最小，此时 Q 点的纵坐标为1，代入 y 2=4x 得 x= 1 ，∴ Q( 1,1)4 4点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
例 2、 F 是椭圆x 2y 2 1的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点。
43（1） PAPF 的最小值为yA P H（2） PA 2 PF 的最小值为F 0 Fx分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径′PF 或准线作出来考虑问题。
解：（ 1） 4- 5设另一焦点为F ，则F (-1,0) 连 A F ,P FPA PF PA2a PF 2a( PFPA) 2a AF 4 5当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PAPF 取得最小值为 4-5 。
（ 2） 3作出右准线 l ，作 PH ⊥ l 交于 H ，因 a 2=4， b 2=3， c 2=1， a=2， c=1， e= 1 ，2∴ PF1PH ,即2 PFPH2∴ PA 2PF PA PH当 A 、 P 、 H 三点共线时，其和最小，最小值为a 2x A 4 1 3c例 3、动圆 M 与圆 C 1:(x+1) 2+y 2=36 内切 ,与圆 C 2:(x-1) 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。
分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A 、M 、 C 共线， B 、 D 、 M 共线）。
列式的主要途径是y 动圆的“半径等于半径” （如图中的 MCMD ）。
CMD解：如图， MC MD ，A 0 B5x∴ AC MA MB DB 即6 MA MB 2∴ MAMB8（ * ）∴点 M 的轨迹为椭圆，x 2 y 2 2a=8， a=4， c=1， b 2=15 轨迹方程为11615点评：得到方程（ * ）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出(x 1)2 y 2(x 1) 2 y 24，再移项，平方， 相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、△ ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB= 3sinA,求点 A 的轨迹方程。
5分析： 由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （ R 为外接圆半径） ，可转化为边长的关系。
解： sinC-sinB= 3 5sinA2RsinC-2RsinB=3 · 2RsinA5∴ ABAC3 BC5即ABAC 6（*）∴点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）∵ 2a=6， 2c=10∴ a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为x 2 y 2 1 （ x>3）916点评： 要注意利用定义直接解题，这里由（ *）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例 5、定长为3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2上移动， AB 中点为 M ，求点 M 到 x 轴的最短距离。
分析：（ 1）可直接利用抛物线设点，如设22A(x 1,x 1 )， B(x 2， X 2 )，又设 AB 中点为 M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出 y 0 关于 x 0 的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。
（ 2） M 到 x 轴的距离是一种“点线距离” ，可先考虑 M 到准线的距离，想到用定义法。
解法一： 设 A(x 1， x 12)， B(x 2， x 22)， AB 中点 M(x 0， y 0)( x 1 x 2 ) 2( x 12 x 22 ) 29 ① 则x 1x 22 x 0 ② 222 y 0③x 1 x 2由①得 (x 1-x 2)2 [1+(x 1+x 2) 2]=9即 [(x 1 +x 2)2-4x 1x 2]· [1+(x 1+x 2)2]=9 ④由②、③得2x1x2=(2x2-2y0=4x2 0) 0 -2y0代入④得[(2x 0)2-(8x02-4y0)] · [1+(2x 0)2]=9 ∴ 4 y0 4x02 9 2，1 4x 04 y0 4x02 9 (4x02 1) 9 14x02 4 x02 1≥29 1 5,5 y04当 4x02+1=3 即 x0 2 时， ( y0 )min 5 此时 M( 2,5)2 4 2 4 法二：如图， 2 MM 2AA2BB2AF BF AB 3∴MM2 3 1 3y，即MM1 ，B 2 4 2 M∴MM1 5 A，当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。
A1 0 M1 B1x 4A2 M B225∴ M 到 x 轴的最短距离为4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成 y0关于 x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。
而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为 A 、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证 AB 是否能经过焦点F，而且点 M 的坐标也不能直接得出。
例 6、已知椭圆x2 y2 1( 2 m 5) 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次m m 1变于 A、 B、 C、 D、设 f(m)= AB CD ,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f(m) 的结构不知如何运算，因A、 B 来源于“不同系统” ，A 在准线上， B 在椭圆上，同样 C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防f (m) (x B x A ) 2 (x D x C ) 22 (x B x A ) ( x D X C )2 (x B x C ) (x A x D )y C D2 ( x B X C )F 1 0 2 xF此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
BA解：（ 1）椭圆x 2 y 2 2 2 2，左焦点 F 1(-1,0) m m1 中， a =m ， b =m-1 ， c =11则 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即 (m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0得 (m-1)x 2 +m(x+1) 2-m 2+m=0 ∴ (2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0 设 B(x 1,y1),C(x 2,y2),则 x1+x2=- 2m (2 m 5)2m 1f ( m) AB CD 2 ( x B x A ) (x D x C )2 ( x1 x2 ) (x A x C ) 2 x1 x22m 212m（ 2）f (m) 2 2m 1 1 2 (1 1 )2m 1 2m 110 2 ∴当 m=5 时，f (m)min94 2 ；当 m=2 时，f ( m)max3点评：此题因最终需求x B x C，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为 M(x 0,y0),通过将 B 、 Cx0 y0k，将 y0=x0+1 ， k=1 代入得x0 x0 1坐标代入作差，得m m m0 ，∴m 1 1x0m，可见 x B2m2m 1x C12m当然，解本题的关键在于对 f (m) AB CD 的认识，通过线段在 x 轴的“投影”发现f (m) x B x C是解此题的要点。
【同步练习】1、已知：F 1，F 2 是双曲线 x2 y 21的左、右焦点，过 F 1 作直线交双曲线左支于点 A 、B ，若 AB m ，a 2b 2△ ABF 2 的周长为（）A 、 4aB 、 4a+mC 、 4a+2mD 、4a-m2、若点 P 到点 F(4,0) 的距离比它到直线x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（）A 、 y 2=-16xB 、 y 2=-32xC 、 y 2=16xD 、 y 2=32x3、已知△ ABC 的三边 AB 、BC 、 AC 的长依次成等差数列，且AB AC ，点 B 、 C 的坐标分别为(-1 ， 0)， (1， 0)，则顶点 A 的轨迹方程是（）x 2 y 2 1x 2 y 2 1( x0)A 、3B 、344x 2 y 2 1( x 0)x 2 y 2 1(x 0且 y 0)C 、3D 、3444、过原点的椭圆的一个焦点为F(1， 0)，其长轴长为 4，则椭圆中心的轨迹方程是（ ）A 、 ( x1) 2 y29 (x1) B 、 (x1 )2 y29( x1)2424C 、 x2( y 1 ) 29(x 1)D 、 x2( y 1 ) 29( x 1)2 42 45、已知双曲线x 2 y 291上一点 M 的横坐标为 4，则点 M 到左焦点的距离是166、抛物线 y=2x 2 截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线 y 2=2x 的弦 AB 所在直线过定点p(-2， 0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是2 28、过双曲线 x -y =4 的焦点且平行于虚轴的弦长为 9、直线 y=kx+1 与双曲线 x 2-y 2=1 的交点个数只有一个，则k=x 2 y 2sin ∠ F 1PF 2 的最大值。