乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式：2
2
()()a b a b a b +-=-
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3
2
3
2()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+
（6）增因式变化：如2
2
4
4
()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式
完全平方公式：()2
2
2
2a b a ab b +=++
2222)(b ab a b a +-=-
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+
()
()2
2
4a b a b ab +=-+
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
添括号是否正确. 要点四、补充公式
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2
233()()a b a ab b a b ±+=±；
3
3
2
2
3
()33a b a a b ab b ±=±+±；2
2
2
2
()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++. 【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．
(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++； (3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-； (5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()2
2a ＝2
2
94b a -．
(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()2
3b ＝2
2
49a b -．
(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()2
3b ＝2
2
49a b -．
(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()2
2a ＝2
2
94b a -．
【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：
【变式】计算：（1）3
32222x x y y ⎛⎫⎛⎫
+-
⎪⎪⎝⎭⎝⎭
； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．
【答案】
解：（1）原式22
22392244x x y y ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
（2）原式2
2
2
(2)4x x =--=-．
（3）原式22
(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝2
2
600.1-＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝2
21002-＝10000－4＝9996．
【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)899×901＋1； (2)99×101×10001； (3)2
2005－2006×2004； 【答案】
解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝2
2
90011-+＝810000．
(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝()
21001-×10001
＝(10000－1)×(10000＋1)＝100000000－1＝99999999．
(3)原式＝2
2005－(2005＋1)(2005－1)＝2
2005－(2
2005－2
1)＝1．
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()2
23x y --．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.
【答案与解析】
解：(1) ()()2
2
2
2
2
332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．
(2) ()()()222
2
2
3223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．
(3) ()()22
2
2
2
222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．
(4) ()()()()2222
2
2
2323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22
a b a b --=+之间的转化． 4、计算：(1)2
2002；(2)2
1999．(3)2
999.9． 【答案与解析】
解：(1)()222220022000220002200022=+=+⨯⨯+ ＝4000000＋8000＋4＝4008004． (2)()222219992000120002200011=-=-⨯⨯+ ＝4000000－4000＋1＝3996001．
(3) ()22
2
2
999.910000.11000210000.10.1=-=-⨯⨯+
＝1000000－200＋0.01＝999800.01．
【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方．
5、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：
(1) 2
2
a a
b b -+；(2) 2
()a b -．
【答案与解析】
解：(1)∵ 2
2
a a
b b -+＝2
2
a b +－ab ＝()2
a b +－3ab ＝2
7－3×12＝13．
(2)∵ ()2a b -＝()2
a b +－4ab ＝2
7－4×12＝1.
【总结升华】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②2
2
a b +＝()
2
a b +－2ab ＝()2
a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三：
【变式】已知2
()7a b +=，2
()4a b -=，求22
a b +和ab 的值．
【答案】
解：由2
()7a b +=，得22
27a ab b ++=； ①
由2()4a b -=，得22
24a ab b -+=． ②
①＋②得22
2()11a b +=，∴ 22
112
a b +=
． ①－②得43ab =，∴ 34
ab =
．。