分类与分步解题技巧

根据分步乘法计数原理，不同的分配方式共有3×3×1＝9 种．
方法二：21—4—33—4—14—1—3 31—4—241—22—1 41—2—331—22—1
共9种.
用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的(1) 四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？
四位密码的首位可为0，四位数的首位不能为0，四位奇数 的首位不为0且个位必须为奇数．
[题后感悟] (1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末 位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素) 优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反 面求解．
(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐 藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先 的原则．
1.8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡 片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？
解析： 先排放百位从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选 法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一 个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的 6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组 成7×7×6＝294(个)不同的三位数．
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四 步：
第一步定个位，只能从1、3中任取一个有两种方法，第二 步定首位，把1、2、3、4中除去用过的一个还有3个可任取一个 有3种方法，第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字 先排百位3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理 共有2×3×3×2＝36个．
1．由数字1,2,3,4,5,6可以组成没有重复数字的两位数的个数 是( )
A．11
B．12
C．30
D．36
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解析： 个位数字有6种选法，十位数字有5种选法，由分 步乘法计数原理知，可组成6×5＝30个无重复数字的两位数．
答案： C
2.如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的 花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花， 则不同的种法总数为( )
那么小王共有多少购买方案？
1．两个计数原理在解决计数问题中的方法
2．应用两个计数原理应注意的问题 (1)分类要做到“ 不重不漏 ”，分类后再对每一类进行计 数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“ 步骤完整 ”——完成了所有步骤，恰 好完成任务，当然步与步之间要相互独立．分步后再计算每一 步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方 法数相乘，得到总数．
共有N＝24＋48＋12＝84种． 答案： B
3．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开 始踢，经过5次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共 有________种．
解析： 如下图：
同理，甲传给丙也可以推出5种情况，综上有10种传法． 答案： 10
4．同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿 1张别人写的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式有多少种？
(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步： 第一步，从1,2,3,4这4个数字中选一个数字作千位数字，共4种不 同的选取方法，第二步从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共4个数字 选一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩 余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方 法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字， 有2种不同的选取方法．由分步乘法计数原理，可以组成不同的 四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．
[解题过程] (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事， 可以分为四步：第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种 选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取 方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．由分 步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2 ＝120个．
A．96
B．84
C．60
D．48
解析： 方法一：先种A地有4种，再种B地有3种，若C地与 A地种相同的花，则C地有1种，D地有3种；若C地与A地种不同 花，则C地有2种，D地有2种，即不同种法总数为N＝ 4×3×(1×3＋2×2)＝84种．
方法二：若种4种花有4×3×2×1＝24种；若种3种花，则A 和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48种；若种2种花，则A和C相 同且B和D相同，有4×3＝12种．
用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色， 规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少 种不同的涂色方案？
由题目可获取以下主要信息： ①用五种不同的颜色给四个区域涂色； ②相邻区域不能涂同种颜色； ③不相邻区域可以涂同种颜色． 解答本题可先给各个区域标上记号，从不相邻区域是否着 相同颜色进行分类、分步解决．
第2课时 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理的综合应用
1．能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实 际问题．
2．会根据实际问题合理分类或分步.
1．应用两个计数原理解决实际问题．(重点) 2．合理分类或分步．(难点) 3．涂色问题中的讨论．(易混点)
家电下乡政策是国家深入贯彻落实科学发展观、积极扩大 内需的重要举措，是财政和贸易政策的创新突破．家电下乡政 策实施以来，给广大农民带来了很大实惠，在外打工的小王要 给家在农村的父母买一台冰箱和洗衣机，现有5种型号的冰箱和 3种型号的洗衣机，
解析： 方法一：对4人分别编1,2,3,4四个号，对四张贺年 卡也编上1,2,3,4四个号，那么1,2,3,4四个数字填入1,2,3,4四个方 格的一个填法对应贺卡的一个送法，原题转化为上面所述方格 的编号与所填数字的不同的填法种数问题．首先，在1号方格里 填数，可填上2,3,4中的任意一个数，有3种填法；其次，当在第 1号方格填数i之后(2≤i≤4)，在第i号方格中填上合乎要求的数， 有3种填法；最后，将剩下的两个数，填到空着的方格里，只有 1种填法合乎要求(因为这两个数中，至少有一个数与空的方格序 号相同)．