1.1正弦定理
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
1.1正弦定理和余弦定理知识点
1.1正弦定理和余弦定理基本要求：1. 能证明正弦定理、余弦定理．2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用．3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：1. 正弦定理1：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：CcB b A a sin sin sin ==． 2. 余弦定理2：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：A bc c b a cos 2222-+=．B ca a c b cos 2222-+=．C ab b a c cos 2222-+=．3. 余弦定理推论：bc a c b A 2cos 222-+=．ca c a c B 2cos 222-+=．abc b a C 2cos 222-+=．4. 重要结论：（1） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>>． （2） 在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 有解（即存在）的充要条件是0cos cos >+B A ． 5. 解斜三角形的类型：（1） 已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．（2） 已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在ABC ∆中，已知a 、b 和角A 时，解的情况如下：上表中为锐角时，时，无解；为钝角或直角时，，均无解． （3） 已知三边，用余弦定理有解时，只有一解． （4） 已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．6. 三角形面积：（1） ah S 21=（h 为BC 边上的高）； （2） C ab S sin 21=；（3） C B A R S sin sin sin 22=（R 为ABC ∆外接圆半径）；（4） RabcS 4=（R 为ABC ∆外接圆半径）； （5） ))()((c p b p a p p S ---=，)(21c b a p ++=．疑难点清单：判断三角形形状基本思想是：利用正弦定理进行角边统一．即将条件化为只含角的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形，如等边三角形，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A 、B 、C 内角的固定范围对三角函数数值的影响． 附：1. 正弦定理的证明： ① 定义法（教科书中给出）如图１，在ABC Rt ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数．根据正弦函数的定义，Ac asin =， B cbsin =．所以c BbA a ==sin sin ． 又1sin =C ，所以CcB b A a sin sin sin ==． 那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？如图２，当ABC ∆是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，B a CD sin =，A b CD sin =，所以A bB a sin sin =， 得到BbA a sin sin =． 同理，在ABC ∆中， CcB b sin sin =． 所以CcB b A a sin sin sin ==． ② 向量法如图３，ABC ∆为锐角三角形时，过A 作三位向量→j 垂直于→AB ，则→j 与→AB 的夹角为︒90，→j 与→BC 的夹角为B -2π，→j 与→CA 的夹角为A +2π，设c AB =，a BC =，b AC =．因为→→→→=++0CA BC AB ，所以00=⋅=⋅+⋅+⋅→→→→→→→→j CA j BC j AB j ． 即0)2cos(||||)2cos(||||2cos||||=++-+→→→→→→A CA jB BC j AB j πππ．所以A b B a sin sin =，即BbA a sin sin =． 同理可得：C cB b sin sin =，即CcB b A a sin sin sin ==．当ABC ∆为钝角三角形或者直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论．（可以请学生来给出证明） ③ 几何法如图４，设O 为ABC ∆的外接圆的圆心，连接BO 并延长交 ⊙O 与点A '，连接C A '，则A A ='或A A -='π，∴=A sinR a B A BC A 2sin ='='，即R A a 2sin =，同理可证R B b2sin =， R C c 2sin =，故有CcB b A a sin sin sin ==． 注：在运用时，有时需要对它进行变形，如C B A c b a sin :sin :sin ::=； A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=．如图５，当ABC ∆为钝角三角形时，设B 为钝角．过C 作AB 的垂线与AB 的延长线交于D 点，由三角函数的定义得A b CD sin =，B a B a CD sin )180sin(=-︒=，B a A b sin sin =∴，即BbA a sin sin =． 同理可得C c A a sin sin =，CcB b A a sin sin sin ==∴．2. 余弦定理证明：如图６，设→→=a CB ，→→=b CA ，→→=c AB ，那么→→→-=b a c ，→→→→→→→→→→→→→⋅-⋅-⋅=+⋅-=⋅=b a b b a a b a b a c c c 2)()(||2C ab b a cos 222-+=所以C ab b a c cos 2222-+=．同理可以证明：A bc c b a cos 2222-+=．B ca a c b cos 2222-+=．。
【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)
对任意三角形,这个等式都会成立吗 对任意三角形 这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗 怎么证明这个结论？ 怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明 方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角 形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二： 等积法) 在任意斜 ABC当中 作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和 例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在 中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系： 、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 ）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形 ）在直角三角形ABC中,C=90 则 中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题： 请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解； 当 时 有几个解 几个解； 几个解；当a=3时C有几个解 时 有几个解
必修5课件 1.1.1 正弦定理
当A为锐角
当A为直角或钝角
我舰在敌岛A南50西相距12 nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北 10西的方向以10nmile/h的速度航行，问：我舰需要以多大速度， 沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ 即追击速度为14mile/h
AC BC 又：∵△ABC中，由正弦定理： sin B sin A
AC
2.找 j 与 AB 、AC 、 的夹角 CB
3。利用等式
AC + CB = AB ，与 j 作内积
比值的意义：三角形外接圆的直径2R
注意： （1）正弦定理适合于任何三角形。
a b c （2）可以证明 = = =2R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
（3）每个等式可视为一个方程：知三求一
ABC中，c 10, A 45 0 , C 30 0 , 求a, b和B 例1、已知在
例2、在 ABC中，b
3, B 60 0 , c 1, 求a和A, C
例3、ABC中，c
6 , A 45 0 , a 2, 求b和B, C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解三角形时，注意大边对大角
小结：1。正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的 问题。 2。正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边 和角的问题。 3。正弦定理及应用于解决两类问题，注意多解情况。 注意： ABC中，已知a, b和A时解三角形的情况： 在
人教版 必修五
第一章
解三角形
1.1.1 正弦定理
正弦定理 证明一（传统证法）在任意斜△ABC当中：
1 1 1 ab sin C ac sin B bc sin A S△ABC= 2 2 2 1 b a c abc 两边同除以 即得： = = 2 sin C ， sin A sin B
1.1正弦定理
解三角形1.1正弦定理一、知识要点1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等。
即a/sinA==2、解三角形2.1定义：一般的，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做。
2.2利用正弦定理可以解决一下两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另两角及另一边。
3、正弦定理的变形式3.1定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R为△ABC外接圆的直径）3.2“角到边”的转换：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R3.3“边到角”的转换：，，3.4“边角”互换：，，，3.5比例性质：4、利用正弦定理解三角形时解的情况二、实操演练题型1：正弦定理的理解1、在△ABC中，一定成立的等式是（）A、asinA=bsinBB、acosA=bcosBC、asinB=bsinAD、acosB=bcosA2、以下关于正弦定理或其变形的叙述错误的是（）A、在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinCB、在△ABC中，若sin2A=sin2B，则a=bC、在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B；若A>B，则sinA>sinBD、在△ABC中，a/sinA=（b+c）/（sinB+sinC）3、在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（)A、a>bsinAB、a=bsinAC、a<bsinAD、a≥bsinA4、已知△ABC的外接圆半径是2cm，∠A=60°，则BC边长为cm。
题型2：已知两角及一边解三角形5、在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°,BC=3√2，则最长边为( )A、4√3B、2√3C、√3D、√3/26、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对应的边。
正弦定理
2 ,求B
3 ,求A
（2）在△ABC中,A=450,a=2,b=
2 2 1 o 解： = ,sinB= ,B=30 o sin 45 sinB 2 （3）在△ABC中,b= 2 ,a=2,B=450,求A 2 2 解： = ,sinA=1,A=90o sin A sin45o
1.1.1 正弦定理
1. 复习三角形中的边角关系
（一）任意三角形中的边角关系
1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系 1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系
A B C 180
大角对大边
abc, ab c
A B 90 2 2 2 a b c
（二）直角三角形中的边角关系 （角C为直角）
＝ sinB ＝ sinC ＝? sinA
a b c
如图:
C C
c
B
1
a c A
， a 2R
sinC sinC 同理： sin B
即：
a
c
1
2R
O
C
b
C1
b
sin A
c
2R (R ) 2R 为外接圆半径
b
sin A
sin B
sin C
3. 正弦定理的应用
一般的，把三角形的三个角A,B,C和它们 的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
C
26
300
30
B
∵a > b
∴A>B,
三角形中大边对大角
所以Ｂ＝25.70,
C=124.30,
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1 正弦定理和余弦定理知识点归纳： 一.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆的半径） （1）变形公式 ：1.化边为角：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，；2.化角为边：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3.::sin :sin :sin a b c A B C = 4.三角形的内切圆半径cb a S r ABC++=∆2二.余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=；变形：（1）bc a c b A 2cos 222-+=；B ac c a b cos 2222-+=； ac b c a B 2cos 222-+=；C ab b a c cos 2222-+=. abc b a C 2cos 222-+=变形：（2）A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=B C A C A B cos sin sin 2sin sin sin 222-+= C B A B A C cos sin sin 2sin sin sin 222-+=三.三角形中的边角关系和性质：（1）π=++C B A2222π=++C B A 在Rt △中，222c b a =+，C=A+B=900.（2）-tanC B)+(A tan -cosC, B)+cos(A sinC,=B)+sin(A ==（3）2cos 2sinC B A =+ 2sin 2cos CB A =+ 2c o t 2t a nC B A =+ （4）tanA+tanB+tanC= tanA ·tanB ·tanC（5）b a >⇔B A >⇔B A sin sin >.⇔cosA<cosB （6）21sin 21==C ab S ×底×高Rabc 4=.)(2c b a r ++=（三角形的内切圆半径r ，外接圆半径R ）（7）ma+nb=kc ⇔msinA+nsinB=ksinC （8）ma=nb ⇔ msinA=nsinB(9)若A 、B 、C 成等差数列，则B 060=.(10)若三角形中三内角成等差数列，三边成等比数列⇔三角形为正三角形（11）余弦定理是勾股定理的推广：判断C ∠为锐角222c b a >+⇔，C ∠为直角222c b a =+⇔， C ∠为钝角222c b a <+⇔．课堂训练 一、选择题1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于……………………....( ) A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120°2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为…………..( ) A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于………………………..( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶2 4．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k≠0)，则k 的取值范围为…..( ) A ．(2，＋∞) ] B ．(-∞，0) C ．(-21，0)D ．(21，＋∞)5． 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30° * 6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则sin sin sin a b cA B C++++等于….( )A ．33B ．3392C ．338D ．239二、填空题7．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 8．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．9．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________．10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________． 三、解答题11．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式．(2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．12．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．13．在△ABC 中，求证2tan 2tanBA b a b a -=+-．14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于3．同步提升 一、选择题：1、在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a 等于( )A ．2B ．6C ．2 或6D ．272、在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，则∠C 等于 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°3、已知在△ABC 中:，sinA: sinB: sinC ＝3: 5 :7，那么这个三角形的最大角是 ( )A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4、在△ABC 中，若c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则C 等于 ( )A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60° 二、填空题：5、已知△ABC 中,A ＝60°,最大边和最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个正实数根,那么BC 边长______．6、△ABC 中，a 、b 分别是角A 和角B 所对的边，a ＝3,b ＝1,B 为30°，则角A 的值为______.7、在△ABC 中，cos A ＝135,sin B ＝53,则cos C 的值为______. 8、在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 22C ，则△ABC 为______.9、若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，外接圆半径等于_______． 三、解答题：10、在ABC ∆中，,15,8,2==+=+ac c a B C A 求b 的值。
正弦定理课件人教新课标
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故 A＝90°.
∴C＝90°－B，cos C＝sin B. ∴2sin B·cos C＝2sin2B＝sin A＝1.
∴sin
B＝
2 2.
∴B＝45°或 B＝135°(A＋B＝225°＞180°，故舍去)．
∴△ABC 是等腰直角三角形．
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3．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于
A．5 2
B．10 3
()
C.103 3 解析：选 B
D．5 6
由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.
2
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4．在△ABC 中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有
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[活学活用] 在△ABC 中，sin2A＝sin2B＋sin2C，且 sin A＝2sin B·cos C．试判 断△ABC 的形状． 解：由正弦定理，得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴2aR2＝2bR2＋2cR2， 即 a2＝b2＋c2，
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已知两边及其中一边的对角解三角形
[典例] 在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A，C，c.
[解]
由正弦定理及已知条件，有sin3A＝sin
425°，得
sin
A＝
3 2.
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２Ｃ
3D
2
（2）已知 ΔABC 已知 A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A 8B
4C
4 3 -3 D 8 3 -8
（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知 a+b=12 B=450 A=600 则则则 a=------------------------，b=------------------------
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系： a b c ，接着就一般 si nA si nB si nC
斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推
导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学过程
1[创设情景]
1800 (32.00 81.80)
66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例 2 如图，在 ΔABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： BD AB DC AC
c nC
C
a
B
(图 1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图 1．1-3，当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数
1
的定义，有
CD=
asi
nB
b
si
n
A,则
a si n
A
si
b nB
第一章 解斜三角形
1．1．1 正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明
方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关
系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应
（5）已知在 ΔABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为 7.5，则其三边长分别
为--------------------------
（6）．在 ΔABC 中，利用正弦定理证明 a b sin A sin B
c
sin C
六，课堂小结（有学生自己总结）
如图 1．1-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。
A
思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？
C
B
2[探索研究]
(图 1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的
ur uur ur uuur uur
则
j AB j ( AC CB)
A
B
ur uur ur uuur ur uur
ur
∴ j AB j AC j CB
j
r j
uuur AB
cos900 A0
r j
uuur CB
cos900
C
∴
csin
A asin C
，即
a sin
A
c sinC
r uuur 同理，过点 C 作 j BC ，可得
用的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情
推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识
间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解
存在正数 k 使 a k si nA ，b k si nB ，c k si nC ；
（2） a b c 等价于 a b ， c b ， a c
si nA si nB si nC
si nA si nB si nC si nB si nA si nC
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsi nA ； si nB
，
C
同理可得
si
c nC
si
b n
B
，
b
a
从而 a b c si nA si nB si nC
A
c
B
(图 1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研
究这个问题。
ur uuur
（证法二）：过点 A 作 j AC ，
C
uur uuur uur 由向量的加法可得 AB AC CB
β
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 si nA a si nB 。 b
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3[例题分析] 例 1．在 ABC 中，已知 A32.00 ， B 81.80 ， a 42.9 cm，解三角形。
2
解：根据三角形内角和定理， C 1800 (A B)
bc sin B sinC
从而
a si nA
b si nB
si
c nC
类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a si nA
b si nB
si
c nC
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即
等式关系。如图 1．1-2，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函
数的定义，有 a si nA， b si nB ，又 si nC 1 c ,
A
c
c
c
则
si
a n
A
si
b nB
si
c nC
c
b
c
从而在直角三角形
ABC
中，
si
a n
A
si
b nB
si
证明：如图在 ΔABD 和 ΔCAD 中，由正弦定理，
得
BD
AB
DC
，
AC
AC ，
sin sin sin sin(1800 ) sin
两式相除得 BD AB
A
DC AC
β
五巩固深化反馈研究
1 已知 ΔABC 已知 A=600，B=300，a=3；B 求边 b=（）α 18:00 α
D
C
Ａ ３ Ｂ