2019年高考理科数学知识点总结：概率与统计
高中数学知识点总结概率与统计的统计推断
高中数学知识点总结概率与统计的统计推断高中数学知识点总结：概率与统计的统计推断概率与统计是高中数学中的一大重要分支，它涉及到统计推断。
统计推断是通过收集一部分数据来推断总体的特征和规律，从而对未知或难以获得的信息进行预测和判断。
本文将简要介绍概率与统计的统计推断相关的知识点。
一、抽样和抽样分布统计推断的基础是抽样，即从总体中随机选择一部分个体进行研究。
抽样要遵循随机性、代表性和独立性的原则，以确保样本的可靠性和有效性。
抽样分布是指随机抽取的各个样本所对应的统计量的分布。
常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布等。
二、参数估计参数估计是利用样本数据对总体的未知参数进行估计和推断的过程。
点估计是基于样本数据得出一个具体的数值作为总体参数的估计值，如样本均值、样本比例等。
区间估计则是确定一个区间，以一定的置信水平对总体参数进行估计，如置信区间。
三、假设检验假设检验是用于检验总体参数假设的方法。
根据已有信息和假设条件，利用样本数据对总体参数进行检验，判断假设是否被接受或拒绝。
假设检验包括原假设和备择假设，常见的检验方法有单样本均值检验、两样本均值检验、单样本比例检验等。
四、相关性与回归分析相关性分析主要研究两个变量之间的相关关系，其中常用的衡量指标是相关系数。
回归分析研究一个或多个自变量对因变量的影响程度和变化趋势。
线性回归是其中最常用的，通过最小二乘法来拟合自变量和因变量之间的线性关系。
五、抽样分布的中心极限定理中心极限定理是指当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布逼近于正态分布。
它是统计推断的理论基础，使得我们可以基于样本均值进行正态分布的推断，如置信区间估计和假设检验等。
六、样本调查与调查问卷设计统计推断常常涉及到样本调查和调查问卷设计。
在进行统计推断之前，我们需要明确研究的目的、确定调查对象、设计合理的调查问卷，并通过适当的抽样方法进行样本调查。
合理的样本调查与问卷设计可以提高数据质量和统计结果的可信度。
高考数学概率统计知识点总结(文理通用)
概率与统计知识点及专练（一）统计基础知识：1. 随机抽样：（1）．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.（2）．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）.（3）．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.2. 普通的众数、平均数、中位数及方差： （1）.众数：一组数据中，出现次数最多的数（2）.平均数：常规平均数：12nx x x x n ++⋅⋅⋅+=（3）.中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数（4）.方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-（5）.标准差：s3 .频率直方分布图中的频率：（1）.频率 =小长方形面积：f S y d ==⨯距；频率=频数/总数； 频数=总数*频率（2）.频率之和等于1：121n f f f ++⋅⋅⋅+=；即面积之和为1： 121n S S S ++⋅⋅⋅+=4. 频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差： （1）.众数：最高小矩形底边的中点（2）.平均数：112233n n x x f x f x f x f =+++⋅⋅⋅+ 112233n n x x S x S x S x S =+++⋅⋅⋅+（3）.中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值（4）.方差：22221122()()()nn s x x f x x f x x f =-+-+⋅⋅⋅+-5.线性回归直线方程：（1）.公式：ˆˆˆy bx a=+其中：1122211()()ˆ()n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nxybx x x nx====---∑∑==--∑∑（展开）ˆˆa y bx=-（2）.线性回归直线方程必过样本中心(,) x y（3）.ˆ0:b>正相关；ˆ0:b<负相关（4）.线性回归直线方程：ˆˆˆy bx a=+的斜率ˆb中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到6. 回归分析：（1）.残差：ˆˆi i ie y y=-（残差=真实值—预报值）分析：ˆie越小越好（2）.残差平方和：2 1ˆ() ni iiy y =-∑分析：①意义：越小越好；②计算：222211221ˆˆˆˆ()()()() ni i n niy y y y y y y y =-=-+-+⋅⋅⋅+-∑（3）.拟合度（相关指数）：2 2121ˆ()1()ni iiniiy y Ry y==-∑=--∑分析：①.(]20,1R∈的常数；②.越大拟合度越高（4）.相关系数：()()n ni i i ix x y y x y nx y r---⋅∑∑==分析：①.[1,1]r∈-的常数；②.0:r>正相关；0:r<负相关③.[0,0.25]r∈；相关性很弱；(0.25,0.75)r∈；相关性一般；[0.75,1]r∈；相关性很强7. 独立性检验：（1）.2×2列联表（卡方图）： （2）.独立性检验公式①．22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++②．上界P 对照表：（3）.独立性检验步骤：①．计算观察值k ：2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++ ②．查找临界值0k ：由犯错误概率P ，根据上表查找临界值0k③．下结论：0k k ≥即认为有P 的没把握、有1-P 以上的有把握认为两个量相关；0k k <：即认为没有1-P 以上的把握认为两个量是相关关系。
高考数学中的概率统计关键知识点总结
高考数学中的概率统计关键知识点总结在高考数学中，概率统计是一个重要的考点之一。
学习概率统计并掌握其关键知识点，不仅有助于我们在考试中拿到好成绩，还可以在日常生活中帮助我们更好地理解和运用概率统计知识。
本文将总结高考数学中概率统计的关键知识点，希望能对广大考生有所帮助。
一、基本概率知识概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的小数来表示。
在概率计算中，我们需要掌握以下知识点：1.样本空间和事件：在一个随机试验中，所有可能结果构成的集合称为样本空间。
样本空间中的个体称为样本点。
事件是样本空间的一个子集，是由若干个样本点组成的。
2.事件的概率：事件A发生的概率P(A)定义为A中样本点数与样本空间中样本点总数之比。
3.互斥事件：如果两个事件A、B没有共同的样本点，则称它们是互斥事件。
4.独立事件：如果两个事件A、B的发生互不影响，则称它们是独立事件。
二、离散型随机变量离散型随机变量是指只能取一些有限或者可数个值的变量。
在学习离散型随机变量时，需要注意以下知识点：1.随机变量：设X是一个随机变量，其所有可能取值构成一个集合，称为随机变量X的全体取值，简称X的取值集。
2.概率函数：对于离散型随机变量X，其取值集为{x1，x2，...，xn}，其概率函数为f(x)=P(X=xi)，i=1,2,...n。
其中，f(x)满足以下两个条件：非负性，即f(x)>=0；归一性，即sum[f(xi)]=1。
3.数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望定义为：E(X)=sum[xi*f(xi)], i=1,2,...,n。
三、连续型随机变量连续型随机变量是指可以取得任意一个实数的变量。
学习连续型随机变量时，有以下知识点需要注意：1.概率密度函数：对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：非负性，即f(x)>=0；积分为1，即integral(f(x))dx=1。
2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)
一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。
文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。
A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数； （2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。
高考概率统计知识点总结
高考概率统计知识点总结高考数学中的概率统计是一个相对独立的模块，但在学生中有着较高的难度和考查比重。
掌握好概率统计知识点对于提升数学成绩以及应对高考是至关重要的。
本文将从概率和统计两个方面，对高考中常见的概率统计知识点进行总结。
一、概率概率是概率统计中最为核心也是较为抽象的概念之一。
在考试中，概率通常通过计算概率值、事件的互斥、独立以及条件概率作为考点出现。
1. 概率值的计算：概率指某件事情发生的可能性大小。
常见的概率计算方式有两种，一种是频率概率，另一种是几何概率。
频率概率指的是事件发生的次数与总次数之间的比值；几何概率指的是事件发生的可能性与总可能性之间的比值。
2. 互斥事件与对立事件：互斥事件是指在同一次试验中，事件A和事件B不能同时发生；对立事件是指在同一次试验中，事件A发生与事件A不发生是互相对立的。
了解互斥事件和对立事件的性质，能够帮助我们更好地理解概率的计算。
3. 独立事件与非独立事件：独立事件是指在试验之间没有相互影响；非独立事件是指在试验之间相互影响。
对于独立事件和非独立事件，学生需要通过条件概率计算来确定它们之间的关系。
二、统计统计是概率统计中的另一个重要部分，它主要研究如何收集、整理、分析和解释大量数据的方法和技巧。
在高考中，统计通常通过抽样方法、频数分布、统计图表以及样本与总体的关系作为考点出现。
1. 抽样方法：抽样是指从总体中选取个别样本以代表总体。
在高考中，常用的抽样方法有随机抽样、分层抽样和整群抽样等。
了解各种抽样方法及其应用场景，可以帮助我们更好地分析总体特征。
2. 频数分布和统计图表：频数分布是指将一组数据按照数值大小进行整理和分类，以便观察数据的分布情况。
统计图表则是通过图像的方式将数据进行展示，包括直方图、折线图和饼图等。
掌握频数分布和统计图表的制作方法，可以更直观地观察数据特征。
3. 样本与总体的关系：样本是指从总体中选取的一部分数据，总体是指具有某种共同特征的个体或事物的集合。
数学高考必备概率与统计知识点总结
数学高考必备概率与统计知识点总结数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，占据大约10%的考试比重。
掌握好概率与统计的知识点，对于考试取得好成绩至关重要。
本文将对数学高考中必备的概率与统计知识点进行总结，并提供实用的解题方法和技巧。
一、基本概念和概率计算1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指实验过程的一个结果，而样本空间则是实验中可能出现的所有结果的集合。
在解题时，我们需要明确随机事件和样本空间的概念，将题目中的问题抽象成适合计算的形式。
1.2 概率的定义和性质了解概率的定义和性质对于解题至关重要。
掌握概率的加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯定理能够帮助我们解决复杂的概率计算问题。
1.3 随机变量和概率分布随机变量是指与随机事件相对应的可数的数值，概率分布则定义了随机变量的取值范围和其对应的概率。
掌握随机变量和概率分布的概念和计算方法，能够在解题过程中更好地理解和分析问题。
1.4 用排列组合解决概率问题排列组合是概率计算中常用的方法之一。
理解排列和组合的概念，掌握计算排列和组合的方法，可以帮助我们解决一定范围内的概率计算问题。
二、离散分布2.1 二项分布二项分布是一种重要的离散分布，在高考中经常出现。
掌握二项分布的概念、性质和计算方法，能够解决二项分布相关的问题。
2.2 泊松分布泊松分布是一种常见的离散分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。
了解泊松分布的特点和计算方法，能够解决与泊松分布相关的问题。
三、连续分布3.1 均匀分布均匀分布是一种常见的连续分布，描述了在一定范围内任意取值的概率相等的情况。
掌握均匀分布的概念和计算方法，能够解决与均匀分布相关的问题。
3.2 正态分布正态分布是一种重要的连续分布，具有对称性和钟形曲线的特点。
在高考中，许多问题都可以近似看作正态分布，因此掌握正态分布的概念和计算方法非常重要。
四、统计分析4.1 数据的收集和整理在统计分析中，数据的收集和整理是第一步。
2019高考数学二轮复习专题七概率与统计2.7.3正态分布、统计与统计案例课件理
2．正态分布 X～N(μ，σ2)的三个常用数据 (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； (2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； (3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.
[解题指导]
[解]
(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之内的概率
为 0.9974， 从而零件的尺寸在(μ－3σ， μ＋3σ)之外的概率为 0.0026， 故 X～B(16,0.0026)． 因此 P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈0.0408. X 的数学期望为 E(X)＝16×0.0026＝0.0416.
[对点训练]
2 1．(2018· 兰州检测)设 X～N(μ1，σ2 1)，Y～N(μ2，σ2)，这两个
正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(
)
A． P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数 t，P(X≥t)≥P(Y≥t) D．对任意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
3．方差公式 1 － － － s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2] n
2
[对点训练] 1．(2018· 安徽皖南八校联考)某校为了解 1000 名高一新生的 健康状况， 用系统抽样法(按等距的规则)抽取 40 名同学进行检查， 将学生从 1～1000 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443， 则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( A．16 B．17 C．18 D．19 )
[答案]
C
2． 某校组织了“2017 年第 15 届希望杯数学竞赛(第一试)”， 已知此次选拔赛的数学成绩 X 服从正态分布 N(72,121)(单位： 分)， 此次考生共有 500 人，估计数学成绩在 72 分到 83 分之间的人数 约为(参数数据：P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝ 0.9544.)( A．238 ) B．170 C．340 D．477
(完整版)高考数学概率和统计知识点,推荐文档
1 件是合格的概率；
（Ⅱ）若厂家发给商家 20 件产品中,其中有 3 件不合格,按合同规定该商家从中任取 2 件.
都进行检验,只有 2 件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数
的分布列及期望 E ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A
一般地，设离散型随机变量 可能取的值为 x1 ， x2 ，……， xi ，……， 取每一个值 xi （
i 1，2，……）的概率 P（ xi ）= Pi ，则称下表.
x1 x2 … xi …
P
P1 P2 … Pi …
为随机变量 的概率分布述两个性质：
本，则指定的某个个体被抽到的概率为
．
专业 知识分享
完美 WORD 格式
1.
P 5 1 .
[解答过程] 20 提示: 100 20
例 3.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗，至少有 3 人出现
发热反应的概率为__________.（精确到 0.01）
[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以
P A 1 P A 1 0.24 0.9984
用对立事件 A 来算，有
（Ⅱ） 可能的取值为 0,1, 2 ．
P
0
C127 C220
136 190 ，
P
1
C31C117 C220
51
190 ，
P
2
C32 C220
3 190
0
1
2
136
E
0 136
P
1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年高考理科数学知识点总结：概率与统计
概率与统计
109算法初步的常见题型及解题策略
(1)已知程序框图，求输出的结果．可按程序框图的流程依次执行，最后得出结果．可以在条件判断框的入口处列表判定此时各变量的取值情况
(2)完善框图添加条件问题。
结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．注意临界点的变量值的分析
110、随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号），分层抽样的关键是“按比例”：总体中各层的比例等于样本中各层的比例。
在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率相等。
系统抽样要注重等距性的理解
111、“读懂”样本频率分布直方图：直方图的高=频率/组距，直方图中小矩形框的面积是频率；频率×样本个数=频数。
由频率分布直方图计算中位数时要根据中位数两侧频率各为0.5计算横坐标值。
由频率分布直方图计算平均数时可以用每个小组的中位数乘上本组频率的累加和得出
112、线性回归方程
线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .
113．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=n i n i i i n i i i y y x x
y y x x r 112
21)()()
)(( 注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；
⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
114、独立性检验（分类变量关系）
统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
115、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，A ∩B 为不可能事件）。
计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。
116、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生， A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件）。
计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )； 117、独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) 。
118、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；：①标记元素②列出总的基本事件数③定义事件④列出事件所包含的基
本事件⑤利用公式计算P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A
119、几何概型
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）
的区域长度（面积或体构成事件A ；
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等．
120.【理】独立事件重复试验：事件A 在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k 次．
的概率()(1)
k k n k n n P k C p p -=-(是二项展开式[(1)]n p p -+的第k +1项)，其中p 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。
概率问题的解题规范：①先设事件A=“…”， B=“…”；②列式计算；③作答。
解概率应用题要步骤：首先是记事件，其次是对事件做必要的分析，指出事件的概率类型，包括“等可能性事件”、“互斥事件”、“相互独立事件”、“独立重复试验”、“对立事件”等；然后是列式子、计算，最后别忘了作“答”。
121.离散型随机变量ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则P 1+P 2+…=1； =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望；b aE b a E +=+ξξ)(；
122.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ
123、如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好
发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，
（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数；若ξ～B(n ，p)，则=ξE np ． 124、熟悉方差的计算公式和性质，样本的方差和标准差是反映其“稳定性”的量。
对于离散型随机变量ξ， ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ
125、标准正态总体(01)N ，，)(0x Φ表示总体取值小于0x 的概率， 即)()(00x x P x <=Φ，（00>x ）；当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，)0(Φ=0.5；计算正态总体的概率应结合正态曲线（面积）进行
126．对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率：()x F x μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭
. ()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<()()21F x F x =-21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.。