数字信号处理离散傅里叶变换
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
x a (t )e
st
e
jk
2 T
t
dt
用傅里叶级数表示
即：Z变换可看成是x(n)乘以指数序列r-n后的傅里叶变换。 2、单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换
X a ( s jk s )
k
周期延拓
z re
j
r 1 z e
j
X (z)
ze
sT
X (e
M N
y (n)
m 0
bm x (n m )
k 1
ak y (n k )
23
24
4
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
2、变换域中的表述 用系统函数H(z)来表征（指明收敛域）
§2.3 离散线性移不变（LSI）系统的频域特征
用频率响应来H(ejω)表征
H (e
x ( n )e
j ( n )
]
X (e
*
j
)
满足共轭反对称性
X o (e
j
) X o (e
)
19
20
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
4、信号的实部和虚部的傅里叶变换
x ( n ) Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )]
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
j
)] X e ( e
j
)
Im[ X ( e
j
)] Im[ X ( e
j
奇函数
j Im[ x ( n )]
1 2
[ x ( n ) x ( n )] 1 2
数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章 离散傅里叶变换及其快速算法 学习要点及习题答案
·54· 第3章 离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引 言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。
因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。
离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。
只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。
学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。
如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。
但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。
对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。
3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。
3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。
(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。
数字信号处理课件第十章--利用离散傅里叶变换的信号傅里叶分析(ppt文档)
问DFT的样本数N为多少？即，v[n]的长度 = x[n]截取的长度 ΔΩ = Ωk – Ωk-1 = 2π/NT ≤ 2π(10)
有 N ≥ 500
取N = 512 ----- Δf = 9.77Hz
考虑：采样频率、数据长度、频率分辨率之间的关系 （在不产生混叠情况下）
分辨率 窗函数W(ejω)的主瓣宽度 窗的长度L 泄漏 窗函数W(ejω)的主瓣和旁瓣的相对幅度 窗的形状
矩形窗
Wr (e j )
L1
e jn
n0
e j( L1)/2
sin[L / 2] sin( / 2)
主瓣最窄，但旁瓣幅度最大
Kaiser窗
wk
[n]
如：语音信号的频率成分 ----- 发声的物理器官，声腔的谐振（识别 与建模）
机器设备振动信号的频率分析----- 产生各种振动的部件，转 子、轴承、齿轮、箱体的振动与谐振（故障诊断）
Doppler雷达系统的频率分析 ------ 频移表示目标的速度
（3）对信号，信号的分析和特征（提取） 例： 语音信号
2
2
A1 w[n]e j1e j1n A1 w[n]e j1e j1n
2
2
由频移特性，得加窗序列的傅立叶变换
V (e j ) A0 e W j0 (e j(0 ) ) A0 e W j0 (e j(0 ) )
2
2
A1 e W j1 (e j(1) ) A1 e W j1 (e j(1) )
第二个问题：
Ω与ω ------ ω = ΩT
------ 频率归一化
数字信号处理 第二章 DFT
~ N=16：x (4) x((4))16 x((12 16))16 x(12)
例2：
x (n ) x (n ) 0
~ 1 X (k ) k 0 N ~ X (r )
e
j
15
周期序列的傅里叶级数表示：
正变换：
2 N 1 N 1 j nk ~ ~(n) ~(n)e N ~(n)W nk X (k ) DFS x x x N n 0 n 0
反变换：
~ ~(n) IDFS X (k ) 1 x N
j
2 kN N
k mN , m为整数 其他k
W
n 0
N 1
( m k ) n N
1W 1W
( k m ) N N ( k m ) N
1 e
j
1 e
N m k rN 0 mk
此外，复指数序列还有如下性质：
0 WN 1, W N 2 N r 1 1, WN WN r
ek (n)
ek (n) 是以N为周期的周期序列，所以基序
列 {e }（k=0,…,N-1) 只有N个是独立 的，可以用这N个基序列将 ~ ( n) 展开。 x
j 2 nk N
12
复指数序列 ek (n) e
周期性:
j
2 nk N
W
nk N
的性质：
无论对k还是n，复指数序列都具备周期性。
时间函数 连续和非周期 连续和周期(T0) 离散(Ts)和非周期 离散(Ts)和周期(T0) 非周期和连续 非周期和离散(Ω 0=2π /T0) 周期(Ω s=2π /Ts)和连续 周期(Ω s=2π /Ts)和离散(Ω 0=2π /T0) 频率函数
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换(DFT)
Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1(3.2.1)
其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。
3.2.2 循环移位性质
1. 序列的循环移位 设x(n)为有限长序列，长度为N，则x(n)的循环移 位定义为 y(n)=x((n+m))NRN(N) (3.2.2)
其中 XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］
(3.2.17)
X(k)=DFT［x(n)］=XR(k)+jXI(k) (3.2.18)
jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］
设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFT［x(n)］，则
(1) X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1 (2) 如果 x(n)=x(N-m) 则X(k)实偶对称，即X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3.2.19)
如果序列x(n)的长度为M， 则只有当频域采样点
数N≥M时， 才有
xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n) 即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时 域混叠现象。 这就是频域采样定理。
下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内
插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔 采样N点，N≥M，则有
的值。
图 3.2.3 共轭对称与共轭反对称序列示意图
如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对
称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成共轭对 称分量和共轭反对称分量之和，即
x(n)=xep(n)+xop(n)
0≤n≤N-1
(3.2.11)
(3.2.13) (3.2.14)
数字信号处理-z变换与离散时间傅立叶变换(DTFT)
N a i y i ( n ) T a i xi ( n ) i 1 i 1
N
9
4.移不变系统
——系统的响应与激励施加于系统的时刻无关
x ( n)
移位m
T[ ]
T [ x(n m)]
x ( n)
T[ ]
移位m
y ( n m)
10
5.单位抽样响应与卷积和
序列x(n)的Fourier反变换定义：
a<-1
0<a<1
-1<a<0
a=1
a=-1
7
5.复指数序列 x(n) Ca n
x(n) C a n cos(0 n ) j sin( 0 n )
|a|=1
C C e j a a e j0
|a|>1
|a|<1
8
3.线性系统
——满足叠加原理（可加性、比例性）
15
1.1 z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义为：
X ( z) Z x(n) x(n) z
n
n
Z是复变量，所在的平面称为Z平面
16
1.2 z变换的收敛域
对于任意给定的序列x(n)，使其Z变换X(z)收敛的所有z值
的集合称为X(z)的收敛域(Region of convergence,ROC)。
=X (e
jT
ˆ ( j ) ) X a
抽样序列在单位圆上的z变换=其理想抽样信号的傅里叶变换
52
第五节 序列的傅立叶变换（DTFT）
5.1 序列的傅立叶变换定义
序列x(n)的Fourier变换定义：
X (e ) DTFT [ x(n)]
同济大学数字信号处理课件第三章1离散傅里叶变换
X ( j )e
d
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
2012-8-28 信号处理
连续时间、离散频率—傅里叶级数
X ( jk 0 )
1 T0
T0 / 2 T0 / 2
x (t )e
jk 0 t
dt
x (t )
k
时间函数
连续和非周期 连续和周期(T0)
频率函数
非周期和连续 非周期和离散(Ω0=2π/T0)
离散(T)和非周期
周期(Ωs=2π/T)和连续
离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
2012-8-28
信号处理
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
X (k )
x (n )e
n0
N 1
j
2 N
nk
x(n )
1 N
X (k )e
k 0
N 1
j
2 N
nk
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的 信号处理 2012-8-28
四种傅里叶变换形式的归纳
时间函数 频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
2012-8-28 信号处理
连续时间、连续频率—傅里叶变换
X ( j )
x (t )e
j t
dt
j t
x (t )
1 2
P132:
数字信号处理之离散傅里叶变换
共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称 性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算， 即X = W * x，其中X是DFT的输 出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具 有特殊的结构，可以通过快速傅 里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时 傅里叶变换、Wigner-Ville分 布等，可根据具体应用场景选 择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域 中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频 域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识 别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和 处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分 ，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信 号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可 以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。
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第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)
的长度时，将式
x(n) x(nmN)
m
x(n)x((n))N
DFT的物理意义
DFT是 X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等 间隔采样。这就是DFT的物理意义。
DFT的变换区间长度N不同，表示对 X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采样 点数不同，所以DFT的变换结果不同。
14
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT
在DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，
X (k ) =
7 n=0
x
(n
)W
kn 8
=
3
W
kn 8
n=0
=
1
-
W
k 4 8
1
-
W
k 8
-j 2π 4k
-j π k
jπ k
-j π k
1-e 8
=
-j 2π k
e 2 (e 2
-j π k
jπ k
-e 2 )
-j π k
1-e 8
e 8 (e 8 -e 8 )
-j 3π k
e8
siΒιβλιοθήκη n(π 2
jπ k
-j π k
e 4 (e 4 -e 4 )
-j π k
jπ k
-j π k
e 16 ( e 16 - e 16 )
-j 3π k
e 16
π sin( 4
π sin( 16
k) ,
k)
k 0,1...,15
9
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系如下图所示:
X(n)的幅频 特性曲线 (FT曲线)
X(n)的8点 DFT曲线
X(n)的16点 DFT曲线
10
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
结论:
由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与 变换区间长度N的取值有关。在后面，对DFT 与Z变换和傅里叶变换的关系及DFT的物理意 义进行讨论后，上述问题就会得到解释。
4
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
➢DFT的实质：有限长序列傅里叶变换的 有限点离散采样，即频域离散化。
➢DFT 有 多 种 快 速 算 法 (Fast Fourier Transform), 因此不仅在理论上有重要意 义, 在各种数字信号处理算法中亦起着核 心作用。从而使信号的实时处理和设备 的简化得以实现。
π sin (
k k
) , )
k 0,1..., 7
8
8
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
（2）设变换区间N=16 时，则：
X (k ) =
15 n=0
x
(n
)W
kn 16
=
3
W kn 16
n=0
=
1
-
W
k 4 16
1
-
W
k 16
-j 2π 4k
=
1 -e
16 -j 2π k
1 - e 16
-j π k
数字信号处理离散傅里叶变换
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
2
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
本章作为全书的基础，主要学习: (1) DFT的定义； (2) DFT的物理意义； (3) DFT的基本性质以及频域采样； (4)DFT的应用举例等内容。
3
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
离散傅里叶变换定义
➢计算机只能处理有限长离散序列，因而 无法直接利用ZT与FT进行数值计算。
➢针对有限长序列, 还有一种更有用的数学 变 换 , 即 离 散 傅 里 叶 变 换 （ Discrete Fourier Transform），使数字信号处理 可以在频域采用数字运算的方法进行， 大大增加了数字信号处理的灵活性。
6
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
对式中，W N
=
-j 2π
eN
，N称为DFT变换
区间长度，N≥M。通常称上述二式为离散
傅里叶变换对。为了叙述简洁，常常用
DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示
N点离散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆
变换。
7
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
【例】 x(n)=R4(n), 求x(n)的8点和16点DFT。 【解】（1）设变换区间N=8 时，则：
但由于
W
kn N
的周期性，使DFT和IDFT式中的X(k)
隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有
W N k W N ( k m N ) ， k ,m 为 整 数 , N 为 自 然 数
在DFT式中，X（k)满足：
N 1
N 1
X (k m N )x (n ) W N (k m N )nx (n ) W N k n X (k )
11
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT与傅里叶变换和Z 设序列x(n)的长度为M，其Z变换和
N(N≥M)点DFT分别为：
M1
X(z)ZT[x(n)] x(n)zn n0
M1
X(k)DFT[x(n)]N x(n)WNkn n0
k0,1, ,N1
12
第7讲 离散傅里叶变换(DFT) 比较上面二式可得关系式
5
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
DFT 的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列， 则 定义x(n)的N点离散傅里叶变换为：
N -1
X (k )= D F T [x (n )]= x (n )W N k n ,k= 0 ,1 ,...,N -1 n = 0 X(k)的离散傅里叶逆变换为：
x (n )= ID F T [X (k )]= N 1n N = -0 1X (k )W N -k n ,n = 0 ,1 ,...,N -1
X ( k ) X ( z )j 2 π k z e N
或
k 0 ,1 , ,N 1
X (k ) X (e j )| 2 π k k 0 ,1 , ,N 1 N
上二式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的 Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。X(k) 为x(n)的傅里叶变换。
13
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
n 0
n 0
15
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可 以看做长度为N的有限长序列x(n)的周期延 拓序列，而x(n)则是 x ( n )的一个周期，即
x(n) x(nmN) m
x(n)x(n)R N(n)
16
第7讲 离散傅里叶变换(DFT)
一般称周期序列 ~x(n) 中从n=0到N－1 的第一个周期为 ~x(n) 的主值区间，而主 值区间上的序列称为 ~x(n) 的主值序列。 因此x(n)与 ~x(n) 的上述关系可叙述为：~x(n) 是x(n)的周期延拓序列，x(n)是 ~x(n) 的主