(完整版)2018考研数学二真题
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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
(1)2
1
20
lim()1,x x x e ax bx →++=若则( ) (A)112a b ==-, (B)1,12a b =-=- (C)1,12a b == (D)1,12
a b =-= (2)下列函数中,在0x =处不可导的是( )
(A)()sin f x x x = (B) (
)f x x =
(C) ()cos f x x = (D) (
)f x =
(3)2,1
1,0(),(),10,()()1,0,0
ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<<+⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩设函数若在上连续,则(
)
(A)3,1a b == (B) 3,2a b ==
(C) 3,1a b =-= (D) 3,2a b =-=
(4)1
0()[0,1]()0,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导,且则( )
(A)1()0,()02f x f '<<当时 (B) 1
()0,()02f x f ''<<当时
(C) 1
()0,()02f x f '><当时 (D) 1
()0,()02f x f ''><当时
(5)设(
)(222
2
2222
11,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππ
ππππ---++===
++⎰⎰⎰则( )
(A)M N K >> (B)M K N >>
(C)K M N >> (D)K N M >>
(6)22
021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰( )
(A)53 (B) 5
6 (C) 73 (D) 7
6
(7)下列矩阵中与矩阵110
011001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
相似的为( )
(A) 111011001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 101
011001-⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
(C) 111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(D) 101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(8)()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,
则( ) (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =
(C) ()()(){},max ,r A B r A r B =
(D) ()()
,T T r A B r A B =
二、填空题:9~14题,每小题4分,共24分.
(9)2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= (10)22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是
(11)25143
dx x x +∞
=-+⎰ (12)33cos 4sin x t t y t
π⎧==⎨=⎩曲线,在对应点处的曲率为 (13)()1,ln ,1(2,)2
z z z x y z e xy x -∂=+==∂设函数由方程确定则 (14)12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若 则A 的实特征值为 .
三、解答题:15~23小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)
2.x e ⎰求不定积分
(16)(本题满分10分)
200()()()x x
f x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰已知连续函数满足 (I )()f x 求;
(II )()[0,1]1,.f x a 若在区间上的平均值为求的值
(17)(本题满分10分)
sin ,(02),(2).1cos D x t t D t x x y d y t πσ=-⎧≤≤+⎨=-⎩⎰⎰设平面区域由曲线与轴围成计算二重积分
(18)(本题满分10分)
已知常数ln 2 1.k ≥-证明:2
(1)(ln 2ln 1)0.x x x k x --+-≥
(19)(本题满分10分) 2m 将长为的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?.若存在,求出最小值
(20)(本题满分11分) 已知曲线()()24:(0),0,0,0,1.9
L y x x O A P L S OA AP L =
≥点点设是上的动点,是直线与直线及曲线 ()3,4.P x S t 所围成图形的面积,若运动到点时沿轴正向的速度是4,求此时关于时间的变化率
(21)(本题满分11分)
{}{}110,1(1,2,),lim .n n x x n n n n n x x x e e n x x +→∞
>=-=L 设数列满足:证明收敛,并求
(22)(本题满分11分)
2221231232313(,,)(,)()(),.f x x x x x x x x x ax a =-+++++设实二次型其中是参数
(I) 123(,,)0f x x x =求的解;
(II) 123(,,)f x x x 求的规范形.
(23)(本题满分11分)
1212=130=011.27111a a a A B a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
已知是常数,且矩阵可经初等列变换化为矩阵
(I) ;a 求
(II) .AP B P =求满足的可逆矩阵