复数问题的题型与方法
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． 说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3， 因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。
复数知识点大题型总结
复数知识点大题型总结一、复数的概念复数是表示两个或两个以上的事物或概念的名称或符号，如“苹果”、“树木”、“星星”等。
在语法学上，复数是动词第三人称单数形式之外的一种形式，如“he plays”（他玩）和“they play”（他们玩）。
二、复数的构成1. 大多数情况下，将名词后面加上“-s”或“-es”构成复数形式。
例子：cat（猫）→cats（猫们）, box（盒子）→boxes（盒子们）2. 以“-y”结尾的名词，如果“-y”前面是元音字母，则构成复数时直接加“-s”;如果“-y”前面是辅音字母，则将“-y”改为“-i”，再加“-es”。
例子：boy（男孩）→boys（男孩们）, baby（婴儿）→babies（婴儿们）3. 以“-f”或“-fe”结尾的名词，通常变“f”为“v”，再加“-es”构成复数。
例子：wolf（狼）→wolves（狼们）, leaf（叶子）→leaves（叶子们）4. 以“-o”结尾的名词，大多数情况下在词尾加“-es”。
例子：potato（土豆）→potatoes（土豆们）, mango（芒果）→mangoes/mangoes（芒果）5. 特殊情况：有些名词的复数形式和单数形式相同。
例子：sheep（羊）→sheep（羊）, fish（鱼）→fish（鱼）三、复数名词的用法1. 表示数量多于一个例子：There are three dogs in the park.（公园里有三只狗。
）2. 表示多种类型例子：She collected various flowers.（她采集了各种花。
）3. 表示所有例子：The students raised their hands.（学生们都举起了手。
）4. 表示家庭成员例子：My parents are in the living room.（我的父母在客厅里。
）四、不规则复数1. 有些名词的复数形式与单数形式完全不同。
单数：man（男人）, woman（女人）, child（孩子）, tooth（牙齿）, foot（脚）复数：men（男人们）, women（女人们）, children（孩子们）, teeth（牙齿们）, feet（脚们）2. 有些名词的单复数形式相同。
高考复数知识点与题型
高考复数知识点与题型高考是每个学生都必须面对的重要考试，其中涵盖的知识点众多。
在数学这一科目中，复数是一个重要且常见的知识点。
复数在数学中具有广泛的应用，不仅贯穿于高中数学的各个章节中，而且在高考考试的题目中也经常出现。
本文将重点分析与复数相关的知识点和题型。
一、复数的定义与运算复数由实部和虚部组成，一般表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
在运算方面，复数的加减法与实数类似，可以将实部与虚部分别相加减。
复数的乘法中，需要注意虚数单位的性质，即i²=-1。
复数的除法可以通过有理化操作将分母变为实数，然后进行分子分母的分别除以实数的运算。
高考常见的复数题型包括求复数的共轭、复数的乘除法、复数的加减法等。
二、复数的平方根和幂次方复数的平方根是指复数的某个平方等于给定复数的性质。
一般来说，复数的平方根有两个解，其中一个解是正实数根，另一个解是负实数根。
对于n次方的复数运算，可以使用De Moivre公式将复数的n次方转化为它的幅角与辐角的函数。
高考中常见的题型包括求复数的平方根或者幂次方。
三、复数的模与辐角复数的模表示复数的长度，也可以理解为复数到原点的距离。
一般使用竖线表示，也可以用绝对值表示。
复数的辐角指的是复数与正实数轴之间的夹角，通常用θ表示。
复数的模和辐角可以通过公式计算出来，也可以通过坐标系进行几何解释。
高考中常见的题型包括给出复数求模和辐角，或者给出模和辐角求复数。
四、复数的几何意义复数在数学中具有重要的几何意义。
可以将复数看作是平面上的向量，复数的实部和虚部可以分别表示向量在x轴和y轴的投影。
将复数在坐标系中表示出来，可以画出复平面图。
复数的加减法可以理解为向量的相加减，复数的乘法可以理解为放缩和旋转。
通过复平面图，可以直观地理解复数的运算与几何意义。
在高考题目中，经常会利用复数的几何意义进行分析和解答。
五、复数方程与不等式复数方程和不等式是高考中较为复杂的考点之一。
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳复数是英语中一个重要的语法概念，表示多于一个的数量或者个体。
在英语中，很多名词在表示复数形式时会发生变化，这需要我们掌握一些复数的知识点和应对不同的题型。
本文将对复数的基本规则进行总结，并归纳一些常见的复数题型。
一、复数的基本规则1. 一般情况下，在名词的末尾加上“s”来表示复数，比如：dogs, books, tables, etc.2. 以以下字符结尾的名词，在表示复数时要注意变化：- 以“s”, “x”, “z”, “ch”或“sh”结尾的名词，在末尾加“es”，比如：buses, boxes, quizzes, watches等。
- 以辅音字母+y结尾的名词，将“y”变为“i”，再加“es”，比如：cities, babies, parties等。
- 以“o”结尾的名词有两种情况：①如果辅音字母在“o”之前，直接加“es”，比如：potatoes, tomatoes, heroes等。
②如果是元音字母在“o”之前，直接加“s”，比如：zoos, radios, videos等。
3. 以“f”或“fe”结尾的名词，在表示复数时通常将“f”或“fe”变为“ves”，比如：leaves, knives, wolves等。
4. 一些特殊变化的名词：- 人称名词的复数形式通常要加“s”或“es”，比如：boys, girls, teachers等。
- 一些外来词在表示复数时保持不变，比如：sheep, fish, deer等。
- 一些不规则的名词形式需要进行记忆，比如：men, women, children等。
二、复数题型归纳在学习复数的过程中，我们还需要掌握如何应对不同类型的复数题型。
以下是一些常见的复数题型及解题方法：1. 给出单数名词，要求写出复数形式。
Example: Write the plural form of "mouse".Answer: mice解题方法：根据基本规则，将“s”替换为“es”。
高中数学第七章复数(分层练习)(必修第二册)(2)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念【自主学习】一．复数的有关概念1.复数的定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做 ，满足i 2＝ ．2.复数集：全体复数所构成的集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }叫做复数集．3.复数的表示方法复数通常用字母z 表示，即 ，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部． 二．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当 且 ． 三．复数的分类1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( )(2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)若b 为实数，则z= bi 必为纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 2.若复数(a ＋1)＋(a 2－1)i(a ∈R )是实数，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．不存在【经典例题】题型一 复数的概念例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4, 2－3i ，－12＋43i, 5＋2i, 6i.【训练】1若a ∈R ，i 为虚数单位，则“a ＝1”是“复数(a －1)(a ＋2)＋(a ＋3)i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分又不必要条件题型二复数的分类例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
如何快速解决复数运算题
如何快速解决复数运算题复数运算题是数学中常见的一类题型，对于一些学生来说可能存在一定的困惑和难度。
然而，通过掌握一些技巧和方法，我们可以快速解决这类题目。
本文将介绍一些有效的解题策略，以帮助读者更快地解决复数运算题。
一、复数的基本概念在进一步讨论解题方法之前，首先需要明确复数的基本概念。
复数是由实数和虚数构成的数，其中虚数单位i定义为满足i²=-1的数。
一般形式下，复数可以表示为a+bi，其中a和b分别表示实数部分和虚数部分。
二、复数运算的基本规则1. 复数的加法与减法：将实数部分分别相加或相减，虚数部分分别相加或相减。
2. 复数的乘法：使用分配律展开计算，将每个项进行相乘，并根据i²=-1化简结果。
3. 复数的除法：将复数的除法转化为乘法，通过分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再按照乘法规则进行计算。
三、快速解决复数运算题的方法根据复数运算的基本规则，可以总结出一些解题的方法，以提高解题速度和准确性。
1. 对于加法和减法，可以直接对实数部分和虚数部分进行相加或相减。
例如：(3+2i) + (5-4i) = 3+5 + (2-4)i = 8 - 2i2. 对于乘法，可以通过分配律展开计算，并根据i²=-1化简结果。
例如：(3+2i) * (5-4i) = 3*5 + 3*(-4i) + 2i*5 + 2i*(-4i) = 15 - 12i + 10i - 8i² = 23 - 2i3. 对于除法，可以转化为乘法，并乘以分母的共轭复数。
例如：(3+2i) / (5-4i) = (3+2i) * (5+4i) / (5-4i) * (5+4i) =(15+12i+10i+8i²) / (25+16) = (23+22i) / 41四、解题实例下面通过几个实例演示如何快速解决复数运算题。
例1：计算(3+2i) + (5-4i)解：对实部和虚部分别相加，得到 3+5 + (2-4)i = 8 - 2i例2：计算(3+2i) * (5-4i)解：按照分配律展开计算，并应用化简规则，得到 15 - 12i + 10i - 8i² = 23 - 2i例3：计算(3+2i) / (5-4i)解：将除法转化为乘法，并乘以分母的共轭复数，得到 (3+2i) * (5+4i) / (5-4i) * (5+4i) = (15+12i+10i+8i²) / (25+16) = (23+22i) / 41通过以上例子，我们可以看到，掌握了复数运算的基本规则和解题方法后，可以在较短的时间内迅速解决复数运算题。
复数的知识点总结与题型归纳
复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1．复数的有关概念我们把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a＋b i可以分类如下：复数(b＝0)，(b≠0)(当a＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)――――→一一对应平面向量OZ ――→.5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 311.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则(1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d .(2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0.12．复数代数形式的除法法则：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例]实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当x 2－2x －15＝0，＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x2－2x －15≠0，＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 0，≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件。
全国通用版高中数学第七章复数考点题型与解题方法
(名师选题)全国通用版高中数学第七章复数考点题型与解题方法单选题1、已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z=z.则其中正确命题的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z1和z2的模相等,例如z1=1+i,z2=√2i,则z1和z2是共轭复数是错误的;对于②z1和z2都是复数,若z1+z2是虚数,则其实部互为相反数,则z1不是z2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z是实数,令z=a,则z̅=a所以z=z̅,反之当z=z̅时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是z=z̅是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.2、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=（）A．i B．−i C．1D．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021，即可求解.根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0，所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选：A.3、已知复数z满足z−z=2i，则z的虚部是（）A．−1B．1C．−i D．i答案：A分析：设z=a+bi(a,b∈R)，根据z−z=2i，求得b=−1，即可求得复数z的虚部，得到答案.设z=a+bi(a,b∈R)，因为z−z=2i，可得z−z=a−bi−(a+bi)=−2bi=2i，则−2b=2，可得b=−1，所以复数z的虚部是−1.故选：A小提示：关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.4、已知复数z对应的点在第二象限，z为z的共轭复数，有下列关于z的四个命题：甲：z+z=−2；乙：z−z=2i；丙：z⋅z=4；丁：z÷z=−12−√32i．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B分析：设z=a+b i,z=a−b i，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.设z=a+b i,z=a−b i，由于z对应点在第二象限，所以a<0,b>0，z+z=2a<0，z−z=2b i，z⋅z=a2+b2，z =a+b ia−b i=(a+b i)2(a−b i)(a+b i)=a2−b2+2ab ia2+b2=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i.甲⇒2a=−2,a=−1，乙⇒2b=2,b=1，丙⇒a2+b2=4，丁⇒a 2−b2a2+b2=−12,2aba2+b2=−√32⇒b=−√3a，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，b的值应为√3. 故选：B5、若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z̅.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D6、3+i1−3i=（）A．1B．−1C．i D．−i答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i，化简即可得出答案.解：3+i1−3i =(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=3+3i2+10i10=3−3+10i10=i.故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．7、在复平面内，把复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是()A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i 2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．8、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ）A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.9、若复数z 满足z(1−2i )=5，则（ ）A ．z =1−2iB ．z +1是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则cos α=√55 答案：D分析：利用复数的除法求复数z 及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，z=51−2i=1+2i且对应点在第一象限，A、C错误；z+1=2+2i不是纯虚数，B错误；由z在复平面内对应的点为(1,2)，所以cosα=√55，D正确.故选：D10、已知复数z满足(z−i)(2+i)=6−2i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．√6答案：C分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解. 因为(z−i)(2+i)=6−2i，所以z=6−2i2+i +i=(6−2i)(2−i)(2+i)(2−i)+i，=2−2i+i=2−i，所以|z|=√22+(−1)2=√5.故选：C.11、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2, sin2即可确定e2i对应点所在象限.由题意知：e2i=cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0, sin2>0，故e2i对应点在第二象限.故选：B12、已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A．1B．–1C．2D．–2答案：C分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(a−1)+(a−2)i为实数，所以a−2=0，∴a=2，故选：C小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.填空题13、已知|z|=1，则|z−1+√3i|的最小值是_________．答案：1解析：由|z|=1，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，求出|OP|后减去半径可得最小值．解：因为|z|=1，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，∵|OP|=√1+3=2，所以|PZ|min=|OP|−r=1．故答案为1．小提示：方法点睛：本题考查复数模的几何意义，|z|表示复平面上z对应的点Z到原点的距离，|z−z0|表示z 在复平面上z对应的点Z与z0对应的点Z0间的距离．因此有|z−z0|=r表示z0对应的点为圆心，r为半径的圆．14、如果复数z满足|z+i|+|z−i|=2，那么|z+i+1|的最小值是________．答案：1分析：由|z+i|+|z−i|=2的几何意义得z对应复平面的点(a,b)的轨迹为线段AB，再由|z+i+1|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，数形结合即可求出最小值.设z=a+bi，则|z+i|+|z−i|=|z−(−i)|+|z−i|=2的几何意义为复平面内点(a,b)到点(0,−1)及点(0,1)的距离和为2，又1−(−1)=2，设点A(0,−1)和点B(0,1)，则点(a,b)的轨迹为线段AB，又|z+i+1|=|z−[(−1)+(−i)]|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，设P(−1,−1)，结合图像可知，当z=−i时，|z+i+1|的最小值为1.所以答案是：1.15、i是虚数单位，(√21−i )2020＋(1+i1−i)6＝________.答案：－2分析：按照复数除法、乘方运算法则计算即可.(√21−i)2=2−2i=−i(−i)2=i1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i(√2 1−i )2020＋(1+i1−i)6＝i1010+i6=(−1)505+(−1)3=−2所以答案是：−216、已知i是虚数单位，化简11−3i1+2i的结果为_______．答案：1−5i##−5i+1分析：根据复数代数形式的运算法则即可解出．11−3i 1+2i =(11−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=11−6−25i5=1−5i．所以答案是：1−5i．17、已知复数z1=1+3i，z2=t+i（i为虚数单位），且z1⋅z̅2是实数，则实数t=___________.答案：13分析：由共轭复数定义和复数乘法运算可求得z1⋅z̅2，利用实数定义可构造方程求得t.∵z1⋅z̅2=(1+3i)⋅(t−i)=(t+3)+(3t−1)i为实数，∴3t−1=0，解得：t=13.所以答案是：13.解答题18、求tan θ，使得复数z=cos2θ+(tan2θ−tanθ−2)i是：（1）实数（2）纯虚数.（3）零.答案：（1）2；（2）1；（3）-1.分析：由复数的代数形式，结合其所代表的复数类型，列方程组求tanθ即可.（1）由题意，tan2θ−tanθ−2=0，得tanθ=−1或tanθ=2.（2）由题意，{cos2θ=0tan2θ−tanθ−2≠0，得{cos2θ=sin2θ(tanθ+1)(tanθ−2)≠0，即{tan2θ=1(tanθ+1)(tanθ−2)≠0，解得tanθ=1.（3）由题意，{cos2θ=0tan2θ−tanθ−2=0，得{cos2θ=sin2θ(tanθ+1)(tanθ−2)=0，即{tan2θ=1(tanθ+1)(tanθ−2)=0，解得tanθ=−1.19、已知i是虚数单位，设复数z满足|z−2|=2.（1）求|z+1−4i|的最小值与最大值；（2）若z+4z为实数，求z的值.答案：（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析解析：（1）根据题意|z −2|=2，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，|z +1−4i |表示点(x,y)到(−1,4)的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据z +4z 为实数，列出等量关系式，求得结果.（1）设z =x +yi ，根据|z −2|=2，所以有(x −2)2+y 2=4，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以|z +1−4i |=|(x +1)+(y −4)i |=√(x +1)2+(y −4)2，其表示点(x,y)到(−1,4)的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离减半径，所以最大值为√(2+1)2+42+2=7，最小值为√(2+1)2+42−2=3；（2）z +4z =x +yi +4x+yi =x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=(x +4x x 2+y 2)+(y −4y x 2+y 2)i ， 因为z +4z为实数，所以y −4y x 2+y 2=0， 即y(1−4x 2+y 2)=0，所以y =0或x 2+y 2=4，又因为(x −2)2+y 2=4，所以{x =0y =0 （舍去），{x =4y =0 ，{x =1y =√3 ，{x =1y =−√3， 所以z =4或z =1+√3i 或z =1−√3i .小提示：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.20、已知a ∈R ，b ∈R ，方程x 2+ax +b =0的一个根为1−i ，复数z 1=a +b i ，满足|z 2|=4.（1）求复数z 1；（2）若z 1⋅z 2>0，求复数z 2.答案：（1）z 1=−2−2i ；（2）z 2=−2√2+2√2i . 分析：（1）将1−i 代入方程x 2+ax +b =0，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得a,b ，从而求得z 1.（2）设z 2=x +y i ，利用|z 2|=4、z 1⋅z 2>0来求得x,y ，进而求得z 2.（1）依题意，得(1−i )2+a(1−i )+b =0，即(a +b)+(−2−a)i =0，由复数相等的定义及a ，b ∈R ，得{a +b =0−2−a =0， 解得{a =−2b =2. 故复数z 1=a −b i =−2−2i .（2）设z 2=x +y i （x ∈R ，y ∈R ），由|z 2|=4，得x 2+y 2=16， z 1⋅z 2=(−2−2i )(x +y i )=(−2x +2y)−(2x +2y)i ，又z 1⋅z 2>0，得{−2x +2y >02x +2y =0，即{y >x x =−y ， 所以{x 2+y 2=16x =−y y >x，解得{x =−2√2y =2√2 ， 所以z 2=−2√2+2√2i .。
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复数问题的题型与方法（3课时）复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模, 共轭复数，解复数方程等.一、数学规律：「共轭复数规律尸。
或£是纯虚数Oz + "0；2 •复数的代数运算规律i 4n1=i , i 4n 2^1, i 4「3=-i ;⑵X*爭时有— [ —0) =, G)J=1, —= 0), 0^ + 3!^+=0?伍》0的整数)o(3) i n • i n 1 • i n 2 • i n 3^1,i n + i n 1+ i n 2 + i n 3=0；⑷(l±i) — ±2h二「；3•辐角的运算规律(1) Arg (z 1 • z 2 )= Argz 1 + Argz 2(3) Argzn=nArgz (n € N )⑷Arg® =—，二中3为y 的H 次方根，k = 0, 1, 2,…，n _1。
（5）①己知忑为員数，氐R,则汁矢R 的充要条件是|忡 z或 z € R 。
②己勉€ C,且z^±a（a 为非零实数）,则□是纯虛数的充z + a要条件是|z|= |a|o(6) z 1 • z 2 去0，则4n ,(1) i =1,|引-%|=|勺加（入€ R，且入弄0）o对应向量OZ]丄OZ] a4.根的规律复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5•求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式|已丨_|Z2||W|Z i 士Z2S IZ1I + IZ2I的运用。
即|Z1士Z2|< |Z1|+|Z2|等号成立的条件是：Z1 , Z2所对应的向量共线且同向。
|Z i 士Z2 |> |Z i|-|Z2|等号成立的条件是：Z i , Z2所对立的向量共线且异向。
二、主要的思想方法和典型例题分析：1.化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【例1】（1992 *全国*理）己知朮G解^fz*z = l+3iz = l+3i【分析】这是解答题，由于出现了复数Z和Z,宜统一形式，正面求解。
【解】解法一设Z = x+ yi （x, y € R），原方程即为x2+ y2—3y - 3xi = 1 + 3i 用复数相等的定义得：解袪二原方程卜件2二■卜写|31 3.•.z = -l+学①两边取模，得:|z|4-ll|z|2+10 = 0|zp=l^|x|3 = 10代入①式得原方程的解是 乙=- 1, z 2 = - 1+3i.【例2】 (1993 •全国•理)设复数 z=cos B+ isin 0 (0vb 4,己知|叫二argS<£,求B52【解】 T z = cos 0 +isin 0 z 4 =cos4 0 + isin4 0(z) 4 = Cz) 4 = corf 9 -i 血4 81 - ( z) *1 - cos4 6 + isin4 9-加=-/=________________1 + z 41 + cos4 6 + isin4 6 _2 sin 22 6+ 2 sin 2 0 * cos2 • i "2 cos 2 2 0 + 2in20 • cos2 9 * i2an2 9 (2sin2 9 +icos2 9 ) 2cos2 9 ( cos2 6 +1sin 2 6 ) cos( 2巧 i sin( 2 ) 二 ta n222—cos2。
+i sin2日兀7兀或-~ —12 12TTJT7 JTarg^>—不合题意，舍去，•： 9 = —$ =—【说明】 此题转化为三角问题来研究，自然、方便。
【例 3】 设 a , b , x , y € R+,且 x 2 y 2 二r 2 (r >0),整理得 解得此时上3，又T 0 v 0 V n ,3当 tan求证：厂十*亠「: -■■分析令z1 =ax+byi , z2 ==bx+ayi (a, b, x, y € R+),则问题化归为证明:I Z1I+I Z2I》r (a+b)。
证明设z1 =ax+byi , z2 =bx+ ayi (a, b, x, y € R+),贝UJaF +b分+ +bF 二同| +忆』》|勺+ %=| (a+b) x+ (a+ b) yi| =| ( a+ b) (x+yi) |=( a+ b) • r。
【例Q 设Q为双曲线…1上一动点・A〔殂0)为中心,7T “将％Q沿顺时针方向旋转三■到AP,求P点的轨迹方程■解如图所示，设点Q, P, A所对应的复数为：勺二逊+加，2P = x + yi, %二3狈］向量AP对应的复数瑤=(x-3a) +yi 向量必对应的复数C^-3a)+加f IT f由向量AQ绕定点A■按I帧时针方向皤t —而彳寻到AP :得％4( -1) AP即 (x 0-3a+y oi) • ( —i) = ( x-3a+yi)由复数相等的定义得= 3a^yVo = x■而点(x0, y0)在双曲线上，可知点P的轨迹方程为(y _3a) 2_ (x-3a) a _ 1 ’ 1【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。
2•分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。
在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。
高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。
【例5】(1990 •全国•理)设a>0,在复数集C中解方程z2+ 2|z|=a。
分析一般的思路是设z=x + yi (x, y€ R),或z=r (cos 0 + isin 0 ),若由z2+ 2|z|=a 转化为z2=a -2|z|,则z2€ R。
从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。
总之，是一个需要讨论的问题。
【解】解法一T z2=a-2|z|€ R, /. z为实数或纯虚数。
•••问题可分为两种情况：(1)若z€ R,则原方程即为|z|2+2|z|-a=0,一二+ (-1+J H I)(a>0)(2)若z为纯虚数，设z=yi (y € R且y丰0),则原方程即为|y|2-2|y|+ a=0当a=0 时，|y|=2 即z= ± 2i。
当0 < aw 1 时，- 口Az= ( “士”！) 1 或"(1士乔7) 1；当a> 1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。
综上所述，原方程：当a=0时，解为z = 0或z= ± 2i当0＜枝＜1吋，解为"土（-1 士历77或汗（-1±71^^2 =C1 - - a)解法二 设z=x + yi , x , y € R ,将原方程转化为3 •数形结合思想数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互相转化的广阔 前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。
运用数形结合思想与方法解题是高考考查的 热点之一，应引起注意。
【例6】 已知|z|=1，且z 5+z = 1，求z 。
【解】 由z 5+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z , z 5, 1所对应的三点A , B ,C 及原点O 构成平行四边形的四个顶点，如图所示，由|一冃z|5 = l=|z|i 可知△AOE 为等边三角形，易求得£ 十芈^ 对应的点A 在实轴下方时，z =x = 0-y 2 ++而(1)x = 0 Jyl 1-2|y| +y^O| 梵『+ 2|x|-a = 0 =jx = O|y= ± (1 + 71 - a) y = 0x= - ( -1+ Vl + a )【说明】 这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思 想方法，有利于培养学生思维的深刻性。
【例7】复平面内点A 对应复数z ,点B 对应复数为3_，O 为原点，△ AOB 是面积为655n 的直角三角形，argz € （0,—），求复数z 的值.【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论.3_【解】因|OA|=|z|>5|z|=|OB|,故/ A 不可能是直角，因而可能/ AOB=90o 或/ ABO=90o .若/ AOB=90o ,示意图如图1所示.因z 与Z 所对应的点关于实轴对称，故argz=45o,S SOB = —|OA| • QB|= —|z| • 5|i|= 10讦=舟.于是,中2, 从而，z=2(cos45o+isin45o)= 2 + J 2i .若/ ABO=90o ,示意图如图2所示.因z 与z 所对应的点关于实轴 对称，且/AOB v 90o ,故 argz = （X 45o .综上所述，z= 2 + . 2i 或z=2+i .【说明丨①解题关键点：正确地对直角的情况进行分类讨论，正确地理解复数的几何 意义，作出满足条件的示意图.②解题规律：复数的几何意义来源于复数 z=a+bi（a 、b € R ）与复平面上的点（a , b ）之间的一一对应，它沟通了复数与解析几何之间的联系，是数形结合思想的典型表示.③ 解题技巧：复数z 与它的共轭复数z 在复平面内对应的向量关于实轴对称.④ 这样巧妙地以形译数，数形结合，不需要计算就解决了问题，充分显示了数形结合 的思想方法在解题中的作用。
4. 集合对应思想【例8】 如图所示，在复平面内有三点 P 1, P 2 , P 3对应的复数IOBI 341cos20= |OA| =；5， sin2 ( 5, S ^AOB = 2|OA| • |OB| • sin2 01 3 4 6_2 6 =2 r5r5 = 25 r = 5.于是,r = 5 .又 cos (. 1+c；s2(= 25^ ,55故z=i)=2+ i .令 z= r(cos (isin (，则sin分别为1卄，1 + 2纭1 +张 且年2, 0为原点，求当阳㈣+仇咧二 2时，对应的复数罷分祈i 殳点勰寸应的复数为1,则向量心-圧2,応孑分别对应的复数为a , 2a , 3a ,且它们有相同的辐角主值 0 （如图所示），即A , P 1, P 2 , P 3 共线。
幌卿二押r 血阿6=-• 1* |3a|=sine =3sin61 f » 仏隔=^lOAl * l^il =-^ • 1 * |a| • sin 6 = sin 92sin 0 = 2%• SLII B 二 1,即$ 二丁［「&E （0, 2兀）因此有a=± 2i 。