函数可积性PPT
高等数学定积分可积条件
[ xk 1 , xk ] 上无界. 令
G
ik
f ( i )Δ xi ,
故必存在 k xk 1 , xk , 满足
M G f ( k ) . xk
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于是
i 1
f ( i )Δ xi
ik
f ( k )Δ xk
f ( i )Δ xi
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又任取 i [ xi 1 , xi ]\ Q, i 1, 2,
, n, 则
D(i )Δxi 0.
i 1
n
于是
n
D( i )Δxi D(i )Δxi
i 1 i 1 n i 1
n
n
1, 而这与
D( i )Δxi D(i )Δxi
S (T ) s(T ) ( M i mi )Δxi i Δxi .
i 1 i 1
n
n
此定理将在本章第六节定理 9.15 中证明. 在用它 证明可积性问题时,有多种方法可使
i x i . i 1
n
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常见的有三种方法,下面分别作出介绍. 第一种方法: 每个 i
M G Δ xk G M , xk
矛盾. 以下例子告诉我们, 有界性并不是可积的充分条件.
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例 1 试用反证法证明:狄利克雷函数 D( x ) 在任何
区间 [a , b] 上不可积.
证 若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则 J R, 0,
i 1
1 1 D( i )Δxi J D(i )Δxi J 1 2 2 i 1 i 1
高等数学PPT课件：定积分的概念与性质
(2) 任取 i xi , f (i )xi (i 1,2, , n)
n
(3) 并作和 S f (i )xi i 1
(4) 记 max{ x1, x2 , , xn },
定积分的概念与性质
性质7(定积分中值定理）f ( x)在[a,b]上 连续,
至少存在一点 [a,b] 积分中值公式
ab f ( x)dx f ( )(b a) (a b).
证
m(b
a)
b
a
f
(
x
)
dx
M(b a)
m
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
M
闭区间上连续函数介值定理: [a,b]
f
(
(a b)
平均值公式
27
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
积分中值公式的几何解释
y f ( ) •
y f (x)
O
a
•
bx
曲边梯形的面积 ==矩形的面积
28
定积分的概念与性质
b
a
f
(
x)dx
f ( )(b a)
(a
b)
例
求证
lim
n
na
n
sin xdx x
定积分
definite integral
定积分和不定积分是积分学的两个 主要组成部分.
不定积分侧重于基本积分法的训练, 而定积分则完整地体现了积分思想 ---一种认识问题、分析问题、解决问题的 思想方法.
函数的原函数与函数的可积性
函数的原函数与函数的可积性
在高等数学中，原函数的概念和定积分的概念虽建立的背景不同，但通过微积分基本公式的建立却将两者有机的结合起来。
与此同时，在学习过程中，许多学生会认为“一个函数可积，则它的原函数必定存在”或“一个函数的原函数存在，则该函数必定可积”，其实这两个结论是不正确的.本文结合具体例子，来讨论原函数存在性与可积性之间并没有必然联系。
函数可积：可积性的充分条件：1，函数在闭区间连续；2，函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；3函数在闭区间上单调；可以看出此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。
原函数存在：原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。
此条件为充分条件，而非必要条件。
即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。
由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。
需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。
一、在区间上可积的函数不一定存在原函数
【例1】设函数，则显然在上可积，
但是由于在点处间断，且是第一类间断点，所以在上不存在原函数。
二、在区间上存在原函数的函数不一定可积
【例2】设函数，则易知
在区间有原函数；但是由于在区间上无界，故在此区间上不可积。
通过上述两个例题的讨论，不难发现，函数的可积性和原函数存在性，是两个不同的概念，它们互不蕴含.即可积函数既可能存在原函数，也可能不存在原函数；反过来，原函数存在的函数，可能可积也可能不可积.因此在学习中只有理解概念之间的内在关系，才能从本质上真正把握高等数学中的概念，乃至深刻理解微积分的思想。
函数可积性
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
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1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
7-3可积函数的性质
f ( x )dx ±
b ∫a
g( x )dx
∫ λ f ( x )dx = λ ∫
a
பைடு நூலகம்
f ( x )dx
2.保序 2.保序
(1)
( 2)
b f ( x ) ≥ 0, x ∈ [a , b] ⇒ ∫a f ( x )dx ≥ 0
f ( x ) ≥ g ( x ), x ∈ [a , b] ⇒ ∫ f ( x )dx ≥ ∫ g ( x )dx
0 a≤ x≤b
1 n
证明： 证明：
∀ε > 0, ∃δ > 0, x − x0 < δ , f ( x) − f ( x0 ) < ε ⇒∫
( M −ε ) x −δ
0
x0 +δ
n
dx ≤ ∫
b a
x0 +δ
x0 −δ
f
n
( x) dx ≤ ∫a
1 n
b
f n ( x) dx ≤ Mn ( b − a)
a a b b
( 3)
( 4)
b ∫a
f ( x )dx ≤
b ∫a
f ( x ) dx
f ∈ C [a , b], m , M是最值
b a
⇒ m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
3.可加性 3.可加性
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx , ∀c ∈ (a , b )
习题6.3 可积条件 习题6.3 4; 2; 4; 5; 6; 7; 8;10。 8;10。
b
b
若不然 , 设 f 有唯一零点 x0 , f ( x0 ) = 0
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
3.可积性质
3 定积分的性质
性质1 （线性性质）若均在上可积，则也在上可积，且
性质2 有界函数在区间和上可积，
, 并有
. ( 证明并解释几何意义 )规定, .
系设函数在区间上可积 . 则对, 有
.
（证）
性质3. 积分关于函数的单调性:
设函数, 且, .（证）(反之确否?)
积分的基本估计:
.
其中和分别为函数在区间上的下确界与上确界.
性质4. 绝对可积性:
设函数, , 且(注意
.)
该定理之逆不真. 以例做说明.
6. 积分第一中值定理:
, 使=.
( 推广的积分第一中值定理 )且不变号，则, 使
=.
Mathematical Monthly, 1982. No 5. P300—301 . 在该文中得到如下结果:
Th If is differentiable at ，，and is taken inthe Theorem for integral ，then
.
二. 变限积分:定义上限函数，（以及函数
）
其中函数. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.
定理 ( 面积函数的连续性 )
三. 举例:
例1 设. 试证
明: .
其中和是内的任二点, {}, .
例2 比较积分与的大小.
例3 设但. 证明>0.
例4 证明不等式.
证明分析：所证不等式为
只要证明在上成立不等式, 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.
例5 证明.。
原函数与可积性
原函数与可积性一、f(x)在区间I上的原函数存在与f(x)在区间I上可积有什么关系么？总的来说原函数存在和函数可积没有必然的联系。
1、可积性：(i) 若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上可积；(ii)若函数f在区间[a,b]上单调，则f在[a,b]上可积；(iii)若有界函数f在区间[a,b]上仅有有限个间断点，则f在[a,b]上可积。
由以上的可见，有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是可积的；可以概括为可积的两大条件：积分区间有限、被积函数几乎处处连续。
不过大家肯定会问上面所说的条件中第二个“几乎处处连续”的意思，由连续性定义，x0左右极限等于函数在f(x0)值，则函数在x0点连续；那么如果在某点处不连续则会出现间断点，所以“几乎处处连续”就是指函数的间断点是“有限个间断点”。
但是这个“有限个间断点”到底是第一类间断点还是第二类间断点或者全可以？由“函数的间断点是‘有限个间断点’时，有界函数可积”可知被积函数有界是第二个条件前提，是函数可积的必要条件，所以f在区间[a,b]上有第二类的无穷型间断点时一定不可积。
因此可积必有界，有无穷间断点的函数必无界，所以必不可积。
1.1、性质：若f(x)在[a,b]上可积，那么f(x)在[a,b]上的以任取c∈[a,b]为下限的变上限积分函数连续。
当函数存在间断点时，这里的间断点可以是第一类间断点和第二类的振荡间断点，由f(x)在[a,b]上可积，可推论出“变上限积分形成的函数”也是几乎处处连续。
2、原函数存在性：(i)若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上原函数一定存在；(ii)若函数f在区间[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数；(iii)若函数f在区间[a,b]上有第二类无穷型间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数。
但是f(x)在（a,b）上无界的函数，在（a,b）上并不一定没有原函数存在。
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[证] 任给[0, 1]的一个划分xk n k 0
任取 k [ xk 1 , xk ] 是有理数 (k 1,, n)
D(
k 1
n
k
)xk xk 1 lim D( k )xk 1
k 1
n
n
0
k 1
另取k [ xk 1 , xk ] 是无理数 (k 1,, n)
Inf
f ( x ),
x[ x k 1 , x k ]
Sup
f ( x )
n k k 0
k 1, 2, , n
n
则称和式 :
S ( f , T ) M k xk
达布上和 k 1 （大和） n s( f , T ) mk xk 达布下和 k 1 （小和）
D(
k 1
n
k
)xk 0
l i m D( k )xk 0
0
k 1
5
n
2018/11/10
故Dirichlet函数在[0, 1]上不可积
[例2] 计算定积分 e x dx
0
1
1 [解] 将[0, 1]n等分, 得 xk n k 取 k ( k 0, 1, 2, , n 1) n n 1 k 1 n 构造和式 S n e n k 0
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念
二、可积性条件与可积类
2018/11/10
1
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设函数 f : [a , b] R, 对区间[a , b] 作任意划分, 即在[a , b]中插入一组分点: a x0 x1 x k 1 x k x n b 记第k 个小区间[ x k 1 , x k ] ( k 1, , n) 的 长度为 x k x k x k 1 ; 任取 k [ x k 1 , x k ], 构造和式 :
对 [a, b]的一个划分T1 , 增加某些新分点 , 构成[a, b]的一个新划分T2 , 有
s( T ) mk xk f ( k )xk M k xk S ( T )
k 1 k 1 k 1 n n n
再证
S ( T ) sup
Mk f ( k ) 0,k [ xk1, xk ], 使得 ba n n （M k )xk f ( k )xk 即 因此 ba k 1 k 1
b
a
f ( x )dx lim f ( k ) xk
0
k 1
积分下限
[a , b] 称为积分区间
2018/11/10
定积分是 : 积分和式的极限
3
[例如]
曲边梯形的面积 A
b a
f ( x)dx
b a
变速直线运动的路程
s v(t )dt
定积分的“ ”定义：
2018/11/10 7
(一)可积条件 1.达布上和与达布下和
y
y f ( x)
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o
a
x
b
8
定义：（达布上和与下和）
设 f ( x ) 是 [a , b] 上有界函数, T x 是 [a , b]的一个划分, 记 M k mk
x[ x k 1 , x k ]
xi , 及点 k的任意取法, 只要 m ax
1 i n
0, 0, 使得对[a , b]的任意划分
就有
f (
k 1
n
k
) xk I
4
则称I是f ( x)在[a, b]上的定积分.
2018/11/10
[例1] 证明 Dirichlet函数 1 D( x ) 0 x为有理数 x为无理数 在 [0, 1] 上不可积
S ( T ) f ( k )xk 即 S ( T ) sup
k 1
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k [ xk 1 , xk ] k 1
f ( )x
k
n
k
n
k [ xk 1 , xk ] k 1
f ( )x
k
11
n
k
性质2：（分点增多时，小和不减，大和不增）
1 e 1 n 1 k n e 1 n n k 0 n(1 e )
问 ： 这 个 做 法 对 不 对 ？
关 键 ： 定 积 分 的 存 在 性
2018/11/10
1 0
e dx l im
x n
1 e n(1 e )
1 n
e 1
6
三、可积性条件与可积类
定积分作为黎曼和式的极限，其 构造十分复杂，因此想计算这个和式 的极限来研究定积分，实际上是不可 行的. 另一途径是先研究其存在性， 首先是简化和式结构，把“两个任意” (任分任取)简化为“一个任意”(任分) 这就是达布上和与下和的来由。
s( T ) f ( k )xk S ( T )
k 1 n
且
S( T )
k [ xk 1 , xk ] k 1
sup
f (
n k 1
n
k
)xk
k
s( T )
2018/11/10
k [ xk 1 , xk ]
inf
f (
)xk
10
[证] k [ xk 1 , xk ], 有 mk f ( k ) M k
9
[注意1] 上和、下和是被划分唯一确定的 2018/11/10 这是上和、下和与积分和的主要区别
[注意2] 对同一个分法，上和与下和的关系是:
s(T ) S (T )
2. 达布上和、下和的性质 设 f ( x ) 在[a, b]上有界
性质1： 对于 [a, b]的一个划分T , 任意黎曼和 都介于下和s(T ) 与上和 S (T ) 之间, 即
2018/11/10
f (
k 1
n
1 k n
2
如果和式极限 l i m f ( k ) x k 存在, 则
0
k 1
n
称 f 在 [a , b] 上可积, 记 f R[a , b];并且 称此极限值为 f ( x ) 在 [a , b] 上的定积分. 积分上限 记作: n