数学第四册(综高)17.4棣莫弗定理与欧拉公式
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
棣美弗定理与Euler公式
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。 由這個定理可容易證明函數方程。 系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。 同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是 無窮級數所以必需先討論收斂性問題。 對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2
隶莫佛拉普拉斯定理
隶莫佛拉普拉斯定理
摘要：
1.隶莫佛拉普拉斯定理的概述
2.隶莫佛拉普拉斯定理的证明方法
3.隶莫佛拉普拉斯定理的应用领域
4.隶莫佛拉普拉斯定理的意义和影响
正文：
隶莫佛拉普拉斯定理，是数学领域中的一个重要定理。
这个定理的全称是“隶莫佛- 拉普拉斯定理”，它是由法国数学家皮埃尔- 西蒙·拉普拉斯和瑞士数学家约瑟夫- 路易·拉格朗日共同提出的。
隶莫佛拉普拉斯定理的概述是：如果一个函数在某一闭曲面上的积分为零，那么这个函数在这个闭曲面上的切向场的旋度也为零。
简单来说，就是这个定理说明了一个向量场的旋度在曲面上的积分和该向量场在曲面上的切向场的积分是相等的。
隶莫佛拉普拉斯定理的证明方法相对复杂，它需要涉及到一些高级的数学概念，如向量场、旋度、切向场、积分等等。
具体的证明过程需要用到一些复杂的数学工具和方法，不适合在这里详细展开。
隶莫佛拉普拉斯定理的应用领域非常广泛，它被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。
在物理学中，这个定理被用来研究电场、磁场等物理场的性质；在工程学中，这个定理被用来解决一些流体力学、热力学等问题；在计算机科学中，这个定理被用来设计一些高效的算法，如求解电磁场问题的快速算法等。
隶莫佛拉普拉斯定理的意义和影响非常深远。
它不仅丰富了数学领域的理论体系，也为实际应用提供了强大的工具。
同时，这个定理的证明方法和应用方法也为数学家们提供了研究其他数学问题的思路和方法。
§17.4-棣莫弗定理与欧拉公式
学生小结教师补充
分析：积的辐角等于辐角的和，欲求+可利用 的乘积进行求解.
学生黑板练习
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
解： (2+i)(3i)=5+5i=
由复数的乘法法则知，
又∵两个复数分别为2+i和3i
∴其辐角主值 <<， <<2，
∴2<+<3
∴+=2+ =
点评：利用复数的乘法法则求两辐角的和，关键要注意辐角和的范围，复数积的辐角主值不一定是两个复数辐角的和.分析：复数积的等于模的积，商的模等于模的商.
解：|z|=
点评：如果一个复数是由若干个复数相乘或相除而构成，则求其模时，不需要将该复数进行化简运算，而可利用复数三角形式的乘除运算法则，先求各自复数的模，再进行乘除运算.
【举一反三】
已知 ，则
【例3】已知复数 =2+i和 3i的辐角主值分别为、，求+的值
解：（1）原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
教师讲授
讲授
南通工贸技师学院教案用纸附页
教学内容、方法和过程
附记
点评：若复数是代数形式或非标准的三角形式，要先将复数化为标准的三角形式，然后再利用相应法则进行运算.
【举一反三】
计算：
（1）
(2) (cos +isin )÷ (cos isin )
【例2】求复数 的模.
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15单招2
课题：§17.4棣莫弗定理与欧拉公式
教学目的要求：掌握复数三角形式的乘除法运算法则，能熟练运用法则进行三角形式的乘、除运算.
欧拉公式的启发性推导
欧拉公式的启发性推导
以瑞士著名数学家欧拉命名的公式定理不胜枚举，平面几何，拓扑，复变函数，数论等等各个数学领域内均有欧拉大神的插旗。
本文所指的欧拉公式是比较广为人知的，联系三角函数与复指数的公式: 预备知识：
(1)自然对数的底
以及相应的推广：对任意a
(2)极限
(3)棣莫弗公式
对复数
有
备注：棣莫弗公式比欧拉早，当时他还没有认识到复数的指数形式。
另外简单介绍一下，棣莫弗De Moivre（1667-1754），法国数学家，一生未婚。
87岁时患上了“嗜眠症”，每天睡觉20小时。
当达到24小时长睡不起时，他便在贫寒中离开了人世。
接下来是推导。
根据棣莫弗公式，对任意n，都有
令n趋于无穷，根据预备知识（2），则
于是
根据预备知识（1）第二个公式，n趋于无穷时，有
由n的任意性，趋于可改为等号，从而
就得到了欧拉公式。
当然，以上过程并不严谨，严谨的证明需要用泰勒级数，但可以加深对欧拉公式的理解。
也许欧拉一开始也是这么想的，无聊的时候，对着棣莫弗公式一顿操作，突然，Eureka！发现了这一公式，然后才进一步通过其他严谨的方法证明了这一公式。
从无到有的第一步最为艰难，道生一，一生二，二生三，三生万物。
大部分时候，差的就是“道生一”的关键一步。
[欧拉定理]欧拉定理
![[欧拉定理]欧拉定理](https://img.taocdn.com/s3/m/4116af47a216147917112878.png)
[欧拉定理]欧拉定理[欧拉定理]欧拉定理篇一 : 欧拉定理欧拉定理濮阳市第一高级中学杨英辉欧拉定理正多面体认识欧拉简单多面体正多VFE 欧拉定理证明意义小结欧拉定理欧拉定理1.什么叫正多面体, 什么叫正多面体, 什么叫正多面体正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种, 正多面体有哪几种欧拉定理数学家欧拉欧拉定理欧拉，瑞士数学家，岁进巴塞尔大欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导( 指导(欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文岁开始发表论文，出的数学家，他从岁开始发表论文，直到76岁他那不倦的一生，直到岁，他那不倦的一生，共写下了 886本书籍和论文，其中在世时发表了本书籍和论文，本书籍和论文 700多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他多篇论文。
多篇论文的著作，整整用了47年的著作，整整用了年。
欧拉定理欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作: 以使他在任何不良的环境中工作:他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
抱着孩子在膝盖上完成论文。
既使在他双目失明后的17年间年间，目失明后的年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
余篇的论文。
研究，口述了好几本书和余篇的论文当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉定理欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、筑学、音乐都有研究～有许多公式、定理、解法、函数、方程、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
名的。
欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
世纪伟大的数学家高斯标准教程。
棣莫弗定理解n次方程的n个根
棣莫弗定理解n次方程的n个根1. 引言大家好，今天我们聊聊一个听上去很高级的数学话题——棣莫弗定理。
这可是数学中的一颗明星呢。
别担心，我会用最简单的语言来解说，让你听了之后能恍若身处一个轻松的聊天场景中。
2. 棣莫弗定理概述2.1 什么是棣莫弗定理？棣莫弗定理是由法国数学家阿布拉罕·棣莫弗提出的。
简单来说，这个定理帮助我们解决n次方程的n个根。
想象一下，你手里有个复杂的方程，棣莫弗定理就像是给你一把万能钥匙，让你能轻松找到所有的解。
2.2 棣莫弗定理的基本内容棣莫弗定理讲的是：如果一个复数可以写成极坐标形式，那么它的n次方根也可以用类似的方法找到。
这就像是你有一个大蛋糕，要分成很多块，棣莫弗定理就是那把切蛋糕的刀，帮你一块一块地把蛋糕分好。
3. 如何使用棣莫弗定理3.1 复数的极坐标形式首先，我们得知道复数的极坐标形式。
一个复数可以表示为 ( z = r (cos theta + i sin theta) )，其中 ( r ) 是复数的模长，( theta ) 是角度。
想象一下，你把复数看成一个点，这个点的距离和角度决定了它在平面上的位置。
3.2 寻找n次方根现在，假如我们有一个复数 ( z )，想找到它的n次方根。
根据棣莫弗定理，我们可以这么做：把这个复数的模长开n次方，角度除以n。
然后，为了找到所有的n次方根，还得加上一个额外的角度，每次增加 ( frac{2pi}{n} )。
这些额外的角度就像是在舞池中转圈圈，让你找到所有的根。
4. 实际应用4.1 例子假设我们有复数 ( z = 8 (cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) )。
我们想找这个复数的3次方根。
按照棣莫弗定理，我们先计算模长的3次方根，也就是 ( sqrt[3]{8} = 2 )。
然后角度 ( frac{pi}{4} ) 除以3，再加上 ( frac{2pi}{3} ) 的倍数，得到三个不同的角度。
棣美弗定理
棣美弗定理
维基百科，自由的百科全书
复平面上的立方根等于1.
棣美弗定理是一个关于复数的定理。
历史
法国数学家棣美弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立了棣美弗定理，并于1730年发表。
定理
当一个复数z以极坐标形式表达，即z = cosθ+ isinθ时，其n次方(cosθ+ isinθ)n = cos(nθ) + isin(nθ)，其中n属于任何整数。
证明
证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。
正整数情形
用数学归纳法，
设命题
n为1时，式左
式右。
因此 P(1)成立。
假设P(k)成立，即
(cosθ + isinθ)k = cos(kθ) + isin(kθ)
当n = k + 1时，
因此P(k + 1)也成立。
由数学归纳法可知，，P(n)成立。
整数情形
只需运用恒等式：
即可。
用棣美弗定理求根
此定理可用来求单位复数的 n 次方根。
设 | z | = 1，表为
z = cosθ + isinθ
若 w n = z，则 w 也可以表成 w = cosφ + isinφ。
根据棣美弗定理：
于是得到
nφ = θ + 2kπ（其中）
也就是：
当 k 取，我们得到 n 个不同的根。
有理数情形
注意到，将θ换为 mθ就有：
因此
这样就证明了有理数的情形。
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备注
§17.4 棣莫弗定理与欧拉公式
教学目标：
1.掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行三种 形式的互化；
2.掌握复数的三角形式的乘、除和棣莫弗定理与欧拉公式。
教学重点：掌握复数的三角形式的乘、除和隶莫弗定理与欧拉公式。
教学难点：掌握复数的代数形式、三角形式及指数形式，并会进行 三种形式的互化。
新课讲授：
棣莫弗定理与欧拉公式 一、复习导入
在三角形式下对复数进行的运算主要是乘除。
二、探究
设复数z 1= 2(cos
6
π
+isin
6π)，z 2= 4(cos
3
π
+isin
3
π)，则
z 1 ·z 2等于多少？
三、知识链接
(1)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有z 1 ·z 2= r 1 r 2 [cos(θ1 +θ2 )+isin （θ1+θ2）]
由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和。
(2)一般z 1= r 1(cos θ1 +isin θ1)，z 2= r 2 (cos θ2+isin θ2)， 则有
21z z = 2
1r r
[cos(θ1 -θ2 )+isin （θ1-θ2）] 由此可见，复数的积的模等于模的商，积的辐角等于辐角的差。
四、典型例题 例1、计算 （1）
3（cos
6π+isin
6
π）·4（cos
12
π
+isin
12
π
）
（2）2（cos 500+isin500）·3（cos400+isin400）
例2、计算：
[6（cos 700+isin700）]÷[3（cos400+isin400）]
若
3（cos
6π+isin
6
π），那么z 2与z 3
的值分别为多少？
练习1.计算： （1）
2（cos
6π+isin
6
π）·2（ cos
12
π
+isin
12
π
）
（2）
2（cos
83π+isin
8
3π）·3（ 1+i ）
（3）
2（cos
6π-isin
6
π）÷2（ cos
12
π
+isin
12
π
）
课内练习：P77练习
一、复习导入
学习了复数三角形式的乘法后，接下来我们学习复数三角形式的 幂运算。
二、探究
[r(cos θ+isin θ)]2
=
[r(cos θ+isin θ)]3= 有什么发现？
三、知识链接
一般[r(cos θ+isin θ)]n =
r(cos θ+isin θ)r(cos θ+isin θ)·...·r(cos θ+isin θ) = r n (cos n θ+isin n θ) ，其中，n ∈N +。
棣莫弗定理：一个复数的n 次幂的模等于原复数模的n 次幂， 辐角等于原复数辐角的n 倍。
四、典型例题 例3、计算
(1)（cos400+isin400）9
；(2)（1+3i ）
2012
.
(1) （cos50
+isin50
）6
；
(2)（
23-2
1i ）9
(3) [2（cos
5
π
-isin
5
π）]
10
问题解决：
当n 取什么正整数时，z=（1+3i ）n 是一个实数？
课内练习：P78练习
一、复习导入
我们已学习了复数的代数形式与三角形式，复数还有一种表示 形式——指数形式。
欧拉公式：r (cos θ+isin θ)= r e i θ
,这种形式叫做复数的指数形式。
二、探究 3e
i 2
π
.6e
i 4
π
=
三、知识链接
设z 1=r 1 e
i 1
θ, z 2=r 2 e
i 2
θ, z=r e
i θ
,则沿用实数指数幂的
运算律得z 1·z 2= r 1 e i 1
θr 2 e i 2
θ= r 1 r 2 e i )
(21θθ+=
r 1 r 2[cos （θ1+θ2）+isin （θ1+θ2）]
21z z =2
1
21θθi i e r e r =)(212
1
θθ-i e r r =2
1
r r [cos （θ1-θ2）+isin （θ1-θ2）] 备 注
z n = (r e i θ) n = r n e in θ
= r n (cos n θ+isin n θ)
四、典型例题
例4、计算
(1)51e πi -· 10e i
3π
；
(2)36e
π
i ÷ 9e
i 2
π
(3)（12
2πi
e -）6
练习3.计算：
(1)（2
5π
i
e ）4
(2) 3e
2πi ·4e
i 3
π
(3) 6e
2
πi ÷ 8e
-i 3
π
问题解决：
等式“e π
i +1=0”把数学中常用的五个数e 、i 、π、1、0联系在 了一起，因而被称为最具有数学魅力的等式。
你能验证这个等式吗？
四、小结
课内练习：P82练习1、2、3
五、课外作业 P82习题 1、2。