山东省日照市2020届高三数学三模试题 文(含解析)
2020年山东省日照市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=2﹣i,则z1?z2=()
A.﹣5 B.5 C.﹣4+i D.﹣4﹣i
2.已知集合A={(x,y)|y=x+1},集合B={(x,y)|y=2x},则集合A∩B等于()A.(1,2)B.{1,2} C.{(1,2)} D.?
3.若sin(π﹣α)=,且≤α≤π,则cosα=()
A.B.﹣C.﹣D.
4.已知实数x,y满足不等式组,则2x﹣y的取值范围是()
A. B. C. D.
5.命题p:sin2x=1,命题q:tanx=1,则p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知a=21.2,b=()﹣0.2,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()
A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
7.某一算法程序框图如图所示,则输出的S的值为()
A.B.C.D.0
8.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.60﹣12π B.60﹣6πC.72﹣12π D.72﹣6π
9.已知角x始边与x轴的非负半轴重合,与圆x2+y2=4相交于点A,终边与圆x2+y2=4相交于点B,点B在x轴上的射影为C,△ABC的面积为S(x),函数y=S(x)的图象大致是()
A.B.C.
D.
10.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x其中x∈(0,1),以A,B 为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1)不等式t<e1+e2恒成立,则t的最大值为()
A.B.C.2 D.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为.
12.已知函数f(x)=则f(f())= .
13.已知向量=(2m,1)=(4﹣n,2),m>0,n>0,若∥,则的最小值为.14.已知函数f(x)=若存在三个不相等的实数a,b,c使得
f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为.
15.祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆=1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.已知函数f(x)=sin2x﹣.
(I)求函数f(x)的值域;
(II)已知锐角△ABC的两边长分别是函数f(x)的最大值和最小值,且△ABC的外接圆半径为,求△ABC的面积.
17.种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究,他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天100颗某种种子浸泡后的发芽数,如表:日期3月12日3月13日3月14日3月15日3月16日
昼夜温差(°C)10 11 13 12 8
发芽数(颗)23 25 30 26 16
(I)从3月12日至3月16日中任选2天,记发芽的种子数分别为c,d,求事件“c,d均不小于25”的概率;
(II)请根据3月13日至3月15日的三组数据,求出y关于x的线性回归方程;(III)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过2颗,则认为回归方程是可靠的,试用3月12日与16日的两组数据检验,(II)中的回归方程是否可靠?
18.如图,菱ABCD与四边形BDEF相交于BD,∠ABC=120°,BF⊥平面ABCD,DE∥BF,BF=2DE,AF⊥FC,M为CF的中点,AC∩BD=G.
(I)求证:GM∥平面CDE;
(II)求证:平面ACE⊥平面ACF.
19.等差数列{a n}前n项和为S n,且S5=45,S6=60.
(1)求{a n}的通项公式a n;
(2)若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n(n∈N*)且b1=3,求{}的前n项和T n.
20.已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B.以F1F2为直径的圆O过椭圆E的上顶点D,直线DB与圆O相交得到的弦长为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点为O.
(I)求椭圆E的方程;
(II)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.
21.己知函数f(x)=,h(x)=x﹣.
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)设a=1,且g(x)=,已知函数g(x)在(0,+∞)上是增函数.
(1)研究函数φ(x)=f(x)﹣h(x)在(0,+∞)上零点的个数;
(ii)求实数c的取值范围.
2020年山东省日照市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=2﹣i,则z1?z2=()
A.﹣5 B.5 C.﹣4+i D.﹣4﹣i
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=2﹣i,可得z2=2+i.再利用复数的运算法则即可得出.
【解答】解:∵复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=2﹣i,∴z2=2+i.
则z1?z2=(2﹣i)(2+i)=22+12=5.
故选:B.
2.已知集合A={(x,y)|y=x+1},集合B={(x,y)|y=2x},则集合A∩B等于()A.(1,2)B.{1,2} C.{(1,2)} D.?
【考点】1E:交集及其运算.
【分析】根据交集的定义得方程组,求解即可.
【解答】解:据题意,得,
解得;
所以集合A∩B={(1,2)}.
故选:C.
3.若sin(π﹣α)=,且≤α≤π,则cosα=()
A.B.﹣C.﹣D.
【考点】GH:同角三角函数基本关系的运用.
【分析】根据三角函数在各个象限中的符号,利用同角三角函数的基本关系,求得cosα的
值.
【解答】解:∵sin(π﹣α)=sinα=,且≤α≤π,则cosα=﹣=﹣,故选:B.
4.已知实数x,y满足不等式组,则2x﹣y的取值范围是()
A. B. C. D.
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,设z=2x﹣y,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的取值范围.
【解答】解:设z=2x﹣y,则y=2x﹣z,
作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图:
平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点B(0,1)时,直线y=2x﹣z的截距最大,
此时z最小,最小值z=0﹣1=﹣1
当直线y=2x﹣z经过点C(3,0)时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大.
z的最大值为z=2×3=6,.
即﹣1≤z≤6.即.
故选:C
5.命题p:sin2x=1,命题q:tanx=1,则p是q的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用三角函数求值分别解出x的范围,即可判断出结论.
【解答】解:由sin2x=1,得,即,由tanx=1,得,
∴p是q的充要条件.
故选:C.
6.已知a=21.2,b=()﹣0.2,c=2log52,则a,b,c的大小关系为()A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a
【考点】4H:对数的运算性质.
【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵b=()﹣0.2=20.2<21.2=a,
∴a>b>1.
∵c=2log52=log54<1,
∴a>b>c.
故选:C.
7.某一算法程序框图如图所示,则输出的S的值为()
A.B.C.D.0
【考点】EF:程序框图.
【分析】由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,根据y=sin的周期性,即可求出S的值.
【解答】解:由已知程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量
S=sin+sin+sinπ+…+sin的值,
由于y=sin的周期为6,且同一周期内的6个函数值的累加和为0;
又2020÷6=336,
所以S=sin+sin+sinπ+…+sin=sin=sin=.故选:A.
8.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A.60﹣12π B.60﹣6πC.72﹣12π D.72﹣6π
【考点】L!:由三视图求面积、体积.
【分析】根据三视图知该几何体是直四棱柱,挖去一个半圆柱体,
结合图中数据求出组合体的体积.
【解答】解:根据三视图知:该几何体是直四棱柱,挖去一个半圆柱体,
且四棱柱的底面是等腰梯形,高为3;
所以该组合体的体积为:
V=×(4+8)×4×3﹣π×22×3=72﹣6π.
故选:D.
9.已知角x始边与x轴的非负半轴重合,与圆x2+y2=4相交于点A,终边与圆x2+y2=4相交于点B,点B在x轴上的射影为C,△ABC的面积为S(x),函数y=S(x)的图象大致是()
A.B.C.
D.
【考点】J9:直线与圆的位置关系.
【分析】由题意画出图象,由三角形的面积公式表示出S(x),利用排除法和特值法选出正确答案.
【解答】解:如图A(2,0),在RT△BOC中,
|BC|=2|sinx|,|OC|=2|cosx|,
∴△ABC的面积为S(x)=|BC||AC|≥0,
所以排除C、D;
选项A、B的区别是△ABC的面积为S(x)何时取到最大值?
下面结合选项A、B中的图象利用特值验证:
当x=时,△ABC的面积为S(x)==2,
当x=时,|BC|=2|sin|=,|OC|=2|cos|=,
则|AC|=2+,
∴△ABC的面积为S(x)==,
综上可知,答案B的图象正确,
故选:B.
10.在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x其中x∈(0,1),以A,B 为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x∈(0,1)不等式t<e1+e2恒成立,则t的最大值为()
A.B.C.2 D.
【考点】K4:椭圆的简单性质.
【分析】根据余弦定理表示出BD,进而根据双曲线的定义可得到a1的值,再由AB=2c1,e=可表示出e1,同样的在椭圆中用c2和a2表示出e2,然后利用换元法即可求出e1+e2的取值范围,即得结论?
【解答】解:在等腰梯形ABCD中,BD2=AD2+AB2﹣2AD?AB?cos∠DAB
=1+4﹣2×1×2×(1﹣x)=1+4x,
由双曲线的定义可得a1=,c1=1,e1=,
由椭圆的定义可得a2=,c2=x,e2=,
则e1+e2=+=+,
令t=∈(0,﹣1),
则e1+e2=(t+)在(0,﹣1)上单调递减,
所以e1+e2>×(﹣1+)=,
故选:B.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为10 .
【考点】B4:系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.
【解答】解:样本间隔为80÷5=16,
∵42=16×2+10,
∴该样本中产品的最小编号为10,
故答案为:10.
12.已知函数f(x)=则f(f())= .
【考点】3T:函数的值.
【分析】先求出f()=﹣tan=﹣1,从而f(f())=f(﹣1),由此能求出结果.【解答】解:∵函数f(x)=,
∴f()=﹣tan=﹣1,
f(f())=f(﹣1)=.
故答案为:.
13.已知向量=(2m,1)=(4﹣n,2),m>0,n>0,若∥,则的最小值为3+2.【考点】7F:基本不等式;9K:平面向量共线(平行)的坐标表示.
【分析】先根据向量的平行求出m+=1,再根据基本不等式即可求出
【解答】解:向量=(2m,1)=(4﹣n,2),m>0,n>0,∥,
∴4m=4﹣n,
即m+=1,
则=()(m+)=1+2++≥3+2=3+2,当且仅当m=1﹣时取等号,
则的最小值为3+2,
故答案为:3+2
14.已知函数f(x)=若存在三个不相等的实数a,b,c使得
f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围为(2π,2020π).
【考点】54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出f(x)的函数图象,判断a,b,c的关系和范围,从而得出答案.
【解答】解:f(x)=,
作出f(x)的函数图象如图所示:
∵存在三个不相等的实数a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,
则0,,
令log2020=1得x=2020π,∴π<c<2020π,
∵f(x)在上的图象关于直线x=对称,∴a+b=π,
∴a+b+c∈(2π,2020π).
故答案为(2π,2020π).
15.祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等.设由椭圆=1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于.
【考点】F3:类比推理.
【分析】椭圆的长半轴为a,短半轴为b,现构造两个底面半径为b,高为a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球的体积.
【解答】解:椭圆的长半轴为a,短半轴为b,现构造两个底面半径为b,高为a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球的体积
V=2(V圆柱﹣V圆锥)=.
故答案为:.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.
16.已知函数f(x)=sin2x﹣.
(I)求函数f(x)的值域;
(II)已知锐角△ABC的两边长分别是函数f(x)的最大值和最小值,且△ABC的外接圆半径为,求△ABC的面积.
【考点】HT:三角形中的几何计算;GL:三角函数中的恒等变换应用.
【分析】(I)利用辅助角公式化简f(x),求出内层函数的范围,结合三角函数的性质即可答案;
(II)锐角△ABC的两边长分别是函数f(x)的最大值和最小值,可得根据值求出相应的角度,结合和与差公式即可求解△ABC的面积.
【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=sin2x﹣.
化简可得:f(x)=2sin(2x﹣)
∵x∈
可得:,
所以当,即时,f(x)取得最大值为,
当,即时,f(x)取得最小值为,
函数f(x)的值域为.
(II)锐角△ABC的两边长分别是函数f(x)的最大值和最小值,设AB=c=,AC=b=2.
由正弦定理,.
∴
∴sinB=,sinC=.
△ABC是锐角三角形.
∴cosB=,cosC=.
可得sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=.
那么:△ABC的面积S=bcsinA=.
17.种子发芽率与昼夜温差有关.某研究性学习小组对此进行研究,他们分别记录了3月12日至3月16日的昼夜温差与每天100颗某种种子浸泡后的发芽数,如表:日期3月12日3月13日3月14日3月15日3月16日
昼夜温差(°C)10 11 13 12 8
发芽数(颗)23 25 30 26 16
(I)从3月12日至3月16日中任选2天,记发芽的种子数分别为c,d,求事件“c,d均不小于25”的概率;
(II)请根据3月13日至3月15日的三组数据,求出y关于x的线性回归方程;(III)若由线性回归方程得到的估计数据与实际数据误差均不超过2颗,则认为回归方程是可靠的,试用3月12日与16日的两组数据检验,(II)中的回归方程是否可靠?
【考点】BK:线性回归方程;CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】(I)采用列举的方式,即可求解.
(II)利用公式求出,,即可得出结论.
(III)把3月12日中的x=10和16日中的x=8带入计算,误差均不超过2颗,认为回归方程是可靠的,即可判断.
【解答】解:(Ⅰ)从5天中任选2天,共有10个基本事件:(12日,13日),(12日,14日),(12日,15日),(12日,16日),(13日,14日),(13日,15日),(13日,16日),(14日,15日),(14日,16日),(15日,16日).
选出的二天种子发芽数均不小于25共有3个基本事件:(13日,14日),(13日,15日),(14日,15日).
∴事件“c,d均不小于25”的概率为;
(Ⅱ)由表中数据可得.
则=25×11+30×13+26×12﹣3×27×12=5.
﹣32=112+122+132﹣3×122=﹣28.
∴=,
=﹣=27+=29;
故回归直线方程为=x.
(III)3月12日中的x=10时,可得:y≈28,误差不超过2颗.
16日中的x=8时,可得:y≈28,误差不超过2颗.
∴(II)中的回归方程不可靠.
18.如图,菱ABCD与四边形BDEF相交于BD,∠ABC=120°,BF⊥平面ABCD,DE∥BF,BF=2DE,AF⊥FC,M为CF的中点,AC∩BD=G.
(I)求证:GM∥平面CDE;
(II)求证:平面ACE⊥平面ACF.
【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LS:直线与平面平行的判定.
【分析】(I)取BC的中点N,连接GN,MN,GM,则可证MN∥DE,GN∥CD,于是平面GMN∥平面CDE,从而GM∥平面CDE;
(II)连接GE,GF,则有AF=CF,从而FG⊥AC,利用菱形的性质和勾股定理可得FG⊥GE,于是FG⊥平面ACE,于是平面ACE⊥平面ACF.
【解答】证明:(Ⅰ)取BC的中点N,连接GN,MN,GM.
∵四边形ABCD是菱形,∴G为AC中点,
∴GN∥CD,
又因为M,N分别为FC,BC的中点,
∴MN∥FB,又DE∥BF,
∴DE∥MN,
又MN∩GN=N,
∴平面GMN∥平面CDE,
又GM?平面GMN,
∴GM∥平面CDE.
(Ⅱ)连接GE,GF,因为四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC,又BF⊥平面ABCD,
∴AF=CF,又G是AC的中点,
∴FG⊥AC.
设菱形的边长为2,∵∠ABC=120°,
∴,
又AF⊥FC,∴,
∴,,
∵BF⊥平面ABCD,DE∥BF,
∴DE⊥平面ABCD,∴DE⊥DG,
∴,
在直角梯形BDEF中,得,
∴EF2=GF2+GE2,∴FG⊥GE,
又AC∩GE=G,
∴FG⊥平面ACE,又FG?平面ACF,
∴平面ACE⊥平面ACF.
19.等差数列{a n}前n项和为S n,且S5=45,S6=60.
(1)求{a n}的通项公式a n;
(2)若数列{a n}满足b n+1﹣b n=a n(n∈N*)且b1=3,求{}的前n项和T n.
【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.
【分析】(1)利用等差数列的前n项和公式即可得出;
(2)利用“累加求和”、裂项求和、等差数列的前n项和公式即可得出.
【解答】解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵S5=45,S6=60,∴,解得.
∴a n=5+(n﹣1)×2=2n+3.
(2)∵b n+1﹣b n=a n=2n+3,b1=3,
∴b n=(b n﹣b n﹣1)+(b n﹣1﹣b n﹣2)+…+(b2﹣b1)+b1
=++…+(2×1+3)+3
=
=n2+2n.
∴=.
∴T n=…+
=
=.
20.已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B.以F1F2为直径的圆O过椭圆E的上顶点D,直线DB与圆O相交得到的弦长为.设点P(a,t)(t≠0),连接PA交椭圆于点C,坐标原点为O.
(I)求椭圆E的方程;
(II)若三角形ABC的面积不大于四边形OBPC的面积,求|t|的最小值.
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(Ⅰ)由题意可知:b=c,则,则直线DB的方程为,由题意可知
,即可求得b及a的值,求得椭圆方程;
(2)设直线PA的方程为,代入椭圆方程,求得C点坐标,直线BC的斜率为,由于直线OP的斜率为,可得OP⊥BC,分别求得三角形ABC的面积及四边形OBPC的面积由,即可求得丨t丨取值范围,即可求得|t|的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)因为以F1,F2为直径的圆O过点D,所以b=c,则圆O的方程为x2+y2=b2,又a2=b2+c2,所以,直线DB的方程为,直线DB与圆O相交得到的弦长为,
则,所以b=1,,
所以椭圆E的方程为.…
(Ⅱ)由已知得:,b=1,椭圆方程为,
设直线PA的方程为,由