26.1 二次函数(1)二次函数的基本概念
二次函数的全章教案
26．1二次函数（一）一、学习目标1．知识与技能目标：（1）理解并掌握二次函数的概念；（2）能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；（3）能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。
二、学习重点难点1．重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 2．难点：理解二次函数的概念。
三、教学过程（一）创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ （二）自主探究、合作交流：问题1： 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。
问题2： n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系?问题3： 某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定，y 与x 之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有 的形式。
问题5：什么是二次函数？形如 。
问题6：函数y=ax²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？（三）尝试应用：例1． 关于x 的函数 是二次函数， 求m 的值．mm 221)x (m y --=注意：二次函数的二次项系数必须是的数。
例2．已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。
求这个二次函数的解析式．(待定系数法)（四）巩固提高：1．下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=3x－1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2－2x+1; (5)y=x2－x(1+x); (6)y=x－2+x．2．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
二次函数基本知识点
二次函数基本知识点(1)定义：一般地，形如c bx ax y ++=2(c b a ，，是常数，0≠a)的函数叫做y 关于x 的二次函数．(2)当0==c b 时，二次函数2ax y=(0≠a)是最简单的二次函数．.（1）学会对实际问题的情境进行分析，从而确定二次函数的表达式．．．．．．．．．．． （2）在确定二次函数表达式时，一般采用待定系数法，当选用顶点式或两根式求二次函数表达 式时，结果一般都要化为一般式．．．．．．．．．．．．(1)二次函数的图象是抛物线，对称轴平行于y 轴(含重合)．(2)会用描点法画出二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质．．．．．．．..因为二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，所以作图时，常先找出顶点坐标，画出对称 轴，再找出抛物线上关于对称轴对称的几个点．(如与坐标轴的交点等)(1)二次函数c bx ax y ++=2的图象(抛物线)与x 轴的两个交点的横坐标21xx ，是对应的一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根．(2)抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的情况进行判定．(3)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．例1、已知抛物线265y x x =-+，⑴求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；⑵求抛物线与x 轴的交点坐标；⑶求抛物线与y 轴的交点坐标；例2、⑴二次函数2232y mx x m m =-+-的图象经过原点，则m =______________；⑵抛物线2442y x x =-++中，顶点坐标为_________；当x =_________时，y 随x 的增大而减小；与x 轴的交点为_________；与y 轴的交点为_________。
⑶二次函数()2314y x =---与x 轴的交点坐标为_________；与y 轴的交点坐标为_________。
⑷抛物线28y x x c =-+的顶点在x 轴上，则c 的值为_________。
二次函数定义
原创 徐继伦
2007年11月13日制作
知识运用
例2:m取何值时， 取何值时， 取何值时
m −2m−1 函数y= 函数 (m+1)x
2
+(m-3)x+m 是二次函数？ 是二次函数？
:由题意得 解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
原创 徐继伦
驶向胜利 的彼岸
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小结
拓展
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
原创 徐继伦
2007年11月13日制作
独立 作业
知识的升华 祝你成功！ 祝你成功！
初三(下)数学课本第4页
习题26.1 1. 2.
3. 4.
原创 徐继伦
2007年11月13日制作
下课了!
结束寄语
生活是数学的源泉. 生活是数学的源泉. • 探索是数学的生命线. 探索是数学的生命线.
(１０-８)×１００
降价x元前 降价x元后
１００
100+100x (10-x-8)(100+100x)
原创 徐继伦 2+100x+200 ( 0≤x≤2)
2007年11月13日制作
温馨提示：同桌交流，互相帮助！ 温馨提示：同桌交流，互相帮助！
联系(1)等式一边都是 2＋bx＋c且 等式一边都是ax 联系 等式一边都是 ＋ 且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 方程 ＋ 可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的 时得到的. 函数 ＋ 中 时得到的 区别:前者是函数 后者是方程.等式另一 前者是函数.后者是方程 区别 前者是函数 后者是方程 等式另一 原创 徐继伦 边前者是y,后者是 后者是0 边前者是 后者是
人教版九年级数学《26.1.1二次函数》优质说课稿
各位老师：大家好！今天我说课的题目是：《26.1.1二次函数》。
我准备从如下几个方面展示：教材分析，教法、学法分析，教学程序设计，评价与反思。
一、教材分析（一）教材内容的地位和作用《二次函数》是初中数学教材九年级上册第二章第一节内容。
在此之前，我们学习了平面直角坐标系、认识了函数，学习反比例函数，以及一次函数，对函数已经有了一定的认识。
《二次函数》在初中数学学习中占据了非常重要的地位，是初中数学的核心内容，是学生体会数形结合思想的载体，华罗庚说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。
是对函数学习最好的注解。
（二）教学目标根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，制定如下教学目标：知识与技能：经历二次函数定义的过程，掌握二次函数的一般式；学会用待定系数法求二次函数关系式。
数学思考：通过用函数表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立应用意识。
问题解决：初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并运用数学知识和方法解决简单的实际问题，增强应用意识。
情感与态度：使学生明白数学来源于生活，从一般情境中归纳出特点，激发学生探究数学问题的兴趣。
（三）教学重点、难点教学重点：二次函数的定义及其一般式，运用待定系数法求二次函数；教学难点：概括二次函数的模型。
二：教法、学法分析类比学习：变量与变量的关系的一种特殊形式共同点：变量与变量的关系，不同点：形式不同，()20=++≠y ax bx c a教法与学法可以以此为基础进行叙述。
由于本节课的内容是学生在学习了《一次函数》和《反比例函数》的基础上的加深，所以可以利用学生已有的知识在问题一、二中放手让学生先去探究探究两个问题中的变量之间的关系，在得到具体的关系式后，再引导学生观察关系式都有着什么样的特点，可以和一元二次方程比较认识，并最终得出二次函数的一般式及二次项系数的取值为什么不为零的道理。
（我改的）学生在我的鼓励引导下，克服思维定势，并通过小组讨论、合作交流等方式，增加学生的学习积极性和自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。
26.1二次函数(第1课时)
在上面的问题中， 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．
的函数，叫做二次函数．其中， 是自变量 是自变量， 的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量， 二次函数 a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 分别是函数表达式的二次项系数、 分别是函数表达式的二次项系数 和常数项．
y = ax2 + bx + c( a, b, c是 数 a ≠ 0) 常 ，
y = 20x + 40x + 20
2
思考： 思考： 这三个关系式中， （ ）是不是x 这三个关系式中，y（d）是不是 （n）函数？为什么？ ）函数？为什么？
有什么共同点？ 有什么共同点？ y = 6x2 1 2 3 d= n − n 2 2
① ② ③
函
数
y = 20x2 + 40x + 20
一般地， 一般地，形如
M
N
即
1 d = n(n − 3) 2
1 2 3 d= n − n 2 2
②
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件 问题 ：某工厂一种产品现在的年产量是 件，计划今后两 年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍 年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加 倍，那么两 年后这种产品的产量y将随计划所定的 的值而确定， 与 之 将随计划所定的x的值而确定 年后这种产品的产量 将随计划所定的 的值而确定，y与x之 间的关系应怎样表示？ 间的关系应怎样表示？
｛
a − b + c = 10 a+b+c = 4 4a + 2b + c = 7
待定系数法
解得，a = 2, b = −3, c = 5
∴ 所求的二次函数是y = 2 x 2 − 3 x + 5
(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学《二次函数的概念》课件
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分 别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1 (3) s=3－2t²
(2)
y=x+
_1_ x
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _1_ －x
(6) v=8π r²
x²
2、m取何值时,
函数
y=
(m+1)xm2
2m
1
+(m-3)x+m 是二次函数？
3，长方体的长与宽均为x，高为8， 求长方体表面积S与x之间的函数 关系式。
一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 整式
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为2 可以没有一次项和常数项，
4在一块一边长为35米，另一边长 为20米的矩形空地上修建花坛， 如果在四周留出宽度为x米的小路， 中间花坛面积为y平方米，求y与x 之间的函数表达式。
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要掌握的 是 ________________ 。
26.1二次函数
基础回顾：
1，正方形的边长为5，如果边长 增加x，那么面积增加y，求y与x 之间的函数表达式 2， 某商场今年一月份销售额为 50万元，二,三月份平均每月销售 增长率为x，求三月份销售额y与x 之间的函数表达式
二次函数的概念课件(共27张PPT)沪科版数学九年级上学期
26.1 二 次 函 数 的 概 念
上海教育出版社 九年义务教育课本 九年级 第一学期（试用本）
一、情境引入
一、情境引入
消防水枪的喷射路线
一、情境引入
投出的篮球
跳水比赛
一、情境引入
喷水池喷射出的一条水线
一、情境引入
问题1 我们已经学习过哪些函数？
问题2 从哪些方面研究这些函数？
方厘米，那么 y 关于 x 的函数解析式是__________.
问题6 把一根40厘米的铁丝分为两段，再分别把每一段弯折成一个正方形．设
其中一段铁丝长为 x 厘米，两个正方形的面积和为
y 平方厘米，那么 y
= − + . 定义域是_________.
关于 x 的函数解析式是_____________
问题3 如何研究新的函数？
实际问题
概
念
图
像
性
质
实际应用
一、情境引入
抛物线
一、情境引入
问题4 如果正方形的边长是 x 厘米，那么它的面积 y 平方厘米是边长 x 厘米的
函数，y 关于 x 的函数解析式是__________．
问题5 一个边长为4厘米的正方形， 若它的边长增加 x 厘米，则面积随之增加
的函数叫做二次函数． 其定义域为一切实数．
二次函数解析式的特点：
1.关于自变量的整式
2.自变量的最高次数为二次
3.二次项系数不为零
二、新知讲授
问题7 已知函数 y=ax2+bx+c (其中a、b、c是常数)，那么 y 是 x 的什么函数？
(1)当 a≠0 时， y 是 x 的二次函数．
九年级数学下第26章二次函数26.1二次函数及其图象2二次函数y=ax2的图象习题新人教
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/272022/3/272022/3/273/27/2022 •3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/272022/3/27March 27, 2022
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 .
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔
x＞ 0时 ， y随 x的 增 大 而 减 小 ， x＜ 0时 ， y随 x的 增 大 而 增 大 .
知识点 2 求二次函数y=ax2的解析式
【例2】(2013·山西中考)如图是我省某地一座抛物线形拱桥,
(1)求此抛物线的解析式. (2)过点P作CB所在直线的垂线,垂足为点R, 求证:PF=PR.
【解析】(1)由题意可得:点A的坐标为(2,-1),
∵抛物线的顶点为坐标原点O,
∴可设抛物线的解析式为:y=ax2, 将点A(2,-1)代入可得:4a=-1,解得a=- 1 ,
4
∴抛物线的解析式为y=- 1 x2.
【例1】函数 ym2xm 2m 4 是关于x的二次函数,求:
(1)满足条件的m的值. (2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何 值时,y随x的增大而增大? (3)m为何值时,抛物线的开口方向向下?这时当x为何值时,y随x 的增大而减小?
【解题探究】(1)函数是二次函数的条件是自变量的最高次数
26.1.2_二次函数的图象和与性质(1)
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
例解1：在分同别一填直表角，坐再标画系出中它，们画的出图函象数，如y 图12 x2, y 2x2 的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ··· 2
8
4.5
2 0.5
0 0.5 2 4.5
8
···
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？
(2)先想一想，然后作出它的图象．
(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出
猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
0
-4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 x -2
(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合的 研究函数的重要方 法．我们得从最简 单的二次函数开始 逐步深入地讨论一 般二次函数的图象 和性质．
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
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积增加多少?
拓展与提高
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0__或__3
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0____
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1 (x≠0)是一次
2
例3、用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什
么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解: S a 60 2a a(30 a)
2
a2 30a
S是 a 的二次函数。
a
例4.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
二次函数的基本概念
函数: 在一个变化过程中,如果有两个 变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数 y=kx+b (k≠0)
函
(正比例函数) y=kx (k≠0)
数
反比例函数
y=
k x
(k≠0)
问题1: 正方体六个面 是全等的正方形,设正 方形棱长为 x,表面积为 y ,则 y 关于x 的关系式 为＿y＿=＿6x＿2 .
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
(1)问题中有那些变量? (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子
树?这时平均每棵树结多少个橙子? 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之
间的关系式.
y=(100+x)(600－5x)=－5x²+100x+60000
函数,则k的值一定是__3_或__1_或2 或 3 5 2
小结 拓展
回ห้องสมุดไป่ตู้无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
这种产品的原产量是20件,一年后的产量
是 20(1+x)件,再经过一年后的产量是
20(1+x)2 件,即两年后的产量为:y=20(1+x.)2
即: y=20x2+40x+20 此式表示了两年后的产量y与计划
增产的倍数x之间的关系,对于x的每一 个值,y都有一个对应值,即y是x的函数.
观察下列函数有什么共同点:
(2)y=x+
_1_ x
(否)
(3)s=3－2t² (是) (4)y=(x+3)²－x²(否)
(5)y= _x1_²－x
(否) (6)v= 3 r ²
(7) y=x²+x³+25 (否) (8)y=2²+2x
(是) (否)
(9)y=mx²+nx+p (m,n,p为常数）
例2. y=(m+3)xm2－7 (1) m取什么值时,此函数是正比例函数?
(2) m取什么值时,此函数是反比例函数?
(3) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1.函数 y (k 1 )x2k2 k1 是一次函数，求k的值。
2
0
2.函数 y (m 1)xm2m mx 1 2
是二次函数， 求m的值。
3.函数 y (m2 m)xm2m 是二次函数，
求m的值
此式表示了正方体的表面 积y与棱长x之间的关系,对于x 的每一个值,y都有一个对应值, 即y是x的函数.
问题2: 多边形的对角线数 d 与边数 n 有什
么关系？ n边形有＿n＿个顶点,从
一个顶点出发,连接与这点不
相邻的各顶点,可作＿(n＿－＿3)条
对角线.因此,n边形的对角线
总数 d =＿＿21 n＿(n＿－＿3)＿.
y=6x2
d=
1 2
n2－32
n
y=20x2+40x+20
函数都是用自变量 的二次式表示的.
一般地,形如
y=ax2+bx+c (a,b,c都是常数,且a≠0)
的函数,叫做二次函数.
其中, x是自变量,a,b,c分别是函数表达式
的二次项系数、一次项系数和常数项.
一般地,形如 y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的一般形式:
y=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0)
二次函数的特殊形式： 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项.
(1) y=3(x－1)²+1 (是)
练习:
1.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式. 2. n支球队参加比赛,每两队之间进行 一场比赛,写出比赛的场次数 m与球 队数 n 之间的关系式.
3.函数 y=(m－n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) (A) m,n是常数,且m≠0 (B) m,n是常数,且n≠0 (C) m,n是常数,且m≠n (D) m,n为任何实数 4. 圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加 ycm². (1)写出y与x之间的函数关系表达式；
即:
d=
1 2
n2－32
n
此式表示了多边形
的对角线数d与 边数n之间的关系,对于n的
每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
问题3:
某工厂一种产品现在的年产量是20件,
计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量
增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定
的x的值而确定, y与x之间的关系怎样表示?
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分 别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 和常数项.
注意: (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的整式
(2) a,b,c为常数，且 a≠0.
(3)等式右边的最高次数为 2 ，可以没有一次项和
常数项，但不能没有二次项.
(4) 自变量x的取值范围是 任意实数