3.7切线长定理(共14 公开课一等奖课件.ppt) 大赛获奖课件 公开课一等奖课件
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切线长定理公开课1省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
应用新知
1、判断
（1）过一点能够做圆旳两条切线。（×）
（2）切线长就是切线旳长。（×）
2、已知PA、PB与⊙O相切
于点A、B，⊙O旳半径为2
A
（1）若四边形OAPB旳周
长为10，则PA= 3 。
（2）若∠APB=60°，
2 30
4° 2
则PA= 2 3。
B
思索
已知：PA、PB分别与⊙O切于点AB，连接AB交OP
内切圆旳圆心是三角形三条角平分线旳交点,叫做三角形旳内心.
活动 四
例2 如图 △ABC旳内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求
AF、BD、CE旳长.
A
解: 设
AF=x（cm），则 AE=x，
CD=CE=AC－AE=13－x，
F
E
O·
BD=BF=AB－AF=9－x，
积.（提醒：设内心为O，连接OA、OB、OC.）
A
M
· r
rN
O
r
B
D
C
总结
课堂小结
1、切线长概念 经过圆外一点作圆旳切线，这点和切点之间旳 线段旳长，叫做这点到圆旳切线长。
2、切线长定理 从圆外一点能够引圆旳两条切线，它们旳切线长 相等，这一点和圆心旳连线平分两条切线旳夹角。
3、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相 等，垂直关系提供了理论根据。
A
B
C
三角形旳三条角平分线交于一点，而且这个点到三条边 旳距离相等，所以，如图，分别作出∠B、∠C旳平分线 BM和CN，设他们相交于点I，那么点I到AB、BC、CA旳距 离都相等，以点I为圆心，点I到BC旳距离ID为半径做圆， 则⊙I与△ABC旳三条边都相切.
九年级数学下册3.7切线长定理教案全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O
4
3( C
12/13
小结：
（1）切线长定理。 （2）三角形内切圆
13/13
证实： ∵PA、PB是⊙o两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
5/13
切线长定理：
从圆外一点引圆两条切线，它们切线长相等， 这一点和圆心连线平分两条切线夹角。
A
6/13
练习
已知：⊙O半径为3厘米，点P和圆心O距 离为6厘米，经过点P和⊙O两条切线，求 这两条切线夹角及切线长．
北师大版九年级下册第三章《圆》
1/13
A
P O
B
P依 点 ⊙A、B据 o， 一P圆且 条B轴O所落 半你对B在在 径能称与直圆 。性发P线，，B分觉连之存别接O在间是OA与B关⊙与，Ao系点则P两A重它吗条，合也？切一是线。
2/13
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O两条切 线，我们把
11/13
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， 若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC度数 A
（1）∵点O是△ABC内心，
∴ ∠1= ∠2=
1∠ABC=
1
50°=
25°
2
2
B
2 )1
同理 ∠3= ∠4= 1∠ACB= 170°= 35°
2
2
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
P 线段PA，PB
叫做点P到 ⊙O切线长。
经过圆外一点作圆切线，这点和切点之间线 段长，叫做这点到圆切线长。
3.7 切线长定理课件(共19张PPT) 北师大版九年级下册数学
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
点，可以度量.
预习导学
3.过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长 相等 .
·导学建议·
在引入时，教师可找实物悠悠球，拆开球，出示球的剖面，
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成
线段.
预习导学
1.如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别是A、B，若PB＝5
A.32°
B.48°
C.60°
D.66°
(1)写出此图中相等的线段.
(2)请你设计一种可以通过计算求出直径
的测量方法.(写出主要解题过程)
合作探究
解:(1)根据切线长定理，知AB＝AC.
(2)如图，连接OB、OA.
根据切线长定理，得∠OAB＝60°.
在直角三角形AOB中，OB＝ AB，
则只需测得AB的长，即可求得圆的直径.
合作探究
如图，P为☉O外一点，PA、PB为☉O的切线，A和B是切
学习.
预习导学
根据条件画出图形:已知☉O外一点P，过点P作☉O的切线，
可以画几条？
你有几种方法？
预习导学
切线长的概念
阅读教材本课时相关内容，并回答下列问题.
1.过圆外一点作圆的切线，这点和 切点 之间的 线段
叫做这点到圆的切线长.
预习导学
2.切线和切线长有何区别？
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
合作探究
(2)∵CD是☉O的切线，∴CA＝CE，DB＝DE，
∴AC＋BD＝CD，
△PCD的周长＝PC＋PD＋CD＝PC＋PD＋AC＋BD＝PA＋
PB＝20.
合作探究
如图，AB是☉O的直径，点C为☉O外一点，CA、CD
北师大版九年级下册数学3.7【教学课件】《切线长定理》 (共22张PPT)
A
O
P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1、如图， PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一 条线段的长来表示？
A
2、思考：点P到⊙O的切线有几条？
O P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
3、既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，你能发现是什么关系呢？
A
D
C P
O
B
E
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
中考 试题
1、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为弧AB
1 上一点，设∠APB= 求证：∠ACB= 90 2
A
.
O
C
P
B
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
中考 试题
2．如图，PA、PB 切⊙O于A、B，PO 交AB 于E，下列等式
E
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
问题3：如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三 角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？
O 图8
O
O
问题4：如果有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料 ，并且使圆的面积尽可能最大？
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
问题5：请同学们先在课堂练习本上作出有关已知⊙O的四条切线，如图9， 再互相交流与讨论四条切线围成的四边形（即圆的外切四边形）有什么性质， 发现结论并加以证明。 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
A
O
P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
O
P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1、如图， PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一 条线段的长来表示？
A
2、思考：点P到⊙O的切线有几条？
O P
B 图2
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3、既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，你能发现是什么关系呢？
A
D
C P
O
B
E
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
中考 试题
1、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为弧AB
1 上一点，设∠APB= 求证：∠ACB= 90 2
A
.
O
C
P
B
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中考 试题
2．如图，PA、PB 切⊙O于A、B，PO 交AB 于E，下列等式
E
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
问题3：如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三 角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？
O 图8
O
O
问题4：如果有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料 ，并且使圆的面积尽可能最大？
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
问题5：请同学们先在课堂练习本上作出有关已知⊙O的四条切线，如图9， 再互相交流与讨论四条切线围成的四边形（即圆的外切四边形）有什么性质， 发现结论并加以证明。 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
A
O
P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
3.7 切线长定理 课件(共37张PPT)2024-2025学年北师大版九年级数学下册
∴14r=48.∴r= 24 .∴内切圆的半径为 24 cm.
7
7
B
如图，PA、PB 是⊙O的两条 切线，A，B 是切点.
（1）这个图形是轴对称图形
P
吗？如果是，它的对称轴是什么？
是轴对称图形，对称轴是直线 OP .
合作探究
如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点.
(2) 在这个图中你能找到相等的
A
线段吗？说说你的理由.O来自猜想：P该如何证明？
PA = PB
在 Rt△ACB 中，AB = 2，∠BAC = 30°.
∴ BC = 1，AC = ，∠PAC = 60°.
A
∴ △PAC 为等边三角形.
∴ PA = AC.
∴ PA = .
C B
O
课堂小结
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
符号语言表达 ∵ PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B
分别为切点， ∴ PA=PB，∠APO=∠BPO.
切线长 作 用
提供了证线段和 角相等的新方法
切线长 定理
辅助线
①分别连接圆心和切点； ②连接两切点； ③连接圆心和圆外一点.
三角形 内切圆
应用 重要结论
运用切线长定理，将相 等线段转化集中到某条 边上，从而建立方程.
r a bc 只适合于直角三角形 2
【 教 材 P96 第 2题 】
解：由切线长定理知AE=AF ，BF=BD ，CE=CD.令
AE=AF=x cm，BF=BD=y cm，CE=CD=z cm.
∵AC=AE+CE，AB =AF+BF，BC=BD+CD，
初中数学北师版九年级下册3.7切线长定理公开课优质课课件
∴∠DOC=∠DOA= 1 ∠AOC.
2
P
同理可得∠COE= 1 ∠COB.
2
∠DOE=∠DOC+∠COE=
12（∠AOC+
∠COB）=70°.
DA
C
O
E B
方法归纳
ห้องสมุดไป่ตู้切线长问题辅助线添加方法
（1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点 D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、 CE的长.
∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°.
∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°.
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点， ∴DC=DA.同理可得CE=EB. l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
P
B
典例精析 例1 如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线，分别交PA、
PB于点D、E.已知PA=7，∠P=40°.则 D A
⑴ △PDE的周长是 ；
P
⑵ ∠DOE= ____ .
C
O
解析：连接OA、OB、OC、OD和OE.
E
B
∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，
合作探究
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是圆O的两条 切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测 一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？
九年级数学下册北师大版课件：3.7 切线长定理 (共19张PPT)
•最新精品中小学课件 •14
4 x x 2
随堂练习
3.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆
⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
求AE,CD,BF的长.
A
x
解:设AE=x，BF=y，CD=z,
x+y=15, 则 y+z=8,解得 x+z=11, x=9, y=6, z=2,
•最新精品中小学课件 •6
讲授新课
议一议 切线长定理:过圆外 一点，所画的圆的 两条切线的长相等.
A
O B
P
几何语言:
∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB,OP平分∠APB.
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•7
讲授新课
议一议 已知:如图，PA,PB是⊙O的两 条切线，A,B是切点.求证： PA=PB,∠OPA=∠OPB O B
•最新精品中小学课件
•19
谢谢！
墨子，( 约前468～前376) 名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为 •显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯 ( 重武 器) ，钩 钜( 现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
4 x x 2
随堂练习
3.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆
⊙I和BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
求AE,CD,BF的长.
A
x
解:设AE=x，BF=y，CD=z,
x+y=15, 则 y+z=8,解得 x+z=11, x=9, y=6, z=2,
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讲授新课
议一议 切线长定理:过圆外 一点，所画的圆的 两条切线的长相等.
A
O B
P
几何语言:
∵PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴PA=PB,OP平分∠APB.
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讲授新课
议一议 已知:如图，PA,PB是⊙O的两 条切线，A,B是切点.求证： PA=PB,∠OPA=∠OPB O B
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谢谢！
墨子，( 约前468～前376) 名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为 •显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯 ( 重武 器) ，钩 钜( 现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
北师大版九年级下册数学：3.7切线长定理课件(共30张PPT)
AD+BC（>,<,=)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
根据切线长定理说出图中可以得到的结论。 如图，PA、AB与⊙O相切于点A、B，
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
O
CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系
B
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有相等的线段
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D、 E、F，图中有切线长定理的基本图形吗？
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
① 分别连接圆心和切点；
辅助线 OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC 圆的内接四边形：角的关系
猜想：PA、PB有怎样的数量关系？如何证明？ 猜想：PA、PB有怎样的数量关系？如何证明？
② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
x A x F 9﹣x
E
B
O
13﹣x
D 9﹣x
13﹣x
C
例 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
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已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O 的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切 线，求这两条切线的夹角及切线长．
E
O F
1 2P
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。
PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量。
A 根据你的直观判断，
猜想图中PA是否等于
PB？∠1与∠2又有什
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M N
I
B
D
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O长定理。 （2）三角形的内切圆
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
北师大版九年级下册第三章《圆》
A P
O B PA根 的 也、据 一 是P圆 点⊙B所的Bo， 的你在与轴且一的能对P落条B直称发之在半线性现间圆径分，，。O的别存A连与关是在接⊙P系与OAoAB吗，两点，？O条重则B切合它线。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条 切线，我们
P 把线段PA，
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
么关系？
O
∟
⌒⌒
1
M2
P
∟
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
∟
⌒⌒
1
O
M2
P
∟
B
练习
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
解：因为△ABC的内切 A
E
圆分别和BC、AC、AB切
于点D、E、F，由切线
Or
C
长定理知
AE=AF,CE=CD,BD=BF
F
D
∴AF+BD+CE= 1 (AB+AC+BC)=18 B 2
∵BD+CE= BD+CD= BC=9
∴AF=18-9=9 ∴BD=AB-AF=13-9=4
∴CE=BC-BD=9-4=5
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， 若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 A
（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠1= ∠2= 1∠ABC= 150°= 25°
2
2
B
2 )1
同理 ∠3= ∠4= 1∠ACB= 170° = 35°
2
2
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)
E
O F
1 2P
李师傅在一家木料厂上班，工 作之余想对厂里的三角形废料进行 加工：裁下一块圆形用料，且使圆 的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮 他确定一下。
A
B
C
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这 个三角形叫做圆的外切三角形。
PB叫做点P 到⊙O的切 线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量； 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外 一点和切点，可以度量。
A 根据你的直观判断，
猜想图中PA是否等于
PB？∠1与∠2又有什
2、性质: 内心到三角形三边的距离相等；
内心与顶点连线平分内角。
A
O
B
C
作三角形内切圆的方法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。 2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
A
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M N
I
B
D
C
例1：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于 点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
= 180 °－(25°＋ 35 °) =120 °
O长定理。 （2）三角形的内切圆
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前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
北师大版九年级下册第三章《圆》
A P
O B PA根 的 也、据 一 是P圆 点⊙B所的Bo， 的你在与轴且一的能对P落条B直称发之在半线性现间圆径分，，。O的别存A连与关是在接⊙P系与OAoAB吗，两点，？O条重则B切合它线。
A
O
B
如图，P是 ⊙O外一点， PA，PB是 ⊙O的两条 切线，我们
P 把线段PA，
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高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
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高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
么关系？
O
∟
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M2
P
∟
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）∴PA=PB，∠1=∠2
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
A
∟
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1
O
M2
P
∟
B
练习
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
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北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
解：因为△ABC的内切 A
E
圆分别和BC、AC、AB切
于点D、E、F，由切线
Or
C
长定理知
AE=AF,CE=CD,BD=BF
F
D
∴AF+BD+CE= 1 (AB+AC+BC)=18 B 2
∵BD+CE= BD+CD= BC=9
∴AF=18-9=9 ∴BD=AB-AF=13-9=4
∴CE=BC-BD=9-4=5
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来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， 若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 A
（1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠1= ∠2= 1∠ABC= 150°= 25°
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B
2 )1
同理 ∠3= ∠4= 1∠ACB= 170° = 35°
2
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∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3)