辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题

辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线22x y =的准线方程为（ ） A ．1y =-B ．1x =-C ．12x =-D ．12y2．下列说法正确的是： （ ）A ．若命题2:,10p x R x x ∃∈++<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++>；B ．命题已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠是真命题；C ．设x ∈R ，则20x +≥是13x -≤≤的充分不必要条件；D ．x y R ∀∈、，如果0xy =，则0x =的否命题是x y R ∀∈、，如果0xy =，则0x ≠3．直线l 过点()2,4P --且与抛物线28y x =-只有一个公共点，这样的直线共有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条4．双曲线()222210,0y x a b a b -=>>，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．5D ．55．已知20枚的一元硬币中混有6枚五角硬币，从中任意取出两枚，已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币的概率为（ ） A ．566B ．519C ．547D ．5336．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为2133、，则小球落入A 袋中的概率为 （ ）A ．34B ．14C ．13D ．237．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．3848．设O 为坐标原点，动点N 在圆22:8C x y +=上，过N 作y 轴的垂线，垂足为M ，点P 满足12MP MN =，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．22182x y +=B ．22128x y +=C ．22124x y +=D ．22142x y +=9．我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab 中用()rand 函数来产生01的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.144B ．3.154C ．3.141D ．3.14210．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为6π的直线，交抛物线于,A B 两点，则AF BF=（ ）A．7+B．7- C．7± D．7±11．已知双曲线22184x y -=上有不共线的三点、、A B C ，且AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，若OD OE OF 、、的斜率之和为-2，则111AB BC ACk k k ++= （ ） A ．-4B．-C ．4D ．612．2021年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c a a c >.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．为了了解2000名学生的学习情况，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为__________． 14．在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线的渐近线方程为430x y -=，且它与椭圆221305x y +=有相同的焦点，则该双曲线方程为__________． 15．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是1212A A B B 、、、，焦点分别为12F F 、，延长12B F 与22A B 交于P 点，若12B PB ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围是__________．16．过y 轴上定点()0,P m 的动直线与抛物线216x y =-交于A B 、两点，若2211APBP+为定值，则m =__________．三、解答题17．已知a R ∈，命题[]2:1,2,0P x x a ∀∈-≥，命题:q 已知方程22112x ya a +=+-表示双曲线．（1）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p q ∨为真命题，命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．18．高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[)170,180（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[)170,180（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 19．已知点M 与点()4,0F 的距离比它的直线:60l x +=的距离小2． （1）求点M 的轨迹方程；（2）,OA OB 是点M 轨迹上互相垂直的两条弦，问：直线AB 是否经过x 轴上一定点，若经过，求出该点坐标；若不经过，说明理由．20．某高中生调查了当地某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[)(](]0,20002000400040006000、，、，三组，并作出如下频率分布直方图：（1）在直方图的经济损失分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以经济损失落入该区间的频率作为经济损失取该区间中点值的概率（例如：经济损失[]0,2000x ∈则取1000x =，且1000x =的概率等于经济损失落入[]0,2000的频率）。

现从当地的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出的2户的经济损失的和为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（2）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，此高中生调查的50户居民捐款情况如下表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c dab c d a c b d -==+++++++．21．已知椭圆()2222:10x y T a b a b +=>>T 与圆223:12P x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭相交于,M N 两点，且圆P 在椭圆T 内的弧长为23π．（1）求,a b 的值；（2）过椭圆T 的中心作两条直线,AC BD 交椭圆T 于,A C 和,B D 四点，设直线AC 的斜率为1k ，BD 的斜率为2k ，且1214k k =． ①求直线AB 的斜率；②求四边形ABCD 面积的取值范围．22．在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 2,M ρθ=为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足4OM OP =．（1）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t x t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），其中0απ≤<．l 与2C 交于点,A OA =，求直线l 的斜率．参考答案1．D 【解析】抛物线22x y =的准线方程为12y =-；故选D. 2．B 【解析】“命题2:,10p x x x ∃∈++<R ”的否定是“2:,10p x x x ⌝∀∈++≥R ”，即选项A 错误；命题“已知,x y ∈R ，若2x =且1y =，则y 3x +=”是真命题，所以其逆否命题“已知,x y ∈R ，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠“是真命题，即选项B 正确；故选B.3．C 【解析】因为28(2)16,(4)16-⨯-=-=，即点(2,4)P --在抛物线28y x =-上，所以过点(2,4)P --且与抛物线28y x =-相切时或过点(2,4)P --与抛物线28y x =-的对称轴平行时，直线l 与抛物线28y x =-只有一个公共点，即这样的直线l 只有两条；故选C. 点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系，解决本题的关键在于先要验证点(2,4)P --是否在抛物线28y x =-上，验证完再利用抛物线的图象和几何性质进行处理，而与抛物线的对称轴平行的直线是学生容易忽视的知识点. 4．C 【解析】因为双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一个焦点(0,)F c 到其渐近线0by ax -=的距离为=，即,b c ===，即该双曲线的离心率为c e a ==C. 点睛：本题考查双曲线的标准方程和几何性质；在由双曲线方程写其渐近线方程时，往往先判定该双曲线的焦点所在坐标轴，是哪种标准方程，比较麻烦；可记住一些结论，如：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -=，以直线0x y a b -=为渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠. 5．D 【解析】记“其中一枚为五角硬币”为事件A ，“两枚都是五角硬币”为事件B ，则1413198()12019380P A ⨯=-=⨯，6530()2019380P AB ⨯==⨯，所以“已知其中一枚为五角硬币，则两枚都是五角硬币”的概率为()5(|)()33P AB P B A P A ==；故选D.6．D 【解析】因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以12223321212()()()33333P A C C =⋅⋅+⋅⋅=；故选D. 7．B 【解析】()6232x x ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解. 8．B 【解析】设(,)P x y ，因为MN y ⊥轴，且12MP MN =，所以(0,),(2,)M y N x y ，又动点N 在圆22:8C x y +=上，所以22(2)8x y +=，化简，得22128x y +=，即点P 的轨迹方程为22128x y +=；故选B. 9．A 【解析】 根据函数()rand 的定义，得每次循环产生的(,,)x y z 是大小属于区间(0,1)的三个随机数（可以看成在棱长为1的正方体内），而判断语句2221x y z ++<表示的在以原点为球心、半径为1的18球内，由程序框图，得循环体共循环了1000次，输出524m =，即随机数(,,)x y z 在八分之一球的内部的次数为524，由几何概型的概率公式，得3314π1π52483161000P ⨯⨯===，解得π 3.144=；故选A.10．C 【解析】由题意，知直线AB 的方程为y2p x ⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程2y =2px 可得22704p x px -+=，则7,2x p ±=则8,22p x p ±+=由抛物线的定义可得88,22AF p BF p +-==或88,,22AF p BF p -+==所以7AF BF=±11．A 【解析】设112200(,),(,),(,)A x y B x y D x y ，则1201202,2x x x y y y +=+=，2211184x y -=，2222184x y -=，两式相减，得12121212()()()()84x x x x y y y y +-+-=，即0121202y y y x x x -=-，即12OD ABk k =，同理，得112,2OE OF BC AC k k k k ==，所以1112()4OD OE OF AMBC ACk k k k k k ++=++=-；故选A. 点睛：本题考查双曲线的弦的中点问题、直线的斜率公式；在处理圆锥曲线的弦的中点问题时，往往利用点差法（将点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减）进行求解，运算量比联立方程小，但要注意验证直线和圆锥曲线是否相交. 12．C 【分析】根据题意,可知两个椭圆有公共点P .结合图象可知2121,a a c c >>,进而由椭圆的几何性质及不等式性质判断选项即可. 【详解】对于①,由图可知2121,a a c c >>,则2211a c a c +>+,所以①错误;对于②,由椭圆几何性质可知11PF a c =-,22PF a c =-,即1122a c a c -=-,所以②正确; 对于③,由②可知,1122a c a c -=-.所以1221a c a c +=+.两边同时平方可得()()221221a c a c +=+,展开得22221122221122a a c c a a c c ++=++移项变形可得22221112222122a c a c a c a c -+=-+根据椭圆的性质可知22222211122,a c b a c b -=-= 所以2211222122b a c b a c +=+因为12<b b所以1221a c a c >,两边同时除以12a a ,可得2121c c a a >,所以③正确. 对于④,由③可知1221a c a c >,所以④错误. 综上可知,正确的为②③ 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质及应用,不等式性质比较大小,分析、解决实际问题的能力,属于中档题.13．91【解析】采用系统抽样的方法从全体2000个学生中抽取容量为100的样本，则先分成100组，每组20人，即号码间隔为20，若第一组抽出的号码为11，则第五组抽出的号码为()11205191+⨯-=.14．221916x y -=【解析】因为该双曲线与椭圆221305x y +=有相同的焦点(5,0)±，所以以直线430x y -=为一条渐近线的双曲线可设为221(0)916x y λλλ-=>，则91625λλ+=，解得1λ=，即该双曲线的方程为221916x y -=.点睛：本题考查双曲线和椭圆的几何性质；已知双曲线的渐近线求双曲线方程时，往往要讨论双曲线的焦点在哪一条坐标轴上，比较麻烦，记住以下结论可避免讨论，以直线0mx ny -=为渐近线的双曲线方程可设为2222(0)m x n y λλ-=≠，再利用所给条件进行求解.15．10,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】易知直线22A B 的方程为0bx ay ab +-=，直线11B F 的方程为0bx cy bc --=，联立得2()(,)ac b a c P a c a c -++，又21(,0),(0,)A a B b -，所以122(,)ac ab PB a c a c--=++，2()()(,)a a c b a c PA a c a c---=++，因为12B PB ∠为钝角，所以210PA PB ⋅<，即22222()2()0()()a c a c ab ac a c a c ---+<++，化简得2b ac <，即22a c ac -<，所以210e e +->，解得e >或e <，又01e <<1e <<.点睛：求圆锥曲线的离心率的值或范围是常见题型，其主要方法有：（1）直接利用离心率公式c e a=； （2）利用变形公式：在椭圆中，c e a ===在双曲线中，c e a === （3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同除以2a 即可求解 16．-8 【解析】设直线:AB y kx m =+，联立216x yy kx m⎧=-⎨=+⎩，得216160x kx m ++=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则121216,16x x k x x m +=-=，则222222211111||()()(1)AP x y m x kx k x =+-=+=+，同理，得2222||(1)BP k x =+，则若2221212122222222222121212()21111||||(1)(1)(1)()(1)()x x x x x x AP BP k x k x k x x k x x ++-+=+==++++ 222222222(16)3288(1)8(1)(16)8(1)8(1)k m k m k m k m k m k m---+--===+++是与m 无关的定值，则80m --=，解得8m =-.17．(1)1a ≤；(2)()(]1,2,1⋃-∞-． 【解析】试题分析：（1）利用双曲线标准方程的特点进行求解；（2）先利用真值表判定两个简单命题的真假，再利用数集间的运算进行求解.试题解析：（1）若q 为真命题时：()()120a a ++<， ∴12a -<<， ∴()1,2a ∈-； （2）若p 为真命题时：()[]2min1,2a xx ≤∈， ∴1a ≤，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p q 、一真一假，即121a a -<<⎧⎨>⎩或211a a a ≥≤-⎧⎨≤⎩或，解得12a <<或1a ≤-， ∴a 的范围为()(]1,2,1⋃-∞-． 18．(1)答案见解析；(2)67；(3)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）根据茎叶图中的数据写出各自中位数即可；（2）利用组合数公式和对立事件的概率公式进行求解；（3）写出随机变量的所有可能取值，求出每个变量的概率，列表得到其分布列，进而利用期望公式进行求解. 试题解析：（1）第一组学生身高的中位数为1721761742+=， 第二组学生身高的中位数为174175174.52+=； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，()2327617C P A C =-=，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为67； （3）X 的可能取值为0，1，2，3()223222531010C C P X C C ===，()11221322322253215C C C C C P X C C +===， ()2211122232225313230C C C C C P X C C +===，()212222531315C C P X C C ===， ∴X 的分布列为()2131221235301515E x =⨯+⨯+⨯=．19．(1)216y x =；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：（1）利用抛物线的定义进行求解；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的数量积为0进行求解.试题解析：（1）由题意知动点M 到()4,0的距离比它到直线:6l x =-的距离小2，即动点M 到()4,0的距离与它到直线4x =-的距离相等，由抛物线定义可知动点M 的轨迹为以()4,0为焦点的抛物线，则点M 的轨迹方程为216y x =；（2）法一：由题意知直线AB 的斜率显然不能为0，设直线AB 的方程为()()()11220,,,x ty m m A x y B x y =+≠，联立方程216y x x ty m⎧=⎨=+⎩，消去x ，可得216160y ty m --=， 0∆>即240t m +>，121216,16y y t y y m +==-，22212121616y y x x m =⨯=，由题意知OA OB ⊥，即OA OB ⊥，则12120x x y y +=， ∴2160m m -=， ∵0m ≠，∴16m =， ∴直线AB 的方程为16x ty =+，∴直线AB 过定点，且定点坐标为()16,0；法二：假设存在定点，设定点()()()()0112212,0,,,,0P x A x y B x y y y ≠， ∵OA OB ⊥， ∴OA OB ⊥， ∴12120x x y y +=，又∵A B 、在抛物线上，即221212,1616y y x x ==代入上式，可得()212120256y y y y +=， ∴12256y y =-，又∵A B P 、、三点共线， ∴//PA PB ，∴2221121212120121216161616y y y yy x x y y y x y y y y --===-=--，∴假设成立，直线AB 经过x 轴的定点，坐标为()16,0．20．(1)答案见解析；(2)有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． 【解析】试题分析：（1）先利用频率分布直方图得每个变量对应的概率，写出新变量的所有可能取值，求出每个变量对应的概率，列表得到其分布列；（2）先列出列联表，利用公式求出2k 值，再利用临界值表进行判定.试题解析：（1）由题意可知()()()10000.3,30000.5,50000.2P x P x P x ======，ξ的所有可能取值为2000,4000,6000,8000,10000，()()21220000.30.09,40000.30.50.30P P C ξξ=====⨯=()()1212260000.30.20.50.37,80000.50.20.20P C P C ξξ==⨯+===⨯=，()2100000.20.04P ξ===，所以ξ的分布列为()20000.0940000.3060000.3780000.20100000.045600E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元（2）()225030641012254.504 3.84140103416272⨯⨯-⨯K ==≈>⨯⨯⨯， ∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． 21．(1)2,1a b ==；(2)①.12±；②.()0,4. 【解析】试题分析：（1）先求出M N 、的坐标，再利用离心率、点在椭圆上进行求解；（2）①设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关系、斜率公式进行求解；②利用弦长公式和点到直线的距离公式进行求解. 试题解析：（1）由圆P 在椭圆T 内的弧长为23π，则该弧所对的圆心角为23π，M N 、的坐标分别为1,,1,22⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设222c a b =+，由c e a ==可得222231,44c a b a ==， ∴224a b =，则椭圆方程可记为22221,1,42x y b b ⎛+=- ⎝⎭代入得2213144b b +=， ∴221,4b a ==， ∵0a b >>， ∴2,1a b ==；（2）①由（1）知椭圆方程可记为2214x y +=，由题意知直线AB 的斜率显然存在直线AB 的方程为：y kx m =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩， 消去y ，可得()222148440kxkmx m +++-=，0∆>，即()2216140k m+->，2121222844,1414km m x x x x k k--+==++， ()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+， ∵1214k k =， ∴121214y y x x =，即12124x x y y =， ∴2141,2k k ==±； ②AB ==，O 到直线AB的距离d =四边形ABCD面积224ABO S S AB d ∆=====∵()()20,11,2m ∈⋃，∴四边形ABCD 面积()0,4S ∈．22．(1)()()22110x y y +-=≠；． 【解析】试题分析：（1）先求出轨迹2C 的极坐标方程，再转化为直角坐标方程即可；（2）先由直线的参数方程得到直线的直角坐标方程，利用弦长公式和圆心到直线的距离公式进行求解. 试题解析：（1）设点P 的极坐标()(),0ρθρ>，点M 的极坐标()()11,0ρθρ>， 由题意可知12,sin OP OM ρρθ===， 由4OP OM =得曲线2C 的极坐标方程为()2sin 0ρθρ=>， ∴点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()()22110x y y +-=≠； （2）法一：由直线的参数方程可知，直线l 过原点且倾角为α， 则直线l 极坐标方程为θα=，联立()20sin θαρθρ=⎧⎨=>⎩， ∴()2sin ,A αα，∴2sin OA αα===， ∴3πα=或23π， ∴tan α=∴直线l或；法二：由题意2OA =≠分析可知直线l 的斜率一定存在，且由直线l 的参数方程可得，直线l 过原点，设直线l 的普通方程为y kx =，∴2C 到l的距离d ==k = ∴直线l。