高二数学选修2-3阶段性习题：概率与统计综合(附解析

高二下阶段性习题14:概率与统计综合

1.2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率

为1

4

，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为

1

3

，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为

1

2

．

（1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；

（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X，求X的分布列；

（3）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”，请问：他说的是真的吗？

2．已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．

（1）将甲每天生产的次品数记为x（单位：件），日利润记为y（单位：元），写出y与x的函数关系式；

（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X的分布列和数学期望．

3．北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：

（2）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；

（3）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差Dξ和Dη大小．（结论不需要证明）

4．某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台．试用一个月之后进行回访，由

客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）．经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”

的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有2

3

选择了退货．

（1）请完成下面的22

?列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”．

（26位客户进行座谈．座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金．6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为X元，求X的分布列和数学期望．

附：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++．

5．某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，

[]80,100．

（1）求直方图中x 的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）

6．某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了件钢管作为样本进

行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：

（1）求a，b；

（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[]

25.15,25.35或[]

25.35,25.45为优等．钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作25.45,25.75为合格，钢管内径尺寸在[]

为这批钢管的概率分布．

（i）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X的分布列和数学期望；

（ii）已知这批钢管共有(100)

m m>根，若有两种销售方案：

第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢

管50元/根，优等钢管60元/根．

请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．

7.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：

（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；

（2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．

（i）记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列；

（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％．记Y为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量X，Y的均值()

E Y的大小．（只需写出结论）

E X和()

8．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：

（1

（2）从被抽取的年龄在[]

50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X表示这3人中年龄在[)

50,60的人数,求随机变量X的分布列及数学期望；

（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？

9.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：

不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．

（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；

（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年

全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．

参考数据：

参考公式：

()

()()()()

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++．

10．某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：

（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号．由以上统计数据填写下面的22

?列联表，并判断是否有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关？

（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出(]

0,200件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(]

200,400件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望．

附：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，

11.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证．某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占

，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．

（1）试完成下面的22?列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？

（抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率．

（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示．若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

()

()()()()

2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=

++++．

高二下阶段性习题14:概率与统计综合

1.2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫

困人口一道迈入全面小康社会. 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为

14，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为13

，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为1

2． （1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；

（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X ，求X 的分布列；

（3）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”，请问：他说的是真的吗？

解（1）设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A ，则()11111

222216

P A =???=，

∴帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为

1

16

． （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．

()321104324P X ==??=； ()12131132111

143243243224

P X ==??+??+??=

； ()111121311124324324324P X ==??+??+??=；()1111

343224

P X ==??=

． 随机变量X 的分布列为．

（3）()111242812

E X =++=，∴()1E X >，∴杨老汉说的是真的．

2．已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次

品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．

（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式； （2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望．

解（1）∵甲每天生产的次品数为x ，∴损失30x 元，则其生产的正品数为100x -，

获得的利润为()20100x -元，

因而y 与x 的函数关系式为()2010030200050y x x x =--=-，其中04x ≤≤，x ∈N ． （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x ∈N ．由2000501950x -≥，得1x ≤， ∴X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，∴X 的可能值为0，1，2， 又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为

20403

1005

+=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为

302511

10020

+=

， ∴()299052050P X ==?=，()39211491520520100P X ==?+?=，()31133

2520100

P X ==?=，

∴随机变量X 的分布列为

∴()90125010010020

E X =?+?+?=

．

3．北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km ，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：

（2）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X 元，求X 的分布列；

（3）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为ξ元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为η元．试比较ξ和η的方差D ξ和D η大小．（结论不需要证明）

解（1）记两站间票价不足5元为事件A ，在13座车站中任选两个不同的车站，

基本事件总数为2

13

C 78=个，事件A 中基本事件数为781563-=．∴两站间票价不足5元的概率()21

26

P A =． （2）记甲乙花费金额分别为a 元，b 元．X 的所有可能取值为6，7，8，9，10．

()()163,39P X P a b =====，()()()1

73,44,36

P X P a b P a b ====+===，

()()()()49

83,55,34,4144

P X P a b P a b P a b ====+==+===

， ()()()595,44,524P X P a b P a b ====+===

， ()()25105,5144

P X P a b =====．（3）D D ξη=．

∴X的分布列为

4．

客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）．经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”

的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有2

3

选择了退货．

（1）请完成下面的22

?列联表，并判断是否有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”．

（26位客户进行座谈．座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金．6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中

购买产品的客户人均所得奖金为X元，求X的分布列和数学期望．附：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，

其中n a b c d

=+++．

解（1

∵3103100

x x

++=15

x=

∴()2

2

10035301520100

9.091 6.63550504555

11

K ??-?=

=

≈>???． ∴有99%的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”．

（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4．X 的取值为：300，450，600，750，

()2

3

26A 13005

A P X ===，()112

232

2

6C C A 24505A P X ??===， ()112

2132

2

22

6

6C C A A 460015A A P X ??==

+

=，()112

122

26

C C A 275015A P X ??===， ∴X 的分布列为

∴()300450600750500551515

E X =?+?+?+?=．∴购买产品的客户人均所得奖金的数学期望为500元．

5．某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，

[

]80,100．

（1）求直方图中x 的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）

解（1）()2020.01750.02250.0051x +++=，∴0.0025x =．（2）学生上学时间不少于1小时的频率为：

()200.0050.00250.15+=，∴新生中可以申请住宿的人数为：12000.15180?=人．

（3）X 的可能取值为0，1，2，3，4，由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为

25

， ∴()4

281015625P X ??

==-= ???

，()314

222161C 155625P X ??==-= ???，()2

2

24222162C 155625P X ????

==-= ? ?

??

??

， ()3

34

22963C 155625P X ??

??==-= ? ???

??，()4

21645625P X ??

=== ?

??

；∴X 的分布列是

X 满足二项分布24,5X B ??

~ ???

，()85E X =．

6．某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了 件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：

（1）求a ，b ；

（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[]25.15,25.35或

[]25.45,25.75为合格，钢管内径尺寸在[]25.35,25.45为优等．钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作

为这批钢管的概率分布．

（i ）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X 的分布列和数学期望； （ii ）已知这批钢管共有(100)m m >根，若有两种销售方案：

第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；

第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．

请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由． 解（1）由题意知：18

10 1.8100

b =

?=，∴()2.3 1.8 1.410.30.20.11a ++++++?=，∴3a =． （2）（i ）由（1）知，钢管内径尺寸为优等的概率为0.3， 所有可能的取值为0，1，2，3，

()0330C 0.70.343P X ==?=，()12

31C 0.70.30.441P X ==??=，

()2232C 0.70.3=0.189P X ==??，()3333C 0.30.027P X ==?=，

故X 的分布列为

∴()30.3E X =?=（ii ）按第一种方案：()150220050300y m m =--=-，

按第二种方案：20.68500.36020.022049.6y m m m m m =??+??--??=，

()125030049.60.4300y y m m m -=--=-，

若750m >时，12y y >，则按第一种方案，若750m =时，12y y =，则第一、第二方案均可， 若100750m <<时，12y y <，则按第二种方案，

故当750m >时，按第一种方案，750m =时，第一、二种方案均可，100750m <<时，按第二种方案．

7.2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家

级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：

（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；

（2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．

（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列；

（ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％．记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量X ，Y 的均值()E X 和()E Y 的大小．（只需写出结论） 解（1）7个展区企业数共400607065016703004503600++++++=家， 其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100?=家，

设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A ；∴()1001

360036

P A

==． （2）（i ）消费电子及家电备受关注的企业有6020%12?=家， 医疗器械及医药保健备受关注的企业有3008%24?=家，共36家． X 的可能取值为0，1，2．()224

236

C 460105C P X ==

=，()111224

236C C 16135C P X ===，()212236

C 111105C P X ===， ∴随机变量X 的分布列为：

（ii ）()(E X E >

8．自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：

（1（2）从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望；

（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？

解（1）随机抽取的100名顾客中，年龄在[)30,50且未使用自由购的有31417+=人， ∴随机抽取一名顾客，该顾客年龄在[)30,50且未参加自由购的概率估计为

17

100

P =． （2）X 所有的可能取值为1，2，3，

()1242

36

C C 115C P X ==

=，()214236C C 325C P X ===，()30

42

36

C C 135C P X ===． ∴X 的分布列为

∴X 的数学期望为1232555

EX =?+?+?=．

（3）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有3121764244+++++=人， ∴该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为

44

50002200100

?=．

9.大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：

不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？

学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．

（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；

（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X，求X的分布列，试估计今年

全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．

参考数据：

参考公式：

()

()()()()

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++．

解（1）列联表如下：