初中数学教程正弦和余弦
4.1正弦和余弦课件数学九年级上册
(2) 当 b=20 时， 求 c的值．
解：当 b＝20 时，a＋c＝2b＝40. ∵a＝35c， ∴35c＋c＝40，解得 c＝25.
2 3.
归纳总结
定义
特殊角的 正弦值和 余弦值
正弦和余弦
正弦和 同角 正弦和余 余弦 互余角 弦的关系
特别警示 利用同角三角函数间的关系求三角函数值时， 需注意各个锐角三角函数值的范围，即 0<sin α <1， 0< cosα<1，对于不在其范围内的函数值， 应舍去.
课堂新授
例6
解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解.
3 5
课堂新授
例 7 计算：sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°. 解题秘方：紧扣sin A＝cos(90°－∠A)将原式变形， 再根据sin2A＋cos2A＝1 求解.
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1， 那么 sin B 的值是_________ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正 弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边， 直接求得 sin B 的值 .
42
课堂新授
例2
解题秘方：紧扣特殊角的正弦值，直接代入并计算.
课堂新授
例4
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边 角之间的数量关系，先利用勾股定理求 出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的 正弦、余弦值.
初中正弦余弦正切公式
初中正弦余弦正切公式“初中数学必背三角函数公式、三角函数值”主要包括正弦、余弦、正切函数的定义式和关系式，特殊锐角的正弦、余弦、正切值。
一、正弦、余弦、正切的定义假设在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C的对边长度分别记为a、b、c，则有（注：初中数学里，三角函数的定义只适用于直角三角形。
）：1、锐角A的正弦值、余弦值、正切值的定义式分别如下：（1）∠A的正弦值=∠A的对边：斜边，记作sinA=a/c。
（2）∠A的余弦值=∠A的邻边：斜边，记作cosA=b/c。
（3）∠A的正切值=∠A的对边：∠A的邻边，记作tanA=a/b。
2、锐角B的正弦值、余弦值、正切值的定义式分别如下：（1）∠B的正弦值=∠B的对边：斜边，记作sinB=b/c。
（2）∠B的余弦值=∠B的邻边：斜边，记作cosB=a/c。
（3）∠B的正切值=∠B的对边：∠B的邻边，记作tanB=b/a。
【注】正弦=“对比斜”、余弦=“邻比斜”、正切=“对比邻”。
3、互余的两个角间的正弦、余弦、正切值关系假设在直角三角形ABC中，∠C为直角，则∠A与∠B互余。
通过∠A和∠B的正弦、余弦、正切值的定义式的对比，我们不难发现：∠A的正弦值与∠B的余弦值相等，∠A的余弦值与∠B的正弦值相等，∠A的正切值与∠B的正切值互为倒数。
所以，当∠A与∠B互余时我们有以下3个同时成立的等式关系：（1）sinA=cosB；（2）sinB=cosA；（3）tanA·tanB=1。
二、同角的正弦值、余弦值、正切值间的关系式1、商数关系：tanA=sinA/cosA；tanB=sinB/cosB.2、平方关系：同一个锐角的‘正弦的平方’与‘余弦的平方’的和为1，即(sinA)^2+(cosA)^2=1；(sinB)^2+(cosB)^2=1.3、倒数关系：tanA·cotA=1；tanB·cotB=1.【注】“cotA”称为为∠A的余切，它等于∠A的邻边比上∠A的对边。
初中数学 什么是正弦和余弦
初中数学什么是正弦和余弦正弦和余弦是初中数学中与三角函数相关的两个重要概念。
它们是用来描述和计算三角形中角度和边长之间关系的函数。
在本文中，我们将详细讨论正弦和余弦的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是指一个角的正弦值与其对边与斜边的比值之间的关系。
具体来说，对于一个锐角A，它的正弦值定义为sin(A) = 对边/斜边。
对于钝角A，正弦值定义为sin(A) = -对边/斜边。
正弦函数具有以下几个重要的性质：1. 值域和定义域：正弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为整个实数集。
2. 周期性质：正弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即sin(A) = sin(A + 2π)。
3. 对称性质：正弦函数是奇函数，即sin(-A) = -sin(A)。
4. 单调性质：在一个周期内，正弦函数在[0, π]上是单调递增的，在[π, 2π]上是单调递减的。
正弦函数在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来计算和描述三角形中的角度和边长之间的关系，比如计算角度的正弦值、计算边长的比例等。
此外，正弦函数还可以用来解决关于周期性和周期函数的问题，比如计算函数的周期、求解方程等。
二、余弦函数余弦函数是指一个角的余弦值与其邻边与斜边的比值之间的关系。
具体来说，对于一个锐角A，它的余弦值定义为cos(A) = 邻边/斜边。
对于钝角A，余弦值定义为cos(A) = -邻边/斜边。
余弦函数具有以下几个重要的性质：1. 值域和定义域：余弦函数的值域为[-1, 1]，定义域为整个实数集。
2. 周期性质：余弦函数是周期函数，其最小正周期为2π，即cos(A) = cos(A + 2π)。
3. 对称性质：余弦函数是偶函数，即cos(-A) = cos(A)。
4. 单调性质：在一个周期内，余弦函数在[0, π/2]上是单调递减的，在[π/2, 3π/2]上是单调递增的。
余弦函数在几何学中有着广泛的应用。
它可以用来计算和描述三角形中的角度和边长之间的关系，比如计算角度的余弦值、计算边长的比例等。
《正弦与余弦》PPT课件
6．[中考·丽水]如图，点 A 为∠α 边上的任意一点，作 AC⊥BC 于点 C，CD⊥AB 于点 D，下列用线段比表示 cos α 的值，错． 误．的是( C ) A．BBDC B．BACB C．AADC D．CADC
7．[2019·芜湖模拟]在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴SS△△BADCOO＝AOOB2，根据反比例函数的几何意义，
得 S△BDO＝0.5，S△ACO＝3，
∴SS△△BADCOO＝AOOB2＝03.5＝6，∴AOOB＝ 6.
设 OB＝x，则 AO＝ 6x，∴AB＝ 7x，
∴cos∠OBA＝OABB＝
x＝ 7x
7 7.
【答案】
7 7
16．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，E 为 AC 的中点，如果 AD＝9，CD＝3，求∠ADE 和∠EDC 的正弦值．
1. 你虽然没有完整地回答问题，但你能大胆发言就是好样的！
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1、你的眼睛真亮，发现这么多问题！ 2、能提出这么有价值的问题来，真了不起！ 3、会提问的孩子，就是聪明的孩子！ 4、这个问题很有价值，我们可以共同研究一下！ 5、这种想法别具一格，令人耳目一新，请再说一遍好吗？ 6、多么好的想法啊，你真是一个会想的孩子！ 7、猜测是科学发现的前奏，你们已经迈出了精彩的一步！ 8、没关系，大声地把自己的想法说出来，我知道你能行！ 9、你真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的小朋友！ 10、你又想出新方法了，真会动脑筋，能不能讲给大家听一听？ 11、你的想法很独特，老师都佩服你！ 12、你特别爱动脑筋，常常一鸣惊人，让大家禁不住要为你鼓掌喝彩！ 13、你的发言给了我很大的启发，真谢谢你！ 14、瞧瞧，谁是火眼金睛，发现得最多、最快？ 15、你发现了这么重要的方法，老师为你感到骄傲！ 16、你真爱动脑筋，老师就喜欢你思考的样子！ 17、你的回答真是与众不同啊，很有创造性，老师特欣赏你这点！ 18、××同学真聪明！想出了这么妙的方法，真是个爱动脑筋的同学！ 19、你的思维很独特，你能具体说说自己的想法吗？ 20、这么好的想法，为什么不大声地、自信地表达出来呢？ 21、你有自己独特想法，真了不起！ 22、你的办法真好！考虑的真全面！ 23、你很会思考，真像一个小科学家！ 24、老师很欣赏你实事求是的态度！ 25、你的记录很有特色，可以获得“牛津奖”！
初中正弦定理和余弦定理
初中正弦定理和余弦定理
《初中正弦定理和余弦定理》
正弦定理和余弦定理是初中数学中的重要定理，它们与三角函数的概念和几何形状的关系有着密切联系。
通过这两个定理，我们可以解决许多与三角形相关的问题，如计算三角形的边长和角度等。
正弦定理是指在一个任意三角形ABC中，三个角的正弦比例与对应的边长的比例呈正比关系。
即对于三角形ABC的三个角A、B、C和对边a、b、c，有以下关系：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中，sinA表示角A的正弦值。
正弦定理的应用十分广泛，可以用来求解未知边长或角度，
推导出其他重要公式，如海伦公式等。
余弦定理则是指在一个任意三角形ABC中，三个角的余弦值与对应边长的平方的比例呈反比
关系。
即对于三角形ABC的三个角A、B、C和对边a、b、c，有以下关系：
c² = a² + b² - 2ab*cosC
其中，cosC表示角C的余弦值。
余弦定理的应用十分广泛，可以用来求解未知边长或角度，
判断三角形的形状，以及解决各种实际问题，如测量不便的三角形的边长等。
正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时起着重要的作用。
它们不仅是数学课堂上的重点内容，也是在实际生活中运用数学解决问题的有效工具。
通过掌握正弦定理和余弦定理，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，提高解题的准确性和效率。
因此，对于初中生来说，掌握正弦定理和余弦定理是十分重要的。
《正弦余弦函数》PPT课件全文
3.正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点，简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.
作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
思切2 值考时如8,：何正当变切x化大值？于又当如2x且何小无变于限化2接？且近由无此限2 接分时近析，正 ， 正切函数的值域是什么?
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做正 弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
知识探究（二）：余弦函数的图象
思考1：观察函数y=x2与y=(x＋1)2 的图 象，你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗？
2.正、余弦函数的最小正周期是多少？
函数
y Asin( x和 ) y Acos( x )
(A 0, 0) 的最小正周期是多少？
3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质，此外，正、余弦函数还具有 哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.
探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性
思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的
2
数，能否认为正弦函数在第一象限是增 函数？
探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性
思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、 余弦函数是否存在最大值和最小值？若 存在，其最大值和最小值分别为多少？
初中正弦余弦正切公式
初中正弦余弦正切公式正弦、余弦、正切是三角函数的基本概念，在初中数学中有一定的重要性。
以下是有关正弦、余弦、正切公式的详细讲解及其应用。
1.正弦公式：正弦公式主要用于求数学三角形中非直角三角形的边长比例。
设在三角形ABC中，∠A为非直角，AB=c，AC=b，BC=a，则正弦公式为：sinA = a/csinB = b/csinC = a/b2.余弦公式：余弦公式主要用于求数学三角形中任意一个角的余弦值。
设在三角形ABC中，∠A的余弦值为cosA，则有：cosA = (b²+c²-a²)/(2bc)cosB = (a²+c²-b²)/(2ac)cosC = (a²+b²-c²)/(2ab)3.正切公式：正切公式主要用于求解数学三角形中任意一个角的正切值。
设在三角形ABC中，∠A的正切值为tanA，则有：tanA = a/btanB = b/atanC = c/a接下来，我们将对正弦、余弦、正切公式进行具体的应用和实例分析：1.正弦公式的应用：正弦公式可以运用于解决无法直接计算的三角函数数值问题。
例如，已知三角形ABC中∠C=60°，AB=10，AC=8，要求BC的长度。
由正弦公式sinC = a/b可得：sin60° = BC/8，所以BC = 8 *sin60° ≈ 6.932.余弦公式的应用：余弦公式可以用于计算具有两个边长和一个夹角的三角形问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为AB=4，AC=5，∠B=60°，要求BC的长度。
由余弦公式cosB = (a²+c²-b²)/(2ac)可得：cos60° = (4²+5²-BC²)/(2*4*5)，即1/2 = (16+25-BC²)/403.正切公式的应用：正切公式可以运用于解决两条直线之间的夹角问题。
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理
初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理三角形的正弦定理与余弦定理是初中数学中重要且常用的知识点。
它们是解决三角形相关问题的基本工具，能够帮助我们计算三角形的各个边长和角度。
本文将对三角形的正弦定理与余弦定理进行归纳和解释，以帮助同学们更好地理解和应用这两个定理。
1. 三角形的正弦定理三角形的正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
简单来说，正弦定理表明三角形的每条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。
这个关系可以通过以下示例来理解：【示例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有5/sin60° = c/sin(180°-60°-60°)，化简得c = 5*sin120° / sin60° ≈ 8.66cm。
【示例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为45°，求第三边的长度。
解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有9/sin45° = c/sin(180°-45°-45°)，化简得c = 9*sin135° / sin45° ≈ 14.14cm。
从这两个示例可以看出，正弦定理可以帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解三角形中的第三边长度。
2. 三角形的余弦定理三角形的余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosC。
其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。
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4.1 正弦和余弦
第1课时
教学目标
1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算
3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
教学重难点
【教学重点】
理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．
【教学难点】
引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
课前准备
无
教学过程
一．预习导学
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水
30,为使出水口的高度站，对坡面的绿地进行灌溉。
现测得斜坡与水平面所成角的度数是o
为35m，那么需要准备多长的水管？
分析：
问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB
根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB=2BC=70m.即需要准备70m长的水管
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角
的对边与斜边的比值都等于21. 二.探究展示 (一)合作探究 （1）如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对
边与斜边的比，能得到什么结论？
分析：
在Rt △ABC 中，∠C=90o ，由于∠A=45o ，所以Rt △ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得
故
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于
45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中
∠A =∠D =α . ∠C =∠F =90°，则DE
EF AB BC = 成立吗？为什么？
因为 ∠A =∠D = α ， ∠C =∠F = 90°，
所以Rt △ABC ∽Rt △DEF.
所以
DE
AB EF BC = 即AB EF DE BC •=•
所以DE EF AB BC = 结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值。
认识正弦
如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、
b 、
c 。
在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比
叫做∠A 的正弦。
记作sinA 。
sinA ＝A a A c ∠=∠的对边的斜边 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=3
1） 注意：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF
αα
3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。
提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
设计意图：通过分组讨论的形式，训练学生的合作交流意识。
(二)展示提升
1.如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C=90°， BC=3，AB=5.
（1）求sinA 的值；
（2）求sinB 的值.
（1）求sinA 的值；
解：∠A 的对边BC=3，斜边AB=5.于是53sin ==AB BC A （2）求sinB 的值. 解：∠B 的对边是AC ，根据勾股定理，得 163522222=-=-=BC AB AC AC=4
因此 5
4sin ==AB AC B 2.如何求sin 45°的值？ 如图所示，构造一个Rt △ABC ，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°
从而AC=BC ．
根据勾股定理，得22222BC BC AC AB =+=于是 .2BC AB =
故222
1245sin ====AB BC AB BC o 3. 如何求sin 60°的值？ 如图所示，构造一个Rt △ABC ，使∠B=60°，则∠A=30°，从而 BC=
AB 21 根据勾股定理,得
,4321222222AB AB AB BC AB AC =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-= 所以AB AC 2
3= 所以2
360sin ==AB AC o 4. 而对于一般锐角 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键 ，
显示结果为0.7660…
三。
知识梳理
本节课学了哪些内容？你有哪些认识和收获？
四．当堂检测
1. 如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°， BC=5，AB=13.
（1）求sinA 的值； （2）求sinB 的值．
2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P （3，4），连接OP ，求OP 与x 轴正方向所夹锐角 α的正弦值.
3.计算
（1）o o 45sin 60sin 22+ （2）1-2o o 60sin 30sin 五.教学反思
本节课教学设计以教师的“问题引导”为方向，以学生的“动手操作”为主线，学生充分经历了知识的发生过程，较好地体验了数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想方法。