湖北省巴东一中数学选修2-2教案 1.2函数的极值与导数

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）
【学情分析】：
在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。

在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：
（1）理解极大值、极小值的概念.
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
【教学重点】：
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.
【教学难点】：
极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤
教学
环节
教学活动设计意图
创设情景
观察图3.3-8，我们发现，t a
=时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()
h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？
放大t a
=附近函数()
h t的图像，如图3.3-9．可以看出()
h a
'；在t a
=，当t a
<时，函数()
h t单调递增，()0
h t'>；当t a
>时，函数()
h t单调递减，()0
h t'<；这就说明，在t a
=附近，函数值先增（t a
<，()0
h t'>）后减（t a
>，()0
h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()
h t'先正后负，且()
h t'
连续变化，于是有()0
h a
'=．
对于一般的函数()
y f x
=，是否也有这样的性质呢？
附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号
利用教材
在§3.3.1中的例1引入函数的极值概念①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特
征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：
f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0
f=；
y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0
f x<；
y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0
f x>；
提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？
不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值
②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特
征，并描述在x=4点及其附近导数的正负：
学生模仿完成
考虑到极
值与最值
容易混淆，
学生对已
有知识的
同化易接
受，我们以
§3.3.1中
的例1引出
极值的概
念，具体直
观，同时对
极值与最
值区分是
一目了然
的。

概念抽象y=f(x)在定义域上可导，
①若'()0
f a=，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足'()0
f x<；在x=a附近的右
侧满足'()0
f x>，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极
小值
②若'()0
f b=，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足'()0
f x>；在x=b附近的右
侧满足'()0
f x<，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极
大值
由具体函
数图像抽
象上升到
一般极值
概念
函数极值概念强化练习概念判断练习：
（１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值
（２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的
（３）函数某区间上的极大值一定大于极小值
（４）函数的极值点，导数一定为零
（５）导数为零的点一定是函数的极值点
答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错
深化学生
对函数极
值的概念，
以及函数
取极值与
'()0
f a=
的逻辑关
系
课后练习
1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充要条件
D 必要非充分条件
答案 D 对于3
'
2
'
(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立
2、函数32
3922y
x x x x 有（ ）
A 极大值5，极小值27-
B 极大值5，极小值11-
C 极大值5，无极小值
D 极小值27-，无极大值
答案C '
2
3690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'
0y <
当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值
3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，
则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
答案 A 极小值点应有先减后增的特点，即
'''()0()0()0f x f x f x <→=→>
4、函数3
2
()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( ) A, 2 B. 3
C. 4
D. 5
答案： 5、若函数2
f x
x x c 在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；
答案6 '
2
2
'
2
()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值
6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4
x π
=处取得极值，则m=__________ 答案
7、已知函数2
3
bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （１） 求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值
解：（1）'2
32,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，
即320
,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨
+=⎩
（2）3
2
'
2
69,1818y x x y x x =-+=-+，令'
0y =，得0,1x x ==或
0|0x y y =∴==极小值。