高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
Taylor公式和极值问题
§ 4 Taylor 公式和极值问题(一) 教学目的：掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，掌握二元函数的极值的必要条件与充分条件． (二) 教学内容：二元函数的高阶偏导数；中值定理与泰勒公式；二元函数的极值的必要条件与充分条件． 基本要求：(1)掌握二元函数的高阶偏导数与泰勒公式的定义，能够根据二元函数的极值的必要条件与充分条件寻找二元函数的极值与最大(小)值．(2) 较高要求：掌握混合偏导数与求导次序无关的定理的证明以及二元函数的极值的必要条件充分条件定理的证明．(三) 教学建议：(1) 布置适量的求二元函数的高阶偏导数和求二元函数的极值与最值的习题． (2) 讨论混合偏导和与求导次序无关的多种定理证明的习题有一定的难度，只对较好学生布置有关习题．————————————————————一． 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z ∂∂∂.例10 xy arctg z =. 求二阶偏导数.上面两个例子中，关于y x 和,的不同顺序的两个二阶偏导数都相等，，但是这个结论并不对任何函数都成立，例如⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2222y x y x yx yx xy y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-+=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x y y x f x⎪⎩⎪⎨⎧=≠+--=)0,0(),(,0)0,0(),(,)(4(),(2224224y x y x y x y y x x x y x f y1lim)0,0(),0(lim)0,0(00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy1lim)0,0()0,(lim)0,0(0=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f y y y x yx由此可知，),(y x f 关于y x 和,的不同顺序的两个二阶混合偏导数与求次序有关。
数学分析14-4高阶偏导与泰勒
uy vy
H H
f
u
uxx u yx
uxy uu yy
f
v
v v
xx yx
v vv
xy yy
即: H z J'H f J fuHu fv Hv
一般的n元函数也有类似公式.
2. 设 z f (u,v), u u( x, y),v v( x, y), 且 f , u,v 相应于各自的二阶偏导数都存在. 以求 zxy为例 : 第一步 写出下表
P0
设 z f (u,v), u u( x, y), v v( x, y), 且 f , u,v 相应于各自变量的二阶偏导数都存在.
则 z z( x, y)的二阶偏导数满足 :
H J ' H J
z z
xx yx
z
z
xy yy
ux uy
vx vy
f uu f vu
f uv
f vv
ux vx
s
(
f y
)
y s
f y
2 s
y
2
(
2 f x 2
x s
2 f xy
y) x s s
f x
2x s2
( 2 f yx
x s
2 f y 2
y) y s s
f y
2 y s2
类似
可求
2 t
u
2
,
2u st
两种技巧 :
1. 设u u( x, y), v v( x, y), 定义u, v关于变量x, y的雅可比矩阵为 :
0
,
x2 y2 0, ,
x2 y2 0,
f xy (0,0) 1, f yx (0,0) 1.
多元函数泰勒公式
多元函数泰勒公式引言泰勒公式是微积分中的重要概念之一，它用于将一个函数在某一点的局部性质展开为一系列无穷次的项。
在单变量函数中，我们已经熟悉了泰勒公式的推导和应用，而多元函数的泰勒公式则是将这一概念推广到多个自变量的情况。
多元函数的一阶泰勒展开考虑一个函数f(x1,x2,...,x n)，其中x1,x2,...,x n是函数的自变量。
我们希望将这个函数在点(a1,a2,...,a n)的附近展开。
根据泰勒公式，多元函数的一阶泰勒展开可以表示为：$$ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(a_1, a_2, ..., a_n) + \\sum_{i=1}^{n} \\frac{{\\partialf}}{{\\partial x_i}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) $$这个公式和单变量函数的一阶泰勒展开非常相似，不同之处在于我们需要求偏导数，而不是普通的导数。
多元函数的高阶泰勒展开类似于单变量函数的高阶泰勒展开，对于多元函数，我们也可以将其在某一点的局部性质展开为高阶项。
多元函数的二阶泰勒展开可以表示为：$$ f(x_1, x_2, ..., x_n) = f(a_1, a_2, ..., a_n) + \\sum_{i=1}^{n} \\frac{{\\partialf}}{{\\partial x_i}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) +\\frac{1}{2}\\sum_{i=1}^{n}\\sum_{j=1}^{n} \\frac{{\\partial^2 f}}{{\\partial x_i \\partial x_j}}(a_1, a_2, ..., a_n) \\cdot (x_i - a_i) \\cdot (x_j - a_j) $$同样地，我们可以通过求偏导数来计算高阶项的系数。
泰勒公式与极值问题
纯偏导
2 z 2 z z z f ( x , y ), f yx ( x , y ) xy y x xy x y yx
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 1 设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1，
定理 1（必要条件） 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数，且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零：
f x ( x 0 , y0 ) 0 ，
f y ( x 0 , y0 ) 0 .
证
不妨设 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处有极大值,
在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0,
C f yy (0,0) 0.
AC B 2 9 0.
因此，驻点 (0, 0) 不是极值点.
在 (1, 1) 处, A f xx (1,1) 6 0,
B f xy (1,1) 3, C f yy (1,1) 6.
f ( x0 h , y0 k ) 1 1 h k f ( x0 , y0 ) h k y (n 1)! x y i 0 i ! x
n i n 1
f ( x0 h , y0 k ).
得驻点 ( 1 , 1 ) 和 ( 1 , 1 ) , 2 2 2 2
因为 lim
x y
x y 0 2 2 x y 1
即边界上的值为零.
x y 因为 lim 2 0 2 x x y 1
y
即边界上的值为零.
泰勒公式与极值问题
⎧ x2 − y2 2 2 , x + y ≠0 ⎪ xy 2 2 f ( x, y ) = ⎨ x + y . ⎪0, 2 2 + =0 x y ⎩
4. 混合偏导
f xyx ( x , y ), f xxy ( x , y ), f yxx ( x , y ).
是否一定相等?何时相等?
若Z=f(x,y)的两个偏导函数 fx(x,y)与fy(x,y)关于x和y存在偏导数，则称 f(x,y)具有二阶偏导数。 z=f(x,y)的二阶偏导数有四种情形：
分析:
f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ) f x ( x , y ) = lim , Δx →0 Δx
Δy →0
f xy ( x , y ) = lim
Δy →0
f x ( x , y + Δy ) − f x ( x , y ) Δy
f y ( x + Δx , y ) − f y ( x , y ) Δx
§4 泰勒公式与极值问题 一、高阶偏导数 问题：
1. 以下符号的含义:
∂2 z ∂2 z ∂2 z ∂2 z , f xy ( x , y ), , f yx ( x , y ), , f yy ( x , y ). , f xx ( x , y ), 2 2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y ∂x
2. 二阶偏导数的定义(极限形式). 3. 典型例子:求二元函数f(x,y)在的二阶偏导数:
ϕ ( x ),ψ ( y )
问题答：
5. 若记 则
ϕ ( x ) = f ( x , y + Δy ) − f ( x , y ), ψ ( y ) = f ( x + Δx , y ) − f ( x , y ),
数学分析报告10.4--二元函数地泰勒公式
§10.4 二元函数的泰勒公式一.高阶偏导数二元函数=z f ),(y x 的两个（一阶）偏导函数x z ∂∂，yz ∂∂ 仍是x 与y 的二元函数。
若他们存在关于x 和y 的偏导数，即 x ∂∂（x z ∂∂）， y ∂∂（x z ∂∂）， x ∂∂（y z ∂∂）， y ∂∂（yz ∂∂）. 称它们是二元函数=z f ),(y x 的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个。
通常将 x ∂∂（x z ∂∂）记为22xz ∂∂或''xx f ),(y x . y ∂∂（x z ∂∂）记为yx z ∂∂∂2或''xy f ),(y x . (混合偏导数) x ∂∂（y z ∂∂）记为xy x ∂∂∂2或''yx f ),(y x . (混合偏导数) y ∂∂（y z ∂∂）记为22yz ∂∂或''yy f ),(y x . 一般地，二元函数=z f ),(y x 的1-n 阶偏导数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有2n 个.二元函数z=f (x,y)的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如,符号k k n n yx z ∂∂∂-或 )(n y x k k n f -),(y x 表示二元函数=z f ),(y x 的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数,其次对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1 求函数332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.解 x z ∂∂=23263y xy y x +-， yz ∂∂=xy x y x 233223+-. 22xz ∂∂=y xy 663-.yx z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. x y z ∂∂∂2=y x y x 26922+-. (y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2) 22yz ∂∂=x y x 263+. 例2 证明：若u=r1,r=222)()()(c z b y a x -+-+-,则 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=0. 证明 由§10.3例2，有x u ∂∂=3r a x --，yu ∂∂=3r b y --，z u ∂∂=3r c z --. 22x u ∂∂=6233)(r x r r a x r ∂∂---(x r ∂∂=r a x -) =6233)(r r a x r a x r ---- =31r -+53r 2)(a x -. 同样，可得22yu ∂∂=31r -+53r 2)(b y -, 22z u ∂∂=31r -+53r 2)(c z - 于是，22x u ∂∂+22y u ∂∂+22zu ∂∂=31r -53r +])()()[(222c z b y a x -+-+- =33r -+33r=0. 由例1看到，y x z ∂∂∂2=xy z ∂∂∂2，即二阶混合偏导数（先对x 后对y 和先对y 后对x ）与求导的顺序无关。
多元函数泰勒公式
的一阶偏导数为仍存在偏导数则称它们为函数的二阶偏导数连续都在点例如对三元函数u说明
4 泰勒公式与极值
高阶导数 中值定理和泰勒公式
问题
一、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的一阶偏导数为 fx ( x, y) , f y ( x, y) 仍存在偏导数，则称它们为函数 z f ( x, y) 的二阶
其中记号
h
x
k
y
f
(
x0
,
y0
)
表示 hf x ( x0 , y0 ) kf y ( x0 , y0 ),
2
h k x y
f ( x0 , y0 )
表示 h2 f x x ( x0 , y0 ) 2hkfxy ( x0 , y0 ) k 2 f yy ( x0 , y0 ),
f xy ( x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1
F(x, y) f ( x0 x, y0 y) f ( x0, y0 y) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x0 ) (x0 x)
( y0 x) ( y0 ) ( y0 3y)y
内为一常数.
在泰勒公式(1) 中, 如果取 x0 0, y0 0 , 则(1)式成为n阶麦克劳林公式.
f ( x, y) f (0,0) x y f (0,0) x y
1 x
y
2
f (0,0)
1 x
y
n
f (0,0)
2! x y
n! x y
n1
1 x y f (x,y),
(n 1)! x y
(0 1) (5)
例 6 求函数 f ( x, y) ln(1 x y) 的三阶麦
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式一、高阶偏导数对于函数f(x,y)的一阶偏导数来说，我们可以通过对x或y求导得到，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。
同样，我们可以对一阶偏导数再进行求导，得到二阶偏导数，记作∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2，其中∂^2f/∂x^2表示先对x求导，再对x求导的结果，∂^2f/∂x∂y表示先对x求导，再对y 求导的结果。
类似地，我们可以继续进行求导的过程，得到高阶偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。
对于常用的高阶偏导数，我们可以通过迭代的方式求得。
例如，对于三阶偏导数∂^3f/∂x^3，我们可以先对x求一阶导数，再对x求一阶导数，再对x求一阶导数，即∂^3f/∂x^3=(∂/∂x)^3f(x)。
同样，我们也可以得到一些特殊的高阶偏导数，如混合偏导数∂^3f/∂x^2∂y，表示先对x求两阶导数，再对y求一阶导数。
高阶偏导数在数学物理学、工程数学等领域中有广泛的应用。
通过求取高阶偏导数，我们可以获得函数在其中一点的更精确的变化率信息，进而可以研究函数的特性、求解极值问题等。
二、泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在其中一点的函数值和各阶导数的值带入多项式中得到。
泰勒公式主要有两种形式，即拉格朗日余项和佩亚诺余项。
1.拉格朗日余项形式设函数f(x)具有n+1阶导数，且在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，则对于该区间上的任意点x，存在一点ξ(x)在a和x之间，使得f(x)可以用泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)为拉格朗日余项，具体形式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ(x))(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中f^(n+1)(ξ(x))为函数f(x)在点ξ(x)处的(n+1)阶导数。
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A fxy (x0 1x, y0 2y)xy A f yx (x0 4x, y0 3y)xy
故
f xy (x0 1x, y0 2y) f yx (x0 4x, y0 3y)
令x 0, y 0. 因 f xy , f yx在(x0 , y0 )连续,有,
f xy (x0 , y0 ) f yx (x0 , y0 )
故, f xy (x0 , y0 )
lim
y0
lim
x0
1 xy
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0
,
y0
+y)
– f (x0 +x , y0) + f (x0 , y0)]
同理 f yx (x0 , y0 )
lim
x0
lim
y0
1 xy
f
( x0
x,
y0
Байду номын сангаас
y)
f
(x0
+x
,
y0)
– f (x0, y0 +y ) + f (x0 , y0)]
注
1.定理1的结果可推广到更高阶的混合偏导的情 形. 同时可推广到二元以上的函数情形. 即,若混合偏导数连续, 则混合偏导相等(即求混合 偏导与求导顺序无关).
2.若多元函数 f (X)在区域 D内有(直到) k 阶连续
偏导. 则记为 f (X)Ck (D). k为非负整数. 若 f (x, y)Ck (D), 则不论求导顺序如何, 只
,
2 f yx
在X
0
( x0 ,
y0 )的某邻域U ( X 0 )
内存在, 且它们在X 0连续, 则
2 f (X0) 2 f (X0)
xy
yx
分析. 按定义
fx(x, y)
lim
x0
f
(x
x, y) x
f
(x, y) ,
gy
(
x,
y)
lim
y0
g
(
x,
y
y) y
g
(
x,
y)
,
f xy (x,
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如,
若
2z x2
可偏导,
则记
3z x3
x
2z x2
,
3z x2y
y
2z x2
,等等.
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和
3z . x3
x
解:
z
2 y x 1, 2
y
z
2x y 2
cos
y.
x
2
z
2y , 2
2
xy z 4xy.
y)
f x( x,
y) y
lim
y0
f x( x,
y
y) y
f x( x,
y) ,
lim
y0
1 y
lxim0
f
(x
x,
y
y) x
f
(x,
y
y)
lim x0
f
(x
x, y) x
f
(x,
y)
lim lim 1 1 f (x x, y y) f (x, y y)
y0 x0 y x
f (x x, y) f (x, y)
[ fx(x0 1x, y0 y) fx(x0 1x, y0 )]x,
其中,0 1 1.
A [ fx(x0 1x, y0 y) fx(x0 1x, y0 )]x
再对变量 y 用拉格朗日中值定理.
得
A f xy (x0 1x, y0 2y)xy, 0 1,2 1.
另外, A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0, y0 +y )] – [ f (x0+x, y0) – f (x0 , y0)]
(x) = f (x , y0 +y ) – f (x , y0), 有 A = (x0 +x) – (x0)
因f xy在U ( X 0 )内存在,从而f x在U ( X 0 )存在.
即(x) 在x0的某邻域内可导, 故满足拉格郎日中值
定理条件.
因A = (x0 +x) – (x0) , (x) = f (x , y0 +y )–f (x , y0), A = ' (x0 +1x) x
§1－7 高阶偏导数及泰勒公式
一、高阶偏导数
设z f (x, y)的偏导数为fx(x, y), f y(x, y).
由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论
fx(x, y), f y(x, y)的偏导数.
设z f (x, y)在区域D内可偏导. 若fx(x, y), f y(x, y)还可偏导. 则记,
知ux ,uy均可导,有 uxy a, (连续), uyx 1 b sin x, (连续). 从而,在任何点(x, y),有uxy uyx 即 1 bsin x a. 比较知 a = 1, b = 0.
本题也可 :由ux x2 ay, 积分(以x为积分变量), 得 u 1 x3 axy c( y).
要是对 x 求导 m 次, 对 y 求导 k – m 次, 都可写
成
x
k f my k
m
,
或,
f (k) xm ykm
例2. 设u u(x, y)在任何点(x, y)处的全微分
du (x2 ay)dx (x y bsin x)dy. 求常数a,b.
解: ux x2 ay, uy x y bsin x.
2
y
2
z
2x sin y, 2
2
x 3 0.
z 3
yx z 4xy,
2
在例1中, 有 2z 2z . xy yx
问题:
是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数 才相等呢?
定理1
若 z = f (X) = f (x, y)的两个混合偏导数
2 f xy
2z x2
f
xx
(
x,
y)
x
f x
,
2z xy
fxy (x, y)
y
f x
2z y 2
f yy (x, y)
f , y y
2z yx
f yx (x, y)
f x y
称为 z = f (x, y)的二阶偏导数.
称 fxy (x, y), f yx (x, y)为二阶混合偏导数.
证: 分别给 x, y 以改变量x, y , 使(x0 +x , y0 +y),
(x 0 +x , y0)及 (x0 , y0 +y)均在U(X0)内.
记 A = [ f (x0 +x , y0 +y) – f (x0 +x , y0)] – [ f (x0, y0 +y) – f (x0 , y0)]
记 (y) = f (x0 +x , y) – f (x0 , y), 从而
A = (y0 +y) –(y0) (由拉格朗日中值定理)
( y0 3y)y [ f y(x0 x, y0 3y) f y(x0, y0 3y)]y
f yx (x0 4x, y0 3y)xy, 0 3,4 1.