函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用

1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数

y f x =()图象上的是（ ）

A.(())a f a ，-

B.(())--a f a ，

C.(())---a f a ，

D.(())a f a ，-

2. 已知函数)(1

22

2)(R x a a x f x x ∈+-+?=

是奇函数，则a 的值为（ ）

A ．1-

B ．2-

C ．1

D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1

1)()(-=

+x x g x f ，则f （x ）

的解析式为_______．

4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________．

5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；

(2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围．

6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2

1

x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；

（2）判断f(x ）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2

-m-2)＜3.

8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y

x

f -=

（1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3

1

(

)(≤--x f x f 。

9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ）

A ． 0

B ．9

C ．12

D ．18

10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123

2

x x <<，

则实数m 的取值范围

11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2

x

；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则

2(2log 3)f +＝

A

124 B 112

C 18

D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (

2

1

)=－1,当且仅当0

y

x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；

(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.

14.函数f (x )=

1

1112

2+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称

D.关于直线x =1对称

15.函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.

16.若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0

则b 的取值范围是_________. 17.已知函数f (x )=a x +

1

2

+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.

18.求证函数f (x )=2

23

)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.

19设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足： (i)f (x 1－x 2)=

)

()(1

)()(1221x f x f x f x f -+?；

(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证： (1)f (x )是奇函数.

(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .

20.已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且 f (－

21)=0,当x >－2

1

时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

21.已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0, 设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5}, 求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值.

22.设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( ) A.0.5

B.－0.5

C.1.5

D.－1.5

23.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0, 则a 的取值 范围是( ) A.(22，3) B.(3，10) C.(22，4)

D.(－2，3)

24.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________. 25.如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ), 试比较f (

31),f (3

2

),f (1)的大小关系_________.

参考答案

6.（1）f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。

（2）当0 < x < y 时，y/x > 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f 单调减。

（3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f （｜x ｜)＜-2 = f(9)，且f 单调减，所以| x | > 9 x ＞9或x ＜-9

7.（1）设x1,x2∈R ，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)

=f(x2-x1)-1＞0.

∴f （x2）＞f(x1). 即f(x)是R 上的增函数.

（2）∵f （4）=f （2+2）=f （2）+f （2）-1=5，∴f （2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R 上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 解得-1＜m ＜ ,故解集为 . 13.证明：(1)由f (x )+f (y )=f (

xy y

x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2

1x x x --)=f (0)=0 ∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.

令0

2

11

21x x x x --)

∵00,1－x 1x 2>0，∴1

21

21x x x x -->0,

又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<

12121x x x x --<1,由题意知f (2

11

21x x x x --)<0，

即f (x 2)

∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.

14.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C

15.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减. 答案：(－∞,－1]

3

4??? ??

-34,1

16.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）

17.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴

)

1)(1()

(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=

+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+

1

2

121122+--+-x x x x >0 ∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.

(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12000+--=x x a x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1200+-x x ＜1,即2

1

＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根.

证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则

1

2

00+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0

＜－1,则

1

2

00+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 18.证明：∵x ≠0,∴f (x )=

2

2422322)11(1

)1(1)1(1x x x x x x x -=

-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则

01111,1112

1

2

2

2

1

2

2

>-

>-

<

2

2

1

12

2

2

222

1

122

2

2)11(1)11(1.0)11()11(x x x x x x x x -

<-

∴>->-

∴

∴f (x 1)>f (x 2), 故函数f (x )在(1，+∞）上是减函数. 19.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)

()(1

)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+

=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.

(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ). ∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=

)1)((1

)(1

)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .

).

(1

1

1

)(1)(1

1)(1

)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -

=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)

2(1

a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.

20.证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－

21>－21,由题意f (x 2－x 1－2

1

)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－2

1

］>0, ∴f (x )是单调递增函数. (2)解：f (x )=2x +1.验证过程略. 21.解：由???<<-<

?<-<-<-<-666

03333

332

x x x x 得且x ≠0,故03－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2

13知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.

22.解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)= f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5. 答案：B

23.解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0. ∴f (a －3)＜f (a 2－9).

∴???

??->-<-<-<-<-9

31911

312

2a a a a ∴a ∈(22,3). 答案：A

24.解析：由题意可知：xf (x )＜0?

?

?<>???>

0)(0x f x x f x 或

?

?

?<>???->???->

30 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3） 25.解析：∵f (x )为R 上的奇函数 ∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－3

1> －

32

>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32

)＜f (1).

答案：f (31)＜f (3

2

)＜f (1)