沪科版习题库之二次函数概念.doc
(完整word)二次函数知识点梳理及经典练习(超详细),推荐文档
二次函数知识点梳理及经典练习【知识点梳理】一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做，，是常数，0二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）2. 平移规律： “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．即“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，、()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法 1.二次函数解析式表示方法：（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；（3）两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 2.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般有如下几种情况：（1） 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； （3）已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； （4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a : 0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结：a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口大小． 2. 一次项系数b : 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．▲ab 符号判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，即“左同右异”.3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结：c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称：2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称：2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称：2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称： ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，习惯上先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图像与x 轴的交点个数：（1） 当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.（2）当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点； （3）当0∆<时，图像与x 轴没有交点.①当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； ②当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图像与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图像的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图像关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：【基础题型概览】一、二次函数的基本概念 1、y=mx m2+3m+2是二次函数，则m 的值为（ ）A 、0，-3B 、0，3C 、0D 、-32、关于二次函数y=ax 2+b ，命题正确的是（ ） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。
初中数学沪科版九年级上册21.1 二次函数
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
二次函数 开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
y = ax 2
a＞0 a＜0
向上 直线X=0
向下
(0,0)
（二）形如y = ax 2+k (a≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向
对称轴 顶点坐标
y = ax 2+k
a ＞0 a ＜0
向上 直线X=0（0，K）
向下
（三）、形如y = a (x + h) 2 ( a≠0 ) 的二次函数
则a = 0.5 ,k = -2 ；函数关系式是y = 0.5x 2-2 。
(四) 形如y = a (x+h) 2 +k (a ≠0) 的二次函数
二次函数
开口方向 对称轴 顶点坐标
y = a（x+h) 2+k a ＞ 0 向上 直线X=-h （-h，k） a ＜ 0 向下
练习巩固2: （1）抛物线 y = 2 (x –３ ) 2+1 的开口向 上, 对称轴 X=３ , 顶点坐标是（３，1） (2)若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点 在第四象限，则a 〈0, m 〈0, n 〈0。
21.1二次函数(沪科版)
试一试:
说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
函数解析式
二次项系数 一次项系数 常数项 a b c
y x2 58x 112
－1 2
1 2
58 4 13 0
－112 2 0 0
y 2x 4x 2
2
1 2 y x 13 x 2
y x2
二次函数y=ax² +bx+c中a≠0,而b、c可以为0.
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？
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1. 函数的定义：
（在某个变化过程中，有两个变量x和y，对 于x在某一范围内的每一个确定的值，变量y 都有一个唯一确定的值与它对应，那么我们 称y是x的函数，其中x是自变量，y是x的函 数．） 2. 大家还记得我们学过哪些函数吗? ( 正比例函数，一次函数)
小结
拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,).
(否) (否) (是) (8)y=2² +2x (否)
2 －7 m 例2. y=(m+3)x
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 0 1.函数 y (k ) x 是一次函数，求k的值。 2
2.函数 y (m 1) x 3.函数
沪教版九年级上册数学 26.1二次函数的概念(解析版)
26.1二次函数的概念一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）下列函数中是二次函数的是（ ）A ．12y x =+B ．21y x x=- C ．22(1)y x x =-- D ．23(1)y x =-【答案】D 【解析】解：A 、是一次函数，故A 不符合题意； B 、函数关系式不是整式，故B 不符合题意； C 、是一次函数，故C 不符合题意； D 、是二次函数，故D 符合题意； 故选：D ．2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）函数2y ax bx c =++ (a ，b ，c 为常数)是二次函数的条件是（ ）． A ．0a ≠或0c ≠ B ．0a ≠ C ．0b ≠且0c ≠ D ．0a b c ++≠【答案】B 【解析】由二次函数定义可知，自变量x 和应变量y 满足2y ax bx c =++ (a ，b ，c 为常数，且0a ≠)的函数叫做二次函数； 故选：B ． 【点睛】本题考察了二次函数的知识，求解的关键是准确掌握二次函数的定义，从而得到答案． 3．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于( ) A ．±2 B ．2C ．-2D ．不能确定【答案】C 【解析】分析：根据二次函数的定义，自变量指数为2，且二次项系数不为0，列出方程与不等式求解则可． 解答：解：根据二次函数的定义，得：m 2-2=2 解得m=2或m=-2 又∵2-m≠0 ∵m≠2∵当m=-2时，这个函数是二次函数． 故选C ．4．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）在半径为4cm 的圆中，挖去了一个半径为xcm 的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．216y x ππ=-+ B ．24y x π=- C ．2(2)y x π=-D ．2(4)y x =-+【答案】A 【解析】先求出原来的圆的面积，再用x 表示挖去的圆的面积，相减得到圆环的面积． 解：圆的面积公式是2S r π=，原来的圆的面积=2416ππ⋅=，挖去的圆的面积=2x π， ∵圆环面积216y x ππ=-． 故选：A ．5．（2020·乐陵市实验中学月考）二次函数y=2x 2-6x -9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6，2，9 B ．2，-6，9C ．2，6，9D ．2，-6，-9【答案】D 【解析】根据二次函数的标准形式即可得到答案．二次函数y=2x 2-6x -9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键．6．（2020·全国初三课时练习）已知二次函数y ＝ax 2+4x +c ，当x 等于﹣2时，函数值是﹣1；当x ＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（ ） A ．y ＝2x 2+4x ﹣1 B ．y ＝x 2+4x ﹣2 C ．y ＝﹣2x 2+4x +1 D ．y ＝2x 2+4x +1【答案】A 【解析】将2组x 、y 值代入函数，得到关于a 、c 的二元一次方程，求解可得函数表达式.解：根据题意得48145a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得21a c =⎧⎨=-⎩，所以抛物线解析式为y ＝2x 2+4x ﹣1． 故选A ．7．（2020·全国初三课时练习）下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D ．半圆面积S 与半径R 之间的关系 【答案】D 【解析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． A 选项为y kx b =+，是一次函数，错误； B 选项为st v=不是二次函数，错误； C 选项为3C a =，是正比例函数，错误； D 选项为212S R π=，是二次函数，正确． 故选：D ．8．（2020·全国初三课时练习）下列函数：∵23y =-; ∵22y x =; ∵(35)y x x =-; ∵(12)(12)y x x =+-,是二次函数的有: A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据二次函数的定义，对每个函数进行判断，即可得到答案.解：∵23y =-是二次函数，正确；∵22y x =不是二次函数，错误； ∵(35)y x x =-整理得253y x x =-+，是二次函数，正确；∵(12)(12)y x x =+-整理得214y x =-，是二次函数，正确； ∵一共有3个二次函数； 故选择：C.9．（2020·全国初三课时练习）若二次函数y=(m∵1)x 2-mx∵m 2-2m -3的图象经过原点，则m 的值必为( ) A ．-1或3 B ．-1 C ．3 D ．-3或1 【答案】C 【解析】由图像经过原点可知m 2-2m -3=0∵同时注意m∵1≠0.解∵由图像过原点可得，m 2-2m -3=0∵解得m=-1或3∵再由二次函数定义可知m∵1≠0∵即m≠-1∵故m=3. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，很容易遗漏m∵1≠0.10．（2019·北京市第五十四中学初二期中）如图，Rt AOB 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】Rt∵AOB 中，AB∵OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∵AOB=∵A=45°；再由平行线的性质得出∵OCD=∵A ，即∵AOD=∵OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．解：∵Rt∵AOB 中，AB∵OB ，且AB=OB=3， ∵∵AOB=∵A=45°， ∵CD∵OB ， ∵CD∵AB ， ∵∵OCD=∵A ， ∵∵AOD=∵OCD=45°， ∵OD=CD=t ， ∵S ∵OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象； 故选D ．二、填空题11．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知2()352f x x x =-+那么()2f =____________．【答案】4【解析】根据题意，令x =2，代入二次函数求值． 解：(2)345224f =⨯-⨯+=．故答案是：4．12．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知二次函数2y ax =，如果当x=-1时y=2，那么当x=2时，y=_____． 【答案】8 【解析】先根据x =-1时y =2求出a 的值，得到原函数，再令x =2，求出y ．解：当x =-1 ，y =2时，()221a =⋅-，2a =，∵22y x =，当x =2时，()2228y =⨯=． 故答案是：8．13．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）半径为5的圆，如果半径增加x 时，面积增加y ，那么y 与x 的函数关系式是_____________________． 【答案】210y x x ππ=+ 【解析】根据题意，圆增加的面积等于现在的面积减原来的面积，分别用x 表示现在的面积和原来的面积，再相减列出函数关系式． 解：()()22225510252510y x x x x x ππππππ=+-=++-=+ ．故答案是：210y x x ππ=+．14．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知函数y=(k+2)24k k x +-是关于x 的二次函数，则k=________． 【答案】2或-3 【解析】根据二次函数的定义列出方程与不等式解答即可． ∵函数y=(k+2)24kk x +-是关于x 的二次函数，∵k 2+k ﹣4=2，解得k=2或﹣3， 且k+2≠0，k≠﹣2． 故答案为： 2或﹣3．15．（2020·上海初三月考）如果函数232(3)72k k y k x x -+=-++是关于x 的二次函数，则k =__________．【答案】0 【解析】根据二次函数的定义得到30k -≠且2322k k -+=，然后解不等式和方程即可得到k 的值．∵函数232(3)72kk y k x x -+=-++是关于x 的二次函数，∵30k -≠且2322k k -+=， 解方程得：0k =或3k =(舍去)， ∵0k =． 故答案为：0．16．（2020·上海黄浦·初三一模）如果抛物线221y x x m =++-经过原点，那么m 的值等于________∵【答案】1【解析】将点（0，0）代入抛物线方程，列出关于m 的方程，然后解方程即可． 解：根据题意，知点（0，0）在抛物线221y x x m -＝＋＋上， ∵0＝m －1， 解得，m ＝1； 故答案是：1．17．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x 米，广告牌的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系式为________________． 【答案】210S x x =-+ 【解析】广告牌的一边长是x 米，根据周长再用x 表示出另一边，矩形广告牌的面积等于长⨯宽． 解：另一边长为()10x -米，()21010S x x x x =-=-+．故答案是：210S x x =-+．18．（2019·四川绵阳·初三月考）函数y ＝(m 2﹣3m +2)x 2+mx +1﹣m ，则当m ＝_____时，它为正比例函数；当m ＝_____时，它为一次函数；当m _____时，它为二次函数． 【答案】1 1或2 m ≠1且m ≠2 【解析】（1）正比例函数：y kx =，2320m m ∴-+=且10m -=，即可求得m 的值；（2）一次函数：y kx b =+2320m m ∴-+=且10m -≠，即可求得m 的值；（3）二次函数：2y ax bx c =++2320m m ∴-+≠，即可求得m 的值；（1）正比例函数：y kx =，2320m m ∴-+=且10m -=，解得m ＝1；（2）一次函数：y kx b =+2320m m ∴-+=，解得m ＝1或2，；（3）二次函数：2y ax bx c =++2320m m ∴-+≠，解得m ≠1且m ≠2故当m ＝1时，它为正比例函数；当m ＝1或2时，它为一次函数；当m ≠1且m ≠2时，它为二次函数. 故答案为：1；1或2；m ≠1且m ≠219．（2020·江苏扬中·初三期末）点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________ 【答案】6 【解析】把点(),1m 代入221y x x =--即可求得22m m -值，将236m m -变形()232m m -，代入即可．解：∵点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上，∵2121m m =--则222m m -=．∵()223632326m m m m -=-=⨯= 故答案为：6．20．（2020·全国初三课时练习）∵∵∵∵O∵∵∵∵2∵C 1∵∵∵y=2x 2∵∵∵∵C 2∵∵∵y=∵2x 2∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵_______∵【答案】2π【解析】试题分析：根据题意可知两个函数的图像关于x 轴对称，通过对称性可知阴影部分为一个半圆，求半圆的面积为π×22÷2=2π. 故答案为2π.三、解答题21．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知：二次函数22(1)1y m x x m =-++-的图像经过原点，求m 的值，并写出函数解析式． 【答案】函数解析式为22y x x =-+ 【解析】根据二次函数图象过原点，把()0,0这个点代入函数解析式，求出m 的值，再写出函数解析式．解：令x =0，y =0，得201m =-，21m =，1m =±，∵是二次函数，∵二次项系数不能为零，即10m -≠，1m ≠，∵1m =-， 将1m =-代入原函数，得()()22211112y x x x x =--++--=-+，综上：1m =-，函数解析式为22y x x =-+．22．（2020·全国初三单元测试）一个二次函数y=（k ﹣1）x 234k k -++2x ﹣1．（1）求k 值．（2）求当x=0.5时y 的值？ 【答案】（1）k=2；（2）y=14【解析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k 2-3k+4=2，且k -1≠0，再解即可；（2）根据（1）中k 的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y 的值． 解：（1）由题意得：k 2﹣3k+4=2，且k ﹣1≠0， 解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k ﹣1）234-+kk x +2x ﹣1得：y=x 2+2x ﹣1，当x=0.5时，y=14． 23．（2020·福建省连江第三中学初三月考）已知函数y=（m 2﹣m ）x 2+（m ﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m 的值； （2）若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【解析】根据一次函数与二次函数的定义求解． 解：（1）根据一次函数的定义，得：m 2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m ﹣1≠0即m≠1；∵当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义，得：m 2﹣m≠0 解得m 1≠0，m 2≠1∵当m 1≠0，m 2≠1时，这个函数是二次函数．24．（2020·安徽滁州·初三其他）定义：如果一个点的纵坐标是横坐标的二倍，则称该点为“倍点”（1）若点(,6)P m 是双曲线ky x=上的倍点，则k = ； （2）求出直线31y x =-上的倍点的坐标；（3）若抛物线241y x bx =++上有且只有一个倍点，求b 的值．【答案】（1）18；（2）(1,2)；（3）b 的值是6或2-． 【解析】（1）根据“倍点”定义求出点P 的坐标为（3,6），即可求出k ；（2）设倍点的坐标为(,2)n n ，将点坐标代入解析式得到231n n =-，求出n 即可得到答案；（3））设抛物线241y x bx =++的倍点坐标为(,2)a a ，将点坐标代入241y x bx =++得到2412a ba a ++=，根据抛物线241y x bx =++上有且只有一个倍点，得到方程24(2)10a b a +-+=有两个相等是实数根，利用∆=0得到2(2)4410b --⨯⨯=，即可求出b.解：（1）∵点(,6)P m 是双曲线ky x=上的倍点， ∵2m=6,得m=3， ∵P （3,6）， ∵3618=⨯=k ， 故答案为：18；（2）设倍点的坐标为(,2)n n ， 则231n n =-， 解得1n =，所以倍点的坐标为(1,2)；（3）设抛物线241y x bx =++的倍点坐标为(,2)a a ，2412a ba a ∴++=，即24(2)10a b a +-+=， 该抛物线上有且只有一个倍点，∴方程24(2)10a b a +-+=有两个相等是实数根，则2(2)4410b --⨯⨯=， 解得6b =或2b =-， 所以b 的值是6或2-.25．（2020·湖北黄石八中）根据下面的运算程序，若输入1x =时，请计算输出的结果y 的值．【答案】2． 【解析】1的范围，然后根据分段函数解析式，代入相应的解析式进行计算即可求解．解：当输入1x =，因为011≤<，所以满足第二个函数解析式．所以211)2y =+=26．（2020·北京人大附中初三月考）某种型号的电热水器工作过程如下：在接通电源以后，从初始温度20℃下加热水箱中的水，当水温达到设定温度60℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到保温温度30℃时，再次自动加热水箱中的水至60℃，加热停止；当水箱中的水温下降到30℃时，再次自动加热，……，按照以上方式不断循环．小宇根据学习函数的经验，对该型号电热水器水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究，发现水温y 是时间x 的函数，其中y （单位：℃）表示水箱中水的温度，x （单位：min ）表示接通电源后的时间．下面是小宇的探究过程，请补充完整：（1）小宇记录了从初始温度20℃第一次加热至设定温度60℃，之后水温冷却至保温温度30℃的过程中，y 随x 的变化情况，如下表所示：∵请写出一个符合加热阶段y 与x 关系的函数解析式______________；∵根据该电热水器的工作特点，当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x 为________min ． （2）根据上述的表格，小宇画出了当020x ≤≤时的函数图象，请根据该电热水器的工作特点，帮他画出当2040x ≤≤时的函数图象．（3）已知适宜人体沐浴的水温约为35C 50C ︒︒-，小宇在上午8点整接通电源，水箱中水温为20℃，热水器开始按上述模式工作，若不考虑其他因素的影响，请问在上午9点30分时，热水器的水温______（填“是”或“否”）适合他沐浴，理由是_________________．【答案】（1）∵()()25200812*******4x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩；∵26；（2）见详解；（3）否；加热至9点30分的温度为33︒，不在人体适合的温度范围内． 【解析】（1）∵根据表格数据特点，应用待定系数法求解即可；∵根据表格数据先确定从30加热至60︒需要的时间，再将所得时间加上第一次加热至保温的时间即得；（2）根据加热温度变化规律可知从30加热至60︒需要6min ，即可确定点()2660，， （3）根据表格数据特点，第一次加热需要20分钟，之后每18分钟一次循环，即可确定早上9点30分对应第一次加热的时间段． 解：（1）∵当08x ≤≤时，设解析式为：()0y kx b k =+≠将()()0202,30，，代入()0y kx b k =+≠并联立得： 20230b k b =⎧⎨+=⎩，解得：205b k =⎧⎨=⎩∵当08x ≤≤时，520y x =+当820x <≤时，设解析式为：()20y ax bx c a =++≠将()()()10,5112,4514,40，， 代入()20y ax bx c a =++≠并联立得：100105114412451961440a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得：1823496a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∵当820x <≤时，21239684y x x =-+ ∵第一次加热阶段y 与x 关系的函数解析式为：()()2520081238209684x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩ 故答案为：()()2520081238209684x x y x x x +⎧≤≤⎪=⎨<≤-+⎪⎩ ∵根据表格数据可知从30加热至60︒需要6min∵当第二次加热至设定温度60℃时，距离接通电源的时间x 为20+6=26min 故答案为：26． （2）如下图：（3）从早上8点至早上9点30分，总共用时90分钟，且第一次加热需要20分钟至保温温度30，第一次以后每18分钟循环一次．∵90=20+183+16⨯，即最后一次重新加热至9点30分对应第一次的第18分钟的温度：33︒． ∵在上午9点30分时，热水器的水温不适合他沐浴．故答案为：否，加热至9点30分的温度为33︒，不在人体适合的温度范围内．。
沪科版数学九年级上册二次函数精品习题讲义
沪科版数学九年级上册二次函数[讲义]【考点一：二次函数定义】例1、下列函数中是二次函数的是（）、A. y=1x2B. y=2x+1 C. y=12x2+2x3 D. y=−4x2+5变式1-1、已知y=mx|m−2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A.0B.1C.4 D．0或4变式1-2、二次函数y=x2−6x−1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1,-6,-1 B. 1,6,1 C. 0,-6,1 D. 0,6,-1变式1-3、有下列函数：①y=5x−4②y=2x3−8x+3③y=3x2−1x−2④y=38x2−1x2−6x其中属于二次函数的是_____________（填序号）.⑤y=23变式1-4、函数y=2(m+2)x m2−2+2x−1（x≠0）当m＝________时，它是二次函数，当m＝___________时，它为一次函数.2．如图，正方形ABCD和圆O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm²．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A.一次函数关系，一次函数关系B.一次函数关系，二次函数关系C.二次函数关系，二次函数关系D.二次函数关系，一次函数关系【考点二：列二次函数表达式】例2、若二次函数y=mx2+(2m+n)x+3n的二次项系数比一次项系数小12，一次项系数比常数项大8，则这个二次函数的解析式为___________.变式2-1．（2022秋·承德县期末）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件，已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（)A. w=(99−x)[200+10(x−50)]B.w=(x−50)[200+10(99−x)]×10]C. w=(x−50)[200+x−995D. w=(x−50)[200+x−995×10]变式2-1．（2023·金水区校级模拟）将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（c㎡），则y与x之间的函数关系式为（）A. y=−x2+50xB. y=x2−50xC. y=−x2+25xD. y=−2x2+25变式2-2（2023春·沈北新区期末）如图，李大爷用24米长的篱笆靠墙围成一个长方形（ABCD）菜园，若菜园靠墙的一边（AD）长为x（米），那么菜园的面积y（平方米）与x的关系式为（)A. y=x(12−x)2B. y=x(12−x) C. y=x(24−x)2D. y=x(24−x)变式2-3．（2022秋·亭湖区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s(m²)，垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：_____________（并写出自变量的取值范围）变式2-4（2023春·石景山区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动.P，Q两点同时出发，设点P运动的时间为t（单位：秒），ΔAPQ的面积为y.则y关于t的函数表达式为________1．（2022秋·蜀山区校级月考）若y=(a+1)x|a+3|−x+3是关于x的二次函数，则a的值是（)A. 1B. -5C. -1 D．-5或-12．（2022秋·石景山区期末）如图，线段AB＝10cm，点P在线段AB上（不与点A，B重合），以AP为边作正方形APCD.设AP＝x cm，BP＝y cm，正方形APCD的面积为S cm²，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（)A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，一次函数关系3．（2020秋·龙凤区校级月考）已知函数y=(m2−m)x2+(m−1)x+m+1（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．4．（2020秋·滨州月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．。
沪科9年级数学上册第21章 二次函数与反比例函数1 二次函数
知1－练
感悟新知
知1－练
解：① y=1－ 2 x2 ＝ － 2 x2 ＋ 1，是二次函数； ②分母中含有自变量，不是二次函数； ③ y=3x(1－3x) ＝ － 9x2+3x，是二次函数； ④ y=(1－2x)(1＋2x) ＝ － 4x2+1，是二次函数．
答案：C
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知1－练
1-1. [ 月考·合肥 ] 下列各式中， y 是 x 的二次函数的 是( C ) A.y=3x － 1 B.y=x2 － ( x+1)( x － 5) C.y=x2 － 5x+13
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特别提醒
知1－讲
(1)二次项系数、一次项系数和常数项包括它们前
面的符号，不要漏掉 .
(2) 二次函数y=ax2+bx+c( a ≠ 0)的特殊形式：
特殊形式 二次项 一次项 常数项
y=ax2(a≠0)
ax2
无
0
y=ax2+bx(a≠0) ax2
bx
0
y=ax2+c(a≠0) ax2
无
c
感悟新知
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知2－练
2-1.某商品的进价为每件 40 元，如果售价为每件 50 元， 每个月可卖出210 件；如果售价超过 50元但不超过 80 元，每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 1 件；如果售价超过 80 元后，若再涨价，则每涨 1 元每个月少卖 3 件 . 设每件商品的售价为x元( x为 整数)，每个月的销售量为y 件.
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知2－练
(1) 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值 范围； 解：当 50＜x≤80 时，y＝210－(x－50)，即 y＝260－x； 当 80＜x＜140 时，y＝210－(80－50)－3(x－80)， 即 y＝420－3x. 综上所述，y＝246200－ －x3（ x（508<0<x≤x<801）40，）.
沪科版九年级第21章二次函数知识点
【考点1 二次函数的概念】【方法点拨】掌握二次函数的定义：一般地，形如y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二 次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【变式1-2】（2020•凉山州一模）若y ＝（m 2+m ）x m 2﹣2m ﹣1﹣x +3是关于x 的二次函数，则m＝ ．【考点2 一次函数与二次函数图象】【方法点拨】判断一次函数与二次函数图象的问题关键在于掌握数形结合的思想，通过图象可以逐一去判 断一次函数及二次函数的系数关系．【例2】（2020•菏泽）一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】【方法点拨】二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．【例3】（2020•开封一模）已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＞0）的图象上三个点的坐标分别为A （﹣1，y 1），B （2，y 2），C （4，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 3＞y 2＞y 1C ．y 2＞y 1＞y 3D ．y 2＞y 3＞y 1【考点4 二次函数图象与几何变换】【方法点拨】解决二次函数图象与几何变换类型题，需要掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．【例4】（2020春•天心区校级期末）抛物线y ＝﹣（x ﹣1）2﹣3是由抛物线y ＝﹣x 2经过怎样的平移得到的（ ） A ．先向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位C ．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．先向左平移1个单位，再向上平移3个单位【考点5 二次函数图象与系数关系】【方法点拨】二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax2+bx+c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．【例5】（2020•龙岩模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（ ） ①abc ＜0；②c +2a ＜0；③9a ﹣3b +c ＝0；④a ﹣b ≥m （am +b ）（m 为实数）；⑤4ac ﹣b 2＜0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【考点7 二次函数与解不等式】【方法点拨】二次函数与不等式（组）：对于二次函数y ＝ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．【例7】（2020春•渝中区期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式x ﹣1＞2x的解集，可以先构造两个函数y 1＝x ﹣1和y 2=2x，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于A （﹣1，﹣2）、B （2，1）两点，当﹣1＜x ＜0或x ＞2时，y 1＞y 2，由此得到不等式x ﹣1＞2x的解集为﹣1＜x ＜0或x ＞2．根据上述说明，解答下列问题：（1）要求不等式x 2+3x ＞x +3的解集，可先构造出函数y 1＝x 2+3x 和函数y 2＝ ； （2）图2中已作出了函数y 1＝x 2+3x 的图象，请在其中作出函数y 2的图象； （3）观察所作函数的图象，求出不等式x 2+3x ＞x +3的解集． 【考点8 构建二次函数解决最值问题】【例8】（2020•江西模拟）如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣x ﹣4在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则四边形OAPB 周长的最大值为 ．【考点9 二次函数新定义问题】【考点10 二次函数的应用（抛物线形建筑问题）】 【考点11 二次函数的应用（抛物线形运动问题）】 【考点12 二次函数的应用（面积问题）】 【考点1 反比例函数的概念】【方法点拨】掌握一般地，形如y=k x（k ≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式：① y =kx （k ≠0） ②y ＝kx ﹣1（k ≠0） ③xy=k （k ≠0）【例1】（2020春•泰兴市校级月考）下列函数：①y ＝x ﹣2，②y =3x ，③y ＝x ﹣1，④y =2x+1，y 是x 的反比例函数的个数有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【考点2 反比例函数的图象（结合一次、二次函数）】【方法点拨】对于一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．【例2】（2020•天水）若函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则函数y ＝ax +b 和y =cx 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点3 反比例函数图象上点的坐标特征（比较大小）】【方法点拨】反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．【例3】（2020春•镇平县期末）若（﹣1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）三点均在反比例函数y =m 2+1x的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 2＞y 3＞y 1【考点4 反比例函数图象上点的坐标特征（与四边形结合）】【方法点拨】反比例函数图象上点的坐标特征：当k ＞0时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当k ＜0时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号． 【考点5 反比例函数系数k 的几何意义（面积）】【方法点拨】反比例函数y =k x （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．【例5】（2020春•新沂市期末）如图，两个反比例函数y =4x 和y =2x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，P A ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．无法计算【考点6 反比例函数系数k 的几何意义（规律题）】【方法点拨】反比例函数y =kx （k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y =kx （k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 【考点8 反比例函数与一次函数交点问题】【例8】（2020春•东海县期末）如图，等腰直角△ABC 位于第二象限，BC ＝AC ＝2，直角顶点C 在直线y ＝﹣x 上，且点C 的横坐标为﹣3，边BC ，AC 分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线y =kx 与△ABC 的边AB 有2个公共点，则k 的取值范围为 ．【考点6 二次函数与一元二次方程的关系】【例6】（2020•富阳区一模）已知函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2+bx +c +32=0的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个相等实数根C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根。
沪科版-数学-九年级上册-- 21.1 二次函数
21.1 二次函数1．形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的函数叫做二次函数，其中x 是自变量．2．二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义．3．下列各关系式中，是二次函数的为(x 为自变量)( )．A ．y ＝18x 2 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝1x 2 D ．y ＝a 2x 答案：A4．函数y ＝k x 2＋3x ＋2k 一定是二次函数吗？答案：不一定是(当k ＝0时，为一次函数；当k≠0时，为二次函数)1．根据二次函数的定义解题【例1】 已知函数y ＝(m 2－m )x 2＋(m －1)x ＋m ＋1.(1)若这个函数是一次函数，求m 的值；(2)若这个函数是二次函数，则m 的值应怎样？分析：(1)一次函数应符合y ＝k x ＋b (k≠0)的形式，所以m 2－m ＝0且m －1≠0；(2)二次函数应符合y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的形式，所以只需m 2－m ≠0即可．解：(1)∵m 2－m ＝0，∴m ＝0或m ＝1.∵m －1≠0，∴m ≠1.∴当m ＝0时，这个函数是一次函数．(2)∵m 2－m ≠0，∴m ≠0且m ≠1.∴当m ≠0且m ≠1时，这个函数是二次函数．二次函数解析式y ＝ax 2＋bx ＋c 中的a ≠0，若a ＝0，则变成y ＝bx ＋c ，当b ≠0时，是一次函数；当b ＝0时，则y ＝c .针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第3题2．根据实际问题，列出二次函数关系式【例2】 如右图，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．分析：可先把两条小路平移到边上，正好草坪的长变为(80－x ) m ，宽变为(60－x ) m. 因为自变量x 要有实际意义，所以路的宽不能超过草地的宽，即0＜x ＜60.解：y ＝(80－x )(60－x )＝x 2－140x ＋4 800(0＜x ＜60)．实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围必须使实际问题有意义，一般不会为全体实数．针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第6题1．下列函数y ＝2x ＋1，y ＝3x 2，y ＝－x 2＋5x －6，y ＝x (x ＋1)，y ＝(x ＋1)2－x 2中，二次函数的个数为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：B2．下列函数不是二次函数的是( )．A ．y ＝(x －1)(x ＋2)B ．y ＝12(－x －1)2 C ．y ＝2x ＋3x 2 D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 答案：D3．若函数y ＝(m 2＋m )2m m x －是二次函数，则m 的值为( )．A ．0或1B ．－1或2C ．－1D ．2 解析：由题意，得m 2－m ＝2，解得m 1＝2，m 2＝－1.又∵m 2＋m ≠0，即m ≠0且m ≠－1，∴m ＝2.答案：D4．某工厂2012年一月份的赢利额为80万元，二、三月份平均每月赢利增长率为x，则三月份的赢利额y万元关于x的函数关系式是________．解析：二月份的赢利额为y1＝80＋80x＝80(1＋x)，三月份的赢利额为y＝y1＋y1·x＝y1(1＋x)＝80(1＋x)2.答案：y＝80(1＋x)25．下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，指出二次项系数a，一次项系数b 和常数项c.(1)y＝2－3x2；(2)y＝x(x－4)；(3) y＝(x－6)(6＋x)；(4) y＝(x＋2)(x－2)－(x－1)2.解：(1)是二次函数，其中a＝－3，b＝0，c＝2.(2)是二次函数，整理后为y＝x2－4x，其中a＝1，b＝－4，c＝0.(3)是二次函数，整理后为y＝x2－36，其中a＝1，b＝0，c＝－36.(4)不是二次函数，整理后为y＝2x－5.6．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保赢利的前提下，若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．解：y＝(60－x－40)(300＋20x)，即y＝－20x2＋100x＋6 000.因为降价要确保赢利，所以40＜60－x≤60(或40＜60－x＜60也可)．解得0≤x＜20(或0＜x＜20)．。
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一、选择题
1. 函数y (m n) x2 mx n 是二次函数的条件是（）．
Ａ． m ， n 是常数，且m 0 Ｂ． m ， n 是常数，且m n
Ｃ． m ， n 是常数，且n 0 Ｄ． m ， n 可以是任意常数
2. 下列函数中，y 是x的二次函数的为（）．
Ａ． y 1 x2 Ｂ． y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数）
2
Ｃ． y 1 Ｄ． y ( x 3)2 x2
x2
3. 下列函数不是二次函数的为（）．
Ａ． yx2 1 Ｂ． y x2 Ｃ． S πr2 Ｄ． y 2x2 6x 1
4. 若函数y ( k 2) x k kx 1 是二次函数，则k的值是（）．
Ａ． 2 Ｂ． 2 Ｃ． 2 Ｄ．以上均不对
5.下列函数关系中，可以看作二次函数y ax2bx c(a 0) 模型的是（）Ａ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
Ｂ．我国人口自然增长率为1% ，这样我国人口总数随年份的变化关系
Ｃ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）Ｄ．圆的周长与圆的半径之间的关系
6. 下面四个函数中属于二次函数的是（）
A．y13x 2
1 2 x2 3 B．y 2 C．y 3 x D．y
3)2 1
x (x
7. 如果y (m 2) x m2m是关于 x的二次函数，则 m=（）A．1 B．2 C．1或2 D．m不存在
8.若y（a2a）x a22a 1是二次函数，则（）
A ． a =-1 或 a =3
B ． a ≠ -1 ， a ≠ 0
C ． a =-1
D ． a =3
9. 下列各关系式中，属于二次函数的是
( x 为自变量 ) （ ）
= 1
x 2
=
x 2
1 =
1
= a 2x
8
x 2
10. 函数 y =ax 2( a ≠ 0) 的图象经过点 ( a ， 8) ，则 a 的值为（
）
A. ±2
B. － 2
11. 下列结论正确的是（
2
=ax 是二次函数
）
B. 二次函数自变量的取值范围是所有实数
C. 二次方程是二次函数的特例
D. 二次函数的取值范围是非零实数
12. 如果函数 y =( m -3) x m2-3 m+2 是二次函数，那么
m 的值一定是（
）
A ． 0
B ． 3
C ．0，3
D ．1，2
13. 下列函数中， y 是 x 二次函数的是（
）
2
1
2
2
（ A ） y ＝ x － 1
（ B ） y ＝ x ＋ x － 10 （ C ） y ＝ x ＋ 2x （ D ） y ＝ x － 1
14. 下列函数中，是二次函数的是
（ ）
A 、 y=8x 2+1；
B 、 y=8x+1 ；
C 、 y
8 ； D 、 y
8 1。
x
x 2
二、填空题
15. 二次函数
y 4(1 2x)( x 3) 的一般形式是
．
16. 关于 x 的二次函数 y ( m 1)x 2
( m 1)x m ，当 m
0 时，它是
函数；当 m
1时，
它
是
函数．
17. 若函数 y (m 2 4) x m 2
m 4
(m 1)x 2m 5 是关于 x 的二次函数，则
m 的值为
，其
函数式为
．
18. 一学生推铅球，铅球行进的高度y(m) 与水平距离 x(m) 之间的关系式为 y 1 x2 2 x 5 ，则铅
12 3 3
球落地时的水平距离是_________．
19.函数y( m 1)x m212mx 1 是二次函数，则m=_______．
20. 若二次函数
y mx 2
3x m
2
2m 的图象经过原点，则
m
=_________．2
21.函数y( m2m)x m 2 m 1是二次函数，那么m 的值是____________．
22.如果二次函数y ( m 3)x m23m 2 mx 1是二次函数，那么m 的值一定是_________．
23.若y(m2m)x m2m是二次函数，那么m 的值一定是_________．
24.当m=_________时，y(m2)x m2m是关于x的二次函数
25.设一圆的半径为 r ，则圆的面积 S=______，其中变量是_____.
26.下列函数中：①y=－ x2；② y=2x；③ y=22+x2－ x3；④ m=3－ t － t 2是二次函数的是__ ____(其中x、t为自
变量 ).
27.直线 y=x+2与抛物线 y=x2的交点坐标是______.
28.如图所示的抛物线：当 x=_____时， y=0；当 x<－2或 x>0时， y _____0；当 x 在_____范围内时， y>0；当x=_____时， y 有最大值_____.
y
-2-1 O x
29.当m=时，y=(m+1)x m2-3 m-2是一个二次函数．
2 2
30. 若函数 y＝( m＋ m)x m 2 m 1
m＝__________。
是二次函数，那么
一、选择题
1.Ｂ
2.Ａ
3.Ａ
4.Ｂ
5.Ｃ
6.C
7.A
8.D
9.A
10.C
11.B
12.A
13.C
14.A
二、填空题
15.y8x220x 12
16.二次，一次
17.3y 5x2 4 x 1
18.10米
19.1
20.2
21.3
22.0
23.2
24.1
2
25.π r S、 r
26.①④
27.(2 ，4) ，( －1， 1)
28.－ 2， 0 < － 2<x<0 － 1 3
29.4
30.3。