最优捕鱼策略(1)
数学建模实验报告最优捕鱼策略
最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。
二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。
考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。
该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。
而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。
使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。
d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。
（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max （total （k ））=⎰⎰+3/203/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx)(8.0)(11t x dtt dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯11111022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）)]32()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1. 先建立一个的M 文件：function y=buyu(x);global a10 a20 a30 a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=*10^5**a31+a41);Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=*t3+*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：x 10405101520252.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =y =+011k =total =+011a10 =+011a20 =+010a30 =+010a40 =+007则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：×1011×1010×1010×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。
最优捕鱼策略
最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。
(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。
孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。
(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。
(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。
(6) 四龄以上的鱼全部死亡。
(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。
2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。
3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。
最优捕鱼策略
1．这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡,即死亡是一个连续的过程。
2．捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生.
3．1、2龄鱼体形太小，不能被捕。
4．3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中一次产卵
5．i龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1,2,3，其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼
对于问题二,题中已给出各年龄组鱼群的初始值,我们利用问题一中所得到的迭代方程,可迭代地求出第i年初各年龄组鱼群的数量;再根据问题一中的捕捞量表达式，可写出5年的捕捞总量表达式,以5年捕捞总量最大为前提,利用matlab软件求解出此时的捕捞强度,然后再验证在此捕捞强度下会不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏.
4。1。3。问题二分析:
对于问题二,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，又要使总收益最高，这就有可能发生满足了前者满足不了后者之类的情况.我们处理方法是先确定一个策略使其收益最高，再检验此捕鱼策略是否能保证5年后鱼群的生产能力不受到太大的破坏,若它让鱼群的生产能力受到了严重破坏,我们再求另外一种策略。但从理论分析可知，5年后将在鱼群尽可能接近可持续鱼群的情况下来使捕捞量达到最大。对于破坏大小,我们采用1龄鱼群数量变化率来衡量,即以第六年初1龄鱼群数量的变化量与承包时鱼群数量初值之比表示,因为2，3，4龄鱼群的数量在很大程度上受承包初1龄鱼影响，根据关系,可以知道5年后2,3,4龄鱼群的数量肯定会有较大变化。只要该比值小于5%，我们就认为鱼群的生产能力没有受到太大破坏。
该鱼群本身有如下数据：
各年龄组鱼的自然死亡率为0。8（1/年），其平均质量分别为5。07，11。55，17。86，22。99（单位:g）；1,2龄鱼不产卵，平均每条4龄鱼产卵量为（个），3龄鱼为其一半;卵孵化的成活率为（n为产卵总量）；
最优捕鱼策略（A题）
最优捕鱼策略（A题）摘要当今世界，可持续地与自然和谐相处已成为了人们的共同意识。
本文主要寻求一种以针对实现鳀鱼种群的可持续收获为前提的最佳捕捞方案，达到最佳效益，同时为渔业部门制定相关规定提出建议。
对于问题一，运用合理的假设将影响鳀鱼种群数量的因素抽象为自然死亡和捕捞两种，并将自然死亡和捕捞过程理解为瞬时影响，由此建立出微分方程，进而得到各年龄组的鳀鱼数量与时间的关系式。
接着，以题干所述“各种年龄组鱼群条数不变”为约束条件，求捕捞总重量的最大值，即建立一非线性规划模型。
最后，利用Matlab软件求得：鳀鱼捕捞总重量的最大值为11，并且3.865510g求得在取得最大值时，3龄鱼、4龄鱼的捕捞强度分别为7.0021和16.6718。
对于问题二和问题三，在假定自然死亡率和捕捞强度系数变化很小的情况下，先运用微分思想和一定的等式变换，再利用捕捞总重量这一多元函数的一阶偏导函数，分别得出年捕鱼总重量对自然死亡率和对捕捞强度系数的灵敏性函数。
通过分析灵敏度函数的函数值大小，得出自然死亡率对模型的灵敏度不高，捕捞强度系数对模型的灵敏度不太高的结论。
同时，还发现了3、4龄鱼的捕捞强度系数对年收获量的影响程度相同的结论。
对于问题四，在充分分析了影响鳀鱼开发利用经济效益的因素的基础上，通过查阅相关学术文献资料，给出了综合开发利用鳀鱼资源的策略。
关键词：微分方程；非线性规划模型；灵敏度分析；多元函数的偏导数；Matlab 软件；Mathematica软件目录一问题重述 (2)二问题分析 (2)三模型假设与符号说明 (3)3.1 模型假设 (3)3.2 符号说明 (3)四模型建立与求解 (4)4.1 问题一的模型建立与求解 (4)4.1.1 模型的推导 (4)4.1.2 运用Matlab求解模型 (7)4.2问题二的模型建立与求解 (9)4.2.1 模型的推导 (9)4.2.2 对模型输出结果的分析 (9)4.3问题三的模型建立与求解 (10)4.3.1 模型的推导 (10)4.3.2 对模型输出结果的分析 (11)4.4问题四的解答 (12)五模型的优缺点 (13)5.1 模型的优点 (13)5.2 模型的缺点 (13)六参考文献 (13)七附录 (14)7.1 求解第一问模型的Matlab源代码 (14)一 问题重述假设鳀鱼分四种年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。
最优捕鱼策略
最优捕鱼策略最优捕鱼策略模型万义亮曾龙飞邓巧云摘要:本文针对渔业这类可再生资源的合理运用问题进行优化设计，在稳定的前提下，讨论如何控制捕捞使持续生产量最大。
最后，运用计算机软件求出捕捞强度和最大的捕捞产量，使该渔业公司可在持续稳定的条件下进行捕捞。
对于问题(一)，我们通过1龄鱼和2龄鱼在全年内只受到自然死亡的制约，写出相应的微分方程，而3龄鱼和4龄鱼，其数量在前8个月不仅受自然死亡率影响还受捕捞强度系数的影响，后4个月只受自然死亡率的影响，分阶段写出微分方程及表达式。
假设自然死亡和捕捞都是连续的，则可以建立问题(一)的数学模型，此模型为非线性规划模型，最后通过MATLAB软件和LINGO软件分别求解。
对于问题(二)，对问题通过分析易知，可以利用问题(一)所得到的迭代方程，可以很容易确定模型中的目标函数和约束条件，也易写出5年得捕捞总量的表达式。
我们以5年捕捞总量最大为目标函数，利用MATLAB软件可以计算出捕捞强度和最大捕捞总量，并通过模型的验证在此捕捞强度下，不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏。
我们通过用软件编程计算，得出以下结论:在保持每年开始捕捞中各年龄组鱼群条件不变，得出4龄鱼捕捞强度为17.36292，3龄鱼的捕捞强度为8.68146，113.887076，10总的捕捞量为g;渔业公司要在5年后鱼群的生产能力不受太大的12k,(17.5,17.8)1.6056，10破坏下，得出捕捞强度在下，达到最大的捕捞量为g。
关键字:非线性规划捕捞策略渔业优化问题自然死亡率1一、问题的重述(略)二、问题的分析对于如何实现可持续捕捞，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，并且在此前提下得到最高的年收获量。
根据题意知，1龄鱼和2龄鱼全年只受自然死亡率的制约，而3龄鱼和4龄鱼在前2/3年除了受自然死亡率的影响还受到捕捞强度系数的制约，而后1/3年只受自然死亡率的制约。
dx(t)i,,rx(t)idt对1龄鱼和2龄鱼可由去分析各龄鱼在t年的数量关系，而对3龄鱼和4龄鱼分析数量关系因考虑到鱼会受到捕捞强度系数的制约，则可得dx(t)i,(,r,0.42k)x(t)3dt到关系式为:可得到3龄鱼和4龄鱼的数量与时间t的函数关系式，同时也可通过关系式求出各个时刻各龄鱼的数量。
最优捕鱼策略_数学建模
精心整理西安邮电大学（理学院）数学建模报告摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
???问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。
二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；m……i龄鱼每条鱼的平均重量in……9月底该种鱼总共产卵数量*n……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量k……对i龄鱼活鱼的捕捞强度系数i四、问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。
那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量⎪⎩⎪⎨≤≤-=---129,1,1,1,,j c x x i j i j i i i j i j i 这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。
最优捕鱼策略
(8)
由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞总收获量即年
收获量可以用t 时刻的捕捞量s(t)关于t 在捕捞期内的积分,
H s( t )dt
0
2 3
(9)
要求最高的年收获量，即求H的最大值。
6) 四龄鱼在年末进行的两个假设
(1)4龄鱼在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既
不产卵，又不会被捕捞。可以将它们忽略不计，令其退出 系统。 (2)未死亡的4龄鱼在年末的各个特征（重量、产卵个 数等）均不发生改变，即仍会到4龄鱼组中。
捕捞时渔场中各年龄组鱼群条
数不变），并在此前提下得到
最高的年收获量（捕捞总量）。 2.某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各
年龄组鱼群数量分别为：122，29.7，10.1,3.29(109条),
如果固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才
t [0,1], t [0,1], t [0, 2 ], 3 t [ 2 ,1], 3 t [0, 2 ], 3 t [ 2 ,1]. 3
xi , j 1 (1) xi 1, j (0)
j 2, 3,4.
模型一：令每一年的捕捞强度系数为一固定值，即 k=ki;这样与问题一相似，利用一元函数求最值得方法，可 得到Hmax=1.605×106(吨），捕捞强度系数k=17.58。
题目已假定捕捞强度系数k一定，且只在捕捞期内(即
每年的前八个月）捕捞3、4龄鱼，因此只会影响3、4龄鱼
鱼群的数量，而不会影响其它的鱼群数量。我们可以看到
3、4 龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与 死亡率a有关，类似于1）的分析，可以得到3龄鱼鱼群(前 8个月）的数量变化规律
最优捕鱼策略原稿
最优捕鱼策略原稿捕鱼作为一项常见的娱乐活动，已经成为许多人闲暇时消遣的选择。
然而，对于那些希望在捕鱼中获得最佳结果的人来说，制定一种最优捕鱼策略是非常重要的。
以下为一些关键的策略，可以帮助提高捕鱼的成功率。
1.了解目标鱼种：不同的鱼类有着不同的特点和习性。
因此，在捕鱼之前，首先要了解目标鱼种的喜好、聚集地以及食物偏好。
这将有助于找到更多的目标鱼，并提高捕获的概率。
2.选择合适的钓具：根据目标鱼种的大小和习性，选择合适的钓具对成功捕鱼至关重要。
如果目标鱼种较大而有力，选择一根更坚固的渔杆和更强大的渔线是必要的。
另外，鱼饵的选择也是一项关键决策，只有符合目标鱼种的偏好，才能吸引它们上钩。
4.运用适当的技巧：在捕鱼过程中运用适当的技巧是非常重要的。
例如，使用正确的投掷技巧可以使鱼饵更加准确地落入目标位置。
此外，在操作钓杆和渔线时要注意技巧，保持稳定和平稳的动作，以提高捕鱼的概率。
5.尊重渔业法规：为了保护渔业资源和环境，许多地区都设有相关的渔业法规和限制。
在进行捕鱼活动时，要了解和遵守当地的渔业法规，遵循合理的捕鱼限额和尺寸限制。
只有通过遵守法规，才能保护渔业资源的可持续性并促进保护生态平衡。
6.保持耐心和冷静：捕鱼是需要耐心和冷静的活动。
有时鱼儿不一定会立刻上钩，这时候保持耐心是非常重要的。
遇到挫折时，要保持冷静，分析原因并尝试调整策略，而不是仓促行事。
最后，捕鱼策略的最重要的一点是享受过程。
不论是单独垂钓还是与朋友家人一起垂钓，都要专注于过程的乐趣和享受，而不仅仅局限于对捕鱼结果的追求。
总之，最优捕鱼策略需要综合考虑多种因素，包括了解目标鱼种、选择合适的钓具、确定合适的时间和地点、运用适当的技巧、遵守渔业法规以及保持耐心和冷静。
通过制定最优的捕鱼策略，我们可以提高捕获的概率并获得更好的捕鱼体验。
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第二步 得出最终模型 • 根据可持续捕捞的要求, 给出约束条件及其目标函数
最优捕鱼策略(1)
由于每年各龄鱼的演化规律相同，且捕捞模式相
同，综上可得：
第k年底i 龄鱼的数量Ni1(k)对第k年初i 龄鱼的数量Ni0(k) 的
递推关系
(4最优捕鱼策略(1)
由各龄鱼之间的年龄增长关系,并假定产卵在年底一次完成,利用关系 式(4)得
从而第k+1年初i 龄鱼的数量Ni0 (k+1)与第k年初i 龄鱼的数量Ni0 (k) 的递
最优捕鱼策略(1)
3rew
演讲完毕，谢谢听讲!
再见，see you again
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
最优捕鱼策略(1)
2020/11/17
最优捕鱼策略(1)
（1）建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中
各年龄组鱼群条数不变)，并且在此前提下得到最高年收获量（捕捞总重 量）。 （2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产 能力不能受到太大破坏。
已 知 承 包 时 各 年 龄 组 鱼 群 数 量 分 别 为 ： 122 ， 29.7 ， 10.1 ， 3.29 （×109条）。如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采用怎样的策略才 能使总收获量最高。
Qk —k年度鱼产卵总量
p —鱼卵的成活率
Mi—第i 龄鱼的平均重量(i=1，2，3，4) Ei —第i 龄鱼的捕捞强度系数 ai —对i 龄鱼的年捕捞量(i=3，4） W—年总收获量，即W=M3a3+M4a4 WW — 5年的总收获量为，即
最优捕鱼策略(1)
由已知条件，可得
（E为捕捞努力量）
模型的建立
最优捕鱼策略(1)
(2) 针对渔业公司的5年固定努力量的捕捞计划，我们在已知 各年龄组鱼初始条数的前提下，利用迭代方程(6)可逐次求得 以后各年龄组鱼的初始条数，以及各年的年度捕捞收获量， 这些量都是E4的函数。
数值解得
WWmax=1.6057×1012g
E4=17.58
E3=7.383
W1=1.6057×1012g W2=1.6057×1012g W3=1.6057×1012g W4=1.6057×1012g W5=1.6057×1012g
（5）假设对鱼的捕捞用固定努力量捕捞方式，每年的捕捞强 度系数保持不变，且捕捞只在前八个月进行.
最优捕鱼策略(1)
符号说明
Ni(t)—t 时刻i 龄鱼的数量 Ni0 (k) —第k 年初i 龄鱼的数量 Ni1 (k)___第k年底i 龄鱼的数量 (i=1，2，3，4)
r—鱼的自然死亡率 c —4龄鱼的平均产卵量 (则c/2为3龄鱼的平均产卵量)
推关系为
(6)
(5)式是每年捕鱼的总收获量，式 (6)刻划了鱼群各年龄组每年 的变化情况，它们一起构成了基本模型。 最优捕鱼策略(1)
第二步
（1）为了实现可持续的最大捕捞（即每年开始捕捞时渔场 中各年龄组鱼群条数不变），即要求的前提下获得最高年收获 量。结合基本模型，即可得到年度产量最优模型：
(7)
(2)
由(2)式解得
从而
对于3、4龄鱼由于后四个月无捕捞，只有自然死亡，所以在后 四个月其数量演化的方程为
(3)
解得
从而
最优捕鱼策略(1)
由于仅在前八个月捕捞,且仅捕捞3龄鱼和4领鱼，而且捕捞 强度系数表示的是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群总量成正
比的比例系数，所以对i 龄鱼的年捕捞量为
从而一年内捕鱼总收获量为
最优捕鱼策略(1)
M3=17.86;M4=22.99;M=M3*a3+M4*a4;M1=-M; M10=char(M); M11=char(M1); fplot(M10,[0,100]) E4=fmin(M11,0,100); E3=0.42*E4; d=1.22*10^11; r=0.8; q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(2/3*E4)/(1-exp(-(r+2/3*E4)))); N10=d*q/(d+q); N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4)));
最优捕鱼策略(1)
第一步（时间以年为单位，考虑一年内各龄鱼数量的演化）
已知r为自然死亡率，其定义为单位时间内死亡的鱼的数
量与鱼的总量之比。由于不捕捞1、2龄鱼，所以在[t，t+Δt]内，
根据死亡率的定义，
变形得
解得 从而
(1)
最优捕鱼策略(1)
对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此在前8个月内，捕 捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为
在刻划了鱼群各年龄组每年的变化情况的迭代式 (6)中，令 Ei=0，并让Ni0 (k+1)= Ni0 (k) 得无捕捞下的平衡点：
N1=1.21981×1011， N2=5.48098×1011， N3=2.46276×1011， N4=2.00953×1011.
由 于 无 捕 捞 时 ， Ni(t) 呈 指 数 分 布 ， 可 以 认 为 当 Ni(t) ≥sqrt(2)/2Ni时鱼群已恢复生产力。而鱼恢复得越快，即对鱼 的生产能力破坏越少，因此我们可以认为捕捞结束后的四年(鱼 的一个生长周期)内恢复生产能力，那么捕捞就对鱼的生产能力 没有破坏！
建模过程完了吗？
最优捕鱼策略(1)
模型检验
合同要求五年后鱼群的生产能力不能收到太大的破坏，那 么我们所得的解是否满足要求呢？这就要做模型检验。
为了分析对鱼群的生产能力的破坏程度，通常认为在天然 情况下，鱼的生态系数总能趋于平衡，而对鱼的捕捞，使鱼的 数量偏离了其平衡点。因而可以用五年捕捞后鱼群数量恢复所 需的年数来衡量对鱼的生产能力的破坏程度。
其中约束条件第二个等号说明各组鱼群条数及产卵量均与k无关。
最优捕鱼策略(1)
优化模型（7）中的约束条件与k无关，故可把k丢掉，并利用 E3=0.42E4，把目标函数和约束条件同时化简得
(7’)
注意到四个约束条件中含五个变量,因此从约束方程组可用符号 计算软件解出Ni0(i=1，2，3，4),它们都是E4的函数,从而目标 函数就是E4的一元函数.问题最终归结为一元函数的极值问题. 该模型也可完全通过数值迭代求解！ 即： E4从0开始，逐渐增加，逐个计算W，挑出使W最大的E4。
最优捕鱼策略(1)
E3 = 7.335 E4 =17.4664 Max =3.8886e+11
各年龄组数为
N1 =1.1958e+11 N2 = 5.3730e+10 N3 =2.4142e+10 N4 =8.1544e+7
最优捕鱼策略(1)
W(g)
E4
图4-5 年度总捕获量随捕捞强度E4的变化曲线
最优捕鱼策略(1)
为了验证所得到的使得五年捕捞量最大的E4符合不对鱼生 产力造成较大破坏的要求，又通过计算来观察打工经过5年捕捞 及停止捕捞后鱼的数量的恢复过程。画图可知停止捕捞后两年 鱼的生产力就会得到恢复，所以我们可以认为没有破坏生产力， 这是一个可接受的策略(详细请见P238)。
模型评价
本模型结合Leslie矩阵离散建模和微分方程连续建模的方法， 成功地解决了可持续捕捞问题最优解及已知初始分布的最优捕 捞问题，得到了较为精确且合理的结果，并可将捕捞年限推广 到任意的年限。本模型具有广泛的普遍性和适用性：只要改变 其中的部分系数如死亡率和初始分布，即可应用于其它种群的 生存和开发问题。以此模型为理论基础，可制定出开发可再生 资源的最优策略，具有现实意义。
最优捕鱼策略(1)
a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r); a4=E4/(r+E4)*(1-exp(-2/3*(r+E4)))*d*q/(d+q)*exp((3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*E4))); M3=17.86;M4=22.99; E3 E4 M=M3*a3+M4*a4; Max=M N1=N10 %各年龄组鱼的数量 N2=N1*exp(-r) N3=N2*exp(-r) N4=N40 执行后输出
最优捕鱼策略(1)
模型的假设
（1）假设只考虑一种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不 考虑鱼的迁入与迁出.
（2）假设各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然 死亡，产卵可在后四个月内任何时间发生.
（3）假设3、4龄鱼全部具有生殖能力，或者虽然雄鱼不产 卵，但平均产卵量掩盖了这一差异.
（4）假设各年龄组的鱼经过一年后，即进入高一级的年龄组， 但4龄鱼经过一年后仍视为4龄鱼.
最优捕鱼策略(1)
模型的求解
供参考的MATLAB计算程序
%最优捕鱼策略ch431 %文件名：ch431.m x=sym('x'); E3=0.42*x; d=1.22*10^11; r=0.8; q=d*exp(-(3*r+2/3*E3))*(32529.55*exp(r)+65059.1*exp(2/3*x)/(1-exp(-(r+2/3*x)))); N10=d*q/(d+q); N40=d*q/(d+q)*exp(-(3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x))); a3=E3/(r+E3)*(1-exp(-2/3*(r+E3)))*d*q/(d+q)*exp(-2*r); a4=x/(r+x)*(1-exp(-2/3*(r+x)))*d*q/(d+q)*exp((3*r+2/3*E3))/(1-exp(-(r+2/3*x)));