第4讲 绝对值与相反数(基础)

绝对值与相反数
【要点梳理】 要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0． 要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴
(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．
4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若
1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1a
b
<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【典型例题】
类型一、相反数的概念
1．
的相反数是（ ）
A ．2016
B ．﹣2016
C ．
D ．
举一反三：
【变式】若a 与1互为相反数，则|a+1|等于（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 类型二、多重符号的化简
2．化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}； （2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）]}．
类型三、绝对值的概念
3．求下列各数的绝对值． 112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭
类型四、比较大小
4．比较下列有理数大小：
(1)-1和0； (2)-2和|-3| ； (3)13⎛⎫-- ⎪⎝⎭
和1
2
- ； （4）1--______0.1--
举一反三： 【变式】比大小： 6
5
3
-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；
1.38-______－1.384； －π______－3.14． 类型五、绝对值非负性的应用
5.已知|2-m|+|n-3|＝0，试求m-2n 的值．
类型六、绝对值的实际应用
6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，
用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．
请用绝对值知识说明：
(1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？
【巩固练习】
一、选择题
1．2015的相反数是（ ） A.2015 B.-2015 C.-
D.
2．如果0a b +=，那么,a b 两个数一定是（ ）．
A ．都等于0
B ．一正一负
C ．互为相反数
D ．互为倒数 3．下列判断中，正确的是( )．
A ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
B ．如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；
C ．任何数的绝对值都是正数；
D ．如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数．
4．已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q 5．下列各式中正确的是( )． A ．103<-
B ．11
34
->- C ．-3.7＜-5.2 D ．0＞-2 6．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．
A ．a ＞b
B ．|a|＞|b|
C ．-a ＜-b
D ．-a ＜|b| 二、填空题
7．如果a 与1互为相反数，则|a+2|等于________． 8． 化简下列各数： (1)23⎛⎫--
= ⎪⎝⎭_ ；(2)45⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
；(3){[(3)]}-+-+=________． 9．已知|x|＝2，|y|＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________．
10．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．
11．在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是 ．
12334x x -=-，则x 的取值范围是________． 三、解答题
13．绝对值大于2而小于6的所有整数的和是多少？（列式计算）
14．化简下列各数，再用“<”连接．
(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)24
5⎛⎫-- ⎪⎝⎭
15．已知：a 是﹣（﹣5）的相反数，b 比最小的正整数大4，c 是最大的负整数．计算：3a+3b+c 的值是多少？。