2011年高考理科数学试题-全国卷1
理科数学
第I卷
、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数122i i的共轭复数是（）
2011 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）
A) 35i B) 3i
C）i （D）i
2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+ ）单调递增的函数是
（）
A ）y x3（B） y x 1 （C）y x2 1 （D）y 2 x
3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是
（）（A）120
（B）720
（C）1440
（D）5040
4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每
位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
B) 12 5）已知角的顶点与原点重合，始边与
23
（C）2（D）3
34
x 轴的正半轴重合，终边在直线y 2x 上，则cos2 =（）
4 3 3
（A ）4（B）3（C）3
5 5 5
6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所
D)4则相应的侧视图可以为（）
3
7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直， L 与 C 交于 A ,B 两点，AB
为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )
其中的真命题是
f ( x) f(x) ，则
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21
题为必考题，每个试题考生都必须
B ) 3
C )2
D )3
8) x a
2x
x 5
1
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项
为 x
A )-40
B )-20
C )20
D )40
9)由曲线 y
x ，直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
A )
10
3 a 与 b 均为单位向量，其夹角
为
B )4
10)已知 C )16
3
，有下列四个命
D )6
P 1 : a
P 3 : a
0,
23
P 2 : a
0,
3
P 4 : a
A ) P 1,P 4
B )P 1,P 3
C ) P 2,P 3
D ) P 2,P 4
11 ) 设 函 数 f (x)
sin( x
cos( x )(
0,
2
)
的 最 小 正 周 期 为 ， 且
C ) (12)函数 y
f(x) 在 f(x) 在 A )2
0,
2
0,
2
单调递减
单调递增
1
11-x
的图像与函数 y
2sin x( (B) 4
B ) f (x) 在 4
,3
4
单调递减
D ) f(x)在 4,34
单调递增
2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于( )
(C) 6 第Ⅱ卷
(D)8
做
答。第22 题～第24题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题：本大题共4小题，每小题 5 分。
3 2x y 9,
（13）若变量x, y满足约束条件 3 2x y 9,则z x 2 y的最小值为。
6 x y 9,
（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2 在x 轴上，离心率为2
2 过F1的直
线L 交C于A,B两点，且V ABF2的周长为16，那么C的方程为。
15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4 的球O的球面上，且AB 6,BC 2 3 ,则棱锥
O ABCD 的体积为。
（16）在V ABC中， B 60o, AC 3，则AB 2BC的最大值为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17 ）（本小题满分12 分）
等比数列a n的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a32 9a2a6.
（Ⅰ ）求数列a n 的通项公式；
1
log3 a n ,求数列的前n项和.
Ⅱ）设b n log 3 a1 log3 a2
b n
（18）（本小题满分12 分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠
DAB=60° ,AB=2 AD ,PD⊥底面ABCD. （Ⅰ）证明：PA⊥BD ；
（Ⅱ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。
19）（本小题满分12 分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102
的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
y 2 2sin
Ⅰ）分别估计用 A 配方， B 配方生产的产品的优质品率；
Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y （ 单位：元 ）与其质量指标值 t 的关系式为
结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20）（本小题满分 12 分）
uuru uur 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A （0,-1） ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB //OA ， uuru uuur uuur uur
MA AB MB BA ，M 点的轨迹为曲线 C 。
Ⅰ）求 C 的方程； 为C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
21）（本小题满分 12 分）
22、23、 24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。
x 2cos 为参数）
uuuv uuuv
M 是 C 1上的动点， P 点满足 OP 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C 2
已知函数 f(x) aln x
Ⅰ）求
a 、
x1 b 的值； b
，曲线 y
x
f （x ） 在点 （1,f （1））处的切线方程为 x 2y 3 0。
Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x
1时， f (x)
ln x k
，求 k 的取值范围。
x 1 x
22）（本小题满分 10 分）选修 4 - 1：几何证明选讲
4-4：坐标系与参数方
程
（23）（本小题满分 10 分）选修
在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 1的参数方程
为 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X （单位：元） ，求 X 的分布列及数学期望 .（以试验
Ⅱ） P 为 C 上的动点， l
请考生在第
y 2 2sin
（Ⅰ）求 C 2 的方程
（Ⅱ ）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射
线 3
与 C 1的异于极点的交点为 A ，
与 C 2 的异于极点的交点为 B ，求 AB
（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 f （x ） x a 3x ,其中 a 0。
（Ⅰ）当 a 1时，求不等式 f （x ） 3x 2 的解集；
Ⅱ）若不等式 f （x ） 0 的解集为 2011
一、选择题
（1）C
（2）B （3）B （7）B （8）D （9）C
x|x 1 ，求 a 的值。
年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案
4）A （5） B （6）D 10）A
（11）A
（12） D
（13）-6
22
(14)
x 2 y 2
16 8
三、解答题
17）解：
（Ⅰ）设数列 {a n } 的公比为 q ， 1
由条件可知 a>0,故 q 。
3
由
2a 1 3a 2 1 得 2a 1 3a 2q
1
故数列 {a
n }
的通项式为 a n = n
。
3n
（Ⅱ ）
b n
log 3 a 1 log 3a 2 2 3 2 2 1 由 a 3 9a 2a 6 得 a 3 9a 4 所以 q 2
。
3
2 6
3 4
9
1 1，所以 a 1
。
3
log 3 a n
n(n 1)
2
1
2 1 1
故
2(
)
b n
n(n 1)
n n 1
1
1
(1)
1 1
2((1 ) (
b 1 b 2
b n
2 2
、填空题
(1 2 ... n) 13
) ... (
1
n n 1 1
))
n 2n 1
即 X 的分布列为
又 PD 底面 ABCD ，可得 BD PD 所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD
Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz ，
Ⅱ）用B 配方生产的 100件产品中，其质量指标值落入区间 90,94 , 94,102 , 102,110的频率分
别为 0.04，,054, 0.42，因此
P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
1
所以数列 { } 的前 n 项和为
2n n1
（18）解：
Ⅰ)因为 DAB 60 ,AB
2AD , 由余弦定理得 BD 3AD
从而 BD 2+AD 2= AB 2，故 BD AD
则 A 1,0,0 ,B 0， 3,0 ,C
1, 3,0 ,P 0,0,1 。 uuuv uuv AB ( 1, 3,0), PB
(0, 3, 1),u
B u
C
uv
1,0,0)
设平面 PAB 的法向量为 n=（ x,y,z ），则 uuu r AB
uur PB
0,
0, 因此可取 n=( 3,1, 3)
设平面 PBC 的法向量为 m ，则
uur PB uu
ur BC 0, 0, 可取 m=（0，-1， 3 ）
cos m,n
4 27
27 7
故二面角 A-PB-C 的余弦值为
27 7
19）解
Ⅰ）由试验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为
22 8
=0.3 ，所以用 A 配方生产的产
品
的优质品率的估计值为 0.3。
由试验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
32 10
0.42 ，所以用 B 配方生产的产品 100
的优质品率的估计值为 0.42
P(X=-2)=0.04,
即
1
x
(x 0) ，则
x
由于直线
2y
0的斜率为 1
，且过点
2
(1,1)，故
Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x)
f(x)
1,
ln x1
1
1
，所以
x
f (1) f '(1)
1,
1
即
2
,
解得 a 1，
1。
(ln x
x k
x ) 1 1
x1
2 (2ln x x 2
(k
2
1)(x 2 1)) 。 )。
考虑函数 h(x) 2ln x
(k 1)(x 2 1)
X 的数学期望值 EX=-2 ×0.04+2 ×0.54+4 ×0.42=2.68 (20)解：
(Ⅰ )设 M(x,y), 由已知得 B(x,-3),A(0,-1).
uuru uuur uuur
所以 MA
=
( -x,-1-y ), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).
uuru uuur uuur
再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即( -x,-4-2y ) ? (x,-2)=0.
12
x 02 4 d 2
2 x 02 4
21）解：
所以曲线 C 的方程式为
(Ⅱ)设 P(x 0,y 0)为曲线 C ： 因此直线 l 的方程为 y 则 O 点到 l 的距离 d 0 0
. 又 4
12
y= x -2.
4
12
y= x 2 -2 上一点，因为 y 4
1 y 0 x 0(x
2 |2y 0 x 02 | =1
x,所以 l 的斜率为 2 1 x
2 x 0 )，即 x 0x 2y 2y 0 x 02
0。 x 02 y
0 1
4
x 02
2 ， 4 所以 2 当 x 02
=0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 4
4) 2,
x 02
Ⅰ) f '(x)
x1 ( lnx) x (x 1)2
11
h （1）=0，故当 x （1，11k ）时，h （x ）＞0，可得 1 1x 2 h （x ）＜0,与题
设矛盾。
（ iii ）设 k 1.此时 h '
（x ）＞0,而 h （1） =0，故当 x ＜0,与题设矛盾。
综合得， k 的取值范围为（ - ，0] （22）解： （I ）连接 DE ，根据题意在△ ADE 和△ ACB 中， AD ×
AB=mn=AE × AC,
AD AE
即
.又∠ DAE= ∠CAB,从而△ ADE ∽△ACB
AC AB
因此∠ ADE= ∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。
Ⅱ) m=4, n=6 时，方程 x 2-14x+mn=0 的两根为 x 1=2,x 2=12.
故 AD=2 ， AB=12.
取 CE 的中点 G,DB 的中点 F ，分别过 G ， F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH ，因 为 C ，B ，D ，E 四点共圆，所以 C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为 H ，半径为 DH.
1
由于∠ A=90 0，故 GH ∥ AB, HF ∥ AC. 从而 HF=AG=5 ，DF=
（12-2）=5.
2
故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2
23）解：
h'(x) 2
(k 1)(x 2 1) 2x
2。
x
(i)设k 0，由 h'(x)
22
k(x 1) (x 1)
知，当 x 1时， h'(x) 0。而 h(1) 0 ，故
当 x (0,1) 时， h(x)
0，
1
可得 2 h(x) 0 ； 1 x
2
当x
从而当 ii ）设 1
h ( x )<0，可得
2 h ( x ) >0
1 x
2
1 时， f (x ) -( ln x + k )>0，即 f (x )
x 1 x 1'
1， + ） x>0, 且 x 时，
ln x k >
+ x 1 x
0 )时，(k-1)(x 2 +1)+2x>0, 故 h ' (x ) >0, 而 1k 1，+ ）时， h （x ）＞0，可得 1 2 h （ x ） 1x x I）设P（x,y）,则由条件知M（x, y）.由于M 点在C1上，所以 22 x 射线 与 C 1 的交点 A 的极径为 1 4sin ， 33 射线 与 C 2的交点 B 的极径为 2 8sin 。 3 2 3 所以 |AB| | 2 1| 2 3 . （24）解： （Ⅰ）当 a 1时， f （x ） 3x 2 可化为 |x 1| 2 。 由此可得 x 3 或 x 1。 故不等式 f （x ） 3x 2的解集为 {x|x 3 或 x 1}。 ( Ⅱ) 由 f (x) 0得 x a 3x 0 此不等式化为不等式组 xa xa 或 xa 3x 0 ax 3x 0 x a x a 即 x a 或 a a 4 2 因为 a 0 ，所以不等式组的解集为 x|x a 2 a 由题设可得 = 1，故 a 2 2 2cos a, y 2 2sin a 2 x 4cosa 即 y 4 4sin a 从而 C 2 的参数方程为 x 4cos y 4 4sin 为参数） Ⅱ）曲线 C 1 的极坐标方程为 4sin ，曲线 C 2 的极坐标方程为 8sin 。