【精品】最新2020小升初数学专项题-第六讲 工程问题通用版

第六讲 工程问题
【基础概念】：与工作效率、工作时间、工作总量有关是问题被称为工程问题；通常把工作总量看作单位“1”，工作效率用单位时间内完成工作总量的“几分之一”表示，其基本数量关系：工作效率×工作时间=工作总量，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率。

【典型例题1】：一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天．若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，请问：甲单独做了几天？
【思路分析】：把全部工作量看作“1”，则甲的工作效率是112 ，乙的工作效率19 ；
设甲做了x 天，则乙就做了10-x 天，由工作效率×工作时间=工作量，可得方程： 112 ×x+19 ×（10-x ）=1，解方程就可以了。

解答：解：设甲做了x 天，则乙就做了10-x 天，可得方程：
112 ×x+19 ×（10-x ）=1
3x+40-4x=1×36
40-x+x=36+x
36+x-36=40-36
x=4
答：甲单独做了4天。

【小结】：解决这类问题首先要把全部工作量看作“1”，再根据基本关系式“工作效率×工作时间=工作量”设未知数来解决就可以了。

【巩固练习】1、一件工程，甲独做72天完成，乙独做24天完成．若甲先做若干天后，由乙接着单独完成余下的工程，总共须要36天．问甲先做了多少天﹖
2、一项工程，甲队单独做需7天完成，乙队单独做需5天完成，现由甲队单独做1天后，乙队加入，则乙队做了几天后完成了这项工程？
【典型例题2】：修一条路，甲、乙两队合作8天完成．如果甲队单独修12天可以修完．实际上先由乙队修了若干天后，再由甲队继续修，全部完成时共用了15天．求甲、乙两队各修了多少天？
【思路分析】：甲、乙两队合作8天完成，则两队的效率和是18 ，甲队单独修12
天可以修完，甲队的效率是112 ，所以乙队的工作效率是18 - 112 ，由此可设乙队
修了x 天，则甲队修了15-x 天，可得方程：（18 - 112 ）x+ 112 （15-x ）=1，解
此方程即可解决。

解答：解：设乙队修了x 天，则甲队修了（15-x ）天，可得：
（18 - 112 ）x+ 112 （15-x ）=1
124 x+54 -112 x=1，
124 x=14
x=6；
15-6=9（天）
答：甲队修了9天，乙队修了6天。

【小结】：解决此类问题首先要根据题意求出乙的工作效率，再找出等量关系列出方程就可以解决了。

【巩固练习】3、修一条路，甲、乙两队合作可以12天完成．如果甲单独做8
天后，再由乙单独做3天，这时，甲、乙两队共同完成了全部工程的512 ，如果
这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？
4、一项工程，甲队单独做8天完成，乙队单独做2天可以完成全工程的16 ，如
果两队先合作若干天后，甲队再单独做3天完成了剩余的任务．甲队一共工作了多少天？
答案及解析：
1.【解析】把这项工程看做单位“1”，设甲先做x 天，根据等量关系式；甲做的工作量+乙做的工作量=工作总量，列方程即可解答。

【答案】解：设甲先做了x 天，则乙就做了（36-x ）天
172 x+(36-x)×124 =1
172 x+32 -×124
x =1 x=18
答：甲先做了18天。

2. 【解析】据甲队单独做需7天完成，乙队单独做需5天完成，得出每队每天能完成的所占总工作量份数，利用甲队单独做1天后，乙队加入，进而得出等式。

【答案】解：乙队做了x 天后完成了这项工程，依据题意得出：
17 +（17 +15 ）x=1，
解得：x=2.5．
答：乙队做了2.5天后完成了这项工程。

3.【解析】把这条路的总长度看成单位“1”，那么二人合作的工作效率就是112 ；
甲单独做8天后，再由乙单独做3天，可以看成甲乙合作了3天，甲又独做了5
天；先求出合作3天的工作量，用已完成的工作量512 减去合作的工作量就是甲
5天完成的工作量；用这个工作量除以工作时间5天就是甲的工作效率；然后用合作的工作效率减去甲的工作效率就是乙的工作效率，进而求出乙独做的工作时间。

【答案】：8-3=5（天）；
（512 -112 ×3）÷5
=（512 -312 ）÷5
=16 ÷5
=1
30
1÷（1
12-1
30），
=1÷1
20
=20（天）．
答：乙队20天可以修完这条路．
4.【解析】根据题意，甲每天完成全部工程的1
8，乙每天完成
1
6÷2=
1
12
，甲乙合作的时间为：（1- 1
8×3）÷（
1
8+
1
12）=3（天），再加上甲队单独做
的3天，即为所求。

【答案】：甲乙合作的时间为：
（1- 1
8×3）÷（
1
8+
1
12）=3（天）=3
甲队一共工作的天数：
3+3=6（天）．
答：甲队一共工作了6天。