粗糙集的五类拟阵结构
拟阵下的覆盖模糊粗糙集
拟阵下的覆盖模糊粗糙集李凯;祝峰;陈文;汤建国;佘堃【摘要】拟阵是一种图和矩阵的同时推广的概念,而覆盖粗糙集是经典粗糙集的推广.利用拟阵理论研究覆盖模糊粗糙集,从而将两者进行了融合,提出了拟阵覆盖模糊粗糙集的概念,定义了拟阵覆盖近似空间的上下近似.分析了拟阵覆盖模糊粗糙集的相关性质,定义了拟阵覆盖粗糙集下的粗糙度,并通过它来衡量不确定程度,这也进一步推广了粗糙度.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2010(046)032【总页数】5页(P29-32,39)【关键词】粗糙集;模糊集;覆盖;拟阵;粗糙度【作者】李凯;祝峰;陈文;汤建国;佘堃【作者单位】电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054;福州职业技术学院,计算机系,福州,350108;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054;电子科技大学,计算机科学与工程学院,成都,610054【正文语种】中文【中图分类】TP181 引言随着信息技术的不断发展和普及，各个领域的数据也在以惊人的速度积累。
许多有用的数据都隐藏在这些信息里面，从表面上来看，人们很难获得。
为了从这些数据里面挖掘出有用的信息，许多研究学者提出了有用的方法，粗糙集理论就是其中之一。
粗糙集最初由Pawlak提出[1]，它通过不可分明关系对信息进行分类，进而来处理不精确、不确定与不完全数据。
它在人工智能、数据挖掘和知识发现等领域得到了广泛的应用。
实践证明，这是一种非常有效的方法，因此越来越受到国际学术界的重视。
而模糊集理论是由美国计算机与控制论专家Zadeh于1965年提出的刻画模糊现象和模糊概念的数学理论[2]。
它对描述与仿效人的思维有较好的效果，还可以总结和反映人的体会与经验，把模糊控制、模糊识别、模糊推理、模糊决策等方法运用到复杂事物和系统中。
粗糙集理论介绍
粗糙集理论介绍面对日益增长的数据库，人们将如何从这些浩瀚的数据中找出有用的学问？我们如何将所学到的学问去粗取精？什么是对事物的粗线条描述什么是细线条描述？粗糙集合论Pl答了上面的这些问题。
要想了解粗糙集合论的思想，我们先要了解一下什么叫做学问？假设有8个积木构成了一个集合A,我们记：A={xl,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8},每个积木块都有颜色属性，根据颜色的不同,我们能够把这积累木分成Rl={红,黄,兰} 三个大类，那么全部红颜色的积木构成集合Xl = {xl,x2,x6},黄颜色的积木构成集合X2={x3,x4},兰颜色的积木是：X3={x5,x7,x8}o根据颜色这个属性我们就把积木集合A进行了一个划分(所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必定属于且仅属于一个分类)，那么我们就说颜色属性就是一种学问。
在这个例子中我们不难看到，一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个学问，假如还有其他的属性，比如还有外形R2={三角,方块,圆形},大小R3={大,中,小},这样加上Rl 属性对A 构成的划分分别为：A/R1={X1 ,X2,X3}={(X1 ,x2,x6},{x3,x4)4x5,x7,x8},(颜色分类) A∕R2={Yl,Y2,Y3}={{xl,x2},{x5,x8},{x3,x4,x6,x7}}(外形分类)A∕R3={Z1,Z2,Z3)={{x1,x2,x5},{x6,x8},{x3,x4,x7}}(大小分类) 上面这些全部的分类合在•起就形成了•个基本的学问库。
那么这个基本学问库能表示什么概念呢？除了红的{xl,x2,x6}、大的{xl,x2,x5}、三角形的{xl,x2)这样的概念以外还可以表达例如大的且是三角形的{xl,x2,x5}∩{xl,x2)={xl,x2}, 大三角{xl,x2,x5}∩{xl,x2}={xl,x2}，兰色的小的圆形({x5,x7,x8)∩{x3,x4,x7}∩{x3,x4,x6,x7}={x7},兰色的或者中的积木{x5,x7,x8} U {x6,x8)={×5,x6,x7,x8}β而类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如Xl与Yl的交就表示红色的三角。
粗糙集
粗糙集理论建立在这样一个前提上：即所考虑的 论域中的每一个对象都包含某种信息（数据和知 识）。
条件属性集：
数学定义是：P={P1,P2,…,Pm} 解释：就是对象的各种属性总和（也就是数据库中 的字段） Pm 就是这个对象的一个属性
基本集（基本粒度）：
定义：所有不可区分的对象形成的集合 解释：可区分（可分辨）：如果Ui ≠Uj 就称这两个 对象在其条件P下是可区分的（对于两个不同的对 象至少有一个属性是不同的）否则即为不可区分
集合O 的下逼近(即正区) 为 I 3 (O ) = PO S (O ) = {刘保,赵 凯} 集合O 的负区为 N EG (O ) = {李得} 集合O 的边界区为 BND (O ) = {王治, 马丽} 集合O 的上逼近为 I 3 (O ) = PO S (O ) + BND (O ) = {刘保,赵凯,王治,马 丽} 根据表1, 可以归纳出下面几条规则, 揭示了教育程度与 是否能找到好工作之间的关 RUL E 1: IF (教育程度= 大学) OR (教育程度= 博士) THEN (可以找到好工作) RUL E 2: IF (教育程度= 小学) THEN (找不到好工作) RUL E 3: IF (教育程度= 高中) THEN (可能找到好工作)
例
对于上表来说，U中有四个对象（概念），而现 在条件集合中只有一个属性，对于U1和U2来说， 它们的p不同所以可以通过p来区分，即u1,u2在p 下可区分；而U2和U3虽然是不同的对象但是在P 下却是相同的，即在p下不可区分，就成为不可ห้องสมุดไป่ตู้区分
粗糙集：
一个集合若恰好等于基本集的任意并集称为一个清晰 （crisp）集（精确集），否则称为粗糙（rough）集（不 精确集）。 解释：都可区分的是清晰集，有不可区分的对象为粗糙 集 主要特点:以不完全信息或知识去处理一些不分明现象的 能力,或依据观察、度量到的某些不精确的结果而进行分 类数据的能力. 粗糙集体现了集合中元素间的不可区分性. 主要优势:它不需要提供问题所需处理的数据集合之外的 任何先验知识,而且与处理其它不确定性问题的理论有很 强的互补性.
集值映射的拟阵结构及其与覆盖粗糙集的关系
Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用2019，55（6）1引言拟阵的概念是1935年由Whitney 首次提出的，起初拟阵并没有引起人们的关注。
直到20世纪60年代，Rado 研究了拟阵的公理系统，同时很多研究者开始关注拟阵和格论的联系，这才使得拟阵理论进入了快速发展阶段。
拟阵是线性代数和图论中某种独立性的推广，因此拟阵理论与线性代数及图论关系密切。
此外，拟阵理论还广泛地应用于整数规划、组合优化、逻辑电路、编码理论等领域。
不同于拓扑理论主要关注于无限集上的结构性质，拟阵主要研究有限论域上的结构。
和图论联系密切，可以直观地展示某些拟阵结构；而拟阵的算法性质又使得解决其他领域的一些典型优化问题多了一种选择。
如前所述，拟阵还和格论、线性代数等学科联系密切。
拟阵的这些优点使其与其他理论的交叉研究成为很多学者关注的热点，如拟阵与概念格[1-3]、模糊集[4-5]、粗糙集[6-10]等的融合研究。
在粗糙集方面，Tsumot 和Tanaka [7，10]首次研究了粗糙集和拟阵之间的联系，他们通过拟阵方法理解三种归纳学习之间的区别和相似点。
拟阵可以通过很多方式来确定，比如独立集、基、极小圈、秩函数、闭包算子或者闭集等。
在拟阵的公理系统方面，李[11]研究了超拟阵的独立集公理、基公理和圈公理，并建立模格上的独立元公理。
很多学者利用拟阵的独立集公理、基公理、闭包公理和闭集公理研究了覆盖粗糙集和邻域粗糙集的结集值映射的拟阵结构及其与覆盖粗糙集的关系齐美兰，李小南西安电子科技大学数学与统计学院，西安710126摘要：集值映射是拓扑学中的一个重要的概念。
基于论域中的各个元素之间的关系，利用集值映射的原理在论域上导出了一种拟阵结构，对该类拟阵的独立集、相关集、极小圈、秩函数、闭包和闭集等性质进行了研究，给出了该类拟阵的对偶拟阵的独立集和极小圈的等价刻画。
利用覆盖粗糙集模型中邻域和近似算子的概念建立了集值映射下的拟阵结构和粗糙集之间的联系。
粗糙集
粗糙集简述1、什么是粗糙集2、粗糙集与经典集合的关系经典集合论的“成员关系”是“非此即彼”粗糙集合论的“成员关系”是“亦此亦彼”3、模糊集合论VS粗糙集合论（1）模糊集合论着眼于模糊性粗糙集合论着眼于知识的粗糙性3、模糊集合论VS粗糙集合论如：《应用模糊数学》里说过，“高个子的男生”、“漂亮的女孩”假如刘备、关羽、张飞、曹操、诸葛亮五人在一间房子里开会，现在知道关羽和曹操患了感冒，而其他人是否感冒不知。
但是他们或多或少地有一些症状，刘备肌肉痛，张飞肌肉痛&头痛，诸葛亮体温高。
到底是体温高的感冒了，还是头痛的感冒了，不得而知，若非得回答谁感冒了，那么这个问题就是具有粗糙性的问题。
在这里把集合{关羽、曹操}称作精确集，{刘备、关羽、张飞、曹操、诸葛亮}叫作粗糙集。
（2）从知识描述方法上来看，模糊集合论是通过对象关于集合的隶属度来近似描述。
粗糙集合论通过信息库的一对上下近似来描述的。
（3）从对象间的关系来看，模糊集合论强调边界的不分明。
粗糙集合论强调对象间的不可区分性。
（4）从研究对象来看，模糊集合论研究的是同一类的不同对象的隶属关系，重在隶属程度。
粗糙集合论研究的是不同类中的对象组成的集合之间的关系，重在分类。
（1）什么是“知识”【标准定义】设U是我们感兴趣的对象组成的非空有限集合，称为论域。
U的任何一个子集X U,称为论域U的一个概念。
论域U中的任何子集簇称为关于U的抽象知识，简称知识。
【我的理解】曹操、关羽等是对象，{头痛}、{头痛、肌肉痛}、{头痛、肌肉痛、体温高}、∅这些集合就是知识（2）为什么要约简信息系统中的属性并不是同等重要的，甚至其中某些属性是冗余的。
在保证信息系统分类能力不变的条件下，删除其中不必要的、不重要的或不相关的属性。
小例子-银行信贷风险之后结合小例子为大家介绍粗糙集，数据和例子均来自中国期刊杂志一、选择指标体系根据个人消费信贷指标体系的选择方法及数据的可获取性，初选10个指标变量，个人信用评分指标体系共由10个条件属性构成，分别由个人自然特征变量、经济状况变量及信用状况变量三部分组成。
2粗糙集(上课)
头疼 是 是 是
肌肉疼 是 是 是
体温 正常 高 很高
流感 否 是 是
否
否 否
是
否 是
正常
高 很高
否
否 是
头疼
是 是
体温
正常 高
流感
否 是
是
否 否 否 否 否
很高
Байду номын сангаас正常 高 很高 高 很高
是
否 否 是 是 否
必然规则有哪些？可能规则有哪些？
RS理论概论
粗糙集(Rougn Set,RS)理论是由波兰学者 Pawlak Z在1982年提出的。粗糙集(Rougn Set, RS)理论是一种刻划不完整性和不确定性 的数学工具，能有效地分析和处理不精确、不 一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现 隐含的知识，揭示潜在的规律。 该理论近年日益受到国际学术届的重视，已经 在模式识别、机器学习、决策支持、过程控制、 预测建模等许多科学与工程领域得到成功的应 用。
集合X关于R的上逼近(upper approximation) 定义为：
R*(X)是由所有与X相交非空的等效类［a］R 的并集，是那些可能属于X的对象组成的最 小集合.显然，R*(X)+NEG(X)=论域U
集合X的边界区(boundary region)定义为：
BN(X)为集合X的上逼近与下逼近之差. 如果BN(X)是空集，则称X关于R是清晰 的(crisp)；反之如果BN(X)不是空集，则 称集合X为关于R的粗糙集(rough set).
给定一个有限的非空集合U称为论域，R 为U上的一族等效关系.R将U划分为互不 相交的基本等效类，二元对K=(U，R)构 成一个近似空间(approximation space). 设X为U的一个子集，a为U中的一个对象， ［a］R表示所有与a不可分辨的对象所组 成的集合，即由a决定的等效类.当集合X 能表示成基本等效类组成的并集时，则 称集合X是可以精确定义的；否则，集合 X只能通过逼近的方式来刻划。
粗糙集
第五章 粗糙集粗糙集（Rough Set ，RS ）理论是一种刻划不完整性和不确定性的数学工具，能有效地分析和处理不精确、不一致、不完整等各种不完备信息，并从中发现隐含的知识，揭示潜在的规律。
该理论是由波兰学者Z.Pawlak 教授在1982年提出的[12]，1991年的Z.Pawlak 出版了第一本关于粗糙集的专著[51]，系统全面地阐述了RS 理论，奠定了严密的数学基础。
该书和1992年R.Slowinski 主编出版的关于粗糙集应用及其相关方法比较研究的论文集较好地总结了这一时期RS 理论与实践的研究成果[52]，促进了国际上对粗糙集理论与应用的深入研究。
从1992年至今，每年召开以RS 为主题的国际会议，推动了RS 理论的拓展和应用。
国际上成立了粗糙集学术研究会。
目前RS 理论已成为人工智能以及计算智能中一个较新的学术热点，且在机器学习、决策分析、数据挖掘和知识发现等领域得到了具体应用和发展，并引起越来越多的科研人员的关注[13,52,53]。
粗糙集理论主要研究属性约简和规则提取，为此，本章主要介绍知识约简、属性约简和规则提取等方法。
5.1 粗糙集的基本概念5.1.1 知识表达系统为了处理智能数据，需要知识的符号表达，而知识表达系统（KRS ）的基本成分是研究对象的集合， 因此可以表达为：),,,(f V Q U K = （5.1.1）这里，U 是论域，即为对象的集合；Q 是属性集合，分为条件属性集C 和决策属性集D ，Q =C U D ，C ID =∅； a A a V V ∈=U 是属性值的集合，a V 表示了属性Q a ∈的范围；f 是V A U →×的映射。
知识表达系统K 有时可以简写为：K =(U ,Q )，它常用表格表达或决策表来实现。
5.1.2 不可辨识关系对于y x ,∈U ，P ⊆Q ，如果满足∀q ∈P :)()(y f x f q q =，则称对象x y 、对于属性集合P 是不可辨识的。
经典粗糙集理论
粗糙集可以用于提取数据中的决策规则，这些规则可以作为神经网络的 训练样本。通过训练，神经网络可以学习到决策规则，并用于分类或预 测。
边界区域
近似集合中的不确定性区 域，即既不属于正域也不 属于负域的元素集合。
粗糙集的度量
精确度
描述了集合中元素被近似集合 包含的程度，即属于近似集合
的元素比例。
覆盖度
描述了近似集合能够覆盖的元 素数量，即近似集合的大小。
粗糙度
描述了集合被近似程度，是精 确度和覆盖度的综合反映。
知识的不确定性
描述了知识表达系统中属性值 的不确定性程度，与粗糙度相
经典粗糙集理论
目录
• 粗糙集理论概述 • 粗糙集的基本概念 • 粗糙集的运算与性质 • 粗糙集的决策分析 • 粗糙集与其他方法的结合 • 经典粗糙集理论案例研究
01 粗糙集理论概述
定义与特点
定义
粗糙集理论是一种处理不确定性和模 糊性的数学工具，通过集合近似的方 式描述知识的不完全性和不确定性。
粗糙集理论中的属性约简可以用于简化神经网络的输入特征，降低输入 维度，提高分类或预测的准确率。
粗糙集与遗传算法
01
遗传算法是一种全局优化算法，能够通过模拟自然界的进化过程来寻找最优解 。将粗糙集与遗传算法结合，可以利用粗糙集对数据的分类能力，结合遗传算 法的全局搜索能力，寻找最优的分类规则或决策规则。
02
粗糙集可以用于生成初始的分类规则或决策规则，然后利用遗传算法对这些规 则进行优化，通过选择、交叉、变异等操作，寻找最优的规则组合。
粗糙集理论方法及其应用ppt课件
粗糙集概念示意图
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
2 粗粗糙糙集集理理论论思思想想
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
2.3 粗糙近似
定义 给定一个知识表示系统 S (U, A,V, f ) ， P A，X U ，x U ，集合 X 关于 I 的下近似、 上近似、负区及边界区分别为
apr (X ) {x U : I(x) X} p
aprP (X ) {x U : I(x) X }
neg p ( X ) {x U : I (x) X }
2.2 不可分辨关系 （Indiscribility relation)
❖ 不可分辨关系是一个等 价关系(自反 的、对称 的、传递的）。
❖ 包含对象x的等价类 记为I(x)。等价类与知 识粒度的表达相对应， 它是粗糙集主要概念， 如近似、依赖及约简等， 定义的基础
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
决策属性(D)
U
a1
a2
a3
d
n1
High
Low
Low
Low
n2
Medium
High
Low
High
n3
High
High
High
High
粗糙集理论方法及其应用 病原体侵入机体，消弱机体防御机能，破坏机体内环境的相对稳定性，且在一定部位生长繁殖，引起不同程度的病理生理过程
第五讲：粗糙集(Rough Set)
第三节粗糙集（Rough Set，RS）如果我们将研究对象看成是现象，那么我们可以将这些现象分类。
现象被分为确定现象与不确定现象。
不确定现象有分为随机现象，模糊现象和信息不全的粗糙现象。
如下所示：⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩∈确定现象随机现象，0－1律，多种可能性满足分布规律。
现象不确定现象模糊现象，律属度Î(0，1），不是非此即彼。
粗糙现象，研究那些因为信息不充分而导致的不确定性相对于前两种现象的处理，粗糙现象是基于不完全的信息或知识去处理不分明的现象，因此需要基于观测或者测量到的部分信息对数据进行分类，这就需要与概率统计和模糊数学不同的处理手段，这就是粗糙集理论。
直观地讲，粗糙集是基于一系列既不知道多了还是少了，也不知道有用还是没用的不确定、不完整乃至于部分信息相互矛盾的1数据或者描述来对数据进行分析、推测未知信息。
下面我们对粗糙集的基本特征、以及数学符号进行简述。
1．粗糙集的特点粗糙集的特点是利用不精确、不确定、部分真实的信息来得到易于处理、鲁棒性强、成本低廉的决策方案。
因此更适合于解决某些现实系统，比如，中医诊断，统计报表的综合处理等。
粗糙集的另一个重要特点就是它只依赖于数据本身，不需要样本之外的先验知识或者附加信息，因此挑选出来的决策属性可以避免主观性，有英雄不问出身的意味。
用粗糙集来处理的数据类型包括确定性的、非确定性的、不精确的、不完整的、多变量的、数值的、非数值的。
粗糙集使用上、下近似来刻画不确定性，使得边界有了清晰的数学意义并且降低了算法设计的随意性。
3．粗糙集的基本概念粗糙集要涉及论域U（这与模糊系统相似），还要涉及属性集合R C D=（这被认为是知识，或者知识库）。
当然，也要有属性值域V，以及信息函数f：U R V⨯→的。
因此，一个信息系统S可以表示为一个四元组{}=。
在不混淆的情况下，简记为(,)S U R V f,,,=，S U R23 也称为知识库。
等价关系（通常用来代替分类）是不可或缺的概念，根据等价关系可以划论域中样本为等价类。
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粗糙集的五类拟阵结构
粗糙集理论是一种处理模糊和不确定知识的数学工具，利用已知的知识库，通过上近似算子和下近似算子来近似刻画和处理不精确的知识。
它已经被广泛应用于医学、机器学习、决策分析、智能控制等领域，特别是在数据挖掘领域，获得了巨大的成功。
粗糙集理论对数据挖掘技术的多个步骤提供了理论上的指导和支持，例如数据预处理、属性约简、属性值约简和规则处理。
粗糙集理论中的属性约简是一个NP难问题，在具有巨大、动态、多维、异构的大数据面前，单纯地使用粗糙集理论不一定能有效地解决实际问题。
而拟阵是解决NP难问题的一种重要工具，其已被广泛地应用到Greedy算法，许多最优化问题从拟阵出发得到了发展和推广。
因此，为解决粗糙集中属性约简的最优解问题，将粗糙集理论和拟阵理论相结合有着非常重要的意义。
本论文建立了粗糙集的五类拟阵结构，并对其进行了系统深入的研究。
首先创建了经典粗糙集的划分圈拟阵，继而诱导出了它的两个推广模型：经典粗糙集的含参拟阵和广义粗糙集的不交圈拟阵；然后建立了经典粗糙集的划分圈拟阵的对偶拟阵：广义粗糙集的2-圈拟阵；最后，突破了关系的限制建立了广义粗糙集的邻域拟阵。
(1)经典粗糙集的划分圈拟阵。
建立了以等价关系对论域构成的划分为极小圈集族的经典粗糙集的划分圈拟阵，证明了经典粗糙集的划分圈拟阵的独立集集族是由下近似为空集的子集组成的，定义了一个量化工具：下近似数，研究了其与已存在的上近似数之间的关系，并利用这两个工具对经典粗糙集的划分圈拟阵及其对偶拟阵做了进一步的刻画。
(2)经典粗糙集的含参拟阵。
通过引入一个参数(论域的任一子集)，将下近似拓宽到参数内的子集构成了一个拟阵的独立集集族，这个拟阵称为经典粗糙集的含参拟阵。
事实上，经典粗糙集的含参拟阵并非一种简单的推广模型，它可由一个经典粗糙集的划分圈拟阵和一个自由拟阵的直和表示。
在此基础上，下近似数对经典粗糙集的含参拟阵做了进一步的描述。
(3)广义粗糙集上的不交圈拟阵。
作为经典粗糙集的划分圈拟阵的又一推广模型，它是将等价关系推广为序-传递关系，以关系的极小邻域族为极小圈集族的拟阵结构。
作为经典粗糙集的划分圈拟阵的另一推广模型，经典粗糙集的含参拟阵与广义粗糙集的不交圈拟阵之间的关系进行了讨论。
同时，为了深入的了解广义粗糙集的不交圈拟阵，建立了拟阵的Ⅰ类粗糙集。
(4)广义粗糙集的2-圈拟阵。
证明了基于序关系上的可定义集族满足拟阵的闭集公理，尤其是，基于自反关系上的可定义集族在经过各种闭包之后保持不变。
基于此，证明了基于自反关系的广义粗糙集的2-圈拟阵的闭包算子恰是这个关系的等价闭包的上近似算子，继而描述了其与经典粗糙集的划分圈拟阵的对偶性。
(5)广义粗糙集的邻域拟阵。
无论是经典粗糙集的划分圈拟阵、含参拟阵，还是广义粗糙集的不交立圈拟阵、2-圈拟阵，他们的关系最弱也要求是序关系。
突破了关系限制的局限，通过关系邻域的概念，建了基于任意关系的广义粗糙集的两个拟阵：前继邻域拟阵和后继邻域拟阵，并证明了由一个关系诱导出的前继邻域拟阵恰是由这个关系的逆诱导出的后继邻域拟阵。