第2章 内积空间1
内积空间
设 H 是 Hilbert 空间
第21页
1) 正交系及规范正交系
（1） 定义 设在 H 空间中有一组非零的元素列（或
点列）{en}，
①若 (ei ,ej ) 0 (i j)，则称{en}为正交系；
0 , i j ②若(ei ,ej ) 1 , i j ，则称{en}为规范正交系
按内积(x, y) xi yi 为规范正交系。 i 1
第23页
例3 在 L2[ , ]中，若规定内积
(x, y) x(t) y(t)dt ，
则三角函数系
1,
2
1 cost, 1 sin t,, 1 cos nt, 1 sin nt,
是 L2[ , ]中的规范正交系。
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y) xi yi ，范数 x xi2 。
i 1
i 1
第8页
例2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
x x0 x1
注意： 完备子空间一定是闭子空间，反之丌成立；
完备空间的闭子空间一定是完备子空间； 有限维赋范空间(内积空间)一定是完备并可分的空间。
第19页
推广：当 M 是内积空间 U 的完备线性子空间时，定理仍 然成立。 问题：如何求 U 中 x 在 M 中的投影 x0？
第20页
矩阵理论-第二章内积空间
因此有 即
( , )
2
( , ) ( , )
( , )
而且当且仅当
( , ) ，即 与 线性相关时，等号成立. ( , )
定义 1.3 设 V 是欧氏空间，则 x，y V ，称
( x, y) arccos x y
, n 是 n 维欧氏空间 V 的一个标准正交基，
x 11 2 2
n
n n , y 1 1 2 2
n
n
n n
则有
( x, y ) ( i i , j j ) ii
i 1 j 1
i 1
在标准正交基下， V 中任意两个元素的内积等于它们对应坐标向量的内积.
km (m , i ) 0 ,(i 1,2, , m)
由于 i j 时, (i , j ) 0 ，故可得
ki ( i , i ) 0 (i 1, 2, , m) ，
又 i O 时， (i , i ) 0 , 从而有
ki 0 (i 1, 2
( x ,y ) 0 成立，
例 2.3 设
W1 ( x , y , T 0) x ,y W2 (0, 0, z )T z R
证明 因为 1 ,2 , 首先, 取
,n 线性无关，所以 i 0 (i 1 , 2 , n ,. )
1 1 ;
( 2 , 1 ) 1 ; ( 1 , 1 )
其次, 令 2 2
则可得两个正交元素 1 , 2 .
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 再次, 令 3 3 1 2 ; ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
矩阵第二章 内积空间
第二章 内积空间目的：在线性空间中引入向量的长度、向量之间夹角等度量概念，深化对线性空间、线性变换等的研究。
§1 内积空间的概念定义2－1 设V 是实数域R 上的线性空间。
如果对于V 中任意两个向量βα,，都有一个实数（记为()βα,）与它们对应，并且满足下列条件(1)-(4)，则实数()βα,称为向量βα,的内积。
(1) ()()αββα,,=； （2）),(),(βαβαk k =，（R k ∈） （3）),(),(),(γβγαγβα+=+，（V ∈γ） （4）()0,≥αα，当且仅当θα=时，等号成立。
此时线性空间V 称为实内积空间，简称为内积空间。
例2－1 对于nR 中的任二向量()n x x x X ,,,21 =，()n y y y Y ,,,21 =，定义内积()∑==ni i i y x Y X 1,，n R 成为一个内积空间。
内积空间n R 称为欧几里得（Euclid ）空间，简称为欧氏空间。
由于n 维实内积空间都与nR 同构，所以也称有限维的实内积空间为欧氏空间。
例2－2 如果对于nn RB A ⨯∈∀,，定义内积为()∑==nj i ij ij b a B A 1,,，则n n R ⨯成为一个内积空间。
例2－3 ],[b a R 定义dx x g x f x g x f ba⎰=)()())(),((，则可以验证))(),((x g x f 满足内积的条件，从而],[b a R 构成内积空间。
内积()βα,具有下列基本性质(1) ()()βαβα,,k k =，（R k ∈）；(2) ()()()γαβαγβα,,,+=+；(3) ()()0,,==βθθα。
定理2－1（Cauchy-Schwarz 不等式）设V 是内积空间，则V ∈∀βα,，有()()()ββααβα,,,2≤，并且当且仅当βα,线性相关时等号成立。
定义2－2 设α是内积空间V 的任一向量，则非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
第二章 内积空间-1
( A, B ) = ∑ ∑ aij bij = tr ( ABT )
i =1 j =1
n n
容易验证它满足内积定义的四个条件，因 容易验证它满足内积定义的四个条件， 对于所定义的内积构成一个欧氏空间。 此 ,对于所定义的内积构成一个欧氏空间。 对于所定义的内积构成一个欧氏空间 [注：此处如果将矩阵A看作一个长向量： 注 此处如果将矩阵 看作一个长向量 看作一个长向量： T A = (aij )n×n ⇔ A = (a11 ⋯ an1 ⋯ a1n ⋯ ann ) ∈ R n
ij
yi = c1i x1 + c2i x2 + ⋯+ cni xn (i = 1,2,⋯, n)
从而有： 从而有： (y i , y j ) = ∑ ∑ c si c tj (x s , x t )
n n i =1 j =1
= (c1i c2iFra bibliotek c1 j c2 j ⋯ cni )A (i, j = 1,2,⋯, n) ⋮ c nj
x =
i , j =1
∑ ξ iξ j (xi , x j ) = ξ T Aξ
n
(ξ = (ξ 1
ξ 2 ⋯ ξ n )T ∈ R n )
在V的基 的基
x =
y 1 , y 2 , ⋯ , y n 下：
i , j =1
∑η η ( y , y ) =
n i j i j
2 2 η12 + η 2 + ⋯ + η n
在欧氏空间中， 在欧氏空间中，一组基为标准正交基的 充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。 充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。
(α1,α1) (α1,α2 ) (α2 ,α1) (α2 ,α2 ) G(α1， ,αn ) = ⋯ ⋯ ⋯ (αn ,α1) (αn ,α2 ) ⋯ (α1,αn ) ⋯ (α2 ,αn ) ⋯ ⋯ ⋯ (αn ,αn )
第2章 内积空间-1
矩阵分析简明教程
范数还具有下列平行四边形法则和勾股定理。
性质2 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，有：
一般地，可令
1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
n
n
(n , 1 ) (1, 1)
1
(n , 2 ) (2 , 2 )
2
(n , n1 ) (n1 , n1 )
n1
至此，我们就得到了矩阵计算中具有基础性作用的
Gram-Schmidt正交化方法。
4
矩阵分析简明教程
定理2.2.1 任一n维欧氏空间 V 都存在标准正交基。
当 0 时，取 即得等式
2
矩阵分析简明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
arccos ( , ) , [0, ], 、 0
为欧氏空间 V 中向量 与 的夹角。 特别地，当 ( , ) 0 时，称 与 正交或垂 直，记为 。
矩阵分析简明教程
另外欧氏空间中的范数显然具有下列性质。 性质1 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，具有下列三条性质（非负性、 正齐性和三角不等式）：
定义了内积的线性空间V 为实内积空间，简称欧氏空间。
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例1 在 Rn中，对任意两个向量 (a1, a2 ,, an )T Rn 及 (b1, b2 ,, bn )T Rn
定义了标准内积
( , ) T T
课件：2-1 内积空间
m
n
m
n
(3) ( i xi , j y j ) (i xi , j y j )
i 1
j1
i 1
j1
mn
mn
(i xi , j y j )
i j ( xi , y j )
i1 j1
i1 j1
推论 设(x,y)是欧氏空间V的内积，则
(1) ( x, y) ( x, y), x, y V , C
则 C n 是n维酉空间。
称为标准内积
定义
设 A C mn 称 A (aij )mn 为A的共轭； 称 AH ( A)T 为A的共轭转置。
不难验证共轭转置矩阵满足下列性质：
(1) A B A B (2) AB AB (3) AH AT AT (4) ( A B)H AH BH
则 (x,y)=xH Ay (3) x C n , x , 均有 xH Ax 0
证明： 设 A (aij )nn , aij ( i , j ), 由于
aij (i , j ) ( j ,i ) aji
所以 AH A
(2)
( x, y) ( x11 x2 2 xn n , y11 y2 2 yn n )
V( x(C) y,酉z)空 间( x, z) ( y, z), z V （可加性） ( x, x) 0 等号成立当且仅当 x （正定性）
例2.1对任意的 x, y Rn，定义内积 ( x, y) xT y
则 Rn 是n维欧氏空间。 证：( x, y) xT y yT x ( y, x)
x
3
0
1 )112(
2( x 1)2
x
8
41)2
5
所以，f(x)，g(x)在基1,
第二章 内积空间
第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在n R 中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。
定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。
§2.1欧氏空间与酉空间一、欧氏空间与酉空间定义1 设V 是R 上的线性空间，如果V 中每对向量,x y ，按某一对应法则都有唯一确定的实数(,)x y 与之对应且满足： ),(),(.1x y y x =),(),(.2y x y x λ=λ，λ∀∈R ),(),(),(.3z y z x z y x +=+，z V ∀∈0),(.4≥x x 等号成立当且仅当x θ=则称(,)x y 为V 的内积。
称定义了上述内积的有限维线性空间()V R 为欧几里得空间，简称欧氏空间，称21),(x x x =为x 的长度或模。
例1 在[]n P x 中定义10((),())()()f x g x f x g x dx =⎰，(),()[]n f x g x P x ∈，则[]nP x 构成一个欧氏空间。
例2 在n n ⨯R 中对,n n A B ⨯∀∈R 定义T (,)tr()A B AB =,则n n ⨯R 为欧氏空间。
证明 因为,,,n n A B C λ⨯∀∈∈R R（1） T T T T (,)tr tr[()]tr (,)A B AB AB BA B A ==== （2） T T (,)tr tr (,)A B AB AB A B λλλλ===（3） T T T (,)tr[()]tr[](,)(,)A B C A B C AC BC A C B C +=+=+=+（4） 211(,)tr()0n nTijj i A A AA a ====≥∑∑ 等号当且仅当A θ=成立 故n n ⨯R 为欧氏空间。
例3 ,n x y ∀∈R 定义T (,)x y x y =，则n R 是n 维欧氏空间。
第2章 内积空间
(a 1 , a 2 ) (a 2 , a 1 ) A T A 即 A 为实对称矩阵。 x T Ax (a , a ) 0 即 A 为实正定矩阵。
,a n 定理1 设A为n维欧氏空间V的基a1 ,a 2 , 的度量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
(2) a , b V , a x1a1 + x2a2 + + xnan , b y1a1 + y2a2 + + ynan ,
内积的作用：研究高维空间中的几何问题 内积的公理化定义要点
内积(a，b)是二元运算：V×V→ R (a，b)的公理性质 (a，b)是任何满足定义的运算。
欧氏空间的例子
例1. 线性空间 R n { ( x1 , x 2 , , x n ) T | x1 , x 2 , , x n R }
设 a 1， a 2， ,a n 是 n 维 实 内 积 空 间 V 的 一 个 基 ，
向量a 与b 在该基下的坐标为
x ( x1 , x 2 , , x n ) T , y ( x1 , x 2 , , x n ) T
a x 1a 1 + x 2 a 2 + + x n a n ,
n 例5 在实线性空间R n中，对于任意两个 n阶矩阵A，B， 定义 n n T ( A, B ) tr ( AB ) aij bij
i 1 j 1
则 ( A, B 是内积，向量空间 )
8
是欧氏空间。 R nn
欧氏空间的性质
由定义知
(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ) (6) (a, kb ) = k(a, b )
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1
5
2 0 2
3
则
A
0ห้องสมุดไป่ตู้
2 3
0
2
3
0
2
5
11
（2）求 f(x)1与xx2 g(x的)内1 积4。x5x2
方法一：利用定义，直接计算
f(x)g ,(x)1f(x)g(x)dx 1
方法二：利用基的度量矩阵及向量在基下的坐标可求两
个向量的内积。
f (x),g(x)在基1，x，x2的坐标分别为 (1 , 1 ,1 )T, (1 , 4 , 5 )T,
7
二、度量矩阵及性质
设 1,2,,n 为n维欧氏空间V的基，令
A1n2, ,,111
1,2 2,2
n,2
12,,nn
n,n
矩阵A也常常称为度量矩阵（或Gram矩阵），因为许 多与向量度量有关的量可以用A来描述。
8
定理1 设A为n维欧氏空间V的基1,2,的,度n 量矩阵，则
(1)矩阵A为实对称正定矩阵；
的度量矩阵为A和B，C是1,2,到,n 1,的2, 过,渡n 则 BCTAC
矩阵，
注：即同一欧氏空间不同基的度量矩阵是相合矩阵。
（证明详见P27）
10
例5 设欧氏空间 P[x]3 中的内积为 f(x)g ,(x)1f(x)g(x)dx 1
（1）求基1，x,x2的度量矩阵；
（2）求 f(x)1与xx2 g(x的) 内1积4。x5x2
a1,a2,,anT b 1 ,b 2 , ,b nT R n
定义 , a ib iTT
i
可以验证 , 满足内积的定义，称之为Rn中的标准内积。
例2 在向量空间Rn，设
a1,a2,,anT
b 1 ,b 2 , ,b nT R n
定义 ,iaibi
可以验证
,
i
也是Rn中的内积。
P26 例2.1.2 A-内积
i
说明：
在有些教材上酉空间的定义与本教材有所不同，主要是定义
中的（3），可采用：(3) k ,k,
这样，在例（7）中的内积为：
,Haibi
i
15
定理3 设A为n维酉空间V的基1,2,的,度n 量矩阵，则
(1)矩阵A为Hermite正定矩阵；
(2), V, x 1 1 x 2 2 x n n . y 1 1 y 2 2 y n n ,
(2), V, x 1 1 x 2 2 x n n , y 1 1 y 2 2 y n n ,
则
y1
n n
, xiyj i,j
i1 j1
x1,x2,,xnAyy n2xTAy
即抽象的向量的内积可通过他们在基下的坐标及度量矩阵
的双线性函数来计算。
（证明详见P26）
9
定理2 设 1,2, 与,n 为1,n2,维欧,n氏空间V的基，它们
则
y1
n n
, xiyj i,j
i1 j1
x1,x2,,xnAyy n2xHAy
定理4 设 1,2,与,n 为1,n2,维,酉n空间V的基，它们
的度量矩阵为A和B，C是1,2,到,n 1,的2,过渡,n
矩阵，则 BCHAC.
练习P38 1;2;3
即同一酉空间不同基的度量矩阵是复相合矩阵。
16
第二节 内积空间的度量 主要内容： 一、向量长度及性质 二、向量的正交性 三、标准正交基与与施密特正交化方法
空间，但其维数无限。
例4 在实线性空间中，对于任意两个n阶矩阵A，B，定 义
nn
A,Btr(AB T) aijbij i1 j1
则 ( A, B是)内积，向量空间 是R欧nn氏空间。
6
内积的性质
对于欧氏空间的向量 ,,
1. (0,)(,0)0,V; 2. (,) (,)(,); 3. (,k) k(,).
第二章 内积空间
主要内容 一、欧氏空间与酉空间 二、内积空间的度量 三、正交变换 四、正交子空间与正交投影 五、最小二乘问题
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2
第一节 欧氏空间与酉空间
在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种代数运 算，而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积 正是适应这种要求而引入的。内积空间是3维向量空 间的自然推广，故称实内积空间为欧氏空间，称复内 积空间为酉空间。
说明（1）同一线性空间可定义不同的内积，从而形成
不同的欧氏空间。
（2）不论如何定义内积，不会改变线性空间的维
数。
5
例3 在实线性空间C[a,b]中，对于任意两个连续函数， f (x),g(x) 定义
f(x)g ,(x)a bf(x)g(x)dx
利用定积分的性质，可以验证 f(x)g ,是(x内)积， C[a,b]是欧氏
17
一、向量长度及性质
1、向量长度的定义： 设V是酉（欧氏）空间， V,
定义向量长度（模或范数）为 ,.或 ()
3
一、欧氏空间
定义 在实线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有实数与之对应，记作 (, )并满足公理，
(1 ), ,;
(2) , , ,;
(3) k , k ,;
(4) ,0当且仅当 0 时等式成立.
则称实(数, ) 为向量 ,的内积.
定义了内积的实线性空间叫做欧氏空间。
4
例1 在向量空间Rn，设
解：设基1，x，x2的度量矩阵为A(aij)33 ,
a11(1,1)
1
11dx2,
1
1
a12 a21 (1,x)11 xdx0,
a13a31(1,x2)111
x2dx
2 3
,
a22(x,x)
1 x2d
1
x
2 3
,
a23a32(x,x2)11xx2dx0,
a33(x2,x2)
1 x4dx 2 ,
则
2 0 2
3 1
(f,g)TA(1,1,1) 0
2 3
0 4 0
2
3
0
2 5
5
12
三、酉空间 定义 在复线性空间V中，若任意两个向量 , 按某种法则有复数与之对应，记作 (, )并满足公理，
(1 ),(,)
( 2 ) , , ,
3 k , k ,
(4),0当且仅当 0 时等式成立
则称复数(, 为)向量 的, 内积。
定义了内积的复线性空间叫做酉空间。
13
酉空间内积的性质
对于酉空间的向量 ,,
1.(,k)k(,);
2 .( , ) ( ,) ( ,); 3 .(, ) ( ,) 0 , V .
14
例7 在向量空间Cn，设
a 1,a2, ,anT, b 1 ,b 2, ,b nT C n 定义 ,Haibi则Cn成为酉空间。