线性规划含参问题
2018届一轮复习人教A版第11讲 含参的线性规划问题的处理 学案
高中数学热点难点突破技巧第11讲：含参的线性规划问题的处理【知识要点】含参的线性规划问题在选择题和填空题中经常考察，难度较大，对于学生 说，是比较棘手的问题.含参的线性规划问题一般有三类，1、不等式含参函数不含参；2、不等式不含参函数含参；3、不等式含参函数含参.它们的具体解法见下面的方法点评. 【方法点评】【例1】已知不等式组022020x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为（）A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．0如图，不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分，可知面积为以PQ 为底，高为2的三角形的面积，又)22,2(+k P ，故42)22(21=⨯+⨯k ，解得1=k .【点评】作含参的不等式20kx y -+≥表示的平面区域是本题型的关键，可以利用特值法.如果令k=-2,不等式220x y --+≥，它表示的平面区域和前面的不等式没有公共区域，所以不能取k=-2.也就是说，你在给k 取值时，一定要保证该不等式表示的区域和前面的不等式表示的区域有公共部分.平面区域找到了，后面的问题就好解决了.【例2】若实数,x y 满足不等式组024010x y x y x my +≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且z x y =+的最大值为3，则实数m =（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．2可得，B （23224+++m m m ,）．而目标函数y x z +=可看作是直线z x y +-=在y 轴上的截距，显然当直线过点B 时，截距最大，即x y +最大，所以有3=++++23224m m m ，解得1=m ．方法二：数形结合分析得三线240x y +-=、3x y +=、10x my --=共点，解方程组324010x y x y x my +=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩得m =1. 【点评】（1）作不等式10x my --≤对应的平面区域用的是特值法. (2)利用特值法计算比较难，利用三线共点解方程组，计算就比较简单，解题效率高.学【反馈检测1】已知实数x ，y 满足不等式组21,0,10,x x y m x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若目标函数2z x y =-+的最大值不超过4，则实数m 的取值范围是（ ）A.(B.C.[D.[【反馈检测2】若函数图象上存在点满足约束条件，则实数的最大值为__________．【例3】已知点满足，目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的范围为 （ ） A.B.C.D.方法二（比较法）：目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，所以点B ，C 的函数值都比点A 的函数值小，即A B A Cz z z z <⎧⎨<⎩，即120324120021a a a a ⨯+⨯<⨯+⨯⎧⎨⨯+⨯<⨯+⨯⎩，解之得42a -<<.【点评】（1）目标函数，它表示的是斜率为2a -，纵截距为2z的直线，但是斜率的正负不确定，所以要分类讨论.但是本题没有分类讨论，直接数形结合分析出了目标直线的位置，优化了解题，提高了解题效率. 当然分类讨论的结果也是一样的，只不过稍微复杂一点.（2）解不等式组（比较法）也是一个简洁高效的方法,减轻了学生理解的负担和画图的繁琐. （3）由于函数“仅”在（1,0）取得最小值，所以不等式组A BAC z z z z <⎧⎨<⎩中不能加等号. 如果没有“仅”字，不等式组可以加等号.所以注意审题和转化的严谨性.【反馈检测3】若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数__________．【反馈检测4】已知实数，满足若有最大值，则实数的值为__________．【例4】设实数x ，y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z ax by=+（0a >，0b >）的最大值为10，则22a b +的最小值为 ．又22a b +的几何意义为直线上的点到圆的距离的平方，则圆心到直线的距离d ==22a b +的最小值为22513d =.【点评】这种题型，由于含有的参数较多，所以看起 复杂，实际上不复杂. 先要确定目标直线的斜率的正负，再作直线平移数形结合分析即可.学 3【反馈检测5】设满足约束条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为_________.【例5】设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a =（ ）A. -5B. 3C. -5或3D. 5或-3 【解析】根据约束条件画出可行域如下图所示：可知可行域为向上开口的的V 字型，即在顶点处有最小值，顶点为，代入，解得.当时，如图，虚线向上移动时减小，故可以取无穷小，没有最小值，故只有满足题意.【点评】这种题型，先可以给参数取特值，画出平面区域，再数形结合分析解答.【反馈检测6】如果在约束条件1020 (01)x yx y aax y-+≥⎧⎪+-≤<<⎨⎪-≤⎩下，目标函数x ay+最大值是53，则a＝（）A.23B.13C.12或13D.12高中数学热点难点突破技巧第11讲：含参的线性规划问题的处理【反馈检测1答案】D【反馈检测1详细解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点2211,22m m A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭处取得最大值，即22112422m m -+-⋅+≤，解得[m ∈.学//【反馈检测2答案】1【反馈检测3答案】3 【反馈检测3详细解析】做出可行域如图，目标函数，当时，显然最小值不可能为0，当时，当过点时取最小值，解得，此时过点时有最大值，符合题意，故填．【反馈检测4答案】【反馈检测5答案】50 3【反馈检测5详细解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线经过点，时，目标函数取得最大值为6，即，也即，所以，应填答案50 3.【反馈检测6答案】C【反馈检测6详细解析】如下图，画出不等式组所表示的区域，即可行域，易知点A的坐标为22(,)11aa a++，显然直线0ax y-=与直线:0l x ay+=垂直，平移直线l，可知当21x a =+，21a y a=+时， 2max225()113a x ay a a +=+=++，∴12a =或13.学 ……。
含参不等式和线性规划专项题
含参不等式和线性规划专项题（适用于有一定基础）一、一元二次含参不等式解法思路：在解一元二次含参不等式时，先将不等式化为标准的一元二次不等式（一边为零），然后根据参数所在位置进行分类讨论，若二次项含有参数，则需要讨论正负（决定方向）和等于零的情况，若二次项不含参数，则无论参数在什么位置，首先判断“△”的正负，其次得到一元二次方程的根（配方法求根优先，配方不行用求根公式），最后讨论各根的大小（即讨论参数的范围）从而得到不等式的解。
例1 解关于x 的不等式224ax x a -+>解析：此题是一个二次项含参的不等式，所以首先要讨论参数a 的正负及是否为零的情况，当a 不为零时，再求得各根比较大小，过程如下：由题意224ax x a -+>等价于2420ax x a --+>即(2)(21)0x ax a -+->当0a =时，不等式等价于20x -+>，不等式解集为(2)-∞，（比较两根2和12a-大小） 当122a =-时，即14a =时，不等式等价于2(2)0x ->，不等式解集为(2)(2)-∞+∞ ，， 当122a <-时，即104a <<时，不等式的解集为1(2)((2))a -∞-+∞ ，， 当122a >-时，即14a >时，不等式的解集为1((2))(2)a-∞-+∞ ，， 当0a <时，不等式的解集为1((2)2)a-， 练习1.1 解下列关于x 的不等式（1）22x x a a ->- （2）22(22)4ax a a x --+>（3）221x ax a --> （4）222x x ax ax a +>--二、分式含参不等式解法思路： 分式含参主要分为分母含参、分子含参以及分子分母都含参三种类型，无论是哪一种，都按照移项通分化为因式相乘形式再采用标根法，对于分母含参的不等式，不要讨论分母正负问题，对于分子含参的，可以讨论参数是否为零再进行求解。
含参的线性规划问题
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
2 x y 2 0 8 x y 4 0 ,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的 x 0 ,y 0
最大值为8，则a+b的最小值为_______. 4
线性规划
与函数结合
【例4】若函数 ( x ) x 2 ax 2b在区间 0,1), f ( (1,2)内各有一个零点，则2 (b 2) 2的取值 a 范围是( A. )
线性规划（二）
高三数学组
确定你的方向是正确的，下一步要做的 就是坚持……
线性规划 课时要求 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元次此不等式组； 2.理解目标函数的几何意义，会用图解法解 线性规划问题； 本节重点是含参问题。 3.通过图解法逐步加强作图能力，渗透数形 结合思想。
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
b 1. z ax by 直线型，z表示纵截距的 倍 2. z ax by 点到直线距离型 3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型(距离平方)
线性规划
【例5】已知函数 f ( x )在R上单调递增，函数 y y f ( x 1)的图像关于点1,0)对称，若对于任意 ( 的x , y R, 不等式f ( x 2 6 x 21) f ( y 2 8 y ) 0 恒成立，则 x y 的取值范围是 ________.
线性规划
高一 数学 必修 不等式 第六讲 线性规划含参问题
知识要点
知 识 清 单
典题剖析
题型一：平面区域问题中的参量
x 1,
例
1．不等式组
x
y
4
0,
表示面积为
1
的直角三角形区域，则
k
的值为（
）
kx y 0
A．－2
B．－1
C．0
D．1
思路点拨：写出关于k的 面积关系是本题的关键． 突破点则在于作出符合题 意的画出可行域．
x
，
y
的不等式组
2x x y
y 1
0
0
，表示的平面区域为三A．充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
x 0
【易错典例】“
m=3
”是“关于
x
，
y
的不等式组
2x x y
y 1
0
0
，表示的平面区域为三角形”的（）
x y m 0
题型二：约束条件含参问题
x2y 0
例
2．设
z
x
y
，其中实数
x，y
满足
x
y
0
，若 z 的最大值为 6，则 z 的最小值为（
）
0 y k
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
解题总结：首先
作出大致可行域， 然后讨论k的位置细 化可行域，接着根 据最优解反解k，最 后解出最小值．
题型三：目标函数含参问题
x 2
例
3．设
x，y
满足约束条件
3
x
y
1 ，若目标函数
z
ax
by
2020届线性规划中含参问题
件
y mx
下，目标函数 z x my 的最大值小
x y 1
于 2，则 m 的取值范围为
A. 1,1 2 B. 1 2,
（A ）
C. 1,3 D. 3,
练习
x2y5 0
1.设m为实数，若(x, y)
3 x 0
答案：[－2，1]
2x y 1 0,
例
2（8）设关于
x,
y
的不等式组
x
m
0,
表
y m 0
示 的 平 面 区 域 内 存 在 点 P(x0 , y0 ) ， 满 足
x0 2 y0 2 ，求得 m 的取值范围是（ C ）
（A） (, 4) 3
（C） (Байду номын сангаас 2) 3
x y
0 0
对应的可行域如图所示， x y 1
在此条件下，要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大
值不超过1即可. 令z=ax+by,则y a x z ,
bb
因为a≥0,b≥0,
则 1 a 0时,b 1 b
或 a 1时, a 1, b
（B）(, 1) 3
（D）(, 5) 3
练习
x y5 0
11.
若
x、y
满足不等式组
x3
时，恒
x y k 0
有 2x 4 y 6 ，则 k 的取值范围是1_1_≥_ k≥0 .
例 3(2011 年高考湖南卷理科 7)设 m 1, 在约束条
yx
含参的线性规划问题
x 0 （3）点M（a, b)在 y 0 区域内， x+y 2 求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0 （4）不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
表示的平面区域是一个三角形，则 取值范围是 D
4 D.0 a 1或a 3
命题点3 区域图形与面积
x+y-1 0 例3、（1）若不等式组 x-1 0 ax-y+1 0 所表示的平面区域的面积等于2，求a
1 1
D
x 0 例3（2）已知a>0，b 0，且 y 0 , x y 1 恒有ax+by 1,求点（a,b)所成区域的面积
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
直线型， z表示纵截距的 b倍 1. z ax by 2. z ax by+c 点到直线距离型 转化为坐标形式或投影 3. z OA OP yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型 (距离平方 )
线性规划
由区域求参数
【 例1】 ( 2013 新 课 标 II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 x 1 1， 则a ( ) x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
4 A.a 3 B.0 a 件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
如何利用线性规划模型解答含参二次函数问题
解题宝典在解答函数问题时，我们经常遇到含参二次函数问题.此类问题看似简单，其实较为复杂.函数的图象、最值、单调性随着参数、对称轴、定义域区间的变化而变化，我们需灵活运用分类讨论思想和数形结合思想才能顺利解题.当问题中出现两个参数时，解题的难度就会升级，我们采用常规方法求解很难得到问题的答案.这里介绍另外一种方法：利用线性规划模型来求解.线性规划模型主要用于研究线性约束条件下线性目标函数的最值问题.在解答含参二次函数问题时，我们可以结合已知条件建立线性规划模型，将问题转化为线性规划问题，利用几何平面区域（可行域）来求解.例1.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[]0,1内存在2个零点，求的a +b 取值范围.分析：首先结合函数的解析式画出大致的函数图象，由图象可得到f (0)≥0,f (1)≥0，Δ>0,0<-a 2<1四个不等式关系，将其看作线性约束条件，将z =a +b 看作目标函数，建立线性规划模型.在直角坐标系中画出对应的可行域，求得z 的最值便可解题.解：由题意可得ìíîïïïïf (0)=b ≥0,f (1)=a +b +1≥0,Δ=a 2-4b >0,0<-a 2<1,画出如图1所示的可行域，设z =a +b ，将其变形可得b =a -z ，移动直线b =a ，当b =a -z 过直线a +b +1=0,a 2=4b 的交点，即（-2，1）时，z 有最小值-1，即a +b 的取值范围为[)-1,+∞.图1一般地，对于目标函数为z =ax +by 型的线性规划问题，我们需先将目标函数变形为y =-a b x +zb ，将求z 的最值问题转化为求直线y =-a b x +zb的纵截距的最值.当b >0时，y =-a b x +z b的纵截距最大，z 最小；当纵截距最小时，z 最大.当b <0时，y =-a b x +z b的纵截距最大，；当纵截距最小时，z 最小.例2.已知f （x ）=x 2-2bx +b -3，函数的两个零点分别为x 1，x 2，且-1<x 1<0,x 2>3，求b 的取值范围.分析：本题采用常规方法求解，需先利用一元二次方程的求根公式分别求出x 1,x 2，然后根据已知条件-1<x 1<0,x 2>3分别列出不等式，结合Δ>0，求出b 值的范围.在解题的过程中，需将b 分为b >3或b ≤3两种情况进行讨论，这样计算量较大，且过程繁琐.我们可根据题意建立线性规划模型，利用几何平面区域来解题.解：由题意可绘制如图2所示的图象，观察图2可得ìíîïïf (-1)=3b -2>0f (0)=b -3<0f (3)=-5b +6<0,解得65<b <3.图2由于已知函数零点的范围，所以我们可以根据题意画出函数的大致图象，借助图象便可建立关于零点x 1,x 2的不等式.将上述不等式组看作线性规划问题中的线性约束条件，将z =b 视为目标函数，建立线性规划模型.通过画出可行域，在可行域内找到b 的最值，便可求得问题的答案.例3.若函数f (x )=x 2-ax +b 在区间[]1,2内存在2个零点，求a 2+b 2-3b 的取值范围.分析：我们根据题意列出关于零点和判别式的不等式，将其看作线性约束条件，令z =a 2+b 2-3b ，将其视为目标函数，建立线性规划模型.由目标函数z =a 2+b 2-3b 可以联想到z =a 2+b 2，于是把问题转化为求可行域内动点与定点距离的平方的最值，根据可行域以及点到直线的距离公式求得z 的最小值.40解：要使函数存在2个零点，需使ìíîïïïïf (1)=1-a +b ≥0，f (2)=4-2a +b ≥0，Δ≥0，1≤a 2≤2，绘制如图3所示的可行域（可行域为箭头所指的曲边三角形）.对z =(x -a )2+(y -b )2变形，可得z +94=a 2+æèöøb -322，则将问题转化为求点(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）距离的平方的最值.从图3中可以看出点(0,32)到直线1-a +b =0的距离即为(0,32)到可行域内任意一点（a ,b ）的最小距离，利用点到直线的距离公式d =||Ax 0+By 0+C A 2+B 2，得d =522.则≥522，解得z ≥78.所以a 2+b 2-3b 取值范围为éëöø78，+∞.对于目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2型的目标函数，我们可以依据(x -a )2+(y -b )2的几何意义，把问题转化为求可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )距离的平方的最值，从而求出z 的范围.综上所述，利用线性规划模型解答含参二次函数问题有如下几个步骤:1.根据题意建立不等式组，将其视为线性约束条件;2.将所求目标设为目标函数，将其变形为直线的截距式、两点的距离;3.画出可行域；4.在可行域内寻找使得直线的纵截距、动点到定点的距离取最值的点；5.将最值点的坐标代入求得问题的答案.同学们在解题的过程中要注意根据题意建立线性规划模型，利用线性规划模型来提升解答含参二次函数问题的效率.（作者单位：宁夏育才中学）空间几何体的外接球问题是高考试卷中的重要题型，主要考查球空间几何体的性质、面积公式、体积公式.此类问题的难度系数较大，要求同学们具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力.本文介绍几种常见空间几何体的外接球问题的题型及其解法，以帮助同学们破解此类问题.类型一：三条棱两两互相垂直的三棱锥的外接球问题该类型的三棱锥具有明显的特征：三条棱两两互相垂直.我们可以抓住该特征，将其看作长方体、正方体的一部分，构造出一个完整的长方体、正方体.将三条棱看作长方体、正方体的三条边，于是三棱锥的外接球的直径等于长方体、正方体的对角线.求出三棱锥的外接球的半径、直径，空间几何体的外接球问题便可顺利获解.类型二：一条侧棱垂直于一个底面的三棱锥的外接球问题我们可将该三棱锥看作直棱柱的一部分，将其补成一个直棱柱，再将其补成一个圆柱，如图1、2、3、4所示，那么三棱锥的外接球即为圆柱的外接球.直棱柱的上、下底面为三角形，且三角形的外接圆的直径为a sin A =b sin B =c sin C =2r ，上下底面的距离为OO 1=12PA(此时PA 垂直与底面)，则有①(2R )2=PA 2+(2r )2，即2R =PA 2+(2r )2；②R 2=r 2+OO 12，即R =r 2+OO 12，这样便建立了PA 与三棱锥的外接球之间的关系，进方法集锦图341。
21-22版：微专题5 含参数的线性规划问题（步步高）
微专题5 含参数的线性规划问题线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题，其求解方法就是图解法．根据二元不等式组的解与坐标平面内点的对应关系，将约束条件转化为平面区域，然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值．线性规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体，将代数与解析几何有机联系，主要体现了转化与化归和数形结合思想．含参数的线性规划问题主要根据参数是在约束条件中还是在目标函数中分成以下四类．一、约束条件含有参数例1 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x ＋y ≤4，2x －y －m ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为10，则m 的值为________．答案 5解析 把z ＝10代入z ＝3x ＋y 得y ＝－3x ＋10.在同一坐标系下画出三条直线x ＝2，x ＋y ＝4，y ＝－3x ＋10，如图所示．求得直线y ＝－3x ＋10与直线x ＋y ＝4的交点为A (3,1)．因为可行域在直线x ＋y ≤4的下方，所以直线2x －y －m ＝0必过点A .当直线过点A 时求得m ＝5，故m 的值为5.反思感悟 线性规划问题的最值如果存在，若最优解唯一，则最优解必是可行域的某个顶点即为两边界直线的交点，并且取得该最值时的目标函数所表示的直线也经过这个交点，此时形成三线共点的态势．若最优解不唯一，则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边界直线重合．以上两点经验直取核心，在解决线性规划的最值等有关问题时具有很好的指导作用．二、目标函数含有参数例2 设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －6≤0，2x －y －1≤0，3x －y －2≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋4，最小值为a ＋1，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[－1,2]C ．[－3，－2]D ．[－3,1]答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．因为z ＝ax ＋y ，当z ＝a ＋1时，直线z ＝ax ＋y 过点A (1,1)；当z ＝2a ＋4时，直线z ＝ax ＋y 过点B (2,4)．注意到点A ，B 分别在直线3x －y －2＝0和x ＋y －6＝0上．由图知，要直线y ＝－ax ＋z 分别在点A ，B 时截距z 取得最小值和最大值，若a ＝0，则y ＝z ，此时满足条件；若a <0，k ＝－a >0，则其斜率－a 满足－a ≤k AC ＝2，即－2≤a <0；若a >0，k ＝－a <0，则－a ≥k BC ＝－1，即0<a ≤1.综上所述，－2≤a ≤1.反思感悟 直线斜率与截距的几何意义在上述解题过程中发挥得淋漓尽致，其中斜率几何意义理解不透彻是解题受阻或失败的重要原因．斜率的几何意义要注意如下两点，一是符号 ，二是绝对值．斜率大于零，函数递增，直线上升，斜率小于零，函数递减，直线下降．斜率的绝对值越大，直线越陡峭，斜率的绝对值越小，直线越平缓．斜率几何意义全面透彻的理解与应用是解决求最值问题的关键．三、目标函数含有双参数例3 若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成的平面区域的面积是( ) A.12 B.π4 C ．1 D.π2答案 C解析 作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1.对应的可行域，在此条件下，要使ax ＋by ≤1恒成立，只要ax ＋by 的最大值不超过1即可．令z ＝ax ＋by ，则y ＝－a b x ＋z b. ∵a ≥0，b ≥0，∴若－1<－a b ≤0时(如图1)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点A (0,1)时的截距最大，对应的z 也最大，将(0,1)代入z ＝ax ＋by 得b ≤1，若－a b ≤－1时(如图2)，直线y ＝－a b x ＋z b经过点B (1,0)时的截距最大，对应的z 也最大，将(1,0)代入z ＝ax ＋by 得a ≤1.即⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，此时对应的可行域如图，∴以a ，b 为坐标的点P (a ，b )所形成平面区域的面积为1.反思感悟 在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了．四、约束条件和目标函数均含有参数例4 设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 答案 A解析 不等式组所确定的平面区域是如图所示的阴影部分(含边界)．由z ＝x ＋my 得y ＝－1mx ＋z m ，由m >1得－1m >－1＝k AB ，由图知当直线z ＝x ＋my 经过点B ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，截距z m 最大，从而z ＝1m ＋1＋m 2m ＋1最大，依题意得1m ＋1＋m 2m ＋1<2，即m 2－2m －1<0，(m －1)2<2，又m >1，解得1<m <1＋ 2.。
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由得A(，)．
∴－＝－1，
∴m＝5.
12.如图，目标函数u＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)．若点C(，)是该目标函数的最优解，则a的取值范围是________．
解析：由u＝ax－y得y＝ax－u，于是要使点C(，)是目标函数的最优解，需有kAC≤a≤kB．(本小题满分16分)已知x、y满足设z＝ax＋y(a>0)，若当z取最大值时对应的点有无数多个，求a的值．
解：画出可行域，如图所示，即直线z＝ax＋y(a>0)平行于直线AC，则直线经过线段AC上任意一点时，z均取得最大值，此时将满足条件，有无数多个点使函数取得最大值．
分析知当直线y＝－ax＋z刚好移动到直线AC时，将会有无数多个点使函数取得最大值．
又由于kAC＝＝－，
即－a＝－，∴a＝.
9．已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于________．