线性代数第二章
线性代数第二章方阵的行列式
2 n阶行列式的性质
本节教学内容
行列式按一行(列)展开定理
Laplace定理
3 展开定理与行列式的计算
3 展开定理与行列式的计算
行列式按一行(列)展开定理 三阶行列式的一个计算公式 Mij称为aij的余子式 Aij称为aij的代数余子式
3 展开定理与行列式的计算
线性代数 第二章
本章教学内容
1 n阶行列式的定义
2 方阵行列式的性质
3 展开定理与行列式的计算
第二章 方阵的行列式
1 n阶行列式的定义
1.排列与逆序数 定义 由1,2,…,n按任何一种次序排成的有序数 组i1 i2… in称为一个n级排列，简称排列. 例 3级排列：123,132,213,231,312,321,共6个 性质 不同的n级排列共n!个. 排列123，从小到大排，全顺； 排列132，3>2,但3排在2之前，即32是一个逆序 定义 在一个排列i1 i2… in中,若it> is中,但it排在 is之前，则称it与is组成一个逆序.i1 i2… in中所有逆 序的总数称为此排列的逆序数, 记为(i1 i2… in).
2 n阶行列式的性质
例 =0 2r1+r2
2 n阶行列式的性质
性质2.5 即
2 n阶行列式的性质
或 证 由性质2.1及推论2.3得到.
2 n阶行列式的性质
例1
2 n阶行列式的性质
例2
2 n阶行列式的性质
例3 计算行列式 解
2 n阶行列式的性质
2.方阵行列式的性质 定理2.1 设A,B为n阶方阵，为常数，m为正整 数，则 ⑴ A=nA ； ⑵ AB=AB ； ⑶ Am=Am . 注① 一般的A+B≠A+B ； ② 虽然AB≠BA，但AB=BA ； ⑶由⑵推得，下证⑴ ⑵
自考复习专题：线性代数第2章
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中，所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定，第二章占26分左右。
而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
线性代数第二章
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
An
=
⎜⎜⎝⎛
0 C
⎜⎛ 1
B 0
⎟⎟⎠⎞
,
其中
C = (n) ，
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 M 0
0 L 0 ⎟⎞
2 M 0
L L
n
0
M −
⎟ ⎟ 1⎟⎟⎠
，
故 C −1 = ( 1 ) , n
⎜⎛1 0 L
0 ⎟⎞
B −1
=
⎜0
⎜ ⎜⎜⎝
M 0
12 M 0
L L
1
0⎟ (nM− 1) ⎟⎟⎟⎠
，
根据分块矩阵的逆矩阵公式
⎜⎛ 2 ⎜0
0 4
2⎟⎞ 0⎟
⎜⎝ 4 3 2⎟⎠
例 2.12 设 X(E − B −1 A)T BT = E , 求 X . 其中
⎜⎛1 −1 0 0 ⎟⎞
⎜⎛ 2 1 3 4⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
1 0 0
−1 1 0
0⎟ −11⎟⎟⎟⎠ ,
B
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 0 0
2 0 0
1 2 0
0⎟
0 8
⎟ ⎟⎟⎠
,
求B,
使 ABA −1
=
BA −1
+ 3E
．
解 根据 ABA −1 = BA−1 + 3E , 得到 (A − E )BA−1 = 3E
故 A − E, A 皆是可逆的, 并且
( ) [ ] B = 3(A − E )−1 A = 3(A − E )−1 A−1 −1 = 3 (A−1 )(A − E) −1 = 3(E − A−1 )−1
第二章 矩阵及其运算
线性代数知识点总结第二章doc资料
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a LL M M M L称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作：A n 。
行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。
相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。
记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。
单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++ ⎪+=⎪⎪+++⎝⎭L L L L L LL说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。
（课本P33） 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭L L L L L L L设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
高等数学线性代数教材目录
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
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第2章 矩阵
2.1 矩阵概述 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 矩阵的初等变换 2.5 行最简形矩阵与矩阵的秩 2.6 行最简形矩阵与矩阵的秩 2.7 应用实例——矩阵密码法
2.1 矩阵概述
2.1.1 矩阵的概念
Hale Waihona Puke 定义1由 m n 个数 aij (i 1，2，L ，m；j 1，2，L ，n) 排成的 m 行 n 列数表，并用括号括起来，
a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n
a2n
，
M
amn
a11 a21 L
则
AT
a12
M
a22 M
L
a1n a2n L
am1
am2 M
．
amn
2.2.4 矩阵的转置
矩阵的转置的性质
（1） ( A ) A ；
（2） ( A B)T AT BT ；
C 表示各工厂的总收入及总利润，且 C AB ．具体如下：
a11
A
a21 a31
a41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
，
B
b11 b21 b31
b12 b22 b32
甲
乙
丙
，C
c11
c21
c31
c41
c12 Ⅰ
c22 c32 c42
4 7
．
2.2.2 数与矩阵相乘
定义2
数 k 与矩阵 A (aij )mn 的乘积，称为数乘，记作 kA ，规定为
ka11 ka12 L
kAmn
ka21 M
ka22 M
L
kam1 kam2 L
ka1n
ka2n
．
M
kamn
注：（1） A (1) A ．
（2）矩阵数乘，就是把矩阵的每个元素都乘以 k，而不是用 k 乘矩阵的某一行（列）．
1 0 L
En
0 M
1 M
L O
0
0
L
0
0
M
．
1
注：上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵都是方阵。
10．同型矩阵
具有相同行数和相同列数的矩阵，称为同型矩阵。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
11．矩阵相等 如果 A (aij ) 与 B (bij ) 是同型矩阵，并且它们对应元素相等，即
，an )
，B
b2
M
，求
AB ，BA ．
bn
b1a1 b1a2 L b1an
解： AB a1b1 a2b2 L
anbn
，
BA
b2 a1 M
b2 a2 M
L
b2 an M
．
bna1 bna2 L bnan
此例表明： 即使AB和BA都有意义，AB与BA的行数及列数也不一定相同。
aij bij (i 1，L ，m；j 1，L ，n) ， 则称矩阵 A 和矩阵 B 相等，记作 A B ． 注：不是同型的矩阵是不能进行相等比较的；同型矩阵之间不能比较大小．
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
12．负矩阵
对于矩阵 A (aij )mn ，每个元素取相反数，得到的矩阵称为 A 的负矩阵，记为 A ，即
例2
设
A
1
5
7
，
B
5
1
9
，且
A
2X
B
5 4 3
3 2 1
2 3 3
解：由
A 2X
B 得，
X
1 2
(B
A)
=
2
1
2 3
1 ． 2
2.2.3 矩阵的乘法
定义3
设 A (aij )ms ，B (bij )sn ， AB 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记 C (cij )mn AB ，
Ⅱ Ⅲ Ⅳ
，
甲 乙丙
单位 单位
总收入 总利润
价格 利润
2.2.3 矩阵的乘法
例题
其中，aik (i 1，2，3，4；k 1，2，3) 是第 i 个工厂生产第 k 种产品的数量，bk1 ，bk2 分别表 示第 k 种产品的单位价格及单位利润， ci1 ，ci2 (i 1，2，3，4) 分别是第 i 个工厂生产三种产品 的总收入及总利润．
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1 am2 L
a1n a11 a12 L
a2n
或
a21
a22
L
M M M
amn
am1
am 2
L
a1n
a2n
，
M
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ，L 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
8．数量矩阵
1 0 L 0
A diag(1 ，2 ，L
，n
)
0 M
2 M
L O
0
M
0
0L
n
主对角线元素相同的对角矩阵，称为数量矩阵，记为
0 L 0
A
0 M
M
L O
0
M
0 0 L
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
9．单位矩阵
主对角线元素全为 1 的数量矩阵，称为单位矩阵，n 阶单位矩阵简记为 En 或 E ，即
定义4
若矩阵 A 与 B 满足 AB BA，则称 A 与 B 可交换。 只有当 A 与 B 可交换时，(A B)2 A2 2AB B2 ，(A B)(A B) A2 B2 等公式才 成立。
2.2.3 矩阵的乘法
矩阵乘法的性质
根据矩阵乘法定义，矩阵乘法满足下列性质（假定以下运算都能进行）。 （1）结合律： ( AB)C A(BC) ； （2）分配律： A(B C) AB AC ，(B C)A BA CA ；
2 1
0 3
1 0
2 1
1 1
1 2 2 1 0 0 1 3 2 (2) 0 1 1 0 2 (1) 0 1
0
2
11
3
0
0 3 1 (2) 31
0
0
1
(1)
3
1
4 1
1 1
2 2
．
2.2.3 矩阵的乘法
例题
例4
设
A
1 1
1 1
，B
1 1
1 1
，求
a11 b11 a12 b12 L
C
A
B
a21
b21
a22 b22 L
M
M
am1 bm1 am2 bm2 L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn bmn mn
2.2.1 矩阵的加法
矩阵加法性质
（1）交换律： A B B A ； （2）结合律： (A B) C A (B C) ； （3） A O O A A ； （4） A (A) A A O ． 其中， A，B ，C 均为 m n 矩阵， O 为 m n 零矩阵．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl)A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11
只有一列的矩阵
A
a21
M
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ，L ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
a11 a12 L 注：矩阵 A 不可写成 A a21 a22 L
MM am1 am2 L
a1n a2n ． M amn
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
1．行矩阵
只有一行的矩阵 A (a11 a12 L a1n ) 称为行矩阵或行向量。 注：为避免元素之间混淆，也可将行矩阵记为 A (a11 ，a12 ，L ，a1n ) 。 2．列矩阵
2.2.3 矩阵的乘法
定义6
设 n 次多项式为 f (x) an xn an1xn1 L a1x a0 ，则 f ( A) an An an1 An1 L a1A a0 E
称为 n 阶方阵 A 的 n 次多项式。
2.2.3 矩阵的乘法
例题
例8
设
f
(x)
x2
x
2
，
A
1
1
0 1
（3）数乘结合律： (AB) ( A)B A(B) ； （4）设 A 是 m n 矩阵，则 Em Amn Amn En Amn ，简记为 EA AE A ．
2.2.3 矩阵的乘法
例题
例 7 某地区有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个工厂，生产甲、乙、丙三种产品，矩阵 A 表示一年内各
工厂生产各种产品的数量，矩阵 B 表示各种产品的单位价格（元）及单位利润（元），矩阵
AB
，BA
．
解：
AB
1 1
1 1
1
1
1 0
1
0
0 0