惠州学院高等数学(下)期末试题参考答案
广东省惠州市2023-2024学年高一下学期期末考试 数学含答案
惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学（答案在最后）全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z -=+对应的点的坐标在（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同D.单位向量的模都相等3.已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（）A.32，90B.32，92C.30，90D.30，924.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2 B.()2,0 C.()1,0 D.()2,15.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（）A.100B.120C.200D.2406.设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥B.若//m α，n ⊂α，则//m nC.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，n ⊂α，则m n⊥7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）A.A 与B 是对立事件B.A 与C D ⋂是互斥事件C.B 与D 是相互独立事件D.B 与C D ⋃是相互独立事件8.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，二面角1C AB C --的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（）A.B.2C.23D.4二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为24πR B.圆锥的侧面积为2R C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小10.设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若(1i)i z +=-，则1z =B.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z ⋅=⋅D.在复平面内，若{|22}M z z =-≤，则集合M 所构成区域的面积为6π11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A.若60A =︒，2a =，则ABCB.若60A =︒，1a =，则ABCC.若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D.若()cos cos a b c A B +=+，且1c =，则该三角形内切圆面积的最大值为3π4-三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________.13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.14.如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC -体积为________；当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b = .（1）用向量a ，b表示CQ ；（2）若90ACB ∠=︒，求AP CQ ⋅.16.已知有下面三个条件：①()32S AC AB =⋅⋅；②3sin a c C =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+；请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________.（1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长.17.为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常总结整理不经常总结整理合计（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.18.如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，说明理由.19.将连续正整数1，2，L ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p （2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.惠州市2023-2024学年第二学期期末质量检测试题高一数学全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.在复平面中，复数23i1i z -=+对应的点的坐标在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简，即可求解对应的点为15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，进而得解.【详解】()()()()23i 1i 23i 15i 1i 1i 1i 2z -----===++-,故对应的点为15,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故对应的点位于第三象限，故选：C2.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向B.共线向量一定是相等向量C.若λ为实数，则向量a 与a λ方向相同 D.单位向量的模都相等【答案】D 【解析】【分析】对于A ：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A ：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A 错误；对于选项B ：例如0a = ，b 是非零向量，可知,a b 是共线向量但不是相等向量，故B 错误；对于选项C ：例如a 是非零向量，且0λ<，可知向量a 与a λ方向相反，故C 错误；对于选项D ：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D 正确；故选：D.3.已知数据1238,,,,x x x x 的平均数为10，方差为10，则123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数和方差分别为（）A.32，90B.32，92C.30，90D.30，92【答案】A 【解析】【分析】根据平均数、方差的性质计算可得.【详解】因为1238,,,,x x x x 的平均数是10，方差是10，所以123832,32,32,,32x x x x ++++ 的平均数是310232⨯+=，方差是231090⨯=.故选：A.4.已知向量(a = ，()2,0b = ，则向量a 在b方向上的投影向量为（）A.()1,2 B.()2,0 C.()1,0 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量公式可得.【详解】根据题意得cos 3a b a b a b ⋅⋅==⋅，所以向量a 在b方向上的投影向量为()()2,0cos 1,032b a a b b⋅== ，故选：C.5.某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是5:4:3，为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法抽取一个样本量为n 的样本，已知样本中高中生的人数比小学生的人数少20，则n =（）A.100B.120C.200D.240【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样求样本中高中生和小学生的人数，列式求解即可.【详解】由题意可知：样本中高中生的人数为315434n n =++，小学生的人数为5554312n n =++，则1520412n n +=，解得120n =.故选：B.6.设α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若m α⊂，n β⊂，m n ⊥，则αβ⊥B.若//m α，n ⊂α，则//m nC.若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβD.若m α⊥，n ⊂α，则m n ⊥【答案】D 【解析】【分析】对于ABC ：以正方体为载体，举反例说明即可；对于D ：根据线面垂直的性质分析判断.【详解】对于正方体1111ABCD A B C D -，且,M N 分别为,AB CD 的中点，对于选项A ：例如AB ⊂平面ABCD ，11A D ⊂平面1111D C B A ，11AB A D ⊥，但平面ABCD ∥平面1111D C B A ，故A 错误；对于选项B ：例如11A D ∥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，但11AB A D ⊥，故B 错误；对于选项C ：例如,AD MN ⊂平面ABCD ，且,AD MN 均与平面11BB C C 平行，但平面ABCD ⋂平面11BB C C BC =，故C 错误；对于选项D ：若m α⊥，n ⊂α，由线面垂直的性质可知m n ⊥，故D 正确；故选：D.7.掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A 表示“两个点数都是偶数”，事件B 表示“两个点数都是奇数”，事件C 表示“两个点数之和是偶数”，事件D 表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（）A.A 与B 是对立事件B.A 与C D ⋂是互斥事件C.B 与D 是相互独立事件D.B 与C D ⋃是相互独立事件【答案】D 【解析】【分析】选项A 和B ，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A 和B 的正误；选项C 和D ，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶，即一次试验，事件A 和事件B 可以都不发生，所以选项A 错误；对于选项B ，因为C D ⋂即两个点数都是偶数，即A 与C D ⋂可以同时发生，所以选项B 错误，对于选项C ，因为331()664P B ⨯==⨯，333()1664P D ⨯=-=⨯，又()0P BD =，所以()()()P BD P B P D ≠，故选项C 错误，对于选项D ，因为()1P C D = ，91(())364P B C D == ，所以(())()()P B C D P B P C D = ，所以选项D 正确，故选：D.8.已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，二面角1C AB C --的大小为π4，且AC BC =，12CC =，则点1A 到平面1ABC 的距离为（）A.B.2C.23D.4【答案】A 【解析】【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解得1OC ，再根据直三棱柱的体积求出AB ，再利用等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离.【详解】取AB 的中点O ，连接1,OC OC ，AC BC = ，1,OC AB OC AB ∴⊥⊥，则二面角1C AB C --的平面角为1C OC ∠，二面角1C AB C --的大小为π4，则1π4C OC ∠=，所以12OC CC ==，1OC ===，又 直三棱柱111ABC A B C -的体积为8，111128ABC A B C ABC ABC V S CC S -\=×==，则4ABC S = ，1124422ABC S AB OC AB AB \=×=´=Þ=，又 平面ABC⊥平面11A ABB ，平面ABC ⋂平面11A ABB AB =，且,OC AB OC ⊥⊂平面ABC ，OC ∴⊥平面11A ABB ，设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，又1111A ABC C ABA V V --=，111111114422333232ABC ABA S h S OC h ∴⋅=⋅⇒⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ，解得h =，故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为24πR B.圆锥的侧面积为2R C.圆柱的侧面积与球面面积相等D.三个几何体的表面积中，球的表面积最小【答案】ABC 【解析】【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ⨯⨯=，所以AC 选项正确．圆锥的侧面积为2πR R ⨯=，所以B 选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R =+<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项不正确．故选：ABC10.设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（）A.若(1i)i z +=-，则1z =B.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z =⋅C.对任意复数1z ，2z ，有1212z z z z ⋅=⋅D.在复平面内，若{|22}M z z =-≤，则集合M 所构成区域的面积为6π【答案】BC 【解析】【分析】借助复数的运算、共轭复数、复数的模及复数的几何意义逐项判断即可得.【详解】对A ：由(1i)i z +=-，故()()()i 1i i 1i1i 1i 1i 2z -⨯----===++-，故2z ==，故A 错误；对B ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，则()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++==12z z ⋅===，故1212z z z z =⋅，故B 正确；对C ：设1i z a b =+(),a b ∈R 、2i z c d =+(),c d ∈R ，有()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，则()12i z z ac bd ad bc ⋅=--+，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，故1212z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对D ：设i z x y =+(),x y ∈R ，则有()2224x y -+≤，集合M 所构成区域为以()2,0为圆心，半径为2的圆，故2π4πS r ==，故D 错误.故选：BC .11.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A.若60A =︒，2a =，则ABCB.若60A =︒，1a =，则ABCC.若a =，4b =，要使满足条件的三角形有且只有两个，则ππ,63A ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.若()cos cos a b c A B +=+，且1c =，则该三角形内切圆面积的最大值为322π4-【答案】AD 【解析】【分析】对于AB ：利用余弦定理结合基本不等式求bc 的最大值，进而可得面积的最大值；对于C ：利用余弦定理分析可得：关于c 的方程28cos 40c c A -+=有2个不相等的正根，结合二次方程列式求解；对于D ：利用余弦定理可得π2C =，再利用基本不等式求内切圆半径的最大值，即可得结果.【详解】对于选项A ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即224b c bc =+-，可得2242bc b c bc +=+≥，解得4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以ABC 面积的最大值为1422⨯⨯=A 正确；对于选项B ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即221b c bc =+-，可得2212bc b c bc +=+≥，解得1bc ≤，当且仅当1b c ==时，等号成立，所以ABC面积的最大值为11224⨯⨯=，故B 错误；对于选项C ：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即212168cos c c A =+-，整理可得28cos 40c c A -+=，由题意可知：关于c 的方程28cos 40c c A -+=有2个不相等的正根，则2408cos 0Δ64cos 160A A >⎧⎪>⎨⎪=->⎩，解得1cos 2A >，且()0,πA ∈，可得π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 错误；对于选项D ，因为()cos cos a b c A B +=+，即cos cos a b c A c B +=+，则22222222b c a a c b a b b a+-+-+=+，整理可得()()2220a b a b c ++-=，注意到0a b +≠，则2220a b c +-=，即222+=a b c ，可知π2C =，且1c =，则该三角形内切圆半径(222ABC ab a b S ab a b c r a b c a b c ab+-+-=====++++ .又因为1a b c c c c +-==≤=，当且仅当2a b==时，等号成立，可得102r -<≤，所以该三角形的内切圆面积的最大值是221π2322π4⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭-，故D 正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式；（3）对于最值问题，常常利用基本不等式或三角函数分析求解.三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.12.甲、乙两人独立的解同一道题，甲、乙解对题的概率分别是23、35，那么恰好只有1人解对题的概率是________.【答案】715【解析】【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解.【详解】设甲、乙解对题分别为事件A ，B ，则()()23,35P A P B ==，可得()()12,35P A P B ==所以恰好只有1人解对题的概率()()()()()()715P P AB P AB P A P B P A P B =+=+=.故答案为：715.13.已知频率分布直方图如图所示，记其平均数为a ，中位数为b ，则a 与b 的大小关系为________.【答案】a b >【解析】【分析】根据频率分布直方图的“拖尾”情况分析平均数与中位数的大小.【详解】因为频率分布直方图在右侧“拖尾”，可知平均数大于中位数，即a b >.故答案为：a b >.14.如图，已知在直三棱柱111ABC A B C -中，F 为11A C 的中点，E 为棱1BB 上的动点，12AA =，2AB =，BC =，4AC =.当E 是棱1BB 的中点，则三棱锥E ABC -体积为________；当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，直线EF 与1AA 所成角的余弦值为________.【答案】①.72②.24【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理，可得cos BAC ∠，再求出sin ABC ∠，再用面积公式求ABC 的面积，体积公式求三棱锥E ABC -体积即可；作出辅助线，推导出当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点，进而求出各边长，得到112cos 4E FEB B EF =∠=【详解】因为2AB =，BC =，4AC =，所以在ABC 中，由余弦定理，得222416181cos 22248BA CA BC BAC BA CA +-+-∠===⋅⨯⨯，所以sin 8ABC ∠=，所以124282ABC S =⨯⨯⨯= ，所以11322E ABC V -=⨯⨯=；作BH AC ⊥，垂足为H ，作1111B H AC ⊥，垂足为1H ，易知棱1BB 在平面11ACC A 上的射影为1HH ，则点E 在平面11ACC A 上的射影1E 在线段1HH 上，因为1cos 8BAC ∠=，故128AH AH AB ==，解得14AH =，故374BH =，则1374EE =，设AF 的中点为1Q ，外接球的球心为Q ，半径为1R ，则1QQ ⊥平面11ACC A ，即11//QQ EE ，在1Rt FQQ 中，222211QF R QQ ==+①，又因为22221111()4QE R QQ Q E ==-+②由①②，可得21113731216QQ Q E =+，所以当11Q E 取最小值时，1QQ 最小，即1R 最小，此时111Q E HH ⊥，因为1Q 是AF 的中点，则1E 是1HH 的中点，则E 是棱1BB 的中点.因为11//AA BB ，所以直线EF 与1BB 所成角即为直线EF 与1AA 所成角.因为1111cos 8A CB =∠，再由余弦定理，得221111111112cos B F A B A F A B A F B A F =+-⋅∠14422278=+-⨯⨯⨯=，因为11EB =，所以11222,cos 4B E EF FEB EF =∠==.故答案为：72；24.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得当三棱锥1A AEF -的外接球的半径最小时，E 为棱1BB 的中点，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，已知3BC =，4AC =，点P 为线段BC 中点，23AQ AB = ，设CB a = ，CA b =.（1）用向量a，b表示CQ；（2）若90ACB ∠=︒，求AP CQ ⋅.【答案】（1）2133CQ a b=+（2）73-【解析】【分析】（1）用三点共线的向量表达式结论可解；（2）将AP CQ ⋅用基底{,}CA CB 表示出来，再用数量积运算性质可解.【小问1详解】如图所示，23AQ AB =，所以()2122133333CQ CA AQ CA CB CA CA CB a b =+=+-=+=+，所以2133CQ a b =+ .【小问2详解】点P 为线段BC 中点，用三点共线的向量表达式结论得111111()222222AP AC AB CA CA CB CA B a b C =+=-+-+=-+=-，由（1）知2133CQ a b =+，则22121()113(21)||23|3|3AP CQ a a a b b b b a +⋅=⋅--⋅-= ，90ACB ∠=︒,则0a b ⋅= .则2211734333AP CQ ⨯-⨯=⋅-= .16.已知有下面三个条件：①()2S AC AB =⋅⋅；②a c =2sin sin sin 1sin sin sin sin B C A C B B C +=+；请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，且________.（1）求角A 的大小；（2）若AD 是ABC 的角平分线，且2b =，3c =，求线段AD 的长.【答案】（1）π3A =【解析】【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得sin A A =，得到tan A =cos 1A A =+，得到π1sin()62A -=，即可求解；选择③，化简得到222sin sin sin sin sin B C A B C +=+,即222b c a bc +-=，由余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）根据题意结合ABC ABD ACD S S S =+ ，列出方程，即可求解.【小问1详解】选择①：由()32S AC AB =⋅⋅ ，可得1sin cos 22bc A bc A =⨯，即sin A A =，即tan A =因为(0,π)A ∈，所以π3A =；选择②：因为②a c =，由正弦定理得sin si n A C =，sin sin cos sin A C C A C =+，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以cos 1A A =+，cos 2sin()16πA A A -=-=，可得π1sin()62A -=，因为(0,π)A ∈，可得ππ66A -=，所以π3A =；选择③：由2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C +=+，可得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+,又由正弦定理得222b c a bc +-=，再由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为(0,π)A ∈，所以π3A =.【小问2详解】若AD 是ABC 的角平分线，则π6BAD CBD ∠=∠=，且ABC BAD CBD S S S =+△△△，即111112332222222AD AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，17.为了研究学生每天总结整理数学错题情况，某课题组在我市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时总结整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内总结整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上总结整理数学错题视为“经常总结整理”，少于4天视为“不经常总结整理”.已知数学成绩优秀的学生中，经常总结整理错题的学生占70%.数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常总结整理不经常总结整理合计（1）根据图1、图2中的数据，补全表格；（2）求图1中m 的值及学生期中考试数学成绩的第65百分位数；（3）抽取的100名学生中按“经常总结整理错题”与“不经常总结整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈；求这2名同学均来自“经常总结整理错题”的概率.【答案】（1）表格见详解（2）0.015m =；120（3）310【解析】【分析】（1）根据题中数据补全表格；（2）根据频率和为1求得0.015m =，再结合百分位数的定义列式求解；（3）分别求相应的人数，利用列举法结合古典概型分析求解.【小问1详解】数学成绩优秀的有10050%50⨯=人，不优秀的人10050%50⨯=人，经常整理错题的有()10040%20%60⨯+=人，不经常整理错题的是1006040-=人，经常整理错题且成绩优秀的有5070%35⨯=人，所以表格为数学成绩优秀数学成绩不优秀合计经常整理352560不经常整理152540合计5050100【小问2详解】由题意可知每组频率依次为0.05,0.1,0.35,20,0.2m ，则0.050.10.35200.21m ++++=，解得0.015m =；因为0.050.10.350.50.65++=<，0.050.10.350.30.80.65+++=>，设第65百分位数为x ，可知[)110,130x ∈，则()0.50.0151100.65x +-=，解得120x =，所以学生期中考试数学成绩的第65百分位数为120.【小问3详解】由题意可知：样本中“经常总结整理错题”的人数为6053100⨯=，设为,,a b c ，“不经常总结整理错题”的人数为4052100⨯=，设为,A B ，从这5名学生中随机抽取2人，则样本空间{}Ω,,,,,,,,,ab ac aA aB bc bA bB cA cB AB =，可知()Ω10n =，设这2名同学均来自“经常总结整理错题”为事件M ，则{},,M ab ac bc =，即()3n M =，所以()()()3Ω10n M P M n ==.18.如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面QAD 是正三角形，面QAD ⊥面ABCD ，M 是QD 的中点.（1）求证：QB ∥平面AMC ；（2）求直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值；（3）在棱QC 上是否存在点N 使平面BDN ⊥平面AMC 成立？如果存在，求出QN NC 如果不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）4（3）存在，12QN NC =【解析】【分析】（1）设AC BD O = ，连接OM ，利用三角形的中位线定理可得OM ∥QB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由面面垂直的性质可证得CD ⊥平面QAD ，则CD AM ⊥，再由等边三角形的性质可得AM QD ⊥，然后由线面垂直的判定可得AM ⊥平面QCD ，则直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，从而可求得答案；（3）当DN CM ⊥时，可证得平面BDN ⊥平面AMC ，设QN k NC=，然后在等腰直角三角形QCD 中利用平面向量的知识计算即可.【小问1详解】证明：设AC BD O = ，连接OM ，因为底面ABCD 是正方形，所以O 为BD 的中点，因为M 是QD 的中点，所以OM ∥QB ，因为OM ⊂平面ACM ，QB ⊄平面ACM ，所以QB ∥平面ACM【小问2详解】因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥，因为平面QAD ⊥平面ABCD ，平面QAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面QAD ，因为AM ⊂平面QAD ，所以CD AM ⊥,因为QAD 为等边三角形，M 是QD 的中点，所以AM QD ⊥，因为QD CD D ⋂=，,QD CD ⊂平面QCD ，所以AM ⊥平面QCD ，所以直线AC 与平面QCD 所成角为ACM ∠，设正方形ABCD 的边长为2，则3,22AM AC ==因为AM ⊥平面QCD ，CM ⊂平面QCD ，所以AM CM ⊥，所以36sin 422AM ACM AC ∠===，即直线AC 与平面QCD 所成角的正弦值为64；【小问3详解】存在，当DN CM ⊥时，平面BDN ⊥平面AMC ，因为AM ⊥平面QCD ，DN ⊂平面平面QCD ，所以AM DN ⊥，因为AM CM M ⋂=，,AM CM ⊂平面AMC ，所以DN ⊥平面AMC ，因为DN ⊂平面BDN ，所以平面BDN ⊥平面AMC ，设QN k NC =，则QN kNC =，所以1k QN QC k =+，由（2）知CD ⊥平面QAD ，因为QD ⊂平面QAD ，所以CD DQ ⊥，所以0DQ QC ⋅= ，因为12CM DM DC DQ DC =-=- ，1()1111k k k DN DG GN DQ QC DQ DC DQ DC DQ k k k k =+=+=+-=+++++ ，所以110211k CM DN DQ DC DC DQ k k ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以22102(1)1k DQ DC k k -=++ ，得12(1)1k k k =++，解得12k =，所以当12QN NC =时，平面BDN ⊥平面AMC.19.将连续正整数1，2，L ，*(N )n n ∈从小到大排列构成一个数123n ，()F n 为这个数的位数(如当12n =时，此数为123456789101112，共有15个数字，(12)15)F =，现从这个数中随机取一个数字，()p n 为恰好取到0的概率.（1）求(100).p （2）当2021n ≤时，求()F n 的表达式.（3）令()g n 为这个数中数字0的个数，()f n 为这个数中数字9的个数，()()()h n f n g n =-，{}*|()1,100,N S n h n n n ==≤∈，求当n S ∈时()p n 的最大值.【答案】（1）11192（2）,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩（3）119【解析】【分析】（1）计算()10099023192F =+⨯+=，数字0的个数为11，得到概率.（2）考虑19n ≤≤，1099n ≤≤，100999n ≤≤，10002023n ≤≤四种情况，依次计算得到答案.（3）考虑()*19,N n b b b =<≤∈时，当()**1019,09,N ,N n k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，当100n =时三种情况，得到()g n 和()f n 的解析式，得到{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，再计算概率的最值得到答案.【小问1详解】当100n =时，()10099023192F =+⨯+=，即这个数中共有192个数字，其中数字0的个数为11，则恰好取到0的概率为()11100192p =；【小问2详解】当19n ≤≤时，这个数有1位数组成，()F n n =；当1099n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，9n -个两位数组成，则()29F n n =-；当100999n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，99n -个三位数组成，()3108F n n =-；当10002021n ≤≤时，这个数有9个一位数组成，90个两位数组成，900个三位数组成999n -个四位数组成，()41107F n n =-；综上所述：,1929,1099()3108,10099941107,10002021n n n n F n n n n n ≤≤⎧⎪-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，【小问3详解】当()*19,N n b b b =<≤∈时，()0g n =，当()**1019,09,N ,Nn k b k b k b =+≤≤≤≤∈∈时，()g n k =；当100n =时，()11g n =，即()**0,19,10,19,09,N ,N 11,100n g n k n k b k b k b n ≤≤⎧⎪==+≤≤≤≤∈∈⎨⎪=⎩，同理有()**0,18,101,18,09,N ,N 80,899820,99,100n k n k b k b k b f n n n n ≤≤⎧⎪=+-≤≤≤≤∈∈⎪=⎨-≤≤⎪⎪=⎩，由()()()1h n f n g n =-=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n =，所以当100n ≤时，{}9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S =，当9n =时，()90p =，当90n =时，()919017119p ==，当()*10918,Nn k k k =+≤≤∈时，()()()29209g n k k p n F n n k ===-+，由1912092020209k y k k ==-⨯++关于k 单调递增，故当()*10918,Nn k k k =+≤≤∈时，有()p n 的最大值为()889169p =，又8116919<，所以当n S ∈时，()p n 的最大值为119．【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.。
惠州学院考试-高等数学(答案版)
惠州学院 高等数学 考试 重要复习资料！ 请好好珍惜！ 好好学习！一、选择题（每小题3分，本大题共15分） 1） 设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ C ）A 、平行于平面πB 、在平面π上C 、垂直于平面πD 、与平面π斜交2） 二元函数()()()()()22,0,0,0,0,0xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（ C ）A 、连续、偏导数存在B 、连续、偏导数不存在C 、不连续、偏导数存在D 、不连续、偏导数不存在 3） 设()f x 为连续函数，()()1ttyF t dy f x dx =⎰⎰，则()2F '=（ B ）A 、()22fB 、()2fC 、()2f -D 、0 分析：改变积分次序，可得 ()()()()()()()11111t x tF t dx f x dy x f x dx F t t f t '==-⇒=-⎰⎰⎰()()22F f '= 4） 设∑是平面123x yz ++=由0,0,0x y z ≥≥≥所确定的三角形区域，曲面积分()326x y z dS ∑++=⎰⎰（ D ）A 、7B 、212C 、14D 、21 5） 微分方程1xy y e ''-=+的一个特解应具有形式（ B ）A 、xae b + B 、xaxe b + C 、xae bx + D 、xaxe bx + 二、填空题（每小题3分，本大题共15分）1） 设平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面方程为2230x y z +-=。
2） 设arctan1x yz xy-=+，则(1,dz =1124dx dy -。
3） 设L 为221x y +=正向一周，则2x Ledy =⎰()2221200x x y xe dxdy +≤-=⎰⎰。
高数下册期末考试和答案
高数下册期末考试和答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3xD. x^3-3x^2答案：A2. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)的值。
A. e^xB. -e^xC. 0D. 1答案：A4. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A5. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。
A. 1/xC. xD. -x答案：A6. 求定积分∫(0,1) e^x dx的值。
A. e-1B. eC. 1D. 0答案：A7. 已知函数f(x)=x^2，求f''(x)的值。
A. 2xB. 2C. 0答案：B8. 求极限lim(x→∞) (1/x)的值。
A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：A9. 已知函数f(x)=x^3，求f'(x)的值。
A. 3x^2B. 3xC. x^2D. x^3答案：A10. 求定积分∫(0,1) 1/x dx的值。
A. ln(1)-ln(0)B. ln(1)-ln(1)C. ln(2)-ln(1)D. ln(1)-ln(2)答案：C二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f'(x)的值。
______答案：2x-412. 求极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值。
______答案：013. 已知函数f(x)=x^4-6x^2+8，求f'(x)的值。
______答案：4x^3-12x14. 求定积分∫(0,1) x^3 dx的值。
______答案：1/415. 已知函数f(x)=e^(-x)，求f'(x)的值。
惠州学院
惠 州 学 院 试题H 卷评分参考答案科目：2.（-5，-3）⋃（3，+∞）3.若 {}],[n n b a 是一个区间套，则存在唯一一点ξ使得21],[、或=≤≤∈n b a b a nn n n ξξ4.05.1, 0 6．y=2x-e 7.-68 .x+13!x 3+15!x 5+…+()121!n -x 2n-1+o （x 2n ） 9（1,3） 10.f （a ）二.求下列极限（每小题5分，共10分）：1.解: 由于，nnn n11)131211(1≤++++≤ （2分）又，1lim=∞→nn n （3分）故。
1)131211(lim 1=++++∞→nn n（5分）2.解:x x x 20)sin 1(lim-→=2ln(1sin )lim x xx e-→=e ()2ln 1sin limx x x→- （2分）而 ()02ln 1sin limx x x→-=02cos lim 1sin x xx →--=-2 （4分） 故 xx x 2)sin 1(lim -→=e -2 （5分）三. 计算下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）1. 解:()()()3 5f x '=-==分分2. 解:lny=sinxln （1+x 2） （1分）/1y y=cosxln （1+x 2）+22sin 1x x x + （2分）/y =( 1 + x 2 ) si n x （cosxln （1+x 2）+22sin 1x xx +）（3分） ()()dx x x x x x dy x⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22sin 21sin 21ln cos 1 （5分）3. 解: 3232(sin )3sin cos tan ,(cos )3cos sin dy a t a t tt dx a t a t t '===-'-（2分） 222232sec sec (cos )3cos sin d y t tdx a t a t t-=='。
2022-2022年广东省惠州市高一(下)期末数学试卷及参考答案
2022-2022年广东省惠州市高一(下)期末数学试卷及参考答案百度文库百度文库精品文库百度文库baiduwenku某某2022-2022学年广东省惠州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）一元二次不等式﹣某2+某+2＞0的解集是（）A．{某|某＜﹣1或某＞2}B．{某|某＜﹣2或某＞1}C．{某|﹣1＜某＜2}D．{某|﹣2＜某＜1}2．（5分）已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列说法正确的是（）A．若b∥a，aα，则b∥αB．若α⊥β，α∩β=c，b⊥c，则b⊥βC．若a⊥c，b⊥c，则a∥bD．若a∩b=A，aα，bα，a∥β，b∥β，则α∥β3．（5分）在△ABC中，，AC=1，∠A=30°，则△ABC面积为（）A．B．C．或D．或4．（5分）设直线l1：k某﹣y+1=0，l2：某﹣ky+1=0，若l1∥l2，则k=（）A．﹣1B．1C．±1D．05．（5分）已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值是（）A．4B．5C．8D．96．（5分）若{an}为等差数列，且a2+a5+a8=39，则a1+a2+…+a9的值为（）A．114B．117C．111D．1087．（5分）如图，正四面体S﹣ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）若直线与直线2某+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）第1页（共19页）A．B．C．D．9．（5分）若实数某，y满足约束条件，则某﹣2y的最大值为（）A．﹣9B．﹣3C．﹣1D．310．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且A=60°，则=（）A．B．C．D．11．（5分）由直线y=某+2上的一点向圆（某﹣3）2+（y+1）2=2引切线，则切线长的最小值（）A．4B．3C．D．112．（5分）已知an=log（n+1）（n+2）（n∈N+），我们把使乘积a1a2a3…an为整数的数n叫做“优数”，则在区间（1，2004）内的所有优数的和为（）A．1024B．2003C．2026D．2048二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）co45°in15°﹣in45°co15°的值为．14．（5分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程是．15．（5分）公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为．16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为．三、解答题（共6小题，满分70分）第2页（共19页）。
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A （下册）期末考试试题【A 卷】考试日期：2009年一、A 填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =,2b =，则a b ⋅= —4．2、设ln()z x xy =，则32zx y ∂=∂∂ —1/（y ＊y ） ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2x+4y+z-14=0 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ 1.414 ．※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题:（本题共5小题,每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 解：两边同时对x 求导并移项。
2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 条件收敛4、设(,)sin xz f xy y y=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z z x x y ∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．四、 (本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．五、（本题满分10分)求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．六、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰， 其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．七、(本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =,222()[()]tF t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰,其中t Ω是由曲面z=与z =,求 3()lim t F t t +→． ———--——-———-—-—-——————-—-————--——-—-—备注：①考试时间为2小时;②考试结束时,请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
大一下学期高数期末试题及答案
大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数$f(x)=x^2-4x+4$的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. 3答案：D2. 极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的值是（）A. 0B. 1C. 2D. $\infty$答案：B3. 曲线$y=x^3$在点$(1,1)$处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. 3D. 12答案：C4. 微分方程$y''-2y'+y=0$的通解是（）A. $y=e^{tx}$B. $y=e^{t}(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$C. $y=e^{tx}(C_1 + C_2x)$D. $y=(C_1 + C_2x)e^{tx}$答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 函数$f(x)=\ln(x)$的定义域是______。
答案：$(0,+\infty)$6. 函数$f(x)=x^3-3x$的导数是______。
答案：$3x^2-3$7. 函数$f(x)=\frac{1}{x}$的不定积分是______。
答案：$\ln|x|+C$8. 函数$f(x)=\sin x$的原函数是______。
答案：$-\cos x+C$三、计算题（每题10分，共30分）9. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答案：$\frac{1}{3}x^3|_0^1 = \frac{1}{3}$ 10. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$。
答案：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$11. 求函数$f(x)=x^3-6x^2+11x-6$的极值。
答案：函数的极值点为$x=1$和$x=3$，其中$x=1$为极大值点，$x=3$为极小值点。
四、证明题（每题10分，共30分）12. 证明：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
高数下期末考试题及答案
高数下期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在x=1处的导数是：A. 8B. 6C. 4D. 2答案：B2. 若曲线y = x^3 - 2x^2 + x - 6在点(1, -6)处的切线斜率为-1，则该曲线在该点的切线方程是：A. y = -x - 5B. y = x - 5C. y = -x + 5D. y = x + 5答案：A3. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/6B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的原函数F(x)是：A. -cos(x) + sin(x) + CB. -sin(x) + cos(x) + CC. sin(x) - cos(x) + CD. cos(x) + sin(x) + C答案：D5. 微分方程dy/dx + y = x^2的解是：A. y = (1/2)x^3 + CB. y = x^3 + CC. y = (1/3)x^3 + CD. y = x^2 + C答案：C6. 函数f(x) = e^x - x^2的极小值点是：A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：A7. 曲线y = ln(x)在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B8. 定积分∫[1,e] e^x dx的值是：A. e^e - eB. e - 1C. e^e - 1D. e^e答案：C9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)答案：C10. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1的拐点是：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = 3答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 若f(x) = x^3 - 5x^2 + 4x + 6，则f'(2) = ______。
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高等数学（下）期末试题参考答案一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。
1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的（ ）。
A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。
3、设)ln(222z y x u ++=，则)(u grad div ＝（ ）。
A.2221z y x ++；B.2222z y x ++；C.2222)(1z y x ++；D.2222)(2z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+Dd y x y x σ)sin cos (33＝（ ）A.σd y x D ⎰⎰1sin cos 23； B.⎰⎰132D yd x σ； C.⎰⎰+1)sin cos (433D d y x y x σ； D.04、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dSy x ey x )sin(2222＝（ ）。
A .0； B.2sin Re R R π； C.R π4； D.2sin Re 2R R π 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x e y =2，x e y 23=，则其通解为（ ）。
A.x x e C e C x 221++；B.x x e C e C x C 2321++；C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；D.)()(2221x e C e e C x x x -+-二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(611--e ；4、81；5、C y y x =-1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝_____。
2、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ，则切点坐标为______________________。
3、二重积分dx e y dy y x ⎰⎰-1103的值为______________。
4、设空间立体Ω所占闭区域为0,0,1≥≥≤++y x z y x ，Ω上任一点的体密度是z y x z y x ++=),,(ρ，则此空间立体的质量为____________。
5、微分方程2yx yy +='的通解为_____________________。
三、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。
2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2。
3、将函数223)(xx x f --=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
4、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。
5、计算⎰++Lz y x ds222，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段。
四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0>a ，计算极限)321(lim 32n n ana a a +++++∞→Λ的值。
2、计算⎰⎰⎰Ωdv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。
3、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数。
4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。
5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足3)1(=f ，计算曲线积分dy y x f x dx x x f y L ))(())((22+++⎰的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。
五、本题５分。
对0>p ，讨论级数∑-∞=+11)1(n n npn 的敛散性。
一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。
1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。
1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(611--e ；4、81；5、C y y x =-三、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。
解：由条件得z zfx y f y x f 2,2,2-=∂∂=∂∂=∂∂ }cos ,cos ,{cos }32,32,31{}2,2,1{0γβα=-=⇒-=AB AB32cos ,32cos ,31cos -===⇒γβα从而)1,1,2(cos cos cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂A z f y f x f l f γβα=310 点A 的梯度方向是}2,4,2{}2,2,2{--=-==A Az x y f grad所以方向导数的最大值是6224242222==++=∂∂lf2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z∂∂∂2。
解：2121,xf f yzyf f xz+-=∂∂+=∂∂ []2221211222211211221212)()()(f xyf f y x f f xf f y xf f f yf y y f yf f y x z y y x z ++-+-=++-++-=+∂∂+∂∂=+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂3、将函数223)(xx x f --=展开成x 的幂级数，并指出收敛域。
解：nn n n n n n n n x x x x x x x x x x f ∑∑∑∞=+∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=++-=++-=--=010022)1(12)1(212/112111211123)( 收敛域为)1,1(-。
4、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。
解：由条件知)(x y y =满足1)0(,1)0(-='=y y由特征方程2,1023212==⇒=+-r r r r ,对应齐次方程的通解x x e C e C Y 221+= 设特解为x Axe y =*，其中A 为待定常数，代入方程，得x xe y A 22*-=⇒-= 从而得通解x x x xe e C e C y 2221-+=,代入初始条件得0,121==C C 最后得x e x x y )21()(-= 5、计算⎰++Lzy x ds222，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π20≤≤t 的弧段。
解：dt dt z y x ds t t t 65222='+'+'= 8658arctan 865865202022222=⋅=+=++⎰⎰ππtt dt z y x ds L四、计算题（每题７分，总计３５分）。
1、设0>a ，计算极限)321(lim 32n n ana a a +++++∞→Λ的值。
解：设)11()(1<<-=∑∞=x nx x s n n ，则原问题转化为求和函数在ax 1=处的值 而2111111)1(1)()()()(x x x x x x x x x x x x x n x x s n n n n n n n n -='⎪⎭⎫⎝⎛-='='='==∑∑∑∑∞=-∞=∞=-∞= 故所求值为2)1(1-=⎪⎭⎫⎝⎛a a a s2、计算⎰⎰⎰Ωdv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。
解：πϕϕπϕϕϕπϕϕϕθππππ8154122sin 2cos sin 2sin cos 214404213212420=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωr d drr d dr rr d d dv z3、计算⎰⎰∑++++2222)(z y x dxdya z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，a 为大于零的常数。
解：取xoy ∑为xoy 面上的圆盘222a y x ≤+，方向取上侧，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎰⎰⎰=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰-+⎰⎰⎰=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰++-⎰⎰++=⎰⎰++=⎰⎰++++Ω∑∑+∑∑∑2230222022222222323sin cos 21)32(1)()(1)(1)(a a a a d r r d d a dxdy a dv a z a dxdy a z axdydz dxdy a z axdydz a dxdy a z axdydz a z y x dxdya z axdydz a D xy xoy xoy ππϕϕϕϕθπππ34440322121sin cos 41a a a a a dr r d a a ππππϕϕϕπππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎰⎰=4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。
解：所给函数在]1,1[-上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在]1,1[-内收敛于函数本身。
12100==⎰xdx a ，2211)1(2cos 2n xdx n x a n n --==⎰ππ，),2,1(0Λ==n b n )11(cos 1)1(221)(122≤≤---+=∑∞=x x n n x f n n ππ5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足3)1(=f ，计算曲线积分dy y x f x dx x x f y L ))(())((22+++⎰的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。