2013运筹学期末复习题1

运筹学试题及答案

填空 1. 线性规划问题MaxZ=C X ；A X =b ，X ≥0（A 为k x l 的矩阵，且l >k ）的基的最多个数为___，基的可行解的最多个数为_____.

2.指派问题的最优解的性质________________________________

3.线性规划问题的所有可行解构成的集合是__________,它们有有限个______________________,线性规划问题的每个基可行解对应可行域的___________,若线性规划问题有最优解，必在______________得到。

4影子价格的经济含义______.在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价格低于影子价格时，企业应_____该资源，而当某种资源的市场价格高于影子价格时，则企业应___该资源，可见影子价格对市场有____作用。

5. 运输问题的产销平衡表中有m 个产地n 个销地，其决策变量的个数有____个，其数值格有____个 答案1:C l k , C l k

2设指派问题的效率矩阵为C= n n ij c ⨯)(，若将该矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去统一常数，得到新的效率矩阵()ij n n B b ⨯=，则以B 为效率矩阵的新的指派问题与原指派问题的最优解相同。 3 凸集，顶点，顶点，顶点

4其它条件不变的情况下，单位第i 种资源变化所引起目标函数值的变化量。买进，卖出。 5 m n ⨯，1m n +-

计算 1． 对下列线性规划问题 Max z=2x 1+x 2+3x 3 x 1+ x 2+2x 3 ≤5 s.t. 2x 1+3x 2+4x 3＝12

x 1, x 2, x 3≥0

（1） 写出其对偶问题；（5分）

（2） 已知（3，2，0）T 是上述问题的最优解，根据互补松弛理论求出对偶问题的最优解；（10分） 解：（1）（5分）写出其对偶问题； Minw=5y 1+12y 2 s.t. y 1+2y 2≥2 y 1+3y 2≥1 2y 1+4y 2≥3

y 1≥0， y 2 无约束

（2） （10分）已知（3，2，0）T 是上述问题的最优解，根据互补松弛理论求出对偶问题的最优解； 由于原问题x 1和x 2为正，根据互补松弛理论，有对偶问题取最优解时 （1）、（2）取严格等式，即为

y 1+2y2＝2

y 1+3y 2＝1

解得y2＝-1 y1＝4

故对偶问题最优解为Y*＝（4，－1），w*=8

2. （15分）运用单纯形法求解下面线性规划问题。

12

121212max 33515

.6224

,0

z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 解： 12

12312412

max 33515.6224,0z x x x x x s t x x x x x =+++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩

（加入松弛变量34,x x ，上述模型可转化为上式）

c j 3 1 3 0 θ C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 0 x 3 15 3 5 1 0 5 0

x 4 24 [6] 2 0 1 4 z

0 3 1 0 0 0 x 3 3 0 4 1 -0.5 1.2 3

x 1 4 1 1/3 0 1/6 - z

12

0 0 0 -0.5

（2分）最优解*(4,0,0,0)T x =，最优值*12Z =

3． （15分）已知运输问题的产销平衡表与单位运价表如下表所示

试用运用沃格尔法求出初始运输方案。

解：（1） （7分）用最小元素法求得初始可行基如下

（2） （8分）位势方程组为 u1+v1=10 u1+v4=12 u2+v3=5 u2+v4=9 u3+v1=5 u3+v2=4 令u1＝0，解得v1=10 v2=9 v3=8 v4=12 u2 =-3 u3 =-5 各非基变量检验数为 Δ12＝6－（0＋9）＝-3

Δ13＝7－（0＋8）＝-1 Δ21＝16－（10－3）＝9 Δ22＝10－（9－3）＝4 Δ33＝10－（8－5）＝7 Δ34＝10－（12－5）＝3 存在非基变量检验数为负，没有达到最优解

4． （15分）用匈牙利法求解下列分配问题，已知效益矩阵为

7 9 8 5 6 12 7 4 8 7 9 6 6

7

8

10

解：已知效益矩阵为

7 9 8 5

销地 产地

B1 B2 B3 B4 产量 A1 10 6 7 12 4 A2 16 10 5 9 9 A3 5 4 10 10 4 销量

5

2

4

6

销地

产地 B1 B2 B3 B4 产量

A1 10 3 6 × 7 × 12 1 4 0 A2 16 × 10 × 5 4 9 5 9 -3 A3 5 2 4 2 10 × 10 × 4 -5 销量 5 10 2 9 4 8 6 12

6 12

7 4

8 7

9 6 6 7 8 10

第一步（5分），把C ij 转化为C ij ’,

4 1 0

2 8 1 0

3 0 2 1 0 1 0 4

第二步（5分），求初始分配方案及寻找覆盖所有零元素的最少直线，

2 4 1 0 2 8 1 0

3 0 2 1 0 1 0 4

第三步（5分），调整，求最优解。

1

3 0 0 1 7 0 0 3 0 2 2 0

1

5

所以，最优解为25*z ,0*x ,1*x *x *x *x ij 41322314======其余

建模

1． 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员? （15分）解：设 x i 表示第i 班次时开始上班的司机和乘务人员数, （2分）

这样我们建立如下的数学模型。

目标函数： Min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 （3分） 约束条件：s.t. x 1 + x 6 ≥ 60 x 1 + x 2 ≥ 70 x 2 + x 3 ≥ 60 x 3 + x 4 ≥ 50

班次 时间 所需人数 1 6：00 —— 10：00

60 2 10：00 —— 14：00

70 3 14：00 —— 18：00 60 4 18：00 —— 22：00

50 5 22：00 —— 2：00 20 6 2：00 —— 6：00 30 √

√

√