高中数学专题讲义:高考中的数列问题的热点题型
高中数学专题讲义:高考中的数列问题的热点题型
高考导航 对近几年高考试题统计看,全国卷中的数列与三角基本上交替考查,难度不大.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,有时结合函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,试题题型规范、方法可循.
热点一 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用.
【例1】 已知首项为3
2的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设T n =S n -1
S n
(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,
所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3, 于是q 2=a 5a 3
=1
4.
又{a n }不是递减数列且a 1=3
2, 所以q =-1
2
.
故等比数列{a n }的通项公式为a n =32×? ????-12n -1
=(-1)n -1·3
2n .
(2)由(1)得S n =1-? ????
-12n =?????1+12n ,n 为奇数,1-1
2n ,n 为偶数,
当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1
2,
故0
≤S 1-1S 1
=32-23=5
6.
当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大, 所以3
4
=S 2≤S n <1,
故0>S n -1S n ≥S 2-1S 2=34-43=-7
12.
综上,对于n ∈N *, 总有-712≤S n -1S n
≤5
6.
所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为-7
12.
探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口.
【训练1】 (2017·济南模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,满足S 5-2a 2=25,且a 1,a 4,a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2)设T n 是数列?
?????????1a n a n +1的前n 项和,是否存在k ∈N *,使得等式1-2T k =1
b k 成立?若
存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0), ∴?????? ?
???5a 1+5×42d -2(a 1+d )=25,
(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ),
解得a 1=3,d =2,∴a n =2n +1. ∵b 1=a 1=3,b 2=a 4=9,
∴等比数列{b n }的公比q =3,∴b n =3n . (2)不存在.理由如下:
∵1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12? ??
??1
2n +1-12n +3, ∴T n =12??????? ????13-15+? ????15-17+…+? ????1
2n +1-12n +3=12? ????13-12n +3,
∴1-2T k =23+1
2k +3(k ∈N *),
易知数列??????
???
?12k +3为单调递减数列,
∴23<1-2T k ≤1315,又1b k
=13k ∈? ?
???0,13,
∴不存在k ∈N *
,使得等式1-2T k =1b k 成立.
热点二 数列的通项与求和(规范解答)
数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征,选择合适的求和方法.常考求和方法有:错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例2】 (满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100. (1) 求数列{a n },{b n }的通项公式;
(2) 当d >1时,记c n =a n
b n
,求数列{c n }的前n 项和T n .
满分解答 (1)解 由题意有???10a 1+45d =100,
a 1d =2,
即???2a 1+9d =20,a 1
d =2,2分 解得???a 1=1,d =2或?
????a 1=9,d =29.4分
故???a n =2n -1,b n =2n -
1或?????a n =19(2n +79),
b n =9·? ??
??
29n -1.6分
(2)解 由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1, 故c n =
2n -1
2n -1
,7分
于是T n =1+32+522+723+9
24+…+2n -12n -1,①
12T n =12+322+523+724+9
25+…+2n -12n .②8分 ①-②可得
12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n 10分 =3-2n +3
2n ,11分 故T n =6-2n +3
2
n -1.12分
?由题意列出方程组得2分; ?解得a 1与d 得2分,漏解得1分; ?正确导出a n ,b n 得2分,漏解得1分; ?写出c n 得1分;
?把错位相减的两个式子,按照上下对应好,再相减,就能正确地得到结果,本题就得满分,否则就容易出错,丢掉一些分数.
用错位相减法解决数列求和的模板
第一步:(判断结构)
若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的,则可用此法求和. 第二步:(乘公比)
设{a n ·b n }的前n 项和为T n ,然后两边同乘以q . 第三步:(错位相减)
乘以公比q 后,向后错开一位,使含有q k (k ∈N *)的项对应,然后两边同时作差. 第四步:(求和)
将作差后的结果求和,从而表示出T n .
【训练2】 已知数列{a n },a n =(-1)n -14n
(2n -1)(2n +1),求数列{a n }的前n 项
和T n .
解 a n =(-1)n -1? ?
?
??12n -1+12n +1,
当n 为偶数时,T n =? ?
???1+13-? ????13+15+…+? ????12n -3+12n -1-? ??
??12n -1+12n +1=1-
12n +1=2n 2n +1
. 当n 为奇数时,T n =? ?
???1+13-? ????13+15+…-? ????12n -3+12n -1+? ????12n -1+12n +1=1+
1
2n +1=2n +22n +1
. 所以T n =?????2n +22n +1,n 为奇数,2n
2n +1,n 为偶数(或T n =
2n +1+(-1)n
-1
2n +1).
热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题
数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选.
【例3-1】 设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图象上(n ∈N *). (1)若a 1=-2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上,求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)若a 1=1,函数f (x )的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1
ln 2,求数列
????
??
a n
b n 的前n 项和T n .
解 (1)由已知,b 7=2a 7,b 8=2a 8=4b 7, 有2a 8=4×2a 7=2a 7+2,解得d =a 8-a 7=2.
所以,S n =na 1+n (n -1)2
d =-2n +n (n -1)=n 2
-3n .
(2)函数f (x )=2x 在(a 2,b 2)处的切线方程为y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2), 它在x 轴上的截距为a 2-1
ln 2. 由题意知,a 2-1ln 2=2-1
ln 2, 解得a 2=2. 所以,d =a 2-a 1=1.
从而a n =n ,b n =2n ,
所以T n =12+222+3
23+…+n -12n -1+n 2n ,
2T n =11+22+322+…+n 2n -1
因此,2T n -T n =1+12+122+…+12
n -1-n
2n
=2-1
2
n -1-n 2n =2n +
1-n -2
2n .
所以,T n =2n +1-n -2
2n
.
热点3.2 数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法.
【例3-2】 在等差数列{a n }中,a 2=6,a 3+a 6=27. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ,且T n =S n
3·2n -1,若对于一切正整数n ,总有T n ≤m 成
立,求实数m 的取值范围. 解 (1)设公差为d ,由题意得:
???a 1+d =6,2a 1+7d =27,解得???a 1=3,d =3,∴a n =3n . (2)∵S n =3(1+2+3+…+n )=3
2n (n +1), ∴T n =n (n +1)2n
,T n +1=(n +1)(n +2)2n +1
, ∴T n +1-T n =(n +1)(n +2)2n +1-n (n +1)2n =(n +1)(2-n )
2n +1,
∴当n ≥3时,T n >T n +1,且T 1=1 2, ∴T n 的最大值是32,故实数m 的取值范围是?????? 32,+∞. 热点3.3 数列的实际应用 数列在实际问题中的应用,要充分利用题中限制条件确定数列的特征,如通项公式、前n 项和公式或递推关系式,建立数列模型. 【例3-3】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元. (1)求该企业2014年年底分红后的资金; (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 解 设a n 为(2010+n )年年底分红后的资金,其中n ∈N *, 则a 1=2×1 000-500=1 500, a 2=2×1 500-500=2 500,…, a n =2a n -1-500(n ≥2). ∴a n -500=2(a n -1-500)(n ≥2), 即数列{a n -500}是以a 1-500=1 000为首项,2为公比的等比数列, ∴a n -500=1 000×2n -1, ∴a n =1 000×2n - 1+500. (1)∵a 4=1 000×24-1+500=8 500, ∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元. (2)由a n >32 500,即2n -1>32,得n >6,∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元. (建议用时:70分钟) 1.(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=9 2. (1)求{a n }的通项公式; (2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公差为d ,则由已知条件得 a 1+2d =2,3a 1+3×22d =9 2, 化简得a 1+2d =2,a 1+d =3 2, 解得a 1=1,d =1 2, 故{a n }的通项公式a n =1+n -1 2, 即a n =n +1 2. (2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+1 2=8. 设{b n }的公比为q ,则q 3=b 4 b 1=8, 从而q =2, 故{b n }的前n 项和 T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2 =2n -1. 2.(2017·东北三省四校模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差d ≠0,且S 3+S 5=50,a 1,a 4,a 13成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设???? ?? b n a n 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)依题意得????? 3a 1+3×22d +5a 1 +4×52d =50,(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ), 解得???a 1=3, d =2, ∴a n =2n +1. (2)∵b n a n =3n -1,∴b n =a n ·3n -1=(2n +1)·3n -1, ∴T n =3+5×3+7×32+…+(2n +1)×3n -1, 3T n =3×3+5×32+7×33+…+(2n -1)×3n -1+(2n +1)×3n , 两式相减得, -2T n =3+2×3+2×32+…+2×3n -1-(2n +1)×3n =3+2×3(1-3n -1) 1-3-(2n +1)×3n =-2n ×3n , ∴T n =n ×3n . 3.已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点,其导函数为f ′(x )=6x -2,数列{a n }的 前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n = 3 a n a n +1 ,试求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设二次函数f (x )=ax 2+bx (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b . 由于f ′(x )=6x -2,得a =3,b =-2, 所以f (x )=3x 2-2x . 又因为点(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上, 所以S n =3n 2-2n . 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2-2n -[3(n -1)2-2(n -1)]=6n -5; 当n =1时,a 1=S 1=3×12-2×1=6×1-5,也适合上式, 所以a n =6n -5(n ∈N *). (2)由(1)得b n = 3a n a n +1=3 (6n -5)[6(n +1)-5] =12·? ????1 6n -5-16n +1, 故T n =12??????? ????1-17+? ????17-113+…+? ????16n -5-16n +1= 12? ????1-16n +1=3n 6n +1 . 4.在数列{a n }中,log 2a n =2n +1,令b n =(-1)n -1·4(n +1) log 2a n log 2a n +1 ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 由题意得b n =(-1)n -14(n +1)(2n +1)(2n +3) =(-1)n -1? ? ? ?? 12n +1+12n +3. 当n 为偶数时,T n =? ????13+15-? ????15+17+? ?? ?? 17+19 -…-? ?? ??1 2n +1+12n +3=13-12n +3; 当n 为奇数时,T n =? ????13+15-? ????15+17+? ???? 17+19 -…+? ????12n +1+12n +3=13+12n +3, 故T n =?????13+ 1 2n +3,n 为奇数, 13-12n +3,n 为偶数. 5.(2017·兰州模拟)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 2n -(n 2+n -1)S n -(n 2 +n )= 0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b n =n +1(n +2)2a 2n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,证明:对于任意的n ∈N * ,都有T n <564. (1)解 由S 2n -(n 2+n -1)S n -(n 2 +n )=0, 得[S n -(n 2+n )](S n +1)=0. 由于{a n }是正项数列,所以S n >0,S n =n 2+n . 于是a 1=S 1=2, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n -(n -1)2-(n -1)=2n ,又a 1=2=2×1. 综上,数列{a n }的通项a n =2n . (2)证明 由于a n =2n ,b n =n +1 (n +2)2a 2n , 则b n =n +14n 2(n +2)2=116??????1n 2-1(n +2)2. T n =116? ?? 1-132+122-142+132-152+… ? ??+1(n -1)2-1(n +1)2+1n 2-1(n +2)2 =116??????1+122-1(n +1)2-1(n +2)2<116? ? ???1+122=564. 所以对于任意的n ∈N *,都有T n <5 64. 6.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =a n log 12a n ,S n =b 1+b 2+…+b n ,对任意正整数n ,S n +(n +m )a n +1<0恒成立, 试求m 的取值范围. 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q . 依题意,有2(a 3+2)=a 2+a 4, 代入a 2+a 3+a 4=28,得a 3=8. ∴a 2+a 4=20, ∴???a 1q +a 1 q 3 =20,a 3=a 1q 2 =8,解得???q =2,a 1=2或?????q =12,a 1=32. 又{a n }单调递增,∴???q =2,a 1=2. ∴a n =2n . (2)b n =2n ·log 12 2n =-n ·2n , ∴-S n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n ,① ∴-2S n =1×22+2×23+3×24+…+(n -1)×2n +n ×2n +1,② ①-②,得S n =2+22+23+…+2n -n ×2n +1 =2(1-2n )1-2-n ×2n +1=2n +1-n ×2n +1-2. 由S n +(n +m )a n +1<0, 得2n +1-n ×2n +1-2+n ×2n +1+m ×2n +1<0对任意正整数n 恒成立, ∴m ·2n +1<2-2n +1,即m <12n -1对任意正整数n 恒成立.∵1 2n -1>-1,∴m ≤-1, 即m 的取值范围是(-∞,-1].