高中数学专题讲义:高考中的数列问题的热点题型

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高中数学专题讲义:高考中的数列问题的热点题型

高考导航 对近几年高考试题统计看,全国卷中的数列与三角基本上交替考查,难度不大.考查内容主要集中在两个方面:一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,题目多为常规试题;二是等差、等比数列的通项与求和问题,有时结合函数、不等式等进行综合考查,涉及内容较为全面,试题题型规范、方法可循.

热点一 等差数列、等比数列的综合问题

解决等差、等比数列的综合问题时,重点在于读懂题意,灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题,求解这类问题要重视方程思想的应用.

【例1】 已知首项为3

2的等比数列{a n }不是递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)设T n =S n -1

S n

(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q , 因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,

所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3, 于是q 2=a 5a 3

=1

4.

又{a n }不是递减数列且a 1=3

2, 所以q =-1

2

.

故等比数列{a n }的通项公式为a n =32×? ????-12n -1

=(-1)n -1·3

2n .

(2)由(1)得S n =1-? ????

-12n =?????1+12n ,n 为奇数,1-1

2n ,n 为偶数,

当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小, 所以1

2,

故0

≤S 1-1S 1

=32-23=5

6.

当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大, 所以3

4

=S 2≤S n <1,

故0>S n -1S n ≥S 2-1S 2=34-43=-7

12.

综上,对于n ∈N *, 总有-712≤S n -1S n

≤5

6.

所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为-7

12.

探究提高 解决等差数列与等比数列的综合问题,既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解,更要善于根据具体问题情境具体分析,寻找解题的突破口.

【训练1】 (2017·济南模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列,其前n 项和为S n ,满足S 5-2a 2=25,且a 1,a 4,a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;

(2)设T n 是数列?

?????????1a n a n +1的前n 项和,是否存在k ∈N *,使得等式1-2T k =1

b k 成立?若

存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0), ∴?????? ?

???5a 1+5×42d -2(a 1+d )=25,

(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ),

解得a 1=3,d =2,∴a n =2n +1. ∵b 1=a 1=3,b 2=a 4=9,

∴等比数列{b n }的公比q =3,∴b n =3n . (2)不存在.理由如下:

∵1a n a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12? ??

??1

2n +1-12n +3, ∴T n =12??????? ????13-15+? ????15-17+…+? ????1

2n +1-12n +3=12? ????13-12n +3,

∴1-2T k =23+1

2k +3(k ∈N *),

易知数列??????

???

?12k +3为单调递减数列,

∴23<1-2T k ≤1315,又1b k

=13k ∈? ?

???0,13,

∴不存在k ∈N *

,使得等式1-2T k =1b k 成立.

热点二 数列的通项与求和(规范解答)

数列的通项与求和是高考必考的热点题型,求通项属于基本问题,常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征,选择合适的求和方法.常考求和方法有:错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例2】 (满分12分)(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q ,已知b 1=a 1,b 2=2,q =d ,S 10=100. (1) 求数列{a n },{b n }的通项公式;

(2) 当d >1时,记c n =a n

b n

,求数列{c n }的前n 项和T n .

满分解答 (1)解 由题意有???10a 1+45d =100,

a 1d =2,

即???2a 1+9d =20,a 1

d =2,2分 解得???a 1=1,d =2或?

????a 1=9,d =29.4分

故???a n =2n -1,b n =2n -

1或?????a n =19(2n +79),

b n =9·? ??

??

29n -1.6分

(2)解 由d >1,知a n =2n -1,b n =2n -1, 故c n =

2n -1

2n -1

,7分

于是T n =1+32+522+723+9

24+…+2n -12n -1,①

12T n =12+322+523+724+9

25+…+2n -12n .②8分 ①-②可得

12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n 10分 =3-2n +3

2n ,11分 故T n =6-2n +3

2

n -1.12分

?由题意列出方程组得2分; ?解得a 1与d 得2分,漏解得1分; ?正确导出a n ,b n 得2分,漏解得1分; ?写出c n 得1分;

?把错位相减的两个式子,按照上下对应好,再相减,就能正确地得到结果,本题就得满分,否则就容易出错,丢掉一些分数.

用错位相减法解决数列求和的模板

第一步:(判断结构)

若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的,则可用此法求和. 第二步:(乘公比)

设{a n ·b n }的前n 项和为T n ,然后两边同乘以q . 第三步:(错位相减)

乘以公比q 后,向后错开一位,使含有q k (k ∈N *)的项对应,然后两边同时作差. 第四步:(求和)

将作差后的结果求和,从而表示出T n .

【训练2】 已知数列{a n },a n =(-1)n -14n

(2n -1)(2n +1),求数列{a n }的前n 项

和T n .

解 a n =(-1)n -1? ?

?

??12n -1+12n +1,

当n 为偶数时,T n =? ?

???1+13-? ????13+15+…+? ????12n -3+12n -1-? ??

??12n -1+12n +1=1-

12n +1=2n 2n +1

. 当n 为奇数时,T n =? ?

???1+13-? ????13+15+…-? ????12n -3+12n -1+? ????12n -1+12n +1=1+

1

2n +1=2n +22n +1

. 所以T n =?????2n +22n +1,n 为奇数,2n

2n +1,n 为偶数(或T n =

2n +1+(-1)n

-1

2n +1).

热点三 数列的综合应用 热点3.1 数列与函数的综合问题

数列是特殊的函数,以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力,因而一直是高考命题者的首选.

【例3-1】 设等差数列{a n }的公差为d ,点(a n ,b n )在函数f (x )=2x 的图象上(n ∈N *). (1)若a 1=-2,点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上,求数列{a n }的前n 项和S n ; (2)若a 1=1,函数f (x )的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴上的截距为2-1

ln 2,求数列

????

??

a n

b n 的前n 项和T n .

解 (1)由已知,b 7=2a 7,b 8=2a 8=4b 7, 有2a 8=4×2a 7=2a 7+2,解得d =a 8-a 7=2.

所以,S n =na 1+n (n -1)2

d =-2n +n (n -1)=n 2

-3n .

(2)函数f (x )=2x 在(a 2,b 2)处的切线方程为y -2a 2=(2a 2ln 2)(x -a 2), 它在x 轴上的截距为a 2-1

ln 2. 由题意知,a 2-1ln 2=2-1

ln 2, 解得a 2=2. 所以,d =a 2-a 1=1.

从而a n =n ,b n =2n ,

所以T n =12+222+3

23+…+n -12n -1+n 2n ,

2T n =11+22+322+…+n 2n -1

因此,2T n -T n =1+12+122+…+12

n -1-n

2n

=2-1

2

n -1-n 2n =2n +

1-n -2

2n .

所以,T n =2n +1-n -2

2n

.

热点3.2 数列与不等式的综合问题

数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法.

【例3-2】 在等差数列{a n }中,a 2=6,a 3+a 6=27. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ,且T n =S n

3·2n -1,若对于一切正整数n ,总有T n ≤m 成

立,求实数m 的取值范围. 解 (1)设公差为d ,由题意得:

???a 1+d =6,2a 1+7d =27,解得???a 1=3,d =3,∴a n =3n . (2)∵S n =3(1+2+3+…+n )=3

2n (n +1), ∴T n =n (n +1)2n

,T n +1=(n +1)(n +2)2n +1

, ∴T n +1-T n =(n +1)(n +2)2n +1-n (n +1)2n =(n +1)(2-n )

2n +1,

∴当n ≥3时,T n >T n +1,且T 1=1

2,

∴T n 的最大值是32,故实数m 的取值范围是??????

32,+∞.

热点3.3 数列的实际应用

数列在实际问题中的应用,要充分利用题中限制条件确定数列的特征,如通项公式、前n 项和公式或递推关系式,建立数列模型.

【例3-3】 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍,并且每年年底固定给股东们分红500万元,该企业2010年年底分红后的资金为1 000万元. (1)求该企业2014年年底分红后的资金;

(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元. 解 设a n 为(2010+n )年年底分红后的资金,其中n ∈N *, 则a 1=2×1 000-500=1 500, a 2=2×1 500-500=2 500,…, a n =2a n -1-500(n ≥2).

∴a n -500=2(a n -1-500)(n ≥2),

即数列{a n -500}是以a 1-500=1 000为首项,2为公比的等比数列, ∴a n -500=1 000×2n -1, ∴a n =1 000×2n -

1+500.

(1)∵a 4=1 000×24-1+500=8 500,

∴该企业2014年年底分红后的资金为8 500万元.

(2)由a n >32 500,即2n -1>32,得n >6,∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.

(建议用时:70分钟)

1.(2015·重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=9

2.

(1)求{a n }的通项公式;

(2)设等比数列{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公差为d ,则由已知条件得 a 1+2d =2,3a 1+3×22d =9

2, 化简得a 1+2d =2,a 1+d =3

2,

解得a 1=1,d =1

2,

故{a n }的通项公式a n =1+n -1

2,

即a n =n +1

2.

(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+1

2=8.

设{b n }的公比为q ,则q 3=b 4

b 1=8,

从而q =2, 故{b n }的前n 项和

T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2

=2n -1.

2.(2017·东北三省四校模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差d ≠0,且S 3+S 5=50,a 1,a 4,a 13成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)设????

??

b n a n 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n }的前n 项和T n .

解 (1)依题意得?????

3a 1+3×22d +5a 1

+4×52d =50,(a 1+3d )2=a 1(a 1+12d ),

解得???a 1=3,

d =2,

∴a n =2n +1.

(2)∵b n

a n

=3n -1,∴b n =a n ·3n -1=(2n +1)·3n -1,

∴T n =3+5×3+7×32+…+(2n +1)×3n -1,

3T n =3×3+5×32+7×33+…+(2n -1)×3n -1+(2n +1)×3n , 两式相减得,

-2T n =3+2×3+2×32+…+2×3n -1-(2n +1)×3n =3+2×3(1-3n -1)

1-3-(2n +1)×3n =-2n ×3n ,

∴T n =n ×3n .

3.已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点,其导函数为f ′(x )=6x -2,数列{a n }的

前n 项和为S n ,点(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =

3

a n a n +1

,试求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设二次函数f (x )=ax 2+bx (a ≠0), 则f ′(x )=2ax +b .

由于f ′(x )=6x -2,得a =3,b =-2, 所以f (x )=3x 2-2x .

又因为点(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上, 所以S n =3n 2-2n .

当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2-2n -[3(n -1)2-2(n -1)]=6n -5; 当n =1时,a 1=S 1=3×12-2×1=6×1-5,也适合上式, 所以a n =6n -5(n ∈N *).

(2)由(1)得b n =

3a n a n +1=3

(6n -5)[6(n +1)-5] =12·? ????1

6n -5-16n +1,

故T n =12??????? ????1-17+? ????17-113+…+? ????16n -5-16n +1= 12? ????1-16n +1=3n 6n +1

. 4.在数列{a n }中,log 2a n =2n +1,令b n =(-1)n -1·4(n +1)

log 2a n log 2a n +1

,求数列{b n }的前n

项和T n .

解 由题意得b n =(-1)n -14(n +1)(2n +1)(2n +3)

=(-1)n -1? ?

?

??

12n +1+12n +3.

当n 为偶数时,T n =? ????13+15-? ????15+17+? ??

??

17+19

-…-? ??

??1

2n +1+12n +3=13-12n +3;

当n 为奇数时,T n =? ????13+15-? ????15+17+? ????

17+19

-…+? ????12n +1+12n +3=13+12n +3,

故T n =?????13+

1

2n +3,n 为奇数,

13-12n +3,n 为偶数.

5.(2017·兰州模拟)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 2n -(n 2+n -1)S n -(n 2

+n )=

0.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b n =n +1(n +2)2a 2n

,数列{b n }的前n 项和为T n ,证明:对于任意的n ∈N *

,都有T n <564.

(1)解 由S 2n -(n 2+n -1)S n -(n 2

+n )=0,

得[S n -(n 2+n )](S n +1)=0.

由于{a n }是正项数列,所以S n >0,S n =n 2+n . 于是a 1=S 1=2,

当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2+n -(n -1)2-(n -1)=2n ,又a 1=2=2×1. 综上,数列{a n }的通项a n =2n .

(2)证明 由于a n =2n ,b n =n +1

(n +2)2a 2n ,

则b n =n +14n 2(n +2)2=116??????1n 2-1(n +2)2. T n =116?

??

1-132+122-142+132-152+…

?

??+1(n -1)2-1(n +1)2+1n 2-1(n +2)2 =116??????1+122-1(n +1)2-1(n +2)2<116? ?

???1+122=564.

所以对于任意的n ∈N *,都有T n <5

64.

6.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28,且a 3+2是a 2,a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)若b n =a n log 12a n ,S n =b 1+b 2+…+b n ,对任意正整数n ,S n +(n +m )a n +1<0恒成立,

试求m 的取值范围.

解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q . 依题意,有2(a 3+2)=a 2+a 4, 代入a 2+a 3+a 4=28,得a 3=8. ∴a 2+a 4=20,

∴???a 1q +a 1

q 3

=20,a 3=a 1q 2

=8,解得???q =2,a 1=2或?????q =12,a 1=32. 又{a n }单调递增,∴???q =2,a 1=2.

∴a n =2n .

(2)b n =2n ·log 12

2n =-n ·2n ,

∴-S n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n ,①

∴-2S n =1×22+2×23+3×24+…+(n -1)×2n +n ×2n +1,② ①-②,得S n =2+22+23+…+2n -n ×2n +1 =2(1-2n )1-2-n ×2n +1=2n +1-n ×2n +1-2.

由S n +(n +m )a n +1<0,

得2n +1-n ×2n +1-2+n ×2n +1+m ×2n +1<0对任意正整数n 恒成立,

∴m ·2n +1<2-2n +1,即m <12n -1对任意正整数n 恒成立.∵1

2n -1>-1,∴m ≤-1, 即m 的取值范围是(-∞,-1].

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