概率论与数理统计-第二章 条件概率与独立性

（最后一个等号根据乘法公式）
值得注意的是，这里还有 A1 + A2 + A3=
2.2 全概率公式
定理2.2 设试验E的样本空间为, A1, A2 ,…, An为E的
一组事件，且满足：
(1) A1,A2,…,An两两互不相容，P( Ai ) 0, i = 1,2,…,n;
n
(2) Ai
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, 由于BA, 所以P(AB)=P(B), 所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 .
P( A) 0.8 2
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.2 乘法公式
由条件概率公式容易得到下面定理．
定理2.1 设A与B是同一样本空间中的两个事件， 如果P(A) > 0，则
3
由全概率公式得 P( B) P( Ai) P (B | Ai ) i 1
依题意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,
P( Ai )=1/3, i=1, 2, 3
代入数据计算得：P(B)≈ 0.639 .
2.2 全概率公式
【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有 50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件 和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两 个零件，试求:
(1)先取出的零件是一等品的概率；
(2)两次取出的零件均为一等品的概率．
解: 设Ai =“任取的一箱为第i箱零件”，i = 1,2,3， Bj =“第j次取到的是一等品”，j = 1，2．
由题意知 A1、A2和A3构成完备事件组，
且
P(
A1 )

P( A2 )

P(
A3 )

1 3
2.2 全概率公式
1 P( A1 A2 A3) 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1) 0.73
2.1.2 乘法公式
☺课堂练习
设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破 的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的 概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的 概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.
则事件B的表达式为 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 利用概率的加法公式和乘法公式
P( B) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A 31) 9 1 9 8 1 3 .
10 10 9 10 9 8 10
P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
2.1.2 乘法公式
推广2 : 设 A1, A2 , , An 为 n 个事件, n 2,
且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A A1 A2 ) ... P( An1 A1 A2 An2 )P( An A1 A2 An1 ).
P( A1A2A3) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2). 事实上 由于P( A1) P( A1A2 ) 0, 右侧的条件概率均有意义, 且P( A1 A2 A3 ) P(( A1 A2 ) A3 ) P( A1A2)P( A3 A1A2 )
P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1A2). 可进一步推广如下:
i1
i1
1.4.1 条件概率
【例2.2】设某种动物从出生起活20岁以上的概率 为80%，活25岁以上的概率为40%．如果现在有一 个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率．
解：设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
则有所求概率为 P(B A) P( AB) . P( A)
由于A1，A2，…，An两两互i不1 相容，i1
由有限可加性
n
n
P(B) P( (BAi )) P(BAi )
i1
i 1
由假设及乘法公式得到
n
n
P(B) P(BAi ) P( Ai )P(B Ai ).
i1
i 1
利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完
备事件组A1，A2，…，An;
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？
2.2 全概率公式
分析：红球可能取自三个罐中的任何一个，如果记
Ai ={ 取到的是 i 号罐 } i=1, 2, 3; B ={ 取得红球 } 则
A1,A2,A3 的发生都会导致B 发生， 并且A1,A2,A3 两两互不相容，于是
1
2
3
P(B) P( A1B+A2 B+A3B) = P( A1B)+P(A2 B)+P(A3B) =P( A1) P(B | A1)+P( A2) P(B | A2 )+P( A3) P(B | A3)
2.2 全概率公式
在处理复杂事件的概率时，我们经常将这个 复杂事件分解为若干个互不相容的较简单的事件 之和，先求这些简单事件的概率，再利用有限可 加性得到所求事件的概率，这种方法就是全概率 公式．
第2章 条件概率与独立性
2.2 全概率公式
2.2 全概率公式
引例： 有三个罐子, 1号装有 2 红 1 黑球, 2 号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人 从中随机取一罐，在从中任意取出一球，求 取得红球的概率.
类似地，当P(B) > 0时，定义在B发生下事件A发 生的条件概率为
P( A B) P( AB) P(B)
(1.3)
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
2.1.1 条件概率
注意，由此定义我们无法断言条件概率P(B|A)与 无条件概率P(B)有什么必然的关系.
例如，我们不能由定义断言 P(B) P(B A) 或 P(B) P(B A)
所求概率为1/3，记为 P(B|A)=1/3 ， 称此概率为在事件A发生下事件B发生的条件概率．
2.1.1 条件概率
如果我们去掉条件A，
这时 = {bb，bg，gb，gg}，B = {bb}，
从而 P(B)=1/4.
前面已算出 P(B A) 1/ 3, 故P(B A) P(B).
又因为A = { bb，bg，gb } ， P(A)=3/4，
P(AB)=P(B)=1/4，
易得
P(B
A)

P( AB) P( A)

1 4
3 4

1. 3
这个结果具有一般性，启发我们给出条件概率的如
下定义：
2.1.1 条件概率
定义2.1 设A与B是同一样本空间中的两事件，
若P(A) > 0，则称
P(B A) P( AB) P( A)
(1.2)
为在A发生下的B的条件概率．
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式 2.2 全概率公式 2.3 贝叶斯公式 2.4 事件的独立性 2.5 重复独立试验、二项概率公式
第2章 条件概率与独立性
2.1 条件概率与乘法公式
2.1.1 条件概率 在实际当中，我们常常碰到这样的问题，就是
在已知一事件发生的条件下，求另一事件发生的概 率．
2.1.2 乘法公式
【例2.5】猎手在距猎物10米处开枪，击中概率为 0.6．若击不中，待开第二枪时猎物已逃至30米远处， 此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至 50米远处，此时只有0.1的击中概率．求猎手三枪内 击中猎物的概率．
解：以Ai =“第i枪击中猎物”，i = 1，2，3， 则所求概率 P( A1 A2 A3 )
寻求完备事件组A1，A2，…，An相当于找导致 事件B发生的所有互不相容的事件．
2.2 全概率公式
再看引例１ 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3
红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一 罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率.
解 记 Ai ={ 取到的是 i 号罐 } i=1, 2, 3; B ={ 取得红球 }
事实上，当B A时，有
P(B A) P( AB) P(B) P(B). P( A) P( A)
当AB = 时，有 P(B A) 0 P(B)
2.1.1 条件概率
一般地， 0 P(B A) P( AB) P( A) 1
P( A) P( A)
不难验证，条件概率满足概率定义1.5中的三条公 理：
96 75 0.72. 100 100
2.1.2 乘法公式
【例2.4】某人忘记了电话号码的最后一位数字， 因而他随意地拨号．求他拨号不超过三次而接通电 话的概率．若已知最后一位数字是奇数，那么此概 率又是多少？
解：设Ai =“第i次接通电话”，i = 1，2，3， B =“拨号不超过3次接通电话”，
2.1.2 乘法公式
若已知最后一位数字是奇数， 则
P(B) P( A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 141431 3
554543 5
要注意区分P(AB) 和 P(B|A) 的不同含义
P( AB) P(B A)P( A)
(1.4)
如果P(B) > 0，则
P( AB) P( A B)P(B)