第4章 变形体静力学基础
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力学基础知识
工程单位制
大小
单位制
国际单位制
物理量
类别
量纲
英
制
基本量纲
导出量纲 量纲幂次式
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，压力，弹性模量
粘度，运动粘度
其他量 角速度，角加速度 应变率
第三节 变形体力学基础
一、材料力学的任务 二、关于变形固体及其基本假设 三、内力、截面法、轴力及轴力图
光滑辊轴而成． 约束力：构件受到垂直于光滑面的约束力．
5.平面固定端约束
=
=
≠
=
四.物体的受力分析和受力图
第二节 平面力系和平衡方程
一.平面力系的简化 二.平面力系的平衡方程
三.力学单位制与量纲 物理量的量纲
基本量纲dim m = M , dim l = L , dim t = T
导出量纲：用基本量纲的幂次表示。
二、关于变形固体及其基本假设
1.可变形固体
关于变形的基本概念和名词 弹性 ––– 物体在引起变形的外力被除去以后，
能即刻恢复它原有形状和尺寸的性质。
弹性变形 ––– 变形体在外力被除去后能 完全消失的变形。
塑性变形 ––– 变形体在外力被除去后不能 消失的变形。
2. 基本假设
• 连续性假设
认为组成物体的物质毫无空隙地充满了整个 物体的几何体积。
•小变形 假设物体产生的变形与整个物体的原始尺寸
相比是极其微小的。
PP
L
理论力学与材料力学的研究对象在模型上的区别。 理论力学：刚体 材料力学：变形固体完全弹性体
三.内力、截面法、轴力及轴力图
（一）内力的概念 它是由于外力的作用而使物体的各部分之间
04第四章变形体静力学基础CAI41
4)杆旳总伸长为： DlAD=DlAB+DlBC+DlCD=0.68mm
23
讨论：杆 受力如图。BC段截面积为A ，AB
段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面
D位移为零，F2应为多大？
解：画轴力图。
l
A F1 -F2
B
有： DD=DlAD=DlAB+DlBD
l
F2
D
l
=FNABl /E(2A)+FNBDl /EA 即：
内力分布在截面上。向截面形心简化，内力
一般可表达为6个，由平衡方程拟定。
11
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若外力在同一平面内，截面内
力只有3个分量，即:
C
轴力 FN 作用于截面法向。 剪力 FS 作用于截面切向。 弯矩 M 使物体发生弯曲。
M C FS FN
若外力在轴线上,内力只有轴力。
内力旳符号要求
FN
取截面左端研究，截面在研究对象右端，则要求：
1. 截面1 内力？
y
M1
F F
r FS
A FNa
x
2. 柱截面 内力？
Fy
3. 作内力图。
+向
5kN 10kN 8kN 3kN
Mz
Mx FN x
z
FN 图 5kN -
5kN
+
3kN
17
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4.4 杆件旳基本变形
y
Fy
F
杆件：某一方向尺寸远不小于其 他
方向尺寸旳构件。
1 My
C
Fx
z
A
x
Fz
轴向拉压杆旳应力、应变定义为：
应力：s = FN
(完整版)第四章变形体静力学基础b
C FCx l=3m
分析变形体静力学问题的基本方法。
D
F=22kN
例4.9 图中BD杆直径d=25mm，CD杆为30×80mm矩 形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。
解：1)力的平衡： 画受力图。有平衡方程：
MC(F)=FBsin45-F=0 FB=31.1kN Fx=FCx-FBcos45=0 FCx=22kN Fy=FCy+FBsin45-F=0 FCy=0 亦可由三力平衡判断
a=0时，a=， a=0， 横截面上正应力最大； a=45时，a=/2， a=/2，
45斜截面上剪应力最大，且max=/2。
如：铸铁试样受压时， a=45斜
截面上的应力a和a为：
a=-/2;
a=-/2
铸铁抗压能力远大于抗剪或
抗拉能力，故实验时先发生与
轴线大约成45，剪切破坏。
F
a a x a
B B
F
11
3) 一点的应力状态：
F
A
由定义有：T = lim DF 故可知，
DA0 DA
一点的应力与过该点之截面的取向有关。
一点的应力状态用围绕该点截取的 微小单元体上的应力来描述。单元体尺
寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。
A
dy dx
单向拉压杆横截面上只有正应力。 故 A点的应力状态可用由横截面、水 平面截取的微小单元体上的应力描述。
14
对于单向拉、压杆，任 一点 A的应力状态为：
F
A
/2
/2
A
或
A =/2
a=0
a=45
只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力， 即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。
第四章 变形静力学基础
1) 均匀连续性假设
物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是均匀、连 续的，且任何部分都具有相同的性质。
变形前、后都没有“空隙”、“重叠”，必须满足几何 协调（相容）条件。可取任一部分研究。
2) 各向同性假设
材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。 这样的材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。
注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前， 力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。
例[4.2] 求图中1、2、3截面内力。
FAy
a
解：1）求约束反力：由整体有 FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2
a A FAx 2
3
D
C
a
1F
由铰链C：FAC= 2F2； FCD=-F
2）求各截面内力：
而车轴的外伸部分既受弯 又受剪——横力弯曲
工程中常用构件在荷载作用下，大多为几种基本变形 形式的组合——组合变形。
烟囱
齿轮传动轴 厂房吊车立柱
(压缩+横力弯曲) (扭转+水平面内横 (压缩+纯弯曲) 力弯曲+竖直面内
横力弯曲)
工程构件的强度、刚度和稳定问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效；即指构件 的抵抗破坏的能力 刚度—不因发生过大的弹性变形而失效；指构件的 抵抗变形的能力
1 F1=40KN 2 F2=55KN F3=25KN
FR
A
B
C
3
4
D
F4=20KN
E
1
2
3
4
FR
F1 2 FN2
A
B2
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
FN2=50 kN(拉力)
物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是均匀、连 续的，且任何部分都具有相同的性质。
变形前、后都没有“空隙”、“重叠”，必须满足几何 协调（相容）条件。可取任一部分研究。
2) 各向同性假设
材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。 这样的材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。
注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前， 力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。
例[4.2] 求图中1、2、3截面内力。
FAy
a
解：1）求约束反力：由整体有 FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2
a A FAx 2
3
D
C
a
1F
由铰链C：FAC= 2F2； FCD=-F
2）求各截面内力：
而车轴的外伸部分既受弯 又受剪——横力弯曲
工程中常用构件在荷载作用下，大多为几种基本变形 形式的组合——组合变形。
烟囱
齿轮传动轴 厂房吊车立柱
(压缩+横力弯曲) (扭转+水平面内横 (压缩+纯弯曲) 力弯曲+竖直面内
横力弯曲)
工程构件的强度、刚度和稳定问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效；即指构件 的抵抗破坏的能力 刚度—不因发生过大的弹性变形而失效；指构件的 抵抗变形的能力
1 F1=40KN 2 F2=55KN F3=25KN
FR
A
B
C
3
4
D
F4=20KN
E
1
2
3
4
FR
F1 2 FN2
A
B2
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
FN2=50 kN(拉力)
西安交大工程力学01静力学基础
F
F
A
P B
P FNA A
B
FNB
§1-4 物体受力分析和受力图 例1-3 简易吊车的受力分析。
C FAx A FB FAy D B
D A B
FB
G
D A FA B
G
§1-4 物体受力分析和受力图
F
例1-4 三铰拱的受力分析。
C
A F C FC A B FA FC C
B
FB
§1-4 物体受力分析和受力图 例1-5 滑槽机构的受力分析。
今日作业
1-2(d) 1-3(c) 1-4(c) 1-7
§1-3 约束和约束力
b、固定铰链约束
Fx Fy
§1-3 约束和约束力
c、可动铰链约束
§1-3 约束和约束力
（4）球形铰链约束
约束结构: 由一物体的球部嵌入另一物体的球窝构成。 约束特性: 允许物体绕球心 O 转动，不能沿径向移动。 约束反力: 通过球心，方向不能预先确定，通常用三个正交 分力Fx，Fy，Fz 表示。
§1-2 静力学公理 静力学公理是人类在长期生活和生产实践中，总结 归纳出来的客观规律。 公理一、二力平衡公理
作用在一个刚体上的两个力，使刚体保持平衡的 充要条件: 二力等值、反向、共线。
F1 F 2
§1-2 静力学公理 公理二、加减平衡力系公理
在受力物体上加上或减去任 意平衡力系，不改变物体的 平衡（运动）状态。
§1-3 约束和约束力
（5）轴承约束
a、滑动轴承:
FAx
x z
FAy
A
y
b、滚动轴承: 径向轴承（向心滚子轴承） 止推轴承（向心推力轴承）
z
FAz
FAy
F
A
P B
P FNA A
B
FNB
§1-4 物体受力分析和受力图 例1-3 简易吊车的受力分析。
C FAx A FB FAy D B
D A B
FB
G
D A FA B
G
§1-4 物体受力分析和受力图
F
例1-4 三铰拱的受力分析。
C
A F C FC A B FA FC C
B
FB
§1-4 物体受力分析和受力图 例1-5 滑槽机构的受力分析。
今日作业
1-2(d) 1-3(c) 1-4(c) 1-7
§1-3 约束和约束力
b、固定铰链约束
Fx Fy
§1-3 约束和约束力
c、可动铰链约束
§1-3 约束和约束力
（4）球形铰链约束
约束结构: 由一物体的球部嵌入另一物体的球窝构成。 约束特性: 允许物体绕球心 O 转动，不能沿径向移动。 约束反力: 通过球心，方向不能预先确定，通常用三个正交 分力Fx，Fy，Fz 表示。
§1-2 静力学公理 静力学公理是人类在长期生活和生产实践中，总结 归纳出来的客观规律。 公理一、二力平衡公理
作用在一个刚体上的两个力，使刚体保持平衡的 充要条件: 二力等值、反向、共线。
F1 F 2
§1-2 静力学公理 公理二、加减平衡力系公理
在受力物体上加上或减去任 意平衡力系，不改变物体的 平衡（运动）状态。
§1-3 约束和约束力
（5）轴承约束
a、滑动轴承:
FAx
x z
FAy
A
y
b、滚动轴承: 径向轴承（向心滚子轴承） 止推轴承（向心推力轴承）
z
FAz
FAy
变形体静力学基础
假想沿1－1截面将杆截开，取1－1截面左端部分为研 究对象，受力分析如图4-5（c）所示。静力平衡方程
X 0, FAx FN 0 Y 0, FAy FS 0
M D (F ) 0, M FAy 2 0
解得：
FN FAx 8.66kN , FS FAy 5kN,
• 第4章 弹性变形体静力分析基础
• • • • 4．1变形体的基本假设 4．2杆件变形的基本形式 4．3杆件内力的计算方法 4. 4应力和应变的概念 胡克定律
4.1变形体的基本假设
变形固体：任何固体在外力作用下会产生形状和大小的变化。 弹性变形：当外力不超过某一限度时，外力撤去后，变形 随外力撤去而消失，这种变形称为弹性变形。 塑性变形：当外力超过一定限度时，外力撤去后将遗留一 部分不能消失的变形，称这部分变形为塑性变形，或称为 残留变形或永久变形。 构件按几何形状分为杆、板、壳和块体。
1 MPa 1 N / mm2 106 Pa
工程上经常采用兆帕（MPa）作单位
4.4.2 应变概念
变形：构件在外力作用下，其几何形状和尺寸的改变。 假想将构件分割成无数个微小正六面体
u
x 长度内总变形量
为度量一点处变形强弱程度，引入应变 的概念，若各点处的变形程度相同，则
u x
直杆
曲杆
板 研究对象：直杆
壳
块体
研究任务：使构件在外力作用下能够正常工作。 构件应具有足够的强度，以保证构件不会产生断裂或明显 的塑性变形。强度是指构件抵抗破坏（断裂或产生明显塑 性变形）的能力。 构件具有足够的刚度，以保证构件工作时的弹性变形在规 定的限度内。刚度是指构件抵抗变形的能力。 构件应具有足够的稳定性，以使构件在工作时不产生失稳 现象。失稳是指直杆从直线的平衡形式突然变为曲线的平 衡形式。稳定性是指构件保持原有平衡形态的能力。
变形体静力学基础绪论
4
内力和应力
一、内力与截面法：
1 、内力的定义： 在外力作用下，构件内部各部分之间因相 对位置改变而引起的附加的相互作用力——附加内力。 2 、内力的特点： ①连续分布于截面上各处； ②随外力的变化而变化。 3 、截面法： 用以显示和求解内力的方法，其步骤为：
①截开：在待求内力的截面处假想地将构件截 分为两部分， 取其中一部分为研究对象
2
小变形前提条件的作用
2、小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析
因构件在外力作用下发生的变形与原尺寸相比非常小， 在计算构件所受的力时，可按构件原始尺寸计算。
B
1 2 l
δ
1
A A1 δ C
Hale Waihona Puke FN 1 FN 22
A F
l
F
F
求FN1、 FN2 时，仍可 按构件原始尺寸计算。
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
11
二、切应变定义
微体相邻棱边所夹直角的 改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位 切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
12
三、应力应变之间的相互关系
一点的应力与一点的应变之间存在对应的关系
实验结果表明：在弹性范围内加载，正应力与 正应变存在线性关系 ： E ——胡克定律 E 称为材料的弹性模量或杨氏模量
变形固体的物性假设
小变形前提
一、变形固体： 在外力作用下可发生变形的固体。 二、变形固体的基本假设： 1、连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质连续 地充满，没有空隙和裂缝。 2、均匀性假设： 认为变形固体整个体积内各点处的力学 性质相同。 3、各向同性假设： 认为变形固体沿各个方向的力学性质 相同（不适合所有的材料）。 假设2和3表示材料的力学性能与坐标、方向无关
内力和应力
一、内力与截面法：
1 、内力的定义： 在外力作用下，构件内部各部分之间因相 对位置改变而引起的附加的相互作用力——附加内力。 2 、内力的特点： ①连续分布于截面上各处； ②随外力的变化而变化。 3 、截面法： 用以显示和求解内力的方法，其步骤为：
①截开：在待求内力的截面处假想地将构件截 分为两部分， 取其中一部分为研究对象
2
小变形前提条件的作用
2、小变形前提允许以变形前的受力分析代替变形后的受力分析
因构件在外力作用下发生的变形与原尺寸相比非常小， 在计算构件所受的力时，可按构件原始尺寸计算。
B
1 2 l
δ
1
A A1 δ C
Hale Waihona Puke FN 1 FN 22
A F
l
F
F
求FN1、 FN2 时，仍可 按构件原始尺寸计算。
1、 正应变是无量纲量 2、 过同一点不同方位的正应变一般不同
11
二、切应变定义
微体相邻棱边所夹直角的 改变量 g ，称为切应变
切应变量纲与单位 切应变为无量纲量 切应变单位为 弧度（rad）
12
三、应力应变之间的相互关系
一点的应力与一点的应变之间存在对应的关系
实验结果表明：在弹性范围内加载，正应力与 正应变存在线性关系 ： E ——胡克定律 E 称为材料的弹性模量或杨氏模量
变形固体的物性假设
小变形前提
一、变形固体： 在外力作用下可发生变形的固体。 二、变形固体的基本假设： 1、连续性假设：认为变形固体整个体积内都被物质连续 地充满，没有空隙和裂缝。 2、均匀性假设： 认为变形固体整个体积内各点处的力学 性质相同。 3、各向同性假设： 认为变形固体沿各个方向的力学性质 相同（不适合所有的材料）。 假设2和3表示材料的力学性能与坐标、方向无关
第四章 变形体静力学基础b
截面法求解内力的步骤为：
求 约 束 反 力 截 取 研 究 对 象 受力 图， 内力 按正 向假 设。 列 平 衡 方 程 求内 力， 内力 方程 内力图： FN、FQ、 M图
2
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4.4 杆件的基本变形
杆件：某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。
y
Fy
1
F My
解：画轴力图。 有： DD=DlAD=DlAB+DlBD =FNABl /E(2A)+FNBDl /EA 即： DD=(F1-F2)l /E(2A)+F1l /EA=0 解得： F2=3F1
D l A B
F1 -F2
l
l
F2
C
F1
F1
注意： 固定端A处位 移为零。
9
4.6 一点的应力和应变(一般讨论)
y
D'
D dy A' A dx C B' B C'
切应变：过A点直角形状的改变。
= dx lim ( 0
dy 0
2
BAD)
x
线应变、切应变分别与、的作用相对应。
16
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4.7 变形体静力学分析
FB
B
FCy
45 C FCx l=3m D
再论利用力的平衡、变形几 何协调及力与变形间的关系， 分析变形体静力学问题的基本方法。
F1 = 3F
6 FE2 A2 FAy = 2F 4 E2 A2 + E1 A1
FAy
1
2
F1
F2 l
B
6FE2 A2 12FE2 A2 ; F2 = 4E2 A2 + E1 A1 4E2 A2 + E1 A1
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对应的变 形
拉伸或压 缩 剪切
T
My、Mz
扭矩
弯矩
矩矢沿轴线（x)方向
矩矢在横截面内（y、z面）
扭转
弯曲
2.内力的正负规定
轴力 FN ：拉伸时轴力（背离截 面）为正，压缩时轴里（指 向截面） 为负。 剪力Fs：截面上的剪力使所取脱 离体产生顺时针转动趋势时（或者左 上右下）为正，反之为负。
扭矩T ：当扭矩矢量方向与横截 面的外法线方向相同时，该扭矩为正， 反之为负。
直杆
曲杆
板 研究对象：直杆
壳
块体
研究任务：使构件在外力作用下能够正常工作。 构件应具有足够的强度，以保证构件不会产生断裂或明显 的塑性变形。强度是指构件抵抗破坏（断裂或产生明显塑 性变形）的能力。 构件具有足够的刚度，以保证构件工作时的弹性变形在规 定的限度内。刚度是指构件抵抗变形的能力。 构件应具有足够的稳定性，以使构件在工作时不产生失稳 现象。失稳是指直杆从直线的平衡形式突然变为曲线的平 衡形式。稳定性是指构件保持原有平衡形态的能力。
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例4-1 计算图4-5（a）所示结构中杆AB的1－1截面上
的内力。已知载荷FP=10KN，1－1截面位于FP作用点的左
侧，各杆不计自重。
解 :杆受力分析如图4-5（b）所示。由静力平衡方程求出、 处约束力 FAx 8.66kN , FAy 5kN , FB 10kN
弯矩M ：使微段发生“上凹下凸” 的弯曲变形的弯矩为正，反之为负。
为避免符号出错,要求：
未知内力均按符号规定的正 向假设。
例题
1）剪力Q：截面上的剪力Q 使所取脱离体产生顺时针转动趋 势时（或者左上右下）为正，反 之为负。 2）弯矩M：截面上的弯矩M 使所取脱离体产生下边凸出的变 形时（或者左顺右逆）为正，反 之为负。
各向同性假设：认为固体在各方面的机械性质完全相同。 具有这种性质的材料为各向同性材料。如玻璃，金属等。 不具有这种性质的材料为各向异性材料。如纤维织品、木 材等。 小变形问题：构件的变形远远小于构件的尺寸时，则这类 问题为小变形问题。在研究这类问题的平衡和运动时，可 不计构件变形的影响，仍按变形前的原始尺寸进行分析计 算。例如：
4.2 杆件变形的基本形式
材料力学主要研究杆件
横向尺寸远小于纵向尺寸的构件
4.2
杆件变形的基本形式
1.轴向拉伸和压缩
在一对大小相等方向相反的轴向外力作用下，杆件主要 发生沿轴向的伸长或缩短。
2.剪切
F
F
F
m
F
m
在一对相距很近，大小相等方向相反的横向力外力作 用下，杆件的相邻截面发生相对错动。
3.扭转
研究构件强度、刚度和稳定性时，为了计算简化，略去 材料的一些次要性质，并根据与问题有关的主要因素，对变 形固体作如下假设： 连续性假设：构件的体积内毫无间隙地充满物质。 可以对连续介质采用无穷小量的分析方法。 均匀性假设：假设构件任取一部分，不论其体积大小如何， 其机械性质完全相同。 构件内部各部分的性质是均匀的。 机械性质是指材料在外力作用下表现出的变形和破坏等方 面的特性。
假想沿1－1截面将杆截开，取1－1截面左端部分为研 究对象，受力分析如图4-5（c）所示。静力平衡方程
X 0, FAx FN 0 Y 0, FAy FS 0
M D (F 8.66kN , FS FAy 5kN,
在一对大小相等、方向相反，作用面垂直于杆轴的外 力偶作用下，杆件的任意两个横截面发生相对转动。杆件表面 纵向线将成斜线，而杆件的轴线仍维持直线。这种变形称为扭 转。
4.平面弯曲
在一对转向相反、作用面在包含杆轴线的纵向平面内的力偶或横 向力作用下，直杆的相邻横截面将绕垂直于杆轴线的轴发生相对 转动，变形后杆轴线将弯成曲线，这种变形称为平面弯曲，简称 弯曲。
M 10 kN m
由上计算结果知，1－1截面上的轴力是压力，剪力的方向向 下，弯矩为逆时针转向。 按内力分量正负号的规定法则的结果 与上相同，应取的正负号也是 为负，和为正。
截面法确定杆件横截面上的内力分量的步骤：
（1）由静力平衡方程确定杆件上的未知外力；
（2）在要考察的横截面处，用假想的截面将杆件截开
4.3 杆件内力的计算方法
内力：构件内部两相邻部分间的相互作用力。
4.3.1 内力
变形固体在一定的外力作用下，内部相邻部分之间相互作用的
力称为内力。由于假设变形固体是均匀连续的，实际上内力是 一个连续分布的力系，而将分布内力系的合成（力或力偶）简 称为内力。注意此内力不同于受外力前固有的内力，而是由外 力引起变形时所产生的附加内力。
分为两部分； （3）取其中的一部分作为研究对象，在截面形心处建 立合适的坐标系，建立平衡条件，由静力平衡方程计算 各内力分量；
（4）考查另一部分的平衡，检验结果的正确性。
4.4 应力与应变的概念 胡克定律
4.4.1 应力的概念
截面法所确定的截面上分布内力的合力，不能说明 截面上任一点处内力的强弱程度。为了度量 任一点处内力的强弱程度，引入应力的概念。
• 第4章 弹性变形体静力分析基础
• • • • 4．1变形体的基本假设 4．2杆件变形的基本形式 4．3杆件内力的计算方法 4. 4应力和应变的概念 胡克定律
4.1变形体的基本假设
变形固体：任何固体在外力作用下会产生形状和大小的变化。 弹性变形：当外力不超过某一限度时，外力撤去后，变形 随外力撤去而消失，这种变形称为弹性变形。 塑性变形：当外力超过一定限度时，外力撤去后将遗留一 部分不能消失的变形，称这部分变形为塑性变形，或称为 残留变形或永久变形。 构件按几何形状分为杆、板、壳和块体。
4.3.2 截面法
N
利用截面法求内力的步骤：
NF
欲求某一截面的内力，就沿该截面假想地把构件截为两部分 保留其中一部分作为研究对象。 用作用在截面上的内力，代替弃去部分对保留部分的作用。 建立保留部分的平衡条件，确定未知内力。
1.六个内力分量：
代号 FN Fsy、Fsz 名称 轴力 剪力 方向（或转向） 沿横截面法向方向 沿横截面切线方向