苏州科技大学线性代数复习卷(1)

复习卷1

一、填空题

1．已知A , B 均为三阶方阵，且4||=A ，5||=B ，则2AB -= .

2. 当k 时，矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41100001

k A 可逆。

3. 设()()213,12

1,T αβαβ=-=--= .

4. 已知矩阵A 与2035B ⎛⎫

= ⎪-⎝⎭

相似，则A = .

5. 已知3阶方阵A 的特征值为1，－2，3，则方阵B=3I －2A 的特征值为 .

6. 设A 是m ×n 矩阵，A 的秩 为r (< n )，则齐次线性方程组AX=0的一个基础解系中含有解向量的个数为 .

7. 二次型2

42322214321),,,(x x x x x x x x f +++-=，则f 的正惯性指数是 。

二.选择题

1. 设A ，B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式I ABC =，其中I 是n 阶单位矩阵， 则必有…………………………………………………………………………………….（ ） （A ）I ACB = （B ）I CBA = （C ）I BAC = （D ）

I BCA =

2. 已知行列式K x x x x x x x x x =33

32

31

232221

13

1211

，则行列式

11121311

2122232131

323331

1222312

22312223

x x x x x x x x x x x x ------= …….（

） (A)

23K (B) –2

3

K (C) K (D) –K 3. 向量组(I): )3(,,1≥m a a m 线性无关的充分必要条件………………………….. ( )

A. (I)中任意一个向量都不能由其余m -1个向量线性表出

B. (I)中存在一个向量,它不能由其余m -1个向量线性表出

C. (I)中任意两个向量线性无关

D. 存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k 使

4．以下结论正确的是 ………………………………………………………………….（ ）

(A) n 阶方阵A 必能对角化

(B) 等价矩阵必有相同的特征值

(C) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必两两正交

(D) A 的对应于特征值λ的特征向量为特征方程组()0A E X λ-=的全部解。 三. 解答题(每小题8分,共48分)

1．( 8分) 计算4阶行列式 D =

a

b b b b a b b b b a b b

b

b

a

２．( 8分) 解矩阵方程AX =A―3X ，其中 A =201140011-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

3.（10分）已知向量组1(1,1,0,1)α=-，2(2,1,3,0)α=，3(3,1,4,1)α=- , 4(3,0,3,1)α= （1） 求向量组的秩并判断向量组的线性相关性

（2） 求向量组的一个极大线性无关组；

(3 ) 把其余向量表示为极大线性无关组的线性组合

4.（10分）线性方程组为⎪⎩⎪

⎨⎧=++=-+=-+-k

x x kx x kx x k kx x x 321

3213211，问k 取何值时，线性方程组

（1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？有无穷多解时求出其通解。

5.（12分） 已知实二次型312

32221321422),,(x x x x x x x x f +-+=，

求一个正交变换X PY =将f 化为标准形，并写出所用的正交变换。 四、证明题（每小题8分，共16分） 1. 1.

设向量组1α，2α，3α线性无关，证明：向量组

332123211,,a a a a a a =-=++=βββ线性无关。

2．若A 是 正 交 阵， 证 明：A 可 逆 且A -1 也 是 正 交 矩 阵。

若 向 量αm 是 向 量 αα11,, m -的 线 性 组 合， 但 不 是αα12,, m - 的 线 性 组 合，

证 明：αm -1 是αα12,, m -,

αm 的 线 性 组 合.

复习卷1答案

一、 填空题

1.−160 ；

2. 0k ≠；

3. 3；

4. 10；

5. 1，7，−3；

6. n-r ；

7. 3 二、选择题

1．D 2．D 3．A 4．C 三、解答题

1.（本题8分）

31

000(3)

(3)()0000

b b b a b D a b a b a b a b a b

-=+=+--- …….…..(8分)

2.(本题8分) 由AX =A―3X 得：(3)A I X A +=

101|3|110100

1

2

A I +=-=-≠，所以A +3I 可逆，

且

1

1101211(3)110221012111A I ----⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥+=-=--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

……………….……………………….(4分)

所以211201531221140671111011330X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪

=---=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ …..….………….……….（4分）

3. (本题10分) 因为()12341

2

3

310011

1100

1010343

00101

0110000αααα⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

-

⎪ ⎪

=→ ⎪ ⎪ ⎪

⎪

-⎝⎭⎝⎭

……（4分） 所以（1）该向量组的秩为3，向量组1234,,,αααα线性相关………………………..（2分） （2）123,,ααα为一个极大线性无关组……………………………………………（2分） （3）41230,αααα=++…………………………………………………………..（2分）

4.(本题10分) 2111

1(1)(2)1

1

k

A k k k k

--=-=-+-…………………………………….(2分) （1）k ≠－1且k ≠2惟一解；………….……….…………………………………….…..（2分） （2）k ＝2无解……………………………………………………………………………...…(2分)