高考数学一轮复习 第2节 参数方程课件 理 苏教版选修4-4
2018届高三数学文一轮复习课件：选4-4-2 参数方程 精品
x＝t－3， 3．(2016·株洲模拟)已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝ 3t (t 为参数)。以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcosθ＋3＝0，则圆心 C 到直线 l 的距离为________。
x＝t＋2，
分别为 l：y＝1－s (s 为参数)和 C：y＝t2
(t 为参数)，若 l 与 C 相交于
A，B 两点，则|AB|＝________。
解析：直线 l 的普通方程为 x＋y＝2，曲线 C 的普通方程为 y＝(x－2)2(y≥0)， 联立两方程得 x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2。
微知识❷ 直线的参数方程 过定点 P0(x0，y0)且倾斜角为
α
的直线的参数方程为
xy＝＝xy00＋＋ttcsionsαα，
(t
为参数)，则参数 t 的几何意义是 有向线段 P0P 的数量
。
微知识❸ 圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为 r，以圆心为顶点且与 x 轴同向的射线，按逆时
针方向旋转到圆上一点所在半径成的角 α 为参数的圆的参数方程为
解析：记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝4π转化为直角坐标方程为 y＝x(x≥0)， 曲线为 y＝(x－2)2，联立上述两个方程得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故线 段 AB 的中点坐标为52，52。
答案：25，25
x＝t， 5．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝t＋1 (参数 t∈R)， 圆 C 的参数方程为yx＝＝scionsθθ＋1， (参数 θ∈[0,2π))，则圆心 C 到直线 l 的距离 是__________。
高考数学(理)一轮总复习课件：选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-4-2
6 ． (2019·河 南 郑 州 预 测 ) 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为
x＝12＋tcosθ，(t 为参数，0<θ<π)，设直线 l 与曲线 C：y2＝2x y＝tsinθ，
交于 A，B 两点，当 θ 变化时，|AB|的最小值为________．
答案 2
解析 将直线 l 的参数方程代入 y2＝2x，得 t2sin2θ－2tcosθ
【解析】 ①由 ρcos(θ＋π3)＝12得 ρcosθcosπ3－ρsinθsinπ3＝12，又 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y， ∴直线 l 的直角坐标方程为 x－ 3y－1＝0. ②由xy＝ ＝2sicnoαs，α，(α 为参数)得曲线 C 的普通方程为 x2＋4y2 ＝4，
∵ P(1 ， 0) 在 直 线 l 上 ， 故 可 设 直 线 l 的 参 数 方 程 为
第2课时 参 数 方 程
…2019 考纲下载… 1．了解参数方程，了解参数的意义． 2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程． 请注意 对本部分的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见 曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档 题型为主，预测 2020 年高考中，在难度，知识点方面变化不大．
(2)(2019·湖北四校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过 点 P(1，0)且倾斜角为π3，在以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴 的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4sin(θ＋π6)．
①求直线 l 的参数方程与曲线 C 的直角坐标方程； ②若直线 l 与曲线 C 的交点分别为 M，N，求|P1M|＋|P1N|的值．
把下列参数方程化为普通方程．
x＝ (1)y＝2
t， 1－t，(t
2016-2017学年高中数学选修4-4课件：第2讲 参数方程 3
(t 为参数)，如果 l 与 C 相交于 A、B 两点，
那么将 l 的方程代入 F(x，y)＝0 后可得 at2＋bt＋c＝0，则该方
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
晰蜴属于冷血爬行动物，多数的晰蜴具 有四足，后肢肌肉有力，能迅速爬行或改变 方向．若一只晰蜴从 P(1,2)出发沿直线爬行， 已知它在 x 轴方向的分速度是 0.03 m/s，在 y 轴方向的分速度是 0.04 m/s.
则这只晰蜴 3 s 后会爬到哪里？
第五页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
第二十三页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
直线的参数方程与弦长公式
已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过 F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．
(1)求|AB|； (2)求AB的中点M的坐标及|FM|.
[思路点拨] 求抛物线y2＝8x的焦点 → 设直线AB的方程 → 直线与抛物线联立消元 → 利用一元二次方程根与系数关系求解
第二十五页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
方法二：抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，
依题意，设直线
AB
x＝2＋
的参数方程为 y＝
2 5t
1 5t
(t 为参数)，
其中 tan α＝2，cos α＝ 15，sin α＝ 25，α 为直线 AB 的倾 斜角，代入 y2＝8x 整理得 t2－2 5t－20＝0.
3＋
3 2t
(t 为参数)．
(1)分别判断点 A(1,0)，B(0,3)，C(2，－ 3)是否在直线 l 上？
高三理科数学第一轮复习选修4-4§2：参数方程、渐开线与摆线
解析
选修4-4：坐标系与参数方程 §2：参数方程、渐开线与摆线
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解析
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选修4-4：坐标系与参数方程 §2：参数方程、渐开线与摆线
选修4-4：坐标系与参数方程 §2：参数方2：参数方程、渐开线与摆线
选修4-4：坐标系与参数方程 §2：参数方程、渐开线与摆线
高考数学(人教,理)总复习课件：选修4-4-第2节参数方程
当 θ＝kπ＋π2(k∈Z)时，y＝0，x＝±t＋1t . 由于当 t＞0 时，t＋1t ≥2； 当 t＜0 时，t＋1t ≤－2，于是|x|≥2. ∴方程 y＝0(|x|≥2)表示 x 轴上以(－2,0)和(2,0)为端点的 向左和向右的两条射线．
参数方程、普通方程互化的方法： (1)参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程， 消参可用代入消参或利用恒等式消参等． (2)参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注 意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致．
M 点的坐标为xy＝ ＝452＋ ×3115× 56＝113465＝1461
，即 M4116，34.
(3)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2＝85 73.
1．涉及过定点的线段长度或距离常选用直线的参数方
程．(1)直线的点斜式方程为 y－y0＝k(x－x0)，其中 k＝tan α(α≠90°) ． (2)α 为 直 线 的 倾 斜 角 ， 则 参 数 方 程 为
x＝2cos φ， y＝3sin φ
(φ 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2，正方形
ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，
点 A 的极坐标为(2，π3)．
(1)求点 A，B，C，D 的直角坐标； (2)设 P 为 C1 上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 的取值范围．
(α 为参数)，
这是点 P 轨迹的参数方程，消参得点 P 的直角坐标方程
为 x2＋(y－1)2＝1.
(2)直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0，曲线 C 的普通方程 为 x2＋(y－2)2＝4，
选修4-4 第2讲 参数方程
例1
(1)求直线xy＝ ＝2－＋1t－，t
(t
为参数)与曲线xy＝ ＝33csions
α， α
(α 为
参数)的交点个数．
[解] 将xy＝ ＝－ 2＋1－t，t 消去参数 t 得直线 x＋y－1＝0；
将xy＝ ＝33csions
α， α
消去参数 α，得圆 x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点．
[解] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：y＝k(x－2)；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y＝1k(x＋2)．
y＝kx－2 设 P(x，y)，由题设得y＝1kx＋2 ，
消去 k 得 x2－y2＝4(y≠0)． 所以 C 的普通方程为 x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C 的极坐标方程为 ρ2(cos2θ－sin2θ) ＝4(0<θ<2π，θ≠π)． 联立ρρ2ccoossθ2θ＋－sisninθ2θ－＝42，＝0 得 cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故 tan θ＝－13，从而 cos2θ＝190，sin2θ＝110. 代入 ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4 得 ρ2＝5，所以交点 M 的极径为 5.
(t 为参数)
圆
x2＋y2＝r2
x＝rcos θ， y＝rsin θ
(θ 为参数)
椭圆
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝acos φ， y＝bsin φ
(φ 为参数)
抛物线 y2＝2px(p>0)
x＝2pt2， y＝2pt
(t 为参数)
[知识感悟] 1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x，y 的取值范围保 持一致．否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数 t 的系数的平方和为 1 时，t 才有几 何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点 M(x，y)到 M0(x0，y0)的距 离，即|M0M|＝|t|.
选修4-4 第二讲 参数方程 复习课
反思与感悟 (1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求 法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决. (2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆 心的直线、圆心到直线的距离等.
跟踪训练 3 已知曲线 C：x42＋y92＝1，直线 l：yx＝＝22－＋2t，t (t 为参数). (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
解答
(2)直线
l
的参数方程是xy＝ ＝ttcsions
α， α
(t 为参数)，l 与圆 C 交于 A，B 两点，
|AB|＝ 10，求 l 的斜率.
解答
解 方法一 在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝
α(ρ∈R).
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方 程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.
(3)椭圆 中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程 为(4)_双__曲__xy线_＝ ＝__ab_csio_ns_φ_φ_，___(_φ__为__参_.数) 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参 数方程为____xy_＝ ＝__ab_st_aen_c_φφ_，____(φ__为__参__数. )
解
曲线
C
的参数方程为xy＝＝23csions
θ， θ
(θ 为参数).
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
解答
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最
大值与最小值.
解 曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为 d＝ 55|4cos θ＋3sin θ－6|，
2020高考数学一轮复习 坐标系与参数方程第2讲 参数方程教案 理 选修4-4
第2讲 参数方程【2020年高考会这样考】考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题． 【复习指导】复习本讲时，应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义，同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.基础梳理1．参数方程的意义在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x ，y 都是某个变量的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝ft ，并且对于t 的每个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量．(2)圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec φ，y ＝tan φ(φ为参数)．抛物线y2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)．双基自测1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t (t 为参数)所表示的图形分别是( )．A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线解析 ∵ρcos θ＝x ，∴cos θ＝xρ代入到ρ＝cos θ，得ρ＝x ρ，∴ρ2＝x ，∴x 2＋y 2＝x 表示圆．又∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋t ，相加得x ＋y ＝1，表示直线．答案 D2．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为实数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.解析 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t ，所表示的直线方程为3x ＋2y ＝7，由此直线与直线4x ＋ky ＝1垂直可得－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k ＝－1，解得k ＝－6.答案 －6 3．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)的左焦点的坐标是________．解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4,0)．答案 (－4,0)4．(2020·广州调研)已知直线l的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin θ，则直线l 与圆C 的位置关系为________．解析 将直线l的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1＋4t 化为普通方程得，y ＝1＋2x ，圆ρ＝22sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝2，圆心(0，2)到直线y ＝1＋2x 的距离为2－11＋4，因为该距离小于圆的半径，所以直线l 与圆C 相交． 答案 相交5．(2020·广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．解析 由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)得，x 25＋y 2＝1(y ≥0)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )得，x＝54y 2，∴5y 4＋16y 2－16＝0. 解得：y 2＝45或y 2＝－4(舍去)．则x ＝54y 2＝1又θ≥0，得交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，255考向一 参数方程与普通方程的互化【例1】►把下列参数方程化为普通方程：(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝2－sin θ；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t .[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ； (2)代入消元法消去t .解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x －3，sin θ＝2－y ，由三角恒等式cos 2 θ＋sin 2θ＝1,可知(x －3)2＋(y －2)2＝1，这就是它的普通方程． (2)由已知t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中， 得y ＝5＋32(2x －2)，即3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程． 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．【训练1】 (2020·陕西)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α， ①y －1＝sin α， ②①2＋②2得：x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝1考向二 直线与圆的参数方程的应用【例2】►已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(其中t为参数，α为直线l 的倾斜角)．(1)当α＝2π3时，求圆上的点到直线l 距离的最小值；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，求α的取值范围．[审题视点] (1)求圆心到直线l 的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t 的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.解 (1)当α＝2π3时，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y －33＝0，圆C 的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d ＝232＝3，圆的半径为1，故圆上的点到直线l 距离的最小值为3－1.(2)圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α＋3sin α)t ＋3＝0，这个关于t 的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋3sin α)2－12≥0，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥34，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32或sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6≤－32.又0≤α＜π，故只能sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6≥32，即π3≤α＋π6≤2π3，即π6≤α≤π2. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．【训练2】 已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4－2t (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ(参数θ∈[0,2π])，求直线l 被圆C 所截得的弦长．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝4－2t 消参数后得普通方程为2x ＋y －6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋2，y ＝2sin θ消参数后得普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x ＋y －6＝0的距离为d ＝|2×2＋0－6|22＋1＝255，所以所求弦长为222－⎝⎛⎭⎪⎫2552＝855. 考向三 圆锥曲线的参数方程的应用【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆x 24＋y 2＝1所得的弦长．[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．解由条件可知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t 24＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝1， 即52t 2＋32t ＋1＝0.设方程的两实根分别为t 1、t 2，则由二次方程的根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－625，t 1t 2＝25，则直线截椭圆的弦长是|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－6252－4×25＝ 425.普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系x ＝f (t )(或y ＝φ(t ))，再代入普通方程F (x ，y )＝0，求得另一关系y ＝φ(t )(或x ＝f (t ))．一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．【训练3】 (2020·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解 直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s (s 为参数)，又曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－63s ＋10＝0，设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2.∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10.∴|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝217.如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．【示例】► (本题满分10分)(2020·新课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C 1、曲线C 2均用极坐标表示，再求射线θ＝π3与曲线C 1、C 2的交点A 、B 的极径即可． [解答示范] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(5分)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(10分)很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．【试一试】 (2020·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从 而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.。
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【 典 例 1 】 (2014·福 建 高 考 ) 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为
x＝a－2t， y＝－4t
(t 为参数)，圆 C 的参数方程为yx＝＝44scionsθθ，
(θ 为参
数)．
(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；
(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围．
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3
2．参数方程与普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地， 可以通过消去 参数 从参数方程得到普通方程；如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它代入普通方程，求出 另一个变数与参数的关系 y＝g(t)，那么xy＝＝fgtt 就是曲线的参数 方程．
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17
[解] (1)因为直线 l 的参数方程为xy＝＝a－－42t t， (t 为参数)， 由 x＝a－2t，得 t＝a－2 x，代入 y＝－4t，得到直线 l 的普通方 程为 2x－y－2a＝0. 同理可得曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝16.
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(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点， 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d＝|－25a|≤4， 解得－2 5≤a≤2 5.
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15
[解析] 曲线 C 的普通方程为 y＝x2，把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入得 ρsin θ＝ρ2cos2 θ，整理得 ρcos2 θ＝sin θ，故曲线 C 的极坐标 方程为 ρcos2 θ＝sin θ.
[答案] ρcos2 θ＝sin θ
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考向 1 参数方程与普通方程的互化
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10
3
．
已
知
两
曲
线
参
数
方
程
分
别
为
x＝ 5cos y＝sin θ
θ，
(0≤θ<π) 和
x＝54t2， (t∈R)，它们的交点坐标为________． y＝t
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11
[解析] 两曲线的普通方程分别为x52＋y2＝1，y2＝45x(x≥0)．由
x52＋y2＝1， y2＝45x，
解得
x＝1，y＝±2 5
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4
3．直线、圆、椭圆的参数方程
轨迹
普通方程
参数方程
y－y0＝tan α(x－x0) 直线 (α≠π2，点斜式)
x＝x0＋tcos α ， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)
圆
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x＝ a＋rcos θ ， y＝b＋rsin θ
(θ 为参数)
椭圆 θ ， y＝bsin θ
(θ 为参数)
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5
1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误
的打“×”)
(1) 过 M0(x0 ， y0) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α
(t 为参数)．参数 t 的几何意义表示：直线 l 上以
固
启
基
智
础
慧
·
·
自
高
主
考
落 实
第二节 参数方程
研 析
提
知
课
能
后
·
限
典
时
例
自
探
测
究
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1
要求
内容
考
AB C
纲 参数方程
√
传 直线、圆及椭圆的参数方程
√
真 参数方程与普通方程的互化
√
参数方程的简单应用
√
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2
1．曲线的参数方程 一般地，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数 t 的 函数xy＝＝fgtt， 并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程组所确定 的点 M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的 参数方程．联系变数 x，y 的变数 t 叫做 参数 ．
5 .
又 0≤θ<π，所以 y≥0.
所以两曲线的交点为1，2 5 5.
[答案]
1，2
5
5
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x＝ t，
4．(2014·湖北高考)已知曲线
C1
的参数方程是 y＝
3t 3
(t 为
参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ________．
定点 M0 为起点，任一点 M(x，y)为终点的有向线段M→0M的数 量．( )
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6
(2)方程yx＝＝12＋cos2sθi，n θ 表示以点(0,1)为圆心，以 2 为半径的
圆．( )
(3)已知椭圆的参数方程xy＝ ＝24csions
t， t
(t 为参数)，点 M 在椭圆
上，对应参数 t＝π3，点 O 为原点，则直线 OM 的斜率为 3.( )
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【规律方法】 1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元 法、三角恒等变换法消去参数． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并 且要注意参数的取值范围对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响．
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[解析]
曲线
C1 ， C2
的普通方程分别为
y＝
3 3
x(x≥0)，x2＋y2＝4，设 P 为 C1 与 C2 的交点．如图作 PQ
垂直于 x 轴于点 Q，因为 tan∠POQ＝ 33，
所以∠POQ＝30°，又因为 OP＝2，所以 P( 3，1)．
[答案] ( 3，1)
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5．(2013·江西高考)(坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参 数方程为xy＝ ＝tt， 2 (t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 ________．
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[解析] 根据直线与圆的参数方程知(1)，(2)正确．对于(3)， 当 t＝π3时，点 M(1,2 3)，kOM＝2 3，(3)错．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
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2．(教材习题改编)曲线xy＝＝32－cos3ts－in1t ， (t 为参数)的普通方程 是________，它表示的图形为________．
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[解析] 由xy＝ ＝32－cos3ts－in1t ， (t 为参数)可得 x＋1＝3cost， y－2＝－3sint. 即(x＋1)2＋(y－2)2＝(3cost)2＋(－3sint)2＝9，则普通方程为(x ＋1)2＋(y－2)2＝9. 它表示的图形是以(－1,2)为圆心，3 为半径的圆． [答案] (x＋1)2＋(y－2)2＝9 以(－1,2)为圆心，3 为半径的圆