2018年考研数学三真题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

1.下列函数中，在0x =处不可导的是（）。

A.()sin()f x x x =

B.()f x x =

C.()cos()

f x x =

D.()f x =2.已知函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()1

0,=⎰f x dx 则

A.当()0'

<

⎪⎝⎭f B.当()0''

<

⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫<

⎪⎝⎭

f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<

⎪⎝⎭

f 3.设(

)

(2

22222

22

11,,1,1π

π

π

π

ππ-

--++=

==++⎰⎰⎰x x x

M dx N dx K dx x e 则A.>>M N K

B.>>M K N

C.>>K M N

D.>>K N M

4.设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量，若产量为0Q 时平均成本最小，则()

A.

()00C Q '= B.()()00C Q C Q '= C.()()000C Q Q C Q '= D.()()

000Q C Q C Q '=5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭相似的为

A.111011001-⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则

——印校园考研

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.

A.()().

r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.

r A B r A r B =， D.()().

T

T

r A B r A B =7.设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，()200.6f x dx =⎰，

则{0}P X <=A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.6

8.已知12,,,n X X X 为来自总体2

~(,)X N μσ的简单随即样本，11n

i i X X n ==∑

，

*S S =

=

A.

)

~()X t n S μ-

B.

)

~(1)X t n S μ--

C.*

)

~()X t n S μ-

D.

*

)

~(1)X t n S μ--二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.曲线2

()2ln f x x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.

10.

arcsin x e =⎰

____________.11.差分方程25x x y y ∆-=的解为__________________.

12.设函数()f x 满足()()2()()f x x f x xf x x o x +∆-=∆+∆，且(0)2f =，则(1)f =____.13.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，

2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.

14.已知事件,,A B C 相互独立，且1

()()()2

p A p B p C ===

，则(|)p AC A B ⋃=________.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.1

lim ()2x x ax b e x →+∞

⎡⎤

+-=⎢⎥⎣⎦

,求,a b

16.求

2

,D

x dxdy D ⎰⎰

由y =

与y =y 轴围成

17.一根绳长2m,截成三段，分别拆成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小，并求该最小值。

18.已知2

1cos 2(1)n

n n x a x x ∞

=-=+∑，求n a 19.数列{}1

1,0,1,1,2,...n n x x n n x x x e e n +>=-=，证明数列{}n x 收敛，并求lim n

n x →∞

20.（本题满分11分）

设实二次型2

2

2

1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++，其中a 是参数。

（1）求123(,,)0f x x x =的解（2）求123(,,)f x x x 的规范形21.（本题满分11分）

已知a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭可经初等列变换化为矩阵12011111a B ⎛⎫

⎪

= ⎪

⎪-⎝⎭

（1）求a

（2）求满足AP B =的可逆矩阵P

22.已知随机变量,X Y 相互独立，且1

(1)(1),2

P X P X Y ===-=服从参数为λ的泊松分布，Z XY =。（1）求(,)

Cou X Z （2）求Z 的分布律

23.已知总体X 的密度函数为1(,),2x

f x e x σ

σσ

-=-∞<<+∞

1,2,...n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，σ为大于0的参数，σ的最大似然估计量为σ

∧

（1）求σ

∧

（2）求,E D σσ

∧∧