2018年考研数学三真题
2018考研数学(三)真题
代入已知条件
f x dx 0, 得
0
1
2 1 1 f 1 1 0 f f x x dx 0 2 2 2 2 2 1 2 2 1 f x 1 1 1 x f f x dx 2 2 2 2 2 0 0 2 1 2 1 1 1 f f x dx 2 2 0 2 2 1 f 1 1 f x dx, 0 2 2 2
1 1 0 （5） 下列矩阵中， 与矩阵 0 1 1 相似的为 0 0 1 1 1 1 (A) 0 1 1 . 0 0 1 1 0 1 (B) 0 1 1 . 0 0 1
【
】
1 1 1 (C) 0 1 0 . 0 0 1
x
lim
0 x
x
2 x
2
0,
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x
x
2 x
2
1 , 2
f 0 lim
x 0
cos x 1 lim x 0 x
x 2 x
2
lim
1 ，Y 服从参数为 的泊松 2
设总体 X 的概率密度为 f x;
1 e , 其中 0, 为未知参数， X1 , X 2 X n 为来自总体 2
x
X 的简单随机样本，记 的最大似然估计量为 .
（Ι ）求 ； （Ⅱ）求 E 和 D .
1 , 则 P AC A B 2
2018考研数学三【解析版】【无水印】
= C′(Q) C= ′(Q)Q − C(Q) C= ′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) 0 ，
Q0
Q2
Q0
Q02
即 C′(Q0 )Q0 − C(Q0 ) = 0 ，选 D.
（5）【答案】A
A 的特征值为 λ=1 λ=2 λ=3 1，而 r(λE − A) = r(E − A) = 2 .
所以 f (1) = 2e
13. 【答案】2.
1 0 0 【解析】 A(α1,α2 ,α3 ) = (α1,α2 ,α3 )1 1 −1 ,
1 1 1
10 0 10 0 则 A = 1 1 −1 = 0 1 −1 = 2 .
11 1 01 1
1
14.【答案】 .
3
【解答】 P( AC A ∪ B) = P[ AC( A ∪ B)] = P[ AC ∪ ABC] = P( AC)
不独立，C 和 D 不成立.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答．题．纸．指定位置上．
9.【答案】=y 4x − 3
【解析】由题知：
f ′(x) =2x + 2 x
(x > 0) ，
f
′′( x)
=2
−
2 x2
=2(1 −
1 x2
)
令 f ′′(x) = 0 则 x = 1, x = −1（舍去）
x1 − x2 + x3 =0,
x2 + x3 = 0,
x1
+ ax3 = 0,
1 −1 1 1 0 2
= 系数矩阵 A 1
0
2018年全国硕士研究生考试《数学三》试题(网友回忆版)
2018年全国硕士研究生考试《数学三》试题（网友回忆版）[单选题]1.下列函数中，在x＝0处不可导的是（）。
A.f（x）＝｜x（江南博哥）｜sin｜x｜B.C.f（x）＝cos｜x｜D.参考答案：D参考解析：计算如下：A项f－′（0）＝f＋′（0）＝0，f （x）在x＝0处可导；B项f－′（0）＝f＋′（0）＝0，f （x）在x＝0处可导；C项f－′（0）＝f＋′（0）＝0，f （x）在x＝0处可导；D项f－′（0）≠f＋′（0），f（x）在x＝0处不可导。
[单选题]2.设函数f（x）在[0，1]上二阶可导，且则（）。
A.当f′（x）＜0时，f（1/2）＜0B.当f″（x）＜0时，f（1/2）＜0C.当f′（x）＞0时，f（1/2）＜0D.当f″（x）＞0时，f（1/2）＜0参考答案：D参考解析：通过举反例以排除错误选项：A项，在此令f（x）＝－x＋1/2，得到而f′（x）＝－1＜0，f（1/2）＝0，故排除A项；B项，在此令f（x）＝－x2＋1/3，得到而f″（x）＝－2＜0，f（1/2）＝－1/4＋1/3＝1/12＞0，故排除B项；C项，在此令f（x）＝x－1/2，得到而f′（x）＝1＞0，f（1/2）＝0，故排除C 项；D项，由一阶泰勒公式得其中ξ∈（x，1/2）。
按照题意进行积分得若f″（x）＞0，由f″（x）＞0，则可知f（1/2）＜0一定成立。
[单选题]3.则（）。
A.M＞N＞KB.M＞K＞NC.K＞M＞ND.K＞N＞M参考答案：C参考解析：因为2x/（1＋x2）是奇函数，故当x∈[－π/2，π/2]时，，得K＞M，排除AB两项。
注意到当x≠0时，e x＞1＋x，则当x∈[－π/2，π/2]时，（1＋x）/e x≤1（且不恒等于1），得N＜M。
综上所述，K＞M＞N。
[单选题]4.设某产品的成本函数C（Q）可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则（）。
A.C′（Q0）＝0B.C′（Q0）＝C（Q0）C.C′（Q0）＝Q0C（Q0）D.Q0C′（Q0）＝C（Q0）参考答案：D参考解析：平均成本（Q）＝C（Q）/Q，又因为′（Q）＝[QC′（Q）－C （Q）]/Q2，当Q＝Q0时，平均成本最小，故′（Q0）＝0，即Q0C′（Q0）－C （Q0）＝0，则Q0C′（Q0）＝C（Q0），因此选D。
2018年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2018年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列函数中，在x=0处不可导的是( )A．f(x)=|x|sin|x|B．C．f(x)=cos|x|D．正确答案：D解析：对D选项，由于f+’(0)≠f-’(0)，因此f(x)在x=0处不可导．2．设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )A．当f’(x)＜0时，B．当f”(x)＜0时，C．当f’(x)＞0时,D．当f”(x)＞0时，正确答案：D解析：对于A选项：．此时f’(x)=一1＜0，但对于B、D选项：，由∫01f(x)dx=0，可得当f”(x)=2a＜0时，=b＞0；当f”(x)=2a＞0时，对于C选项：取f(x)=此时f’(x)=1＞0，但故D选项正确．3．设则( )A．M＞N＞KB．M＞K＞NC．K＞M＞ND．K＞N＞M正确答案：C解析：由于而由定积分的性质，可知即K＞M＞N．故C选项正确．4．设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )A．C’(Q0)=0B．C’(Q0)=C(Q0)C．C’(Q0)=Q0C(Q0)D．Q0C’(Q0)=C(Q0)正确答案：D解析：平均成本函数其取最小值时，则导数为零，即从而C’(Q0)Q0—C(Q0)=0，即C’(Q0)Q0=C(Q0)．5．下列矩阵中，与矩阵相似的为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知E一A～E一B，且r(E—A)=r(E一B)．设题中所给矩阵为A，各选项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知r(E—B1)=2，r(E—B2)=r(E一B3)=r(E—B4)=1．因此A～B1，即A相似于A选项下的矩阵．6．设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )A．r(A，AB)=r(A)B．r(A，BA)=r(A)C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D．r(A，B)=r(AT，BT)正确答案：A解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系．①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．从而可得r(A，AB)=r(A)．7．设f(x)为某分布的概率密度函数，f(1+x)=f(1—x)，∫02f(x)dx=0．6，则P{X＜0}=( )A．0．2B．0．3C．0．4D．0．6正确答案：A解析：由于f(1+x)=f(1一x)，可知f(x)图像关于x=1对称．而∫02f(x)dx=0.6，可得8．已知X1，X2，…Xn(n≥2)为来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，，则( )A．B．C．D．正确答案：B解析：解这道题，首先知道t分布的定义．假设X服从标准正态分布N(0，1)，Y服从χ2(n)分布，则的分布称为自由度为n的t分布，记为Z～t(n)．填空题9．曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是_______．正确答案：y=4x一3解析：首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．求一阶、二阶导，可得f’(x)=令y”=0，得x=1．当x＞1时f”(x)＞0；当x＜1时f”(x)＜0．因此(1，1)为曲线的拐点．点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=4．因此切线方程为y一1=4(x一1)，即y=4x一3．10．正确答案：解析：本题考查分部积分法。
2018年考研数学三真题及答案解析(完整版)
(C) f x cos x
(D) f x cos x
【答案】（D）
【解析】根据导数的定义：
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（A） x0 x
x0 x
x sin x
x
lim
lim
x 0,可导；
（B） x0
x
x0 x
cos lim
x
1
lim
1 2
t 0
t 0
2= lim (1 bt)et 1 lim et 1 lim btet 1 b,
t 0
t
t t 0
t t 0
从而b 1.
综上，a 1,b 1.
(16)(本题满分 10 分)
设平面区域D由曲线y 3 1 x2 与直线y 3x及y轴围成, 计算二重积分 x2dxdy.
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ ）
(A) f x x sin x
(B) f x x sin x
x
x
x 0时，可得f (x) 2xf (x) f (x) 2xf (x) 0.
由公式得：f (x) Ce(2x)dx =Cex2 , f (0) 2 C 2. 故f (x)=2ex2 f (1) 2e.
(13) 设A为3阶矩阵, a1, a2, a3是线性无关的向量组,若Aa1 a1 a2, Aa2 a2 a3, Aa3 a1 a3,
2018年考研数学三试题与答案解析(完整版)
M 2 (1
2
2x ) dx 22 1dx 1 x2
x - , 时， 1 cos x 1, 所以K M 2 2 令f ( x) 1 x e x , f (0) 0, f ( x) 1 e x 当x 0, 时，f ( x ) 0; 当x , 0 时，f ( x ) 0 2 2 1 x 所以x - , 时，有f ( x ) 0，从可有 x 1，由比较定理得N<M, 故选C e 2 2
B. f ( x ) x sin( D. f ( x ) cos(
x) x)
f - 0 lim
x 0
x sin x x x sin x x
lim
x 0
x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x x sin x x sin x x sin x 0 lim 0, f lim 0 x 0 x 0 x x x
0 2
B. r ( A BA) r ( A). D. r ( A B ) r ( A B ).
T T
【解析】特殊值法：由已知可将 f ( x ) 看成随机变量 X N 1, 布的对称性， P X 0 0.2
2
的概率密度，根据正态分
1 n Xi ， n i 1
Born to win
2018 年考研数学三试题与答案解析（完整版)
——跨考教育数学教研室
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上. ．．． 1. 下列函数中，在 x 0 处不可导的是（ A. f ( x ) x sin( x ) C. f x cos( x ) 【答案】D 【解析】 A 可导： ） 。
2018考研数学三参考答案
√
1 n ( Xi − µ ) 2 n i∑ =1
( ) ) ) ) ) √ ( √ ( √ ( √ ( n X−µ n X−µ n X−µ n X−µ ∼ t (n) D. ∼ t ( n − 1) A. ∼ t (n) B. ∼ t (n − 1) C. ∗ S S S S∗ ( ) √ ( ) n ( ) ( )2 n X−µ σ2 1 【解析】首先 X ∼ N µ, σ2 ⇒ X ∼ N µ, ⇒ ∼ N (0, 1). 而样本方差 S2 = Xi − X 满足的 ∑ n σ n − 1 i =1 √ ( ) √ n( X −µ) n X−µ ( n − 1) 2 2 σ √ 分布为 S ∼ χ (n − 1), 根据 t 分布的定义知 ∼ t (n − 1), 选 B. = ( n −1) 2 σ2 S S
P { X < 0} =
∫ 1
f ( x )d x =
−∞
f ( x )d x −
f ( x )dx = 0.5 − 0.3 = 0.2
选 A. ( ) 8. 设 X1 , X2 , · · · , Xn (n ⩾ 2) 为来自总体 X ∼ N µ, σ2 (σ > 0) 的简单随机样本, 令 1 n X = ∑ Xi , S = n i =1 则 √
∫
10.
1 − e2x dx = . √ sin t du, 原积分化为 【解析】令 arcsin 1 − e2x = t, 则 ex = cost, dx = − cos t ex arcsin
√
−
∫
t cos t
sin t dt = − cos t
(完整版)2018考研数学三真题.docx
2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题 :1 : 8 小题 , 每小题 4 分 , 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的.(1)下列函数中，在 x 0 处不可导的是（）(A)f x x sin x(B)f x x sin x(C)f x cos x(D)f x cos x设函数 f x在 0,11x dx0,则（）(2)上二阶可导，且f(A) 当f( x)10(B)当 f( x)0时 , f(10 0时, f ()) 22(C)当 f ( x)10(D)当 f( x)0时 , f(10 0时 , f ( ))22 2xxdx, K(3)设 M21x2 dx, N 2121cosx dx, 则（）21x2e2(A) M N K(B) M K N(C) K M N(D)K N M(4)设某产品的成本函数 C (Q )可导，其中 Q为产量 .若产量为 Q0时平均成本最小，则()(A) C (Q0 )0(B) C (Q0 ) C (Q0 )(C) C (Q0 )Q0C (Q0 )(D)Q0 C (Q0 ) C (Q0 )110(5)下列矩阵中，与矩阵011相似的为（）001111101(A)011(B)011001001111101(C)010(D)010001001(6)设A、B为n阶矩阵，记 r X 为矩阵 X的秩， X ,Y 表示分块矩阵，则（）(A)r A, AB r A(B)r A, BA r A(C)(D)r A T B TX 的概率密度f x 满足 f1x f 120.6, 则 P X 0 （（ 7 ）设随机变量x , 且 f x dx）(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.5(8)设 X1 , X 2 ,..., X n (n 2)为来自总体 N (,2 )(0) 的简单随机样本，令X 1 n X i ,n i 1S1n( X i X ) 2 , S* 1 n( X i)2 , 则（）n 1 i 1n i 1n( X)(B)n ( X)1)(A)S ~ t( n)S~ t( nn( X)(D)n ( X)1)(C)S*~ t( n)S*~ t( n二、填空题： 9 :14 小题 , 每小题 4分, 共 24 分 .(9)曲线 y x22ln x在其拐点处的切线方程是________.(10)e x arcsin 1 e2 x dx________.(11)差分方程2 y x y x 5的通解是________.(12)设函数 f x 满足 f x x f x2xf x x o x x0 ,且 f0 2,则 f 1______.(13)设A为3阶矩阵 , a1 ,a2 , a3是线性无关的向量组 , 若Aa1a1a2 , Aa2 a2a3 , Aa3a1 a3 ,则A =__________.(14)随机事件 A, B,C 相互独立 , 且 P A P B P C 1, 则P AC A U B__________. 2三、解答题： 15～ 23 小题 , 共 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)( 本题满分 10 分)1已知实数 a, b 满足lim ax b e x x 2, 求a, b.x(16)( 本题满分 10 分)设平面区域 D由曲线 y 3 1x2与直线 y3x及 y轴围成 , 计算二重积分x2dxdy.D(17)( 本题满分 10 分)将长为 2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形. 三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.(18)( 本题满分 10 分)已知 cos2 x1a n x n ( 1x1),求 a n .(1 x)2n 0(19)( 本题满分 10 分)设数列 x n满足： x10, x n e x n 1e x n1(n 1,2,L ), 证明 x n收敛，并求 lim x n .n (20)( 本题满分 11 分)设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) (x1, x2x3 )2( x2x3 )2( x1ax3) 2 , 其中 a是参数 .(I)求 f (x1, x2 , x3 ) 0的解；(II)求 f ( x1 , x2 , x3 )的规范形 .(21)( 本题满分 11 分)12a1a2已知 a是常数，且矩阵 A= 130可经初等列变换化为矩阵B= 01 1 .27a111(I)求a;(II)求满足 AP B的可逆矩阵 P.(22)( 本题满分 11 分 )设随机变量 X 与 Y相互独立， X的概率分布为 P X 1 P X11,Y服从参数为的泊松分布 . 2令 Z XY .(I)求Cov X , Z ;(II)求 Z的概率分布 .(23)( 本题满分 11 分 )设总体 X的概率密度为1xf (x,) e ,x,2其中(0,)为未知参数，X1, X2,L, X n为来自总体X的简单随机样本记的最大似然估计量为μ..(I)求 ?；(II)求 E ?和 D ( ?).。
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2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
1.下列函数中，在0x =处不可导的是（）。
A.()sin()f x x x =
B.()f x x =
C.()cos()
f x x =
D.()f x =2.已知函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()1
0,=⎰f x dx 则
A.当()0'<f x 时，102⎛⎫
<
⎪⎝⎭f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫
<
⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫<
⎪⎝⎭
f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<
⎪⎝⎭
f 3.设(
)
(2
22222
22
11,,1,1π
π
π
π
ππ-
--++=
==++⎰⎰⎰x x x
M dx N dx K dx x e 则A.>>M N K
B.>>M K N
C.>>K M N
D.>>K N M
4.设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量，若产量为0Q 时平均成本最小，则()
A.
()00C Q '= B.()()00C Q C Q '= C.()()000C Q Q C Q '= D.()()
000Q C Q C Q '=5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭相似的为
A.111011001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则
——印校园考研
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
A.()().
r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.
r A B r A r B =， D.()().
T
T
r A B r A B =7.设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，()200.6f x dx =⎰，
则{0}P X <=A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.6
8.已知12,,,n X X X 为来自总体2
~(,)X N μσ的简单随即样本，11n
i i X X n ==∑
，
*S S =
=
A.
)
~()X t n S μ-
B.
)
~(1)X t n S μ--
C.*
)
~()X t n S μ-
D.
*
)
~(1)X t n S μ--二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.曲线2
()2ln f x x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.
10.
arcsin x e =⎰
____________.11.差分方程25x x y y ∆-=的解为__________________.
12.设函数()f x 满足()()2()()f x x f x xf x x o x +∆-=∆+∆，且(0)2f =，则(1)f =____.13.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，
2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.
14.已知事件,,A B C 相互独立，且1
()()()2
p A p B p C ===
，则(|)p AC A B ⋃=________.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.1
lim ()2x x ax b e x →+∞
⎡⎤
+-=⎢⎥⎣⎦
,求,a b
16.求
2
,D
x dxdy D ⎰⎰
由y =
与y =y 轴围成
17.一根绳长2m,截成三段，分别拆成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小，并求该最小值。
18.已知2
1cos 2(1)n
n n x a x x ∞
=-=+∑，求n a 19.数列{}1
1,0,1,1,2,...n n x x n n x x x e e n +>=-=，证明数列{}n x 收敛，并求lim n
n x →∞
20.（本题满分11分）
设实二次型2
2
2
1231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++，其中a 是参数。
（1）求123(,,)0f x x x =的解（2）求123(,,)f x x x 的规范形21.（本题满分11分）
已知a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭可经初等列变换化为矩阵12011111a B ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪-⎝⎭
（1）求a
（2）求满足AP B =的可逆矩阵P
22.已知随机变量,X Y 相互独立，且1
(1)(1),2
P X P X Y ===-=服从参数为λ的泊松分布，Z XY =。
（1）求(,)
Cou X Z （2）求Z 的分布律
23.已知总体X 的密度函数为1(,),2x
f x e x σ
σσ
-=-∞<<+∞
1,2,...n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，σ为大于0的参数，σ的最大似然估计量为σ
∧
（1）求σ
∧
（2）求,E D σσ
∧∧。