椭圆的几何性质及综合问题

椭圆的几何性质及综合问题
椭圆的几何性质及综合问题

椭圆的几何性质

一、概念及性质

1.椭圆的“围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及围、a ,b ,c 的关系”;

2.椭圆的通经:

3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式:

4.椭圆的焦半径的概念及公式:主要用来求离心率的取值围,对于此问题也可以用下列性质求解:c a PF c a +≤≤-1.

5.直线与椭圆的位置关系:

6.椭圆的中点弦问题:

【注】:椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度:

(1)根据椭圆的性质求参数的值或围; (2)由性质写椭圆的标准方程; (3)求离心率的值或围.

题型一:根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或围、离心率的值或围.

【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)经过点)2,0(),0,3(--Q P ;(2)长轴长等于20,离心率等于

5

3

. 【典例2】求椭圆40025162

2

=+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.

【典例3】已知A ,P ,Q 为椭圆C :)0(122

22>>=+b a b y a x 上三点,若直线PQ 过原点,且

直线AP ,AQ 的斜率之积为2

1

-,则椭圆C 的离心率为( )

A.22

B.21

C.42

D.4

1

【练习】(1)已知椭圆x 2a 2+y 2b

2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2

-6x +8=0的圆心,且短轴长

为8,则椭圆的左顶点为( )

A .(-3,0)

B .(-4,0)

C .(-10,0)

D .(-5,0)

(2)椭圆x 29+y 24+k =1的离心率为4

5

,则k 的值为( )

A .-21

B .21

C .-1925或21

D .19

25

或21

(3)设椭圆C :x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,

B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆

C 的离心率等于________.

【典例4】已知F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点,且

215PF PF =,则该椭圆的离心率的取值围是

练习:如图,把椭圆

116

252

2=+y x 的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆

的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则721PF PF PF +++Λ=

【典例5】若 “过椭圆x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左,右焦点F 1,F 2的两条互相垂直的直线l 1,

l 2的交点在椭圆的部”,求离心率的取值围.

【典例6】已知椭圆C :x 29+y 2

4

=1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分

别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则|AN |+|BN |=________.

【方法归纳】:

1.在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时,总体原则是“先定位,再定量”.

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时,其原则是“数形结合,定义优先,几何性质简化”,一定要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的在联系,充分利用平面几何的性质及有关重要结论来探寻参数a ,b ,c 之间的关系,以减少运算量.

3.在求解有关圆锥曲线焦点问题时,结合图形,注意动点到两焦点距离的转化.

4. 求椭圆的离心率或其围时,一般是依据题设得出一个关于a ,b ,c 的等式(或不等式),利用a 2=b 2+c 2

消去b ,即可求得离心率或离心率的围;有时也可利用正弦、余弦的有界性求解离心率的围.

5.在探寻a ,b ,c 的关系时,若能充分考虑平面几何的性质,则可使问题简化,如典例5. 【本节练习】

1.已知椭圆的长轴长是8,离心率是3

4,则此椭圆的标准方程是( )

A .x 216+y 27=1

B .x 216+y 27=1或x 27+y 216=1

C .x 216+y 225=1

D .x 216+y 225=1或x 225+y 2

16=1

2.设e 是椭圆x 24+y 2k =1的离心率,且e ∈(1

2

,1),则实数k 的取值围是( )

A .(0,3)

B .(3,163)

C .(0,3)∪(16

3

,+∞) D .(0,2)

3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B 1,B 2,焦点为F 1,F 2,若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形,则这个椭圆的离心率e 等于( )

A .22

B .12

C .32

D .33

4.如图,焦点在x 轴上的椭圆x 24+y 2b 2=1的离心率e =1

2,F ,A 分别是椭圆的一个焦点和顶点,

P 是椭圆上任意一点,则PF →·PA →

的最大值为________.

5.已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b

y a x 的左、右焦点为21,F F ,离心率为33

,过F 2的直

线l 交C 于A,B 两点,若△AF 1B 的周长为34,则C 的方程为( )

A.

12322=+y x B.132

2=+y x C.181222=+y x D.14

1222=+y x

6.已知F 1、F 2是椭圆x 2100+y 2

64=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且PF 1⊥PF 2,则△F 1PF 2的面积为________.

7.设21,F F 是椭圆E :)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点,P 为直线23a

x =上一点,

12PF F ?是底角为300的等腰三角形,则E 的离心率为( )

A.21

B. 32

C.43

D. 5

4

8.过椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若

02160=∠PF F ,则椭圆的离心率为( )

A.25

B.33

C.21

D.3

1

9.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点为F ,右顶点为A ,上顶点为B ,若BA BF ⊥,

则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为

10.已知1F 为椭圆的左焦点,A ,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当

A F PF 11⊥,PO ∥A

B (O 为椭圆中心)时,椭圆的离心率为

11.已知方程x 2

2-k +y 2

2k -1

=1表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值围是( )

A .(12,2)

B .(1,+∞)

C .(1,2)

D .(1

2

,1)

12.矩形ABCD 中,|AB |=4,|BC |=3,则以A ,B 为焦点,且过C ,D 两点的椭圆的短轴的长为( )

A .2 3

B .2 6

C .4 2

D .4 3

13.一个椭圆中心在原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,P (2,3)是椭圆上一点,且|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等差数列,则椭圆方程为( )

A .x 28+y 26=1

B .x 216+y 26=1

C .x 28+y 24=1

D .x 216+y 2

4=1

14.如图,已知抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的

右焦点F ,且这两条曲线交点的连线过点F ,则该椭圆的离心率为________.

15.已知抛物线42

x y =与椭圆)0(118222>=+a y a

x 在第一象限相交于A 点,F 为抛物线的焦点,AB ⊥y 轴于B 点,当∠BAF =300

时,a =

16. 设F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 2

16

=1的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点M 的坐标为(6,

4),则|PM |+|PF 1|的最大值为________.

17.椭圆x 236+y 29

=1上有两个动点P 、Q ,E (3,0),EP ⊥EQ ,则EP →·QP →

的最小值为( )

A .6

B .3- 3

C .9

D .12-6 3

18.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离是3,则这个椭圆方程为________.

19.若一个椭圆长轴的长度,短轴的长度和焦距依次成等差数列,则该椭圆的离心率是________.

20.已知圆锥曲线mx 2+4y 2=4m 的离心率e 为方程2x 2

-5x +2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为( )

A .4

B .3

C .2

D .1

14. 椭圆()01:22

22>>=+Γb a b

y a x 的左右焦点分别为21,F F ,焦距为c 2,若直线

()c x y +=3与椭圆的一个交点满足12212F MF F MF ∠=∠,则该椭圆的离心率等于_____

设F 1(-c , 0), F 2(c , 0)是椭圆122

22=+b

y a x (a >b >0)的两个焦点,P 是以|F 1F 2|为直径的圆

与椭圆的一个交点,且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则该椭圆的离心率为 (A )

3

1

6 (B )

2

3 (C )22 (D )32

若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上,过点(1,12

)作圆22

+=1x y 的切线,切点分别为A,B ,

直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

21.已知椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的右焦点为F 1,左焦点为F 2,若椭圆上存在一点P ,满足线

段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF 1的中点,则该椭圆的离心率为( )

A .

53 B .23 C .22 D .5

9

22. 已知,,A P Q 为椭圆:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>上三点,若直线PQ 过原点,且直线

,AP AQ 的斜率之积为1

2-,则椭圆C 的离心率等于( )

A B .12 C D .14

题型二:直线与椭圆的位置关系的判定.

【典例1】当m 为何值时,直线m x y l +=:与椭圆1441692

2

=+y x 相切、相交、相离?

【典例2】已知椭圆

19

252

2=+y x ,直线04054:=+-y x l ,椭圆上是否存在一点,它到直线l 的距离最小?最小距离是多少?

反馈:(2012)如图,椭圆E :)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2,离心率2

1

=e ,

过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为8.

(1)求椭圆E 的方程;

(2)设动直线l :m kx y +=与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线x =4交于Q ,试探

究:在坐标平面,是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过定点M ,若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由.

【方法归纳】:

直线与椭圆位置关系判断的步骤: ①联立直线方程与椭圆方程;

②消元得出关于x (或y )的一元二次方程;

③当Δ>0时,直线与椭圆相交;当Δ=0时,直线与椭圆相切;当Δ<0时,直线与椭圆相离.

注:对比直线与圆的位置关系的判断,它们之间有何联系与区别?

题型三:直线与椭圆相交(及中点弦)问题

该问题属高考中对圆锥曲线考查的热点和重点问题,其主要方法是数形结合、判别式、根与系数的关系、整体代换.

【典例1】已知斜率为1的直线l 过椭圆14

22

=+y x 的右焦点,交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长及1ABF ?的周长、面积.

【典例2】已知椭圆x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)经过点(0,3),

离心率为1

2

,左,右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0).

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线l :y =-1

2

x +m 与椭圆交于A ,B 两点,与

以F 1F 2为直径的圆交于C ,D 两点,且满足|AB ||CD |=53

4

,求直线l 的方程.

【典例3】已知一直线与椭圆36942

2

=+y x 相交于A ,B 两点,弦AB 的中点坐标为M (1,1),求直线AB 的方程.

变式:过点(1,1)M 作斜率为1

2

-的直线与椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B ,若

M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率为

【典例4】(2015新课标文)已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>> 的离心率为2

2,点

()2,2在C 上.

(I )求C 的方程;

(II )直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明:直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.

【典例5】已知点A (0,-2),椭圆E :22221(0)x y a b a b

+=>>3

F 是椭

圆的焦点,直线AF 23

O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程;

(Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点,当OPQ ?的面积最大时,求l 的方程.

【典例6】已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程;

(2)若直线l :m kx y +=与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 均不在左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.

【方法归纳】:

(1)解决直线与椭圆相交问题的原则有两个:一是数形结合;二是一条主线:“斜率、方程组、判别式、根与系数的关系”.利用根与系数的关系整体代换,以减少运算量.

(2)如果题设中没有对直线的斜率的限定,一定要讨论斜率是否存在,以免漏解;这里又有两个问题需要注意:①若已知直线过y 轴上的定点P (0,b ),可将直线设为斜截式,即纵截距式,即y =kx +b ,但要讨论斜率是否存在;②若已知直线过x 轴上的定点P (a ,0),可以直接将直线方程设为横截距式,即x =my +a ,这样可避免讨论斜率是否存在,但此时求弦长时,需将下面弦长公式中的k 用

m

1

替换. (3)直线被椭圆截得的弦长公式

设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则|AB |=(1+k 2)[(x 1+x 2)2

-4x 1x 2]

=(1+1k

2)[(y 1+y 2)2

-4y 1y 2](k 为直线斜率).

【本节练习】

1.(2014·高考卷)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2

+y 2

b

2=1(0

椭圆E 于A ,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B |,AF 2⊥x 轴,则椭圆E 的方程为________.

2. (2015·豫西五校联考)已知椭圆x 24+y 2

b

2=1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的

直线l 交椭圆于A 、B 两点,若|BF 2|+|AF 2|的最大值为5,则b 的值是( )

A .1

B . 2

C .3

2 D . 3

3.(2015·调研)过椭圆x 25+y 2

4=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O

为坐标原点,则△OAB 的面积为________.

4.已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为6

3

,右焦点为(22,0).斜率为1的直线l

与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).

(1)求椭圆G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

5.已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为2,离心率为1

2

(1)求椭圆C 的方程;

(2)设直线l 经过点M (0,1),且与椭圆C 交于A ,B 两点,若AM →=2MB →

,求直线l 的方程.

5’.已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为23

,右焦点到直线0

6=++y x 的距离为32. (1)求椭圆的方程;

(2)过点)1,0(-M 作直线l 交椭圆于A ,B 两点,交x 轴于N 点,满足NB NA 5

7

-=,

求直线l 的方程.

6.已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为23

,且长轴长为12,过点P(4,2)

的直线l 与椭圆交于A,B 两点.

椭圆的定义及几何性质

椭圆 【教学目标】(1)掌握椭圆的定义 (2)掌握椭圆的几何性质 (3)掌握求椭圆的标准方程 【教学重难点】(1)椭圆的离心率有关的问题 (2)椭圆焦点三角形面积的求法 【教学过程】 一、知识点梳理 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(),这个动点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距。 注意:若,则动点的轨迹为线段; 若,则动点的轨迹无图形。 知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中; 2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;注意: 1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程; 2.在椭圆的两种标准方程中,都有和; 3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,。 知识点三:椭圆的简单几何性质

椭圆的的简单几何性质 (1)对称性 对于椭圆标准方程,把x换成―x,或把y换成―y,或把x、y同时换 成―x、―y,方程都不变,所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。 讲练结合: (2)范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a,|y|≤b。 (3)顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆(a>b>0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A1(―a,0), A2(a,0),B1(0,―b),B2(0,b)。 ③线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,|A1A2|=2a,|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 (4)离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作。 ②因为a>c>0,所以e的取值范围是0<e<1。e越接近1,则c就越接近a,从而 越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为x2+y2=a2

椭圆的简单几何性质一教案

椭圆的简单几何性质(一) 教学目标 (一)教学知识点 椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点 . (二)能力训练要求 1. 使学生了解并掌握椭圆的范围 . 2 使学生掌握椭圆的对称性,明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心 . 3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及 a 、b 、c 的几何意义,明确标准方程所表示的椭圆 的截距 . 4. 使学生掌握离心率的定义及其几何意义 . 教学重点 椭圆的简单几何性质 . 教学难点 椭圆的简单几何性质 . (这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的) 教学方法 师生共同讨论法 . 通过师生的共同讨论研究,学生的亲身实践体验,使学生明确椭圆的几何性质的 研究方法,加强对性质 的理解,掌握椭圆的几何性质 . 教学过程 Ⅰ. 课题导入 那么我们研究椭圆的标准方程有什么实际作用呢? 同学们知道, 2008年的 8月,中国为世界奉献了一个空前盛况的奥运会,一个多月后的 9 月 25 日,世界的目光再次投向中国,同学们知道是什么事吗? (出示神七发射画片并解说) :2008年9月 25日21时, “神舟七号”载人飞船顺利升空,实现 多人多天飞行和宇航员太空行走等多项先进技术,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请 问: “神舟七号 ”载人飞船的运行轨道是什么?――对,是椭圆。 据有关资料报道,飞船发射升空后,进入的是以地球的地心为一个焦点,距地球表面近地 点高度约200公里、远地点约346公里的椭圆轨道。 我们在前几节课刚刚学习了椭圆的标准方程,请同学们回忆椭圆是标准方程是怎样的?它 们有几种形 池州第六中学 王超 师]前面,我们研究讨论椭圆的标准方程 22 a x 2 b y 2 1(a b 0),(焦点在 x 轴上)或 22 a y 2 b x 2 1(a ab b 0) (焦点在 y 轴上)(板书)

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

(一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下:

椭圆标准方程及几何性质(附答案)

高考能力测试数学基础训练26 基础训练26 椭圆标准方程及几何性质 ●训练指要 熟练掌握椭圆的定义、标准方程、几何性质;会用待定系数法求椭圆方程. 一、选择题 1.椭圆中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,离心率为0.6,长、短轴之和为36,则椭圆方程为 A.164 1002 2=+y x B.1100 642 2=+y x C.1100 641641002 222=+=+y x y x 或 D.110 818102 222=+=+y x y x 或 2.若方程x 2+ky 2=2,表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 3.已知圆x 2+y 2=4,又Q (3,0),P 为圆上任一点,则PQ 的中垂线与OP 之交点M 轨迹为(O 为原点) A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线

二、填空题 4.设椭圆120 452 2=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,P 为椭圆上一点,且PF 1⊥PF 2,则||PF 1|-|PF 2||=_________. 5.(2002年全国高考题)椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k =_________. 三、解答题 6.椭圆22 22b y a x +=1(a >b >0),B (0,b )、B ′(0,-b ),A (a ,0),F 为椭圆的右焦点,若直线AB ⊥ B ′F ,求椭圆的离心率. 7.在面积为1的△PMN 中,tan M =2 1,tan N =-2,建立适当的坐标系,求以M 、N 为焦点 且过点P 的椭圆方程. 8.如图,从椭圆22 22b y a x +=1(a >b >0)上一点M 向x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F 1,且它的长轴端点A 及短轴的端点B 的连线AB ∥OM . (1)求椭圆的离心率e ; (2)设Q 是椭圆上任意一点,F 2是右焦点,求∠F 1QF 2的取值范围; (3)设Q 是椭圆上一点,当QF 2⊥AB 时,延长QF 2与椭圆交于另一点P ,若△F 1PQ 的面积为203,求此时椭圆的方程.

椭圆的一个几何性质和在物理学中的应用

椭圆的几何性质和在物理学中的应用 1 几何性质 为了思路清晰简明,我们采用罗列命题的方式叙述椭圆的几何性质,但这又不是简单的罗列,各命题间是有紧密地联系的。 定义1:椭圆是到两个定点(焦点)的距离和等于定长(2a )的点的轨迹。 命题1:椭圆外一点到椭圆两焦点的距离和大于椭圆上一点到两焦点的距离和。 【证明】:如图1所示,M 是椭圆外任一点,1MF 和2MF 分别是该点到两焦点1F 和2F 的距离。由于M 在椭圆之外,所以我们总能够在椭圆上找到一点N ,使此点在21F MF ?内。所以总有a NF NF MF MF 22121=+>+。 下面我们证明命题1中用到的关于三角形的一个命题。 命题2:三角形内一点到两个顶点的距离和小于第三个顶点到这两个顶点的距离和。 【证明】:如图,M 是ABC ?中任一点,我们要证明的是CB CA BM AM +<+。 延长AM 与BC 交于D 点。 在ADC ?中,由于两边之和大于第三边,有MD AM CD CA +>+; 在BDM ?中,由于两边之和大于第三边,有MB MD DB >+。 上面两式相加有CB CA BM AM +<+,命题得证。 命题3:椭圆内一点到两焦点的距离和小于椭圆上一点到两焦点的距离和。 图3 图1 A B C M D 图2

【证明】:如图3所示,我们总能够在椭圆上找一点N ,使M 位于21F NF ?内。由命题2可知命题正确。 我们可以说,椭圆的外部是这样的点的集合,它到椭圆的两个焦点的距离之和大于2a ;椭圆的内部是这样的点的集合,它到椭圆的两个核糖点的距离之和小于2a ;椭圆上的点到两个焦点的距离之和恰为2a 。 定义2:与椭圆只有一个公共点的直线称为椭圆的切线。 命题4:椭圆的切线不可能通过椭圆内的任何一点。 【证明】:假设切线可过椭圆内一点,则必与椭圆交于两点,这与该线为椭圆的切线相矛盾。 命题5:构成椭圆的切线的点的集合中,切点是到两个焦点的距离和最小的点。 【证明】:切点在圆上,因此到两焦点距离和为2a ,切线上其它点都在椭圆外,因此到两焦点的距离和大于2a ,命题得证。 命题6:直线与直线上到两定点的距离和最小的点跟该两点的连线成等角。 【证明】:如图4所示,设PQ 是任一直线,1F 和2F 是任意的两个点(在直线的同一侧)。我们总可以在直线上找一点M ,使此点到两点1F 和2F 的距离的和最小。方法如下 如图3所示,做1F 关于PQ 的对称点3F ,连结32F F 与PQ 交于M 点,则M 点为所求点。原因是简单的,如图5所示,任意在PQ 上取另一点1M ,则此点到两定点1F 、2F 的距离和大于M 到这两定点的距离和。由对称可知,角1PMF =角3PMF ,而角3PMF 与角2 QMF 互为对顶角。所以角1PMF =角2QMF ,命题得证。 命题7:椭圆的切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 【证明】:因为切点是切线上所有点到两点的距离之和最小的点,由命题6知切线跟切点和焦点的两条连线成等角。 命题8:切线的垂线平分两焦点与切点连线所成的角。 【证明】:如图6所示,1F 与2F 是椭圆的两个焦点,M 是椭圆上任一点,PQ 是过M 点的切线,MN 是的21MF F ∠的平分线。则有,PQ MN ⊥。 F 1 F 2 P 图4 F 1 F 2 P 图5 F

2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习

2.1.2 椭圆的简单几何性质同步练习 1.椭圆的简单几何性质 直线y =kx +b 与椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1 (a >b >0)的位置关系: 直线与椭圆相切?????? y =kx +b x 2a 2+y 2 b 2=1有______组实数解,即Δ______0.直线与椭圆相交? ????? y =kx +b x 2a 2+y 2b 2=1有______组实数解,即Δ______0,直线与椭圆相离?????? y =kx +b x 2a 2+y 2 b 2=1________实数解,即Δ______0. 一、选择题 1.椭圆25x 2+9y 2=225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A .5,3,45 B .10,6,4 5 C .5,3,35 D .10,6,3 5 2.焦点在x 轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则椭圆的方程为( ) A .x 236+y 216=1 B .x 216+y 2 36=1 C .x 26+y 24=1 D .y 26+x 2 4 =1 3.若焦点在x 轴上的椭圆x 22+y 2m =1的离心率为1 2 ,则m 等于( )

A . 3 B .32 C .83 D .2 3 4.如图所示,A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的顶点与焦点,若∠ABC =90°, 则该椭圆的离心率为( ) A.-1+52 B .1-22 C.2-1 D.2 2 5.若直线mx +ny =4与圆O :x 2 +y 2 =4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+ y 2 4 =1的交点个数为( ) A .至多一个 B .2 C .1 D .0 6.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。满足1MF ·MF 2→ =0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( ) A .(0,1) B .??? ?0,12 C .???0,2 D .???2 ,1 7.已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率为5 5 ,且过点P (-5,4),则椭圆的 方程为______________. 8.直线x +2y -2=0经过椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 离心率等于______. 9.椭圆E :x 216+y 2 4 =1内有一点P (2,1),则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为 ____________. 三、解答题 10.如图,已知P 是椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦 点,O 是椭圆中心,B 是椭圆的上顶点,H 是直线x =-a 2 c (c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交 点,若PF ⊥OF ,HB ∥OP ,试求椭圆的离心率e .

椭圆的几何性质及综合问题汇总

椭圆的几何性质 一、概念及性质 1.椭圆的“范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、a ,b ,c 的关系”; 2.椭圆的通经: 3.椭圆的焦点三角形的概念及面积公式: 4.椭圆的焦半径的概念及公式:主要用来求离心率的取值范围,对于此问题也可以用下列性质求解:c a PF c a +≤≤-1. 5.直线与椭圆的位置关系: 6.椭圆的中点弦问题: 【注】:椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题出现,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度: (1)根据椭圆的性质求参数的值或范围; (2)由性质写椭圆的标准方程; (3)求离心率的值或范围. 题型一:根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范围、离心率的值或范围. 【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点)2,0(),0,3(--Q P ;(2)长轴长等于20,离心率等于 5 3 . 【典例2】求椭圆40025162 2 =+y x 的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 【典例3】已知A ,P ,Q 为椭圆C :)0(122 22>>=+b a b y a x 上三点,若直线PQ 过原点, 且直线AP ,AQ 的斜率之积为2 1 -,则椭圆C 的离心率为( ) A.22 B.21 C.42 D.4 1 【练习】(1)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长 为8,则椭圆的左顶点为( ) A .(-3,0) B .(-4,0) C .(-10,0) D .(-5,0) (2)椭圆x 29+y 24+k =1的离心率为4 5 ,则k 的值为( ) A .-21 B .21 C .-1925或21 D .19 25 或21 (3)设椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A , B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆 C 的离心率等于________. 【典例4】已知F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点,且 215PF PF =,则该椭圆的离心率的取值范围是 练习:如图,把椭圆 116 252 2=+y x 的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分与P 1,P 2,…,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则721PF PF PF +++Λ=

高中数学椭圆的几何性质

一. 教学内容: 椭圆的几何性质 二. 教学目标: 通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用. 通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力. 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等. 三. 重点、难点: 重点:椭圆的几何性质及初步运用. 难点:椭圆离心率的概念的理解. 四. 知识梳理 1、几何性质 (1)范围,即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里.注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点.(2)对称性 把x换成-x,或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴或原点对称 (3)顶点 在中,须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭圆有四个顶点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b). ①线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b; ②a、b的几何意义:a是长半轴的长,b是短半轴的长; (4)离心率 教师直接给出椭圆的离心率的定义: 椭圆的焦距与长轴的比 椭圆的离心率e的取值范围:∵a>c>0,∴0<e<1. 当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁; 当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆;

椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

第2课时 椭圆的简单几何性质 错误!题型分类 深度解析 考点一 椭圆的性质 【例1】 (1)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx -ay +2ab =0相切,则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13 (2)已知椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于4 5,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.? ?? ??0,32 B.??? ?0,34 C.?? ?? ??32,1 D.??? ?3 4,1 解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2+y 2=a 2,又与直线bx -ay +2ab =0相切, 所以圆心(0,0)到直线的距离d =2ab a 2+b 2 =a ,整理为a 2=3b 2 ,即b a =13. ∴e =c a =a 2- b 2a = 1-??? ?b a 2 = 1-? ?? ??132=63. (2)设左焦点为F 0,连接F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |+|BF |=4, ∴|AF |+|AF 0|=4,∴a =2. 设M (0,b ),则4b 5≥4 5,∴1≤b <2. 离心率e =c a = c 2a 2= a 2- b 2a 2= 4-b 24∈? ???? 0,32. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求椭圆离心率的方法 (1)直接求出a ,c 的值,利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a ,b ,c 的齐次方程(或不等式),借助于b 2=a 2-c 2消去b ,转化为含有e 的

椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质 基础卷 1.设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距,则a , b , c 的大小关系是 (A )a >b >c >0 (B )a >c >b >0 (C )a >c >0, a >b >0 (D )c >a >0, c >b >0 2.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为 (A ) 221916x y += (B )2212516x y += (C )2212516x y +=或2211625x y += (D )22 11625 x y += 3.已知P 为椭圆 22 1916 x y +=上一点,P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 (A ) 54 (B )45 (C )4 17 (D ) 7 4 7 4.椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为 (A ) 23 (B )33 (C )3 16 (D ) 6 1 6 5.在椭圆122 22=+b y a x 上取三点,其横坐标满足x 1+x 3=2x 2,三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3,则有 (A )r 1, r 2, r 3成等差数列 (B )r 1, r 2, r 3成等比数列 (C ) 123111,,r r r 成等差数列 (D )123 111 ,,r r r 成等比数列 6.椭圆 22 1925 x y +=的准线方程是 (A )x =± 254 (B )y =±165 (C )x =±165 (D )y =±25 4 7.经过点P (-3, 0), Q (0, -2)的椭圆的标准方程是 . 8.对于椭圆C 1: 9x 2 +y 2 =36与椭圆C 2: 22 11612 x y +=,更接近于圆的一个是 . 9.椭圆122 22=+b y a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = . 10.已知定点A (-2, 3),F 是椭圆22 11612 x y +=的右焦点,在椭圆上求一点M ,使|AM |+2|MF |取得最小值。

椭圆的标准方程及其几何性质(供参考)

椭圆的标准方程及其几何性质 1. 椭圆定义: (1)第一定义:平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 (2)椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<>=+b a b y a x 的位置关系: 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离0

椭圆的简单几何性质练习题精练

椭圆专题 一、选择题 1.(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上,短轴长为8,离心率为35的椭 圆的标准方程是( ) A.x 2100+y 236=1 B.x 2100+y 264=1 C.x 225+y 216=1 D.x 225+y 29=1 2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率 为( )A.12 B.13 C.14 D.22 3曲线x 225+y 29=1与x 29-k +y 225-k =1(0

8.(1)求与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准 方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程. 9.(2014·菏泽高二检测)设椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)与x 轴交于点A ,以OA 为边作等腰三角形OAP ,其顶点P 在椭圆上,且∠OP A =120°,求椭圆的离心率. 10.(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭 圆的离心率是( )A.22 B.2-1C .2- 2 D.2-12 2.(2014·清远高二期末)“m =3”是“椭圆x 24+y 2m =1的离心率为12” 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 3.(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF ⊥x 轴,直线AB 交y 轴于点 P .若AP →=2PB →,则椭圆的离心率是________. 4.(2014·青海省西宁)已知点A ,B 分别是椭圆x 236+y 2 20=1的左、右顶点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,P A ⊥PF . (1)求点P 的坐标; (2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,且M 到直线AP 的距离等于|MB |,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.

椭圆的几何性质习题

$ 椭圆的几何性质习题 一、选择题(共60题) 1.圆6x + y =6的长轴的端点坐标是 A.(-1,0)?(1,0) B.(-6,0)?(6,0) C.(-6,0)?(6,0) D.(0,-6)?(0,6) 2.椭圆x + 8y =1的短轴的端点坐标是 A.(0,-42)、(0,42 ) B.(-1,0)、(1,0) C.(22,0)、(-2,0) D.(0,22)、(0,- 22) 3.椭圆3x +2y =1的焦点坐标是 A.(0,-66)、(0,66) B.(0,-1)、(0,1) C.(-1,0)、(1,0) D.(-66,0)、(66 ,0) ; 4.椭圆122 2 2=+a y b x (a >b >0)的准线方程是 A. 2 2 2 b a a y +± = B. 2 2 2 b a a y -± = C. 2 2 2 b a b y -± = D. 222b a a y +± = 5.椭圆14922=+y x 的焦点到准线的距离是 A.559554和 B.5514559和 C.5514554和 D.5 514 6.已知F 1、F 2为椭圆122 2 2=+b y a x (a >b >0)的两个焦点,过F 2作椭圆的弦AB ,若 △AF 1B 的周长为16,椭圆离心率 23 = e ,则椭圆的方程是 A.13422=+y x B.131622=+y x C.1121622=+y x D.14162 2=+y x 7.离心率为23 ,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 |

A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1 412 2 =+y x D.142 2=+y x 或1 16422=+y x 8.椭圆122 2 2=+b y a x 和k b y a x =+2222(k >0)具有 A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长?短轴 9.点A (a ,1)在椭圆1242 2=+y x 的内部,则a 的取值范围是 22 b >0)的离心率等于53,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋 转2π 后,所得的新椭圆的一条准线的方程y =316,则原来的椭圆方程是 / A.14812922=+y x B.16410022=+y x C.1162522=+y x D.1 9162 2=+y x 12.椭圆 14522 2++a y a x =1的焦点在x 轴上,则它的离心率的取值范围是 A.(0,51) B.(51,55)] C.??? ??55,0 D.???????1,55 13.椭圆1)6(4)3(2 2=++-m y x 的一条准线为7=x ,则随圆的离心率e 等于 A.21 B.22 C.23 D.41 14.已知椭圆的两个焦点为F 1?F 2,过F 2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A ?B ,则 三角形ABF 1的周长是 .24 C 15.已知椭圆的长轴为8,短轴长为43,则它的两条准线间的距离为 .16 C

椭圆的标准方程和几何性质练习题(供参考)

椭圆的标准方程和几何性质练习题一 1. 若曲线ax 2+by 2=1为焦点在x 轴上的椭圆,则实数a ,b 满足( ) A .a 2>b 2 B.1a <1b C .01b >0,所以0b>0)。由点P(2,3)在椭圆上知2243a b +=1。又|PF 1|,|F 1F 2|,PF 2|成等差数列,则|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|,即2a=2×2c ,c 1,a 2= 又c 2=a 2-b 2,联立得a 2=8,b 2=6 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 +y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A .23 B .6 C .43 D .12 答案:C 如图,设椭圆的另外一个焦点为F ,则△ABC 的周长为|AB | +|AC |+|BC |=(|AB |+|BF |)+(|AC |+|CF |)=4a =43。 4. 已知椭圆x 2+my 2=1的离心率e △????12,1,则实数m 的取值范围是 ( ) A. ????0,34 B. ????43,+∞ C. ????0,34△????43,+∞ D. ????34,1△????1,43 答案:C 在椭圆x 2+my 2=1中,当0<m <1时,a 2=1m ,b 2=1,c 2=a 2-b 2=1m -1,

椭圆方程及性质的应用

椭圆方程及性质的应用 教学目标 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用,解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 教材整理1 点与椭圆的位置关系 设点P(x0,y0),椭圆x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0). (1)点P在椭圆上?x20 a2+ y20 b2=1;(2)点P在椭圆内? x20 a2+ y20 b2<1; (3)点P在椭圆外?x20 a2+ y20 b2>1. 课堂练习 已知点(2,3)在椭圆x2 m2+ y2 n2=1上,则下列说法正确的是________ ①点(-2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(-2,-3)在椭圆内④点(2,-3)在椭圆上【解析】由椭圆的对称性知点(2,-3)也在椭圆上.【答案】④ 教材整理2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 直线y=kx+m与椭圆x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)联立 ?? ? ?? y=kx+m, x2 a2+ y2 b2=1, 消去y得一个 一元二次方程.

2.弦长公式 设直线y =kx +b 与椭圆的交点坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |=1+k 2|x 1-x 2|= 1+1 k 2·|y 1-y 2|. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)点P (2,1)在椭圆x 24+y 2 9=1的内部.( ) (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) (3)过点A (0,1)的直线一定与椭圆x 2 +y 2 2=1相交.( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 例题分析 (1)若直线mx +ny =4和⊙O :x 2+y 2=4没有交点,则过点P (m ,n )的直线与椭圆x 29+y 2 4=1的交点个数为( ) A.2个 B.至多一个 C.1个 D.0个 (2)已知椭圆4x 2+y 2=1及直线y =x +m ,问m 为何值时,直线与椭圆相切、相交? 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点,则d = 4m 2 +n 2 >2, ∴m 2+n 2<4,即m 2+n 24<1.∴m 29+n 24<1,∴点(m ,n )在椭圆的内部,故直 线与椭圆有2个交点. 【答案】 A (2)将y =x +m 代入4x 2+y 2=1, 消去y 整理得5x 2+2mx +m 2-1=0. Δ=4m 2-20(m 2-1)=20-16m 2.

椭圆的简单几何性质(二)

第2课时:椭圆的简单几何性质(二) 【学习目标】 1.进一步熟悉和掌握椭圆的几何性质(对称性、范围、顶点、离心率等); 2.掌握求曲线方程的一些基本方法; 3.会利用椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题。 【知识线索】 椭圆两种标准方程的性质比较 定义 平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于 2 1 F F)的点的轨迹 标准方程 )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x )0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b x a y 图形 焦点坐标 范围 对称性 顶点坐标 离心率 c b a, ,的含义及关系 【知识建构】 1.椭圆中方程思想的应用; 2.注意椭圆的焦点的位置的确定; 3.利用椭圆的定义接相关椭圆问题是很重要的方法。 【典例透析】 高二选修2-1:第二章圆锥曲线与方程 四环节导思教学导学案 课时目标呈现 目标导航 课前自主预习 新知导学 疑难导思课中师生互动 x A2 B2 F2 y O A1 B1 F1 y O A1 B1 x A2 B2 F1 F2

例1.与椭圆)0(2 32 2>=+λλy x 有相同的离心率,且过点)2,32(的椭圆的标准方程是 例2.如图,点B A ,分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点, 点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴的上方, PF PA ⊥。 (1)求点P 的坐标; (2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于||MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。 【课堂检测】 1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为_______. 2.已知点P 是椭圆14 52 2=+y x 上的一点,且以点P 及焦点1F ,2F 为定点的三角形的面积等于1,求点P 的坐标。 【课堂小结】 y F O A B x 课后训练提升 达标导练 M P

椭圆的几何性质知识点归纳及典型

Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A. (一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222 x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下:

椭圆的简单几何性质练习题

. 课时作业(八) [学业水平层次] 一、选择题 1.(2015·人大附中月考)焦点在x 轴上,短轴长为8,离心率为3 5 的椭圆的标准方程是( ) +y 236=1 + y 2 64 =1 +y 2 16 =1 +y 2 9 =1 【解析】 本题考查椭圆的标准方程.由题意知2b =8,得 b =4,所以b 2 =a 2 -c 2 =16,又e =c a =3 5 ,解得c =3,a =5,又 焦点在x 轴上,故椭圆的标准方程为x 225+y 2 16 =1,故选C. $ 【答案】 C 2.椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,则它的离心率为( ) 【解析】 由题意知a =2c ,∴e =c a =c 2c =1 2 . 【答案】 A 3曲线x 225+y 29=1与x 29-k +y 2 25-k =1(0

A .有相等的焦距,相同的焦点 ) B .有相等的焦距,不同的焦点 C .有不等的焦距,不同的焦点 D .以上都不对 【解析】 曲线x 225+y 29=1的焦距为2c =8,而曲线x 29-k + y 2 25-k =1(0<k <9)表示的椭圆的焦距也是8,但由于焦点所在的坐标轴不同,故选B. 【答案】 B 4.已知O 是坐标原点,F 是椭圆x 24+y 2 3=1的一个焦点,过F 且 与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ,N 两点,则cos ∠MON 的值为( ) B .-513 D .-21313 # 【解析】 由题意,a 2=4,b 2=3, 故c =a 2-b 2=4-3=1. 不妨设M (1,y 0),N (1,-y 0),所以124+y 2 3 =1, 解得y 0=±3 2 , 所以|MN |=3,|OM |=|ON |=12 +? ?? ??322=132. 由余弦定理知 cos ∠MON =|OM |2+|ON |2-|MN |2 2|OM ||ON | =

2.2.2椭圆的几何性质

2.2.2 椭圆的几何性质 【教学内容解析】 1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念,并借助坐标在平面上 的点和有序数对(x,y)之间建立一一对应的关系.于是,平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样,我们就可以利用方程来研究几何 2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容,也是一类重要的数学模型, 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想,在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位,在生产或生活实际中有着大量应用. 3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后,第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后,进一步渗透并应用这种思想,是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导,是数形结合的数学思想方法的典范,也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用. 4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质,发现椭圆方程与椭圆几何性质的 关系,揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点. 【教学目标设置】 1.能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质; 能解释椭圆标准方程中,, a b c的几何意义; 2.在探究椭圆性质的活动中,经历从图形直观抽象几何性质的过程,提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法,建立离心率模型;

3.在这过程中,进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵. 4. 树立严谨求实的理性精神,获得自主探究的成功和喜悦,提高数学学习兴趣.【学生学情分析】 (1)学生已有的认知基础 本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生,已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程;理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用,初步感知了解析几何的基本任务,具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.(2)达成目标所需要的认知基础 要达成本节课的目标,这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺,但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质,经验缺乏,研究目标不明确,抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力,能运用数形结合、类比归纳等数学思想,以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯. (3)教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难,本节课的教学难点是: 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系,搭建“数”与“形”的桥梁; 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化; 突破难点的相应策略如下: 1.通过画图、辨图,不断制造认知冲突,从解决问题需要出发,建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验; 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立b a 与椭圆圆扁程度的对应 关系,再利用b a 与 c a 的等量关系,建立离心率的模型,并结合几何画板动态演示, 丰富学生的直观感悟与经历;

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